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长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2012届第一次模拟考试数学(理)试题


长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、 长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高 2012 届第 一次模拟考试数学( 一次模拟考试数学(理)试题 数学
学校: 审题学校: 学校:高新一中 审题学校:师大附中命题 注意事项: (1)本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,总分 150 分,考试时间 150 分钟. (2)答题前,考生须将自己的学校 、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上. (3)选择题的每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. (4) 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答. 超出答题区域或在其 他题的答题区域内书写的答案无效;在草稿纸、本试题卷上答题无效. (5)考试结束,将本试题卷和答题卡一并交回. 第 I 卷(选择题 共 50 分)
[来源:学科网 ZXXK]

小题, 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的(本大题共 10 小题,每 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的( 小题 5 分,共 50 分) . 1.复数 z1 = 3 + i , z2 = 1 ? i ,则复数 z1 +

1 的虚部为( z2
D.



A.2

B. 2i

C.

3 2

3 i 2

2.已知集合 M = {x ∈ R | ( x + 1)( x ? 2) > 0} 和 N = {x ∈ R | x 2 + x < 0} ,则集合 M 是集合 N 的 ( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[来源:学科网 ZXXK] ) D.3 )

3.函数 f ( x ) =| x ? 2 | ? ln x 在定义域内的零点的个数为( A.0 B.1 C.2

4.过点 P(1,2)的直线 l 平分圆 C: x 2 + y 2 + 4 x + 6 y + 1 = 0 的周长 ,则直线 l 的斜率为( A.

5 3

B.1

C.

8 5

D.

4 3
C1

5.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长和底面边 长均为 2,且侧 棱 AA1 ⊥ 底面 ABC,其正(主)视图是边长为 2 的正方形, 则此三棱柱侧(左)视图的面积为( A. 2 2 B.4 C. 3 )
A A1

1
B1

1

2
C B

D. 2 3

正(主)视图

6.2011 年西安世园会组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作,要求每项工作至 少有一人从事,则不同的派给方案共有( )
-1-

A.25 种

B.600 种

C.240 种

D.360 种

? x ? y + 1≥ 0, ? a 8 ) (a > 0) 展 开 式 中 , 中 间 项 的 系 数 为 70 . 若 实 数 x,y 满 足 ? x + y ≥ 0, 则 7 . (x + x ? x ≤ a, ?
z = x + 2 y 的最小值是(
A. ? 1 B. ) C.5 D.1

1 2

且 8. 已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别是 An 和 Bn , A.2 B.

An 2n + 1 a = , 9 等于 则 ( Bn n + 3 b9



7 4

C.

19 12

D.

9.设函数 f ( x ) = sin(ω x + ? ) + sin(ω x ? ? )(ω > 0, A. f ( x ) 在 (0, C. f ( x ) 在 (0,

π
2

13 21
< ? < π ) 的最小正周期为 π ,则(


π π
2

) 单调递减 ) 单调递增

B. f ( x ) 在 (0, D. f ( x ) 在 (0,

π π
4 4

) 单调递增 ) 单调递减

2

x2 π 2 10.椭圆 2 + y = 1( a > 1) 上存在一点 P,使得它对两个焦点 F1 , F2 张角 ∠F1 PF2 = ,则该椭 a 2
圆的离心率的取值范围是( A. (0, )

2 ] 2

B. [

2 ,1) 2

C. (0, ]

1 2

D. [ ,1)

1 2

第 II 卷(非 选择题 共 100 分) 小题, 二、填空题:把答案填在相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 填空题:把答案填在相应题号后的横线上( . 11.如图,有一个算法流程图.在集合 A = {x ∈ R | ?10 ≤ x ≤ 10} 中随机地 取一个数值做为 x 输入,则输出的 y 值落在区间 (?5,3) 内的概率值 为 .
y: x+3
y: x?5

12.某校为了解高一学生寒假期间学习情况,抽查了 100 名同学,统计他们 每天平均学习时间,绘成频率分布直方图(如图) .则这 100 名同学中 学习时间在 6 至 8 小时之间的人数为 . 0 13.设 a,b,c 为单位向量,a,b 的夹角为 60 , 则(a + b + c)·c 的最大值为 . ) 14.给定集合 An ={1,2,3, …,n}( n ∈ N + ),映射 f: An → An 满足: ①当 i, j ∈ An , i ≠ j 时, f (i ) ≠ f ( j ) ;②任取 m ∈ An ,若

-2-

m ≥ 2 ,则有 m ∈ { f (1), f (2),L , f (m)} .则称映射 f: An → An 是一个“优映射”.例如:用
表 1 表示的映射 f: A3 → A3 是一个“优映射”. 表1 i f(i) i[来源:学 科网] f(i) 1 2 1 2 3 2 3 3 1 3 表2 4

(1)已知表 2 表示的映射 f: A4 → A4 是一个“优映射”,请把表 2 补充完整. (2)若映射 f: A10 → A10 是“优映射”,且方程 f (i ) = i 的解恰有 6 个,则这样的“优映射”的个 . 数是 15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) 中任选一题作答 A.(几何证明选讲选做题)如图,已知 Rt ?ABC 的两条直角边 AC, .(几何证明选讲选做题) .(几何证明选讲选做题
D B

BC 的长分别为 3cm,4cm,以 AC 为直径作圆与斜边 AB 交于点 D,则 BD 的长为= ;
A · O C

B. 不等式选讲选做题) . 不等式选讲选做题) (不等式选讲选做题 关于 x 的不等式 | x ? 1| + | x ? 2 |≤ a + a + 1 的 (
2

解集为空集,则实数 a 的取值范围是 ; C.(坐标系与参数方程选做题)已知极坐标的极点在直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴 .(坐标系与参数方程选做题 .(坐标系与参数方程选做题) 的正半轴重合,曲线 C 的参数方程为

{

x = 3cos θ ( θ 为参数) ,直线 l 的极坐标方程为 y = sin θ


π ρ cos(θ ? ) = 6 . P 在曲线 C 上, P 到直线 l 的距离的最小值为 点 则点
3
小题, 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( .

16. (本小题满分 12 分) 三角形的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,设向量

m = (c ? a, b ? a ), n = (a + b, c) ,若 m // n .
(I)求角 B 的大小; ( II)求 sin A + sin C 的取值范围.
F









17. (本小题满分 12 分)
0 如图,FD 垂直于矩形 ABCD 所在平面,CE//DF, ∠DEF = 90 .[来源:

E D A C B

-3-

学科网] (Ⅰ)求证:BE//平面 ADF; (Ⅱ)若矩形 ABCD 的一个边 AB = 3 ,EF = 2 3 ,则另一边 BC 的长为何值时,二面角 B-EF-D 的大小为 450? 18. (本小题满分 12 分)设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,直线 l 的方程为 Ax + By + C = 0 .请写出点 P 到直线 l 的距离,并加以证明. 19. (本小题满分 12 分) 有甲、乙两种相互独立的预防措施可以降低某地区某灾情的发生.单独采用甲、乙预防措施 后,灾情发生的概率分别为 0.08 和 0.10,且各需要费用 60 万元和 50 万元.在不采取任何预防措 施的情况下发生灾情的概率为 0.3.如果灾情发生,将会造成 800 万元的损失. (设总费用=采取 预防措施的费用+可能发生灾情损失费用) (I)若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用,他们各自总费用是多少? (II)若预防方案允 许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用,请确定预防方案 使总费用最少的那个方案.

20. (本小题满分 13 分) 已知圆 C1 的方程为 x 2 + ( y ? 2) 2 = 1 ,定直线 l 的方程为 y = ?1 .动圆 C 与圆 C1 外切,且与 直线 l 相切. (Ⅰ)求动圆圆心 C 的轨迹 M 的方程; (II)斜率为 k 的直线 l 与轨迹 M 相切于第一象限的点 P,过点 P 作直线 l 的垂线恰好经过 点 A(0,6) ,并交轨迹 M 于异于点 P 的点 Q,记 S 为轨迹 M 与直线 PQ 围成的封闭图形的面积, 求 S 的值.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=

1 2 x -ax + (a-1) ln x , a > 1 . 2

(I)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (II)若 a = 2 ,数列 {an } 满足 an +1 = f (an ) . (1) 若首项 a1 = 10 ,证明数列 {an } 为递增数列; (2) 若首项为正整数,数列 {an } 递增,求首项的最小值.

-4-

答案 第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题: 选择题: CDCA DBAB DB 第 II 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题: 填空题: 11. 0.8 ;12. 30 ;13. 3 + 1 ;14. (1) 2,4,1 , (2) 84 ;

15.A. .

16 ;B. (?1, 0) ;C. 6 ? 3 . . . 5

三、解答题: 解答题: 16. (本小题满分 12 分)


解(I)由 m // n 知

c?a b?a 2 2 2 = ,即得 b = a + c ? ac , 据余弦定理知 a+b c 1 π cos B = ,得 B = ——————6 分 2 3


(II) sin A + sin C = sin A + sin( A + B ) = sin A + sin( A +

π

3

)

1 3 3 3 = sin A + sin A + cos A = sin A + cos A 2 2 2 2 = 3 sin( A + ) ————————9 分 6 π 2π 2π 因为 B = ,所以 A + C = ,得 A ∈ (0, ) ————10 分 3 3 3 π π 5π π 1 所 以 A+ ∈( , ) , 得 sin( A + ) ∈ ( ,1] , 即 得 sin A + sin C 的 取 值 范 围 为 6 6 6 6 2
( 3 , 3] . 2
————————12 分

π

17. (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)法 1:过点 E 作 CD 的平行线交 DF 于点 M,连接 AM. 因为 CE//DF, 所以四边形 CEMD 是平行四边形. 可得 EM = CD 且 EM //CD, 于是四边形 BEMA 也 是 平 行 四 边 形 , 所 以 有 BE//AM , 而 直 线 BE 在 平 面 ADF 外 , 所 以 BE// 平 面 ADF. ——————6 分 法 2:以直线 DA 为 x 轴,直线 DC 为 y 轴,直线 DF 为 z 轴,建立 z 空间直角坐标系.则平面 ADF 的一个法向量为 n = (0,1, 0) . 设 AB = a,BC = b,CE = c,则点 B、E 的坐标分别为(b,a,0)
M


F

-5-

E C B

D

x

A

y

和(0,a,c) ,那么向量 BE = ( ?b, 0, c) .可知 n ? BE = (0,1, 0) ? ( ?b, 0, c) = 0 ,得 n ⊥ BE ,而 直线 BE 在平面 ADF 的外面,所以 BE//平面 ADF. (Ⅱ)由 EF = 2 3 ,EM = AB = 3 ,得 FM = 3 且 ∠MFE = 30 .
0











由 ∠DEF = 90 可得 FD = 4,从而得 CE =1.
0

——————8 分

设 BC = a,则点 B 的坐标为(a, 3 ,0) .又点 E、F 的坐标分别为(0, 3 ,1)和(0, 0,4) ,所以 EB = ( a, 0, ?1) , EF = (0, ? 3, 3) . 设 平 面 BEF 的 一 个 法 向 量 为 n1 = ( x1 , y1 , z1 ) , 则 ?

→ →

?ax1 ? z1 = 0 ? ,解得一组解为 ?? 3 y1 + 3 z1 = 0 ?

(1, 3a, a ) ,所以 n1 = (1, 3a, a ) .
易知平面 DEF 的一个法向量为 n2 = (1, 0, 0) ,可得




——————10 分

cos < n1 , n2 >=
→ →





n1 ? n2








=

1 4a 2 + 1
1 4a + 1
2

| n1 || n2 |

由于此时 < n1 , n2 > 就是二面角 B-EF-D 的大小,所以

=

1 1 ,可得 a = . 2 2

所以另一边 BC 的长为 18. (本小题满分 12 分)

1 时,二面角 B-EF-D 的大小为 450.————12 分 2 | Ax0 + By0 + C | A2 + B 2


解:点 P 到直线 l 的距离公式为 d =

————3 分

证法 1:过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 H.若 A = 0,则直线 l 的方程为 y = ? P 到直线 l 的距离为 | y0 + 的. 若 A ≠ 0 ,则直线 PH 的斜率为

C ,此时点 B

| Ax0 + By0 + C | | By0 + C | C C | ,而 = =| y0 + | ,可知结论是成立 2 2 B |B| B A +B
————5 分

B B ,方程为 y ? y0 = ( x ? x0 ) ,与直线 l 的方程联立可得 A A

B2 Ax + By0 + ( x ? x0 ) + C = 0 A
解得 x =

B 2 x0 ? ABy0 ? AC Ax + By + C Ax0 + By0 + C = x0 ? A 0 2 0 2 , y = y0 ? B 2 2 A +B A +B A2 + B 2
-6-

————9 分 据两点间距离公式得

d = (A

Ax0 + By0 + C 2 Ax + By + C Ax + By0 + C ) + ( B 0 2 0 2 ) 2 =| 0 |. 2 2 A +B A +B A2 + B 2
————12 分

证法 2:若 B = 0,则直线 l 的方程为 x = ?

C ,此时点 P 到直线 l 的距离为 A

d =| ?

| Ax0 + C | | Ax0 + By0 + C | C ? x0 |= = ; A A2 A2 + B 2
C ,此时点 P 到直线 l 的距离为 B

若 A = 0 ,则直线 l 的方程为 y = ?

d =| ?

| By0 + C | | Ax0 + By0 + C | C ? y0 |= = ; B B2 A2 + B 2

若 B ≠ 0 , A ≠ 0 ,过点 P 作 y 轴的垂线,交直线 l 于点 Q,过点 P 作直线 l 于 y 轴的垂线, 交直线 l 于点 Q,设直线 l 的倾斜角为 θ ,则 d =| PQ | sin θ . 因为 | PQ |=| xQ ? x0 |=| ?

Ax + By0 + C B C y0 ? ? x0 |=| 0 |, A A A

A | B sin θ = = = = 1 A2 1 + tan 2 θ 1+ 1+ 2 tan 2 θ B 1 | tan θ | |
所以, d =

| A| A2 + B 2


| Ax0 + By0 + C |
A2 + B 2

.综上 , d =

| Ax0 + By0 + C |
A2 + B 2


证法 3:过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 H.则直线 PH 的一个方向向量对应于直线 l 的一 个法向量,而直线 l 的一个法向量为 ( A, B ) ,又线段 PH 的长为 d,所以

PH = d





PH


=

d A +B
2


| PH |

2

( A, B) 或 PH = ?



d A + B2
2

( A, B)

设点 H 的坐标为 ( x, y ) ,则 PH = ( x ? x0 , y ? y0 ) ,可得

x = x0 ±

dA A2 + B 2

, y = y0 ±

dB A2 + B 2

把点 H 的坐标代入直线 l 的方程得

A( x0 ±

dA A +B
2 2

) + B ( y0 ±

dB A2 + B 2
-7-

)+C = 0

整理得 ± d

A2 + B 2 + Ax0 + By0 + C = 0 ,解得 d =|

Ax0 + By0 + C A2 + B 2

|.

证法4:过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 H.在直线 l 上 任取一点 Q ( x, y ) ,直线 PH 的一 个方向向量为 v = ( A, B ) ,据向量知识,向量 PQ 在向量 v 上的投影的绝对值恰好是线段 PH 的 长,因此
→ →







d =|

PQ? v


|=

| ( x ? x0 , y ? y0 ) ? ( A, B) | A2 + B 2

=

| ( x ? x0 ) A + ( y ? y0 ) B | A2 + B 2

|v|

因为 ( x ? x0 ) A + ( y ? y0 ) B = Ax + By ? ( Ax0 + By0 ) , 而点 ( x, y ) 满足 Ax + By + C = 0 , 所 以 Ax + By ? ( Ax0 + By0 ) = ?( Ax0 + By0 + C ) .因此 d =| 19. (本小题满分 12 分) 解(I)若单独采用甲预防措施,可能发生灾情的损失费用的期望值为

Ax0 + By0 + C A2 + B 2

|.

0 × 0.92 + 800 × 0.08 = 64 (万元) ; 0 × 0.9 + 800 × 0.1 = 80 (万元) .

————2 分

若单独采用乙预防措施,可能发生灾情的损失费用的期望值为 ————4 分

所以,单独采用甲预防措施的总费用为 124 万元,单独采用乙预防措施的总费用为 130 万 元. ————6 分

(II)若实施联合采用方案,设可能发生灾情的损失费用为 X,则 X = 0 和 800,且

P( X = 800) = 0.08 × 0.1 = 0.008 , P( X = 0) = 1 ? P( X = 800) = 0.992 .
所以,可能发生灾情的损失费用的期望值为 6.4 万元,因此总费用为 116.4 万元. ————9 分 若不采取措施,则可能发生灾情的损失费用的期望值为

0 × 0.7 + 800 × 0.3 = 240 万元.
可知此时的总费用为 240 万元. 综上,选择联合预防措施的方案总费用最少. 20. (本小题满分 13 分) 解(Ⅰ)设动圆圆心 C 的坐标为 ( x, y ) ,动圆半径为 R,则 ————11 分 ————12 分

| CC1 |= x 2 + ( y ? 2) 2 = R + 1 ,且 | y + 1|= R
可得

————2 分

x 2 + ( y ? 2)2 =| y + 1| +1 .

-8-

由于圆 C1 在直线 l 的上方,所以动圆 C 的圆心 C 应该在直线 l 的上方,所以有 y + 1 > 0 ,从

而得 程.

x 2 + ( y ? 2) 2 = y + 2 , 整 理 得 x 2 = 8 y , 即 为 动 圆 圆 心 C 的 轨 迹 M 的 方
————5 分

(II) 如图示, 设点 P 的坐标为 ( x0 ,

x0 2 x ), 则切线的斜率为 0 , 8 4

y
Q F

A

4 , 所 以 直 线 PQ 的 方 程 为 可 得 直 线 PQ 的 斜 率 为 ? x0
O

P A x

y?

x0 4 , = ? ( x ? x0 ) . 由 于 该 直线 经 过点 A( 0,6 ) 所以 有 8 x0

2

B

6?

x0 2 = 4 ,得 x0 2 = 16 .因为点 P 在第一象限,所以 x0 = 4 ,点 P 坐标为(4,2) ,直线 PQ 的 8
——————9 分
2

方程为 x + y ? 6 = 0 .

把直线 PQ 的方程与轨迹 M 的方程联立得 x + 8 x ? 48 = 0 ,解得 x = ?12 或 4,可得点 Q 的坐标为 ( ?12,18) .所以

S = ∫ (? x + 6 ?
?12

4

x2 x2 x3 )dx = (? + 6 x ? ) |412 ? 8 2 24

8 256 = (?8 + 24 ? ) ? (?72 ? 72 + 72) = . ——————13 分 3 3
21. (本小题满分 14 分) 解(I)可知 f ( x) 的定义域为 (0, +∞ ) ,且

a ? 1 x 2 ? ax + a ? 1 ( x ? 1)( x + 1 ? a) . = = x x x ( x ? 1)2 当 a ? 1 = 1 即 a = 2 ,则 f / ( x) = ≥ 0 ,得 f ( x) 在 (0, +∞ ) 单调增加.————1 分 x f / ( x) = x ? a +
当 a ? 1 < 1 , 而 a > 1 , 即 1 < a < 2 时 , 若 x ∈ ( a ? 1,1) , 则 f / ( x ) < 0 ; 若 x ∈ (0, a ? 1) 或

x ∈ (1, +∞) ,则 f / ( x) > 0 .
此时 f ( x ) 在 ( a ? 1,1) 单调减少,在 (0, a ? 1), (1, +∞) 单调增加; ————3 分

当 a ? 1 > 1 ,即 a > 2 ,可得 f ( x) 在 (1, a ? 1) 单调减少,在 (0,1), ( a ? 1, +∞) 单调增加.
-9-

综上,当 1 < a < 2 时,函数 f ( x ) 在区间 ( a ? 1,1) 上单调递减,在区间 (0, a ? 1) 和 (1, +∞) 上 单调递增;当 a = 2 时,函数 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上单调递增;当 a > 2 时,函数 f ( x ) 在区间 (1, a ? 1) 上单调递减,在区间 (0,1) 和 (a ? 1, +∞) 上单调递增. (II)若 a = 2 ,则 f ( x ) = ——————6 分

1 2 x -2x + ln x ,由(I)知函数 f ( x ) 在区间 (0, +∞ ) 上单调递增. 2

(1)因为 a1 = 10 ,所以 a2 = f ( a1 ) = f (10) = 30 + ln10 ,可知 a2 > a1 . 假设 0 < ak < ak +1 ,因为函数 f ( x ) 在区间 (0, +∞ ) 上单调递增,所以 f ( ak +1 ) > f (ak ) ,即 得 ak + 2 > ak +1 > 0 . 所以,由数学归纳法可得 an < an +1 .因此数列 {an } 为递增数列.—————9 分 (2)由(1)知:当且仅当 0 < a1 < a2 ,数列 {an } 为递增数列. 所以,题设即

1 2 a1 -2 a1 + ln a1 > a1,且 a1 为正整数. 2



1 2 1 2 a1 -2 a1 + ln a1 > a1,得 a1 ? 3a1 + ln a1 > 0 . 2 2

令 g ( x) =

1 1 2 / x ? 3 x + ln x( x ≥ 1) , 则 g ( x) = x ? 3 + ,可知 函数 g ( x ) 在区间 [3, +∞) 递 x 2
1 5 ? 3 < 0 , g (2) = 2 ? 6 + ln 2 = ln 2 ? 4 < 0 , g (5) = ? + ln 5 < 0 , 2 2

增 . 由 于 g (1) =

g (6) = ln 6 > 0 .所以,首项 a1 的最小值为 6. ————————14 分
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-10-


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