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【精品复习】立体几何篇-第7讲 立体几何中的向量方法(一)


个性化教学辅导教案 第7讲 【2014 年高考会这样考】 立体几何中的向量方法(一) 1.通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算. 2.能用向量方法证明直线和平面位置关系的一些定理. 3.利用空间向量求空间距离. 【复习指导】 本讲复习中要掌握空间向量的坐标表示和坐标运算, 会找直线的方向向量和平面 的法向量,并通过它们研究线面关系,会用向量法求空间距离. 基础梳

理 1.空间向量的坐标表示及运算 (1)数量积的坐标运算 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则①a± b=(a1± b1,a2± b2,a3± b3); ②λa=(λa1,λa2,λa3); ③a· b=a1b1+a2b2+a3b3. (2)共线与垂直的坐标表示 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 a∥b?a=λb?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R), a⊥b?a· b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 2 2 则|a|= a· a= a1 +a2 2+a3, a· b cos〈a,b〉=|a||b|= a1b1+a2b2+a3b3 2 2 2 2 2. a1+a2 2+a3· b1+b2+b3 设 A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2), → |= ?a -a ?2+?b -b ?2+?c -c ?2. 则 dAB=|AB 2 1 2 1 2 1 2.立体几何中的向量方法 1 个性化教学辅导教案 (1)直线的方向向量与平面的法向量的确定 → 为直线 ①直线的方向向量:l 是空间一直线,A,B 是直线 l 上任意两点,则称AB → 平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量. l 的方向向量,与AB ②平面的法向量可利用方程组求出:设 a,b 是平面 α 内两不共线向量,n 为平 a=0, ?n· 面 α 的法向量,则求法向量的方程组为? b=0. ?n· (2)用向量证明空间中的平行关系 ①设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)?v1∥v2. ②设直线 l 的方向向量为 v,与平面 α 共面的两个不共线向量 v1 和 v2,则 l∥α 或 l?α?存在两个实数 x,y,使 v=xv1+yv2. ③设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l∥α 或 l?α?v⊥u. ④设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1,u2,则 α∥β?u1∥u2. (3)用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1⊥l2?v1⊥v2?v1· v2=0. ②设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l⊥α?v∥u. ③设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2,则 α⊥β?u1⊥u2?u1· u2=0. (4)点面距的求法 如图,设 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平面 α 的法向量,则 →· |AB n| B 到平面 α 的距离 d= |n| . 一种思想 向量是既有大小又有方向的量, 而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量 定理和空间向量基本定理的进一步深化和规范,是对向量大小和方向的量化: (1)以原点为起点的向量,其终点坐标即向量坐标; (2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标. 得到向量坐标后,可通过向量的坐标运

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