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2014届云南师大附中高考适应性月考文科数学试卷(一)(带解析)


2014 届云南师大附中高考适应性月考文科数学试卷(一) (带解析) 一、选择题

1, 1.已知全集 U ? ?0,2, ,集合 A ? ? 2? , B ? ?2,3?,则 (CU A) ? B 为( 1, 3?
A. ?3? B. ?0,1,2? C. ?0,2,3?

)

1 D. ? ,2,3?
)

2.函数 f ( x) ? lg 3x ? 2 ? x 的定义域是( A.(0,2) 3.复数 A. B.[0,2] C.[0,2) D.(0,2] ) D. -

1 2

1 的虚部是( 1? i 1 1 B. C. i 2 2

1 i 2
)

4.某几何体的三视图及部分数据如图所示,则此几何体的体积是(

A.

3 2

B. 3

C. 2

D. 3 )

x 5.函数 y ? ? x ? b 与 y ? b ?(b ? 0, 且b ? 1) 的图像大致是(

6.已知函数 f ( x) ? ( ) ? sin x , f ( x) 在 [0, 2? ] 上的零点个数有(
x

1 2



A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7.按如图所示的程序框图,在运行后输出的结果为(



试卷第 1 页,总 4 页

开始

i=1,s=10

10 i>10? 是 s=s+i i=i+1
输出 s 否

结束

A.66 B.65 C.55 D.46
x 8.命题 p : ?x ? R,3 ? x ;命题 q : 若函数y ? f ( x ? 3) 为奇函数 , 则 函数y ? f ( x)

的图像关于点 3, 0) 成中心对称,下列命题正确的是( ( A. p ? q 真 B. p ? q 真 C. ?q 真 D. ?p 假



f ( x) f ( x+4)=f ( x) f ( x ? 4) ? f ( x) x ? [?2, 0) f ( x)=-2 x 2 f (2013)

10.将函数 f ( x) ? ?4sin(2 x ? 的横坐标缩短到原来的 A.

?
4

) 的图像向右平移 ?(? >0)个单位,再将图像上每一点


? 8

B.

3? 8

1 ? 倍,所得图像关于直线 x ? ,则 ? 的最小正值为( 2 4 ? 3? C. D. 2 4

二、填空题 11.已知 R 上可导函数 f ( x) 的图像如图所示,则不等式 ( x 2 ? 2 x ? 3) f ?( x) ? 0 的解集为 ( )

A. (??, ?1) ? (3, ??)

( -2 ? B. -?,)(1,2) C. (??, ?1) ? -1,0) (2, ??) ( ?
试卷第 2 页,总 4 页

D. (??, ?1) ? -1,1) (3, ??) ( ?

?log 2 x, x ? 0, ? 12.已知函数 f ( x) ? ? x ,则 f ?3 , x≤0, ?
13.已知 tan x ?
1 ,则 cos 2x ? 3

? ?f ?

? 1 ?? ? ?? ? ? 4 ??





14.曲线 f ( x) ? x3 ? x ? 2 在 P0 处的切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 ,则 P0 坐标为 15.在三棱锥 S?ABC 中, AB⊥BC , AB ? BC ? 2,SA ? SC ? 2 ,二面角 S?AC?B 的余弦值 是
3 ,若 S、A、B、C 都在同一球面上,则该球的表面积是 3



三、解答题
1 16. 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? , x ? R . 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 最大值和最小正周期; ( Ⅱ ) 设 ?ABC 的 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a、b、c , 且 c ? 3, f (C ) ? 0 , 若 sin( A ? C ) ? 2sin A ,求 a、b 的值

17.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形, PA ? PC ,E 为 PB 的中点.

(Ⅰ)求证: PD∥平面 AEC ; (Ⅱ)求证:平面 AEC ? 平面 PBD . 18.已知一家公司生产某种产品的年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件该产品需另投 入 2.7 万元,设该公司一年内生产该产品 x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为
1 2 ? ?10.8 ? 30 x , 0 ? x≤10, ? R( x) 万元,且 R x) ? ? ( ?108 ? 1000 , x ? 10. ? x 3x 2 ?

(Ⅰ)写出年利润 W (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; (Ⅱ)年产量为多少千件时,该公司在这一产品的产销过程中所获利润最大.
1 ? ln x . x 1? ? (Ⅰ)若函数在区间 ? t , t ? ? (其中t ? 0) 上存在极值,求实数 t 的取值范围; 2? ?

19.已知函数 f ( x) ?

(Ⅱ)如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x)≥

a 恒成立,求实数 a 的取值范围. x ?1

20.如图,已知圆⊙O1 与圆⊙O2 外切于点 P,过点 P 的直线交圆⊙O1 于 A,交圆⊙O2 于 B, AC 为圆⊙O1 直径,BD 与⊙O2 相切于 B,交 AC 延长线于 D.

试卷第 3 页,总 4 页

(Ⅰ)求证: AD⊥BD ; (Ⅱ)若 BC、PD 相交于点 M,则 AP ? BM ? AD ? PM . 21. 以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C1 的极坐标方程为:

? ? ? x ? 4 cos 3 ? t cos ? ? ? =2cos(? ? ) ,曲线 C2 的参数方程为: ? (? 为参数,t ? 0) ,点 N 的 3 ? y ? 2sin ? ? t sin ? ? 3 ?
?
? 极坐标为 (4, ) . 3
(Ⅰ)若 M 是曲线 C1 上的动点,求 M 到定点 N 的距离的最小值; (Ⅱ)若曲线 C1 与曲线 C2 有有两个不同交点,求正数 t 的取值范围. 22.若 a、b、x、y 均为正实数,并且 x +y =1 ,求证: ab≤(ax ? by )(ay ? bx)≤
( a ? b) 2 . 4

试卷第 4 页,总 4 页

2014 届云南师大附中高考适应性月考文科数学试卷(一) (带解析)参考答案 1.C 【解析】 试题分析: CU A ? ?0, , (CU A) ? B ? {0, 3} 故选 C. 3? 2, 考点:集合的并集运算 2.D 【解析】 试题分析: 3 x ? 0,2 ? x ? 0 , 0 ? x ? 2 故选 D. 考点:函数的定义域,解不等式. 3.B 【解析】 试题分析:

1 1- i 1- i 1 1 ,复数 的虚部为 ? ,故选 B. ? ? 2 1 ? i ( ? i)( ? i) 2 1 1 1? i

考点:复数的概念和运算 4.A 【解析】 试题分析:几何体是倒放三棱柱,体积: V ? sh ? 考点:三视图和几何体的体积 5.C 【解析】 试题分析:特殊值验证如取 b=0.5,故选 C. 考点:一次函数、指数函数的图像 6.B 【解析】
?1? 试题分析: (数形结合)函数 f ( x) 在 [0, 2π] 上的零点个数,由函数 y ? ? ? 与 y ? sin x 的图 ?2?
x

1 3 ?1? 3 ? 3 ? ,故选 A. 2 2

象在 [0, 2π] 上的交点个数为 2,故选 B. 考点:函数的零点 7.B 【解析】 试题分析:执行程序后,输出 10 ? (1 ? 2 ? 3 ? … ? 10) ,故选 B. 考点:算法的循环结构,程序框图 8.A 【解析】 试题分析:∵ p 命题是真命题, q 命题是假命题,故选 A. 考点:复合命题的真假判定 9.C 【解析】 试题分析:∵ f ( x) 是 R 上的奇函数,且满足 f ( x ? 4) ? f ( x), ∴f ( x) 是以 4 为周期的周期函 数,
答案第 1 页,总 7 页

易得当 x ? (0, 2] 时, f ( x) ? 2x2 , ∴f (2013) ? f (503 ? 4 ? 1) ? f (1) ? 2 ?12 ? 2 ,故选 C. 考点:函数的性质 10.B 【解析】 试题分析:
π 3π 显然不对,若 ? ? ,则依题意有: 8 8 π 3π ? ? f ( x) ? ?4sin ? 2 x ? ? 2 ? ? ? 4 cos 2 x ? f ( x) ? 4cos 4 x 满足题设,故选 B. 4 8 ? ? 考点:导数的几何意义,倾斜角与斜率 11.D 【解析】 试题分析:

用排除法, ? ?

由可导函数 f (x) 的图象知,不等式 ( x2 ? 2x ? 3) f ?( x) ? 0 ? 不等式( x2 ? 2 x ? 3)( x ? 1)( x ? 1) ? 0

? ( x ? 1)2 ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,∴原不等式的解集为 ?x x ? 1, x ? 3且x ? ?1? ,故选 D.
考点:导数,不等式 12.
1 9

【解析】

?log 2 x, x ? 0, ? 试题分析:由 f ( x) ? ? x 知 ?3 , x≤0, ?
考点:分段函数 4 13. 5 【解析】

? ? 1 ?? 1 f ? f ? ? ? ? f (?2) ? 3?2 ? . 9 ? ? 4 ??

1 1? 1 ? tan 2 x 1 9 ?4. 试题分析:∵ tan x ? ,∴ cos 2x ? ? 2 1 ? tan x 1 ? 1 5 3 9
考点:三角函数求值 14. (1,0)或(?1,?4) . 【解析】 试题分析:设 P0 点的坐标为 ( x0 , y0 ) ,∵曲线 f ( x) ? x3 ? x ? 2 在 P0 处的切线平行于直线
2 2 y ? 4 x ? 1 ,∴f ?( x0 ) ? 3x0 ? 1 ? 4 ? x0 ? 1 ? x0 ? ?1 ,∴P0 点的坐标为(1,0)或(?1,

?4) . 考点:导数的几何意义. 15. 6π 【解析】
答案第 2 页,总 7 页

试题分析: 如图,取 AC 的中点 D,由已知易证二面角 S?AC?B 的平面角是∠SDB,∴cos ?SDB ?
3 ,故由 3

余弦定理可得 SB ? 2 ,由勾股定理的逆定理可得 BS⊥AB, BS⊥BC ,补体得正方体, ∴三棱锥 S?ABC 的外接球的半径为 ∴该球的表面积是 6π .
2?2?2 6 ? , 2 2

考点:立体几何的二面角,球的表面积 16. (Ⅰ) f ( x) 的最大值为 0,最小正周期是 T ?
2π (Ⅱ) a ? 3 , b ? 2 3 . ?π; 2

【解析】 试题分析: (Ⅰ)先化简 f ( x) ,再求函数 f ( x) 最大值和最小正周期; (Ⅱ)根据正弦定理化
π 简 sin( A ? C ) ? sin B ? 2sin A ,由余弦定理得 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos ,通过解方程求解答案. 3 试题解析:

(Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x 1 π? ? sin 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 , 2 2 2 6? ?

(3 分)

2π ?π. 2 π? π? ? ? (Ⅱ) f (C ) ? sin ? 2C ? ? ? 1 ? 0 ,则 sin ? 2C ? ? ? 1 . 6? 6? ? ?

则 f ( x) 的最大值为 0,最小正周期是 T ?

(5 分) (6 分)

∵ 0 ? C ? π ,∴ 0 ? 2C ? 2π ,∴ ? ∴ 2C ?
π π π ? ,∴ C ? . 3 6 2

π π 11 ? 2C ? ? π , 6 6 6

(7 分)
a 1 ? ,① b 2

又∵ sin( A ? C ) ? sin B ? 2sin A ,由正弦定理得

(9 分) (10 分)

π 由余弦定理得 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos ,即 a 2 ? b2 ? ab ? 9 ,② 3

由①②解得 a ? 3 , b ? 2 3 .

(12 分)

考点:三角变换、正弦定理、余弦定理 17.见详解 【解析】 试题分析: (Ⅰ)要证线面平行,需要找线线平行,根据线面平行的判定定理得证; (Ⅱ)要证面面垂 直,需要线面垂直,根据面面垂直的判定定理得证;
答案第 3 页,总 7 页

试题解析: 证明: (Ⅰ)如图,设 AC ? BD ? O ,连接 EO,因为 O,E 分别

是 BD,PB 的中点,所以 PD∥EO ,

(4 分)

而 PD ? 平面AEC, EO ? 平面AEC ,所以 PD∥平面 AEC . (6 分) (Ⅱ)连接 PO,因为 PA ? PC ,所以 AC ? PO ,又四边形 ABCD 是菱形, 所以 AC ? BD . (9 分) 而 PO ? 平面 PBD , BD ? 平面 PBD , PO ? BD ? O , 所以 AC ? 平面 PBD , (11 分) 又 AC ? 平面 AEC ,所以平面 AEC ? 平面 PBD . 考点:线面平行,面面垂直 (12 分)

? x3 8.1x ? ? 10, 0 ? x≤10, ? ? 30 18. (Ⅰ) W ? ? ; (Ⅱ)当 x ? 9 时,W 取得最大值为 38.6 万元. ?98 ? 1000 ? 2.7 x, x ? 10. ? 3x ?

【解析】 试题分析: (Ⅰ)利润 W (万元)=销售收入-成本; (Ⅱ)利用导数分别求出分段函数的每 一段的最大值,最后再求最大中的最大. 试题解析: 解:(Ⅰ)当 0 ? x≤10 时, W ? xR( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 8.1x ? 当 x ? 10 时, W ? xR( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 98 ?
? x3 ? 10, 0 ? x≤10, ?8.1x ? ? 30 ∴W ? ? ?98 ? 1000 ? 2.7 x, x ? 10. ? 3x ?
1000 ? 2.7 x , 3x

x3 ? 10 , 30

(2 分) (4 分)

(6 分)

x2 ? 0 ,得 x ? 9 . 10 当 x ? (0, 9) 时, W ? ? 0 ;当 x ? (9, 10] 时, W ? ? 0 ,
(Ⅱ)①当 0 ? x≤10 时,由 W ? ? 8.1 ? ∴当 x ? 9 时,W 取得最大值,即 Wmax ? 8.1? 9 ?
1 ? 93 ? 10 ? 38.6 . 30

(9 分)

1000 ? 1000 ? ? 2.7 x ?≤98 ? 2 ? 2.7 x ? 38 , ②当 x ? 10 时, W ? 98 ? ? 3x 3x ? ?

当且仅当

100 1000 时,W 取得最大值 38. ? 2.7 x ,即 x ? 9 3x
答案第 4 页,总 7 页

综合①②知:当 x ? 9 时,W 取得最大值为 38.6 万元, (11 分) 故当年产量为 9 千件时,该公司在这一产品的产销过程中所获的年利润最大. 分) 考点:导数的实际应用,函数的最值 19. (Ⅰ) 【解析】
1 (Ⅱ) a≤2 . ? t ?1 ; 2

( 12

1? ? 试题分析: (Ⅰ) 先对函数求导, 求出函数的极值, 根据函数 f ( x ) 在区间 ? t , t ? ? (其中t ? 0) 2? ? 上存在极值,

?t ? 1, ? 所以 ? 1 ?t ? 2 ? 1, ?
值问题. 试题解析:

从而解得

a 1 恒成立问题转化为求函数的最 ? t ? 1. (Ⅱ)不等式 f ( x)≥ x ?1 2

1 ? ln x ln x , x ? 0 ,则 f ?( x) ? ? 2 , x x 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在 (0, 1) 上单调递增;在 (1, ? ?) 上单调递减, 所以函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值. (4 分)

解: (Ⅰ)因为 f ( x) ?

(2 分)

1? ? 因为函数 f ( x ) 在区间 ? t , t ? ? (其中t ? 0) 上存在极值, 2? ?

?t ? 1, ? 所以 ? 1 ?t ? 2 ? 1, ?

解得

1 ? t ? 1. 2

(6 分)

a ( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1)(1 ? ln x) , , 即为 ≥a, 记 g ( x) ? x ?1 x x [( x ? 1)(1 ? ln x)]? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) x ? ln x 所以 g ?( x) ? , (9 分) ? x2 x2

(Ⅱ)不等式 f ( x)≥

令 h( x) ? x ? ln x ,则 h?( x) ? 1 ?
∵x≥1 ,∴h?( x)≥0 ,

1 , x

∴h( x) 在 [1, ? ?) 上单调递增,
∴ h( x)]min ? h(1) ? 1 ? 0 ,从而 g ?( x) ? 0 , [

故 g ( x) 在 [1, ? ?) 上也单调递增,所以 [ g ( x)]min ? g (1) ? 2 , 所以 a≤2 . (12 分) 考点:函数与导数,函数极值与最值,不等式恒成立 20.见详解 【解析】 试题分析: Ⅰ) ( 根据切线的性质证明; (Ⅱ) P、 D、 四点共圆, 由 B、 C 又易证 △PCM ∽△BDM , 即根据三角形相似得出相似比. 试题解析:
答案第 5 页,总 7 页

证明: (Ⅰ)如图,过点 P 作两圆公切线交 BD 于 T,

连接 PC ,∵AC 为直径,∴?APC ? 90? , ∴?BPC ? ?TPC ? ?TPB ? 90? , ?A ? ?ACP ? 90? , 又 BD 与⊙O2 相切于 B, PT 为两圆公切线, ∴?TPC ? ?A , ?TBP ? ?TPB , ∴?TPB ? ?ACP ? ?TBP , ∴?A ? ?TBP ? 90? , 故 ?ADB ? 90?, ∴AD⊥BD . (Ⅱ) 由(Ⅰ)易证 △APC ∽ △ADB , ∴
PC AP 又由(Ⅰ)知∠ACP=∠DBP, ? , BD AD

(5 分)

∴P、B、D、C 四点共圆,又易证 △PCM ∽△BDM ,∴
PM AP ? , BM AD ∴ AP ? BM ? AD ? PM .

PC PM ? , BD BM



(10 分)

考点:圆的切线 21. (Ⅰ)2; (Ⅱ) ( 3 ? 1, 【解析】 试题分析: 分别将极坐标方程与参数方程转化为普通方程, 根据点与圆的几何意义求 MN 的 最小值; 根据曲线 C1 与曲线 C2 有有两个不同交点的几何意义,求正数 t 的取值范围. 试题解析:
2 1? ? 3? ? 解: (Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,可得点 N (2, 2 3) ,曲线 C1 为圆 ? x ? ? ? ? y ? ? ? 1, ? 2? ? 2 ? ? ? 2

3 ? 1) .

?1 3? 圆心为 O1 ? , ? 2 2 ? ,半径为 1, ? ? ?
∴ O1 N =3, ∴ MN 的最小值为 3 ? 1 ? 2 . (5 分)
答案第 6 页,总 7 页

2 1? ? 3? ? (Ⅱ)由已知,曲线 C1 为圆 ? x ? ? ? ? y ? ? ? 1, 2? ? 2 ? ? ? ?

2

曲线 C2 为圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? t 2 (t ? 0) ,圆心为 O2 (2, ∵曲线 C1 与曲线 C2 有两个不同交点,
2 1? ? 3? ? ∴t ?1 ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? t ? 1, t ? 0 , ? 2? ? 2 ? ? ? 2

3) ,半径为 t,

解得 3 ? 1 ? t ? 3 ? 1 , ∴正数 t 的取值范围是 ( 3 ? 1,

3 ? 1) .

(10 分)

考点:极坐标与普通方程的互化,参数方程与普通方程的互化. 22.见详解 【解析】 试题分析:根据柯西不等式和不等式的基本性质证明. 试题解析:

证明: ax ? by)(ay ? bx) ? ab ? a2 xy ? b2 xy ? abx2 ? aby 2 ? ab (
? xy(a2 ? b2 ) ? ab( x2 ? y 2 ? 1) ? xy(a2 ? b2 ) ? ab[( x ? y)2 ? 2xy ? 1] .
∵x ? y ? 1,

(3 分)

∴ ax ? by)(ay ? bx) ? ab ? xy(a2 ? b2 ) ? 2abxy ( ? xy(a ? b)2≥0 ( x, y ? 0) ,
? ab≤(ax ? by)(ay ? bx) .
2

(6 分)
2

? (ax ? by ) ? (ay ? bx) ? ? a( x ? y ) ? b( x ? y ) ? 又 (ax ? by )(ay ? bx)≤ ? ? ?? ? 2 2 ? ? ? ?
( a ? b) ?a?b? ?? . ? ? 4 ? 2 ?
2 2

? ab≤(ax ? by)(ay ? bx)≤
考点:不等式证明

(a ? b)2 . 4

(10 分)

答案第 7 页,总 7 页


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