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三角函数的图象与性质讲解


年级 内容标题 编稿老师

高一

学科

数学

三角函数的图象与性质 褚哲

一、学习目标
1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、正弦型函数 y ? A sin(? x ? ? ) 和余弦型函数

y ? A cos(? x ? ? ) 图象的画

法,掌握用“五点法”作图.
2. 了解参数的值对函数图象的影响,会用变换法说明有关函数图象之间的关系. 3. 能结合三角函数的图象或单位圆理解三角函数的性质,特别是三角函数的周期性. 4. 能正确运用 arcsin x,arccos x,arctan x 表示角.

二、重点、难点
重点:正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质(如周期性、单调性、奇偶性、最值 或值域).深化研究函数性质的思想方法. 难点:1. 正弦型函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象变换,正弦、余弦函数图象间的关系. 2. 周期函数的概念和周期的意义.

三、考点分析
1. 了解周期函数的定义、三角函数的周期性. 2. 掌握函数 y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 的图象和性质. 在高考中单独考查函数 y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 的图象和性质的可能性很小, 一般都会和其他知识综合起来出题.

一、正弦函数的图象与性质 1. 正弦函数图象的作法: (1)描点法:关键是选定一个周期,把这个周期分成四等份,根据三个分点及两个端 点所对应的函数值确定出的点,确定函数图象的大致形状; (2)几何法:一般是用三角函数线来作出图象. 注意:① y ? sin x, x ? R 的图象叫正弦曲线;②作图象时自变量要用弧度制;③在对精 确度要求不太高时,作 y ? sin x, x ? R 的图象一般使用“五点法”. 2. 正弦函数 y ? sin x, x ? R 的性质 (1)定义域为 R ,值域为 [?1,1] ; (2)周期性:正弦函数具有周期性,这可由诱导公式来推导,其最小正周期是 2π .函

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数 y ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, x ? R) 的最小正周期是 (3)奇偶性:奇函数;



?



π ? (4)单调性:在每一个闭区间 ? 2kπ ? , 2kπ ? 2 ? π 3π ? ? ? 2kπ ? 2 , 2kπ ? 2 ? ? ? , k ? Z 上为减函数.

π? , k ? Z 上为增函数,在每一个闭区间 2? ?

3. 周期函数 函数周期性的定义:对于函数 y= f ( x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得当 x 取定义域 内的每一个值时,都有 f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 y= f ( x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫 做这个函数的周期. 如果在周期函数 f ( x) 的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做 函数 y= f ( x) 的最小正周期. 4. 关于函数 y ? A sin(? x ? ? ),x ? R 的图象和性质 (1)函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的最大值与最小值间的距离 为其函数的半个周期; (2)函数图象与 x 轴的交点是其对称中心,相邻的两个对称中心间的距离也是函数的 半个周期; (3)函数取最值的点与其相邻的与 x 轴的交点间的距离为函数的 5. 正弦型图象的变换方法 (1)先平移后伸缩
y ? sin x 的图象

1 个周期. 4

?? ?0 ?或向右?? ?0 ? ?向左 ?? ??? ??
平移 ? 个单位长度

y ? s i nx(? ? 的图象 ) y ? sin(? x ? ? ) 的图象

0?? ?1?或缩短 ??》 1? ?横坐标伸长 ????? ???? ? 到原来的 1

?

?纵坐标不变 ?

? A?1?或缩短?0? A?1? ?纵坐标伸长 ??? ?????? y ? Asin(? x ? ?) 的图象

? 为原来的 A倍?横坐标不变
平移 k 个单位长度

?k ?0 ?或向下?k ?0 ? ?向上 ?? ??? ??
(2)先伸缩后平移
y ? sin x 的图象

y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象.

? A?1?或缩短?0? A?1? ?纵坐标伸长 ??? ?????? y ? Asin x 的图象

? 为原来的 A倍?横坐标不变
到原来的 1

0?? ?1?或缩短 ??》 1? ?横坐标伸长 ????? ???? ?

?

?纵坐标不变 ?

y ? A sin(? x) 的图象

?? ?0 ?或向右 ?? ?0 ? ?向左 ?? ??? ??
平移

? 个单位长度 ?

y ? A sin(? x ? ? ) 的图象

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?k ?0 ?或向下?k ?0 ? ?向上 ?? ??? ??
平移 k 个单位长度

y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象.

二、余弦函数、正切函数的图象与性质 1. 余弦函数 y ? cos x, x ? R 的图象和性质
π? ? (1)由函数 y ? cos x ? sin ? x ? ? 可知,用平移变换法可以得到余弦函数的图象,也可 2? ?

以使用“五点法”得到,同时还要学会用这两种方法画出函数 y ? A cos??x ? ? ? 的图象. (2)余弦函数的性质可类比正弦函数的性质得到. 2. 正切函数与正、余弦函数的比较 (1)正切函数的定义域不是全体实数,这与正、余弦函数的定义域为全体实数有着较 大的差别; (2)正、余弦函数是有界函数 ( sin x ≤1, cos x ≤1) ,而正切函数是无界函数 ( y ? R) ; (3)正、余弦函数是连续函数,反映在图象上是连续无间断的点;而正切函数在定义
π 域 R 上不连续,它有无数条渐近线(垂直于 x 轴的直线 x ? kπ ? ,k ? Z ) ,其图象被这些 2

渐近线分割开来;
π ? ? (4) 正、 余弦函数的图象既是中心对称图形 (对称中心分别为 (kπ,0), ? kπ ? ,0 ? , k ? Z ) , 2 ? ?

又是轴对称图形(对称轴分别为 x ?

π ;而正切函数的图象只是中心对 ? kπ,x ? kπ,k ? Z ) 2

? kπ ? 称图形,其对称中心为 ? ,0 ? (k ? Z) ; ? 2 ?

(5)正、余弦函数既有单调递增区间,又有单调递减区间;而正切函数只有单调递增 区间, 即正切函数 y ? tan x, x ? R ,x ? kπ ? 都是单调递增函数. 三、已知三角函数值求角 已知角 x 的一个三角函数值求角 x ,所得的角不一定只有一个,角的个数要根据角的取 值范围来确定.
π π? π ? (k ? Z) 在每一个区间 ? kπ ? , kπ ? ? (k ? Z) 上 2 2? 2 ?

知识点一:正弦、余弦、正切函数的图象与性质 例 1:已知 sin(?+?)>0,cos(?-?)>0,则下列不等关系中必定成立的是______.

? ? <cot 2 2 ? ? C. sin <cos 2 2
A. tan

? ? >cot 2 2 ? ? D. sin >cos 2 2
B. tan

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思路分析:由正弦、余弦函数图象可以确定出 ? 的取值范围,进而可求

? . 2

解答过程:由已知得 -sin?>0 且 -cos?>0,即 sin?<0 和 cos?<0 同时成立,

? 3? ? ? 3? , k?Z, 于是 k?+ < <k?+ , k?Z, 此时必有 tan <-1, 2 2 2 4 2 ? ? ? -1<cot <0,即 tan <cot ,所以答案为 A. 2 2 2 ? 解题后的思考:求出 的范围后,也可以根据正弦、余弦、正切、余切函数图象的特点比 2
则 2k?+?<?<2k?+ 较大小. 例 2:求下列函数的最小正周期 T . (1) f ( x) ? 3sin x ; (2) f ( x) ? sin 2 x ;
π? ?1 (3) f ( x) ? 2sin ? x ? ? . 4? ?2

思路分析:利用函数周期性的定义和最小正周期的概念来解题. 解答过程: (1) f ( x) ? 3sin x ? 3sin( x ? 2π) ? f ( x ? 2π) ,最小正周期 T ? 2π . (2) f ( x) ? sin 2x ? sin(2x ? 2π) ? sin 2( x ? π) ? f ( x ? π) ,最小正周期 T ? π .
π? π π? ?1 ?1 ? ?1 (3) f ( x) ? 2sin ? x ? ? ? 2sin ? x ? ? 2π ? ? 2sin ? ( x ? 4π) ? ? ? f ( x ? 4π) ,最小 4? 4 4? ?2 ?2 ? ?2

正周期 T ? 4π . 解题后的思考: y ? A sin(? x ? ? ) , y ? A cos(? x ? ? ) 的最小正周期是 的最小正周期是
π 2π

?

; y ? A tan(? x ? ? )

?

.

例 3:求函数 y ? ?2 cos x ? 2 sin x ? 3 的值域.
2

思路分析:解此题的关键是统一函数的名,然后利用换元法将其视为二次函数求解. 解答过程:原式化为 y ? ?2 1 ? sin x ? 2 sin x ? 3 ? 2 sin x ? 2 sin x ? 1
2 2

?

?

1? 1 ? ? 2? sin x ? ? ? . 2? 2 ?
1 ? 1? 令 t ? sin x ,则 y ? 2? t ? ? ? , t ? ?? 1,1? ,由二次函数图象可知, 2 ? 2?
当t ? ?
2

2

1 1 时, y min ? ;当 t ? 1 时, y max ? 5 . 2 2
?1 ? ? ?

故所求函数的值域为 ? ,5? . 2

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解题后的思考:在做题时,有时会出现形如 y=asin2x+bcosx+c 型的函数,其实质同本例的情 况一样,特点是式中同时含有 sinx 与 cosx,且其中一个是二次,另一个是一次,处理方法 是先应用 sin2x+cos2x=1 对原式进行变形,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法, 将其转化成二次函数来求解.即设 t ? sin x ,先化为二次函数 y ? at ? bt ? c ,再求其在闭
2

区间 t ? ?? 1,1? 上的最值. 例 4:试判断下列各函数的奇偶性. (1) f ( x) ? sin 2 x ? x tan x (2) f ( x ) ? cos(

5? ? 2 x) 2

思路分析: 函数具有奇偶性, 则其定义域在数轴上关于原点对称, 所以判定函数的奇偶性时, 应首先判断函数的定义域是否关于原点对称. 解答过程:⑴ 定义域为 (kπ ?

π π , kπ ? ) ,k∈Z, 2 2

且有 f (? x) ? sin 2(? x) ? (? x) tan( ? x) ? sin 2 x ? x tan x ? f ( x) , 所以函数 y ? sin 2 x ? x tan x 为偶函数. ⑵ 定义域为 R,且有

5? 5? f ( x) ? f (? x) ? cos( ? 2 x) ? cos( ? 2 x) ? ? sin 2 x ? sin 2 x ? 0 , 2 2 5? 所以函数 y ? cos( ? 2 x ) 是奇函数. 2
解题后的思考:在解答这道题时,也可以先化简再判断奇偶性,但在化简的过程中需要注意 等价性,否则就可能会出错. 知识点二:正弦型函数的图象 例 5:已知函数 f ( x) =Asin(? x+?)+k (其中 A>0,?>0,0<?<2?)一个周期的图象上有最 高点(

? 7? ,3)和最低点( ,-5),则 f ( x) =___________. 12 12

思路分析:根据已知所给的点的信息可列出两个方程,再由正弦型函数的图象特点,结合图 象变换的规律可求解出各个变量的值. 解答过程:由已知可得 k=-1,A=4,函数 f ( x) 的最小正周期 T 有

T 7π π = ? ,则 T=?, 2 12 12 2? ? ? ? ? =?,?=2,并有 2? +?= ,解得? = ,所以 f ( x) =4sin(2x+ )-1. ? 12 2 3 3

解题后的思考:题目中给出的最高点与最低点确定了振幅 A 与竖直方向的平移量 k,这是本 题的突破口.求 ? 的一般方法是找到一个已知点, 然后将其坐标代入即可.但当已知点不是最 高点或最低点时,要特别注意应由该点所在区间的单调性来确定 ? x ? ? 的取值.
π? ? 例 6:如何变换 y ? sin 2 x 的图象可得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图象? 4? ?

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思路分析:应先通过诱导公式将其转化为同名三角函数.
π? ?π ? ? 解答过程: y ? sin 2 x ? cos ? ? 2 x ? ? cos ? 2 x ? ? , 2 2? ? ? ? π? π? π? ? ? ? 在 y ? cos ? 2 x ? ? 中以 x ? a 代替 x ,有 y ? cos ? 2( x ? a) ? ? ? cos ? 2 x ? 2a ? ? . 2? 2? 2? ? ? ?

根据题意,有 2 x ? 2a ?

π π π ? 2 x ? ,得 a ? ? . 2 4 8
π? π ? 个单位长度可得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图象. 4? 8 ?

所以将 y ? sin 2 x 的图象向左平移

解题后的思考:无论哪种变换都是针对字母 x 而言的.例如将 y ? sin 2 x 的图象向左平移

π 个 8

π? π? ? ? 单 位 长 度 得 到 的 函 数 图 象 的 解 析 式 是 y ? sin 2 ? x ? ? , 而 不 是 y ? s i n? 2 x? ? ,把 8? 8? ? ? π? 1 ? ,得到的函数图象的解析式是 y ?sin ?x? ? 的 图象的 横坐标 缩小为 原来的 4 2 ? ? π? π? ? ? y ? sin ? 2 x ? ? 而不是 y ? sin 2 ? x ? ? . 4? 4? ? ?

例 7: (1)直线 y ? a (a 为常数)与正切曲线 y ? tan ? x(?为常数,且? ? 0) 相交 的相邻两点间的距离是 (2) 设函数 f ( x) ? 4sin( 则 | x1 ? x2 | 的最小值是 .

πx π 若对任意 x ? R , 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立, ? ), 2 5
.

(3)为了使函数 y ? sin ? x(? ? 0) 在区间 ? 0,1? 上至少出现 50 次最大值,则 ? 的最小 值是 . 思路分析: 对于一些没有直接指出三角函数最小正周期的问题, 解题的关键是正确理解题意, 通过运用数形结合的方法, 准确找出隐含的最小正周期的个数, 将问题化归为我们熟悉的正 弦函数、余弦函数及正切函数的最小正周期问题加以解决.因此,正确理解题意,进行等价 转化是解题的关键. 解答过程: (1)由正切曲线的图象可知,直线 y ? a (a 为常数)与正切曲线

y ? tan ? x(?为常数,且? ? 0) 相 交 的 相 邻 两 点 间 的 距 离 恰 好 就 是 函 数
y ? tan ? x(? ? 0) 的最小正周期,为 T ?

π

?

.

(2)由正弦曲线的图象可知, f ( x1 ) 、 f ( x2 ) 分别是函数 f ( x) ? 4sin(

πx π ? ) 的最小 2 5

值、最大值,| x1 ? x2 | 的最小值就是相邻两点间最小值、最大值横坐标之间的距离,等于函 数的

1 1 1 2π 个周期,故 | x1 ? x2 | 的最小值 ? T ? ? ? 2. 2 2 2 π 2

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(3) ∵函数 y ? sin ? x(? ? 0) 在区间 ? 0,1? 上至少出现 50 次最大值, ∴在区间 ? 0,1? 上

1 197 2π 197 197 1 个周期.∴ 49 T ? ? ? 1 ,得 ? ? π ,故 ? 的最小值是 π. 4 4 ? 2 2 4 解题后的思考:函数 y ? A sin(? x ? ?)( A ? 0, ? ? 0) 、 y ? A cos(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0)
至少含有 49

A cos(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的最小正周期公式是 T ?
公式 T ?

2π , 函数 y ? A tan(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的最小正周期 |? |

π |? |

.结合图形进行分析,对正确理解题意有着至关重要的作用.

知识点三:已知三角函数值求角 例 8:求函数 f ( x) ? arcsin(sin x) ? arccos(cos x) 的值域并指出它的单调递增区间. 思路分析:根据三角函数的周期性可知只需对自变量区间[0,2?]上的函数性质加以研究即 可,再由反三角函数的性质可知应按自变量 x ?[0, 种不同的情形来求解. 解答过程: f ( x ? 2π) ? arcsin[sin( x ? 2π)] ? arccos[cos( x ? 2π)]

? ? 3? 3? ],[ ,?],[?, ],[ ,2?]四 2 2 2 2

? arcsin(sin x) ? arccos(cos x) ,
所以, f ( x) 是以 2?为周期的周期函数.

π ,则 f ( x) ? 2 x , 2 π π 若 ?x?π, 则0 ? π ,f ( x) ? arcsin[sin(π ? x)] ? arccos(cos x) ? π ; ? ? x 2 2 3π π π 若π ? x ? ,则 ? ? π ? x ? 0 , ? 2π ? x ? π , 2 2 2 f ( x) ? arcsin[sin(π ? x)] ? arccos[cos(2π ? x)] ? π ? x ? 2π ? x ? 3π ? 2x ;
若0 ? x ? 若

3π π ? x ? 2π ,则 0 ? 2π ? x ? , 2 2 f ( x) ? arcsin[sin( x ? 2π)] ? arccos[cos(2π ? x)] ? 0 . π 2

函数 f ( x) ? arcsin(sin x) ? arccos(cos x) 的图象如图所示, 所以函数 f ( x) 的值域是 [0, π] ,它在 [2kπ,2kπ ? ](k ? Z) 上严格单调递增, 在 [2kπ ? π,2kπ ?

3π ](k ? Z) 上严格单调递减. 2

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例 8 解题后的思考:本题综合考查了三角函数与反三角函数的定义域、值域、单调性问题 .值得
注意的是虽然 sin(arcsin x) ? x , arcsin(sin x) ? x ,但两个式子中自变量的取值范围却不 同.

1. 要充分利用数形结合思想把图象与其性质结合起来,即利用图象的直观性得出函数 的性质, 或由单位圆中三角函数线所表示的三角函数值来获得函数的性质, 同时也可利用函 数的性质来描述图象, 这样既有利于掌握函数的图象与性质, 又能熟练运用数形结合的思想 方法. 2. 要注重整体替换和换元法在解决有关函数性质问题中的应用. 3. 函数 y ? A sin(? x ? ?)( A ? 0, ? ? 0) 、 y ? A cos(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的最小正 周期公式是 T ?

2π π , 函数 y ? A tan(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的最小正周期公式是 T ? . |? | |? |

(答题时间:60 分钟) 一、选择题 1. 已知 sin ? ? sin ? ,那么下列命题成立的是( A. 若 B. 若 C. 若 D 若 、 、 、 、 是第一象限角,则 是第二象限角,则 是第三象限角,则 是第四象限角,则 )

2. 函数 y ? 2 sin?

?? ?1 x ? ? 在一个周期内的图象是( 3? ?2



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π? ? 3. 函数 y ? 3sin ? 2 x ? ? 的对称轴方程是( 3? ?


π ,k ? Z 12

A. x ?

kπ π ? ,k ? Z 2 12

B. x ? 2kπ ?

π C. x ? kπ ? ,k ? Z 3

π D. x ? 2kπ ? ,k ? Z 3

4. 下列函数中,在[ A. y=cos(-x-

? 3? , ]上与函数 y=cos(x-?)的图象相同的是( 2 2
B. y=cos(-x-4?)
2



7? ) 2
2

C. y= 1 ? tan x cos x

D. y=

1 ? sin 4 x 1 ? sin 2 x


5. 下列四个函数中,在定义域上不具有单调性的函数是( A. y=cot(arccos x) C. y=sin(arctan x) 二、填空题 B. y=tan(arcsin x) D. y=cos(arctan x)

6. 三角函数值 sin46?,cos46?,cos36?的大小关系是____________. 7. 函数 y ? cos x ? 2cos x 的值域是________. 8. 函数 y ? sin x ? tan x 的定义域是________.

9. 把函数 y ? sin x 的图象向左平移

? 个单位,得到函数________________的图象;再 3

把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 而纵坐标保持不变, 得到函数________ 的图象. 10. 计算:cos[arcsin

3 3 +arctan( ? )]=________. 3 5

三、解答题
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11. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ≤? ≤ π) 是 R 上的偶函数,其图象关于点
? 3π ? ? π? M? , 0 ? 对称,且在区间 ?0, ? 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值. ? 4 ? ? 2?

12. 当函数取得最大值时,它在图象上对应的点称为函数的最大值点.如果圆

x 2 ? y 2 ? k 2 (k ? 0) 至少覆盖函数 f ( x) ? 3 sin
求 k 的取值范围.

π x 的一个最大值点和一个最小值点,试 k

1 ? sin x ? cos x 的奇偶性. 1 ? sin x ? cos x 3sin x ? 1 14. 求函数 y ? 的最大值和最小值. sin x ? 2
13. 判断 f ( x) ? 15. 受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐,在通常情况下,船在涨潮时 驶进航道,靠近船坞;卸货后在落潮时返回海洋,某港口水的深度 y (米)是时间

t (0 ? t ? 24 ,单位为小时)的函数,记作 y ? f (t ) ,下面是该港口在某季节每天水深的数
据: t(h) y(m) 0 10.0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.9 18 10.1 21 7.0 24 10.0

(1)根据以上数据,试选用一个函数模型来近似描述水深与时间的函数关系. (2) 一般情况下, 船舶航行时, 船底离海底的距离为 5m 或 5m 以上时认为是安全的 (船 舶停靠时,船底只需不碰海底即可) ,某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5m,若该船 想在同一天内安全进、出港口,问它最多能在港口内停留多长时间(忽略船进、出港口所需 的时间)?

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一、选择题 1. D. 利用三角函数线法解答即可. 2. B. 列表: x

?

2π 3
0 0

? 3 ? 2
2

4? 3
? 0

7? 3 3? 2
-2

10 ? 3
2? 0

1 ? x+ 2 3
y

所以,函数的图象是 B. 3. A. 令 2 x ?
π π kπ π ? kπ ? ,得 x ? ? ,k ? Z . 3 2 2 12

4. D. 函数 y=cos(x-?)=-cosx .而函数 y=cos(-x2

7? 3? )=cos( +x)=sinx. 2 2
2 2

函数 y=cos(-x-4?)=cosx.函数 y= 1 ? tan x cos x = 1 ? sin x =|cosx|,但它的定义域

1 ? sin 4 x ? ? 3? 2 是{x|x?k?+ ,k?Z,x?R}.函数 y= = 1 ? sin x =|cosx|,当 x?[ , ]时, 2 1 ? sin x 2 2 2
y=-cosx. 5. D. 设-1<x1<x2<1,则?>arccosx1>arccosx2>0,则 cot(arccosx1)<cot(arccosx2),即函数 y=cot(arccosx) 在 (-1 ,1) 上单调递增 .同理,函数 y=tan(arcsinx) 在 (-1 ,1) 上单调递增,函数 y=sin(arctanx)在(-∞, +∞)上单调递增.设 x1<x2, 则-

? ? <arctanx1<arctanx2< , 此时, cos(arctanx1) 2 2

与 cos(arctanx2)的大小关系不能确定. 所以 y= cos(arctanx)在定义域上不具有单调性. 二、填空题 6. cos46?<sin46?<cos36?. sin46?=cos44?,函数 y=cosx 在(0,90?)上单调递减,所以, cos46?<sin46?<cos36?. 7. [-1,3]. 函数 y= ?

? ? cos x cos x ? 0 ,所以,它的值域是[-1,3]. ? ?3cos x cos x ? 0

8. {x|2k??x<2k?+

? ,或 x=2k?+?,k?Z}. 2

?2kπ ? x ? 2kπ ? π ? sin x ? 0 ? 函数的自变量 x 应满足 ? ,则 ? π ,k?Z, k π ? x ? k π ? ? tan x ? 0 ? ? 2 ? 2kπ ? x ? 2kπ ? π ? 即? π 3π ,k?Z, 2kπ ? x ? 2kπ ? 或2kπ ? π ? x ? 2kπ ? ? ? 2 2

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? ,或 x=2k?+?,k?Z}. 2 π 1 π 9. y ? sin( x ? ) ; y ? sin( x ? ) . 3 2 3 设 P ( x, y ) 是函数 y ? sin x 左移后所得图象上的任意一点,它是由原函数图象上的点
所以,定义域是{x|2k??x<2k?+

π ? π ? x ? x? ? ( x?, y?) 平移得到的,则 ? 3 ,于是,左移后所得的曲线是函数 y ? sin( x ? ) 的图 3 ? ? y ? y?
象. 同理,第二次图象变换后所得曲线是函数 y ? sin( x ? ) 的图象. 10. arctan( ?

1 2

π 3

3? 4 3 3 ? 3 3 3 4 . 因为 0< arcsin < ,于是,sin(arcsin )= ,cos(arcsin )= ,而 10 5 2 5 5 5 5 3 3 π 3 1 3 3? 4 3 )= ? ,原式= cos(arcsin ) ?(? ) sin(arcsin )= . 3 2 10 6 5 2 5

三、解答题 11. 解:? f ( x) 是偶函数,? y 轴是其对称轴,即 y 轴经过函数图象的波峰或波谷,
? f (0) ? sin ? ? ?1,又? 0 ≤ ? ≤ π , ?? ?
? 3π ? 由 f ( x) 的图象关于点 M ? , 0 ? 对称, ? 4 ?

π . 2

3π ? 3π ? ? 3π π ? ? f ? ? ? 0 ,即 sin ? ? ? ? ? ? cos ? ? 0 , 4 2? 4 ? 4 ? ?

又 ? ? 0 ,?

3π π ? ? kπ ? ,k ? 0, 1, 2… . 4 2

2 ?? ? (2k ? 1), k ? 0,1, 2,? 3
当 k ? 0 时, ? ?
π? 2 2 ?2 ? π? , f ( x) ? sin ? x ? ? ? cos x 在 ?0, ? 上是减函数; 2? 3 3 ?3 ? 2?

π? ? ? π? 当 k ? 1 时, ? ? 2 , f ( x) ? sin ? 2 x ? ? ? cos 2 x 在 ?0, ? 上是减函数; 2? ? ? 2?

当 k ≥ 2 时, ? ≥ 综上所述, ? ?

π? 10 ? ? π? , f ( x) ? sin ? ? x ? ? ? cos ? x 在 ?0, ? 上不是单调函数. 2? 3 ? ? 2?

2 π 或 ? ? 2, ? ? . 2 3

12. 解:有函数 f ( x) 当

? k πx =n?+ (n?Z)时取得最大值或最小值,则 x=nk+ , 2 2 k k k ? 3 ), 即与原点距离最近的最大值点和最小值点分别是点( , 3 )和点( ? , 2 2

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k 2 ) +( 3 )2?k2,所以,k 的取值范围是 k?2. 2 ? 13. 解:由函数的定义域可得 1+sinx+cosx?0,即 2 sin(x+ )?-1, 4 ? 5? ? 7? 3? 于是 x+ ?2k?+ 且 x+ ?2k?+ ,即 x?2k?+?且 x?2k?+ , 4 4 4 4 2 3? 3π 所以 x= 不在此函数的定义域内,而 f (? ) ? 0 , 2 2 函数 f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数.
于是有( 14. 解:由已知得 sin x ?

2 y ?1 2y ? 1 ,则有| |?1,4y2-4y+1?y2-6y+9, 3? y 3? y

4 , 3 4 所以当 sinx=1 时,y 最大值 = ;当 sinx=-1 时,y 最小值=-2. 3 15. 解: (1)由数据知函数 y ? f (t ) 的周期 T=12, A=3, k ? 10 ,
即 3y2+2y-8?0,解得-2?y? ∴ y ? 3sin

π t ? 10 . 6

(2)由题意知,该船进、出港口时的水深应不小于 5 ? 6.5 ? 11.5 (米) , 由 3sin

π π 1 π π 5π t ? 10 ? 11.5 有 sin t ? ,∴ ? 2kπ ? t ? ? 2kπ , 6 6 2 6 6 6
?

即 1 ? 12k ? t ? 5 ? 12k (k ? N ) . 在同一天内取 k ? 0 或1,有 1 ? t ? 5 ,或 13 ? t ? 17 , 又水深最浅为 7m ,大于 6.5m. ∴该船最早能在凌晨1时进港,最晚在下午 17 时出港, 在港口内最多可停留 16 个小时.

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