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3.1.3概率的基本性质(教、学案)


张喜林制

3. 1.3 概率的基本性质
【教学目标】 1.说出事件的包含,并,交, 相等事件, 以及互斥事件, 对立事件的概念; 2..能叙述互斥事件与对立事件的区别与联系 3. 说出概率的三个基本性质;会使用互斥事件、对立事件的概率性质求概率。 【教学重难点】 教学重点:概率的加法公式及其应用,事件的关系与运算。 教学难点:概率的加法公式及其应用

,事件的关系与运算,概率的几个基本性质 【教学过程】 一、创设情境 1. 两个集合之间存在着包含与相等的关系,集合可以进行交、并、补运算,你还 记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗? 2 我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合(如连续抛掷两枚硬币) ,那么必 然事件对应全集,随机事件对应子集,不可能事件对应空集,从而可以类比集合的关系与运 算,分析事件之间的关系与运算,使我们对概率有进一步的理解和认识. 育网 二、新知探究 1. 事件的关系与运算 思考:在掷骰子试验中,我们用集合形式定义如下事件: C1={出现 1 点} , C2={出现 2 点} , C3={出现 3 点} ,C4={出现 4 点} , C5={出现 5 点} ,C6={出现 6 点} , D1={出现的点数不大于 1} , D2={出现的点数大于 4} , D3={出现的点数小于 6} , E={出现的点数小于 7} , F={出现的点数大于 6} , G={出现的点数为偶数} , H={出现的点数为奇数} ,等等. 你能写出这个试验中出现其它一些事件吗?类比集合与集合的关系,运算,你能发现 它们之间的关系和运算吗? 上述事件中哪些是必然事件?哪些是随机事件?哪些是不可能事件? (1) 显然,如果事件 C1 发生, 则事件 H 一定发生,这时我们说事件 H 包含事件 C1,记作 H ? C1。 一般地,对于事件 A 与事件 B,如何理解事件 B 包含事件 A(或事件 A 包含于事件 B)?特别 地,不可能事件用Ф 表示,它与任何事件的关系怎样约定? 如果当事件 A 发生时,事件 B 一定发生,则 B ? A ( 或 A ? B );任何事件都包含不可能事件. (2)分析事件 C1 与事件 D1 之间的包含关系,按集合观点这两个事件之间的关 系应怎样描述? 一般地,当两个事件 A、B 满足什么条件时,称事件 A 与事件 B 相等?
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若 B ? A,且 A ? B,则称事件 A 与事件 B 相等,记作 A=B. (3)如果事件 C5 发生或 C6 发生,就意味着哪个事件发生?反之成立吗? 事件 D2 称为事件 C5 与事件 C6 的并事件(或和事件),一般地,事件 A 与 事件 B 的并事件(或和事件)是什么含义? 当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生时, 事件 C 发生, 则称事件 C 为事件 A 与事件 B 的并事件(或 和事件),记作 C=A∪B(或 A+B). (4)类似地,当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生时,事件 C 发生,则称事件 C 为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件),记作 C=A∩B(或 AB),在上述事件中能找出这样的例子吗? 例如,在掷骰子的试验中 D2∩D3=C4 (5)两个集合的交可能为空集,两个事件的交事件也可能为不可能事件,即 A∩B=Ф ,此时, 称事件 A 与事件 B 互斥,其含义是:事件 A 与事件 B 在任何一次试验中不会同时发生 例如,上述试验中的事件 C1 与事件 C2 互斥,事件 G 与事件 H 互斥。 (6)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,则称事件 A 与事件 B 互为对立事件,其含义是: 事件 A 与事件 B 有且只有一个发生. 思考:事件 A 与事件 B 的和事件、积事件,分别对应两个集合的并、交,那么事件 A 与事件 B 互 为对立事件,对应的集合 A、B 是什么关系? 集合 A 与集合 B 互为补集. 思考:若事件 A 与事件 B 相互对立,那么事件 A 与事件 B 互斥吗?反之,若事件 A 与 事件 B 互斥,那么事件 A 与事件 B 相互对立吗? 2.概率的几个基本性质 思考 1:概率的取值范围是什么?必然事件、不可能事件的概率分别是多少? 思考 2:如果事件 A 与事件 B 互斥,则事件 A∪B 发生的频数与事件 A、B 发生的频数有什么关系? fn(A∪B)与 fn(A)、fn(B)有什么关系?进一步得到 P(A∪B)与 P(A)、P(B)有什么关系? 若事件 A 与事件 B 互斥, 则 A∪B 发生的频数等于事件 A 发生的频数与事件 B 发生的频数之和, 且 P (A∪B)=P(A)+ P(B),这就是概率的加法公式. 思考 3:如果事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 P(A∪B)的值为多少?P(A∪B)与 P(A)、P(B)有什么 关系?由此可得什么结论? 若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 P(A)+P(B)=1. 思考 4:如果事件 A 与事件 B 互斥,那么 P(A)+P(B)与 1 的大小关系如何? P(A)+P(B)≤1. 三、典型例题 例 1 如果从不包括大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件 A)的概率是 0.25, 取到方片(事件 B)的概率是 0.25,问: (l)取到红色牌(事件 C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件 D)的概率是多少? 解:(1)因为 C= A∪B,且 A 与 B 不会同时发生,所以 A 与 B 是互斥事件,根据概率的加法公式,得 P(C)=P(A∪B)= P(A)+P(B)=0.5, (2)C 与 D 也是互斥事件,又由于 C∪D 为必然事件,所以 C 与 D 互为对立事件,所以 P(D)=1- P(C)=0.5. 点评:利用互斥事件、对立事件的概率性质求概率 变式训练 1:袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,已知得到红球的 概率是 1/3 ,得到黑球或黄球的概率是 5/12,得到黄球或绿球的概率也是 5/12 ,试求得到黑球、黄 球、绿球的概率分别是多少?
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例 2 某射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件 A:命中环数大于 7 环; 事件 B:命中环数为 10 环; 事件 C:命中环数小于 6 环; 事件 D:命中环数为 6、7、8、9、10 环. 事件 A 与事件 C 互斥,事件 B 与事件 C 互斥,事件 C 与事件 D 互斥且对立. 点评:学会判断互斥、对立关系 变式训练 2:.从一堆产品(其中正品与次品都多于 2 件)中任取 2 件,观察正品件数与次品件数, 判断 下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件。 (1)恰好有 1 件次品恰好有 2 件次品; (2)至少有 1 件次品和全是次品; (3)至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; (4)至少有 1 件次品和全是正品 四、课堂小结 1.事件的各种关系与运算, 可以类比集合的关系与运算, 互斥事件与对立事件的概念的外延具有包 含关系,即{对立事件} {互斥事件}. 2.在一次试验中,两个互斥事件不能同时发生,它包括一个事件发生而另一个事件不发生,或者两 个事件都不发生,两个对立事件有且仅有一个发生. 3.事件(A+B)或(A∪B),表示事件 A 与事件 B 至少有一个发生,事件(AB)或 A∩B,表示事 件 A 与事件 B 同时发生. 4.概率加法公式是对互斥事件而言的,一般地,P(A∪B)≤P(A)+P(B). 五、反馈测评 1.某射手在一次射击训练中,射中 10 环、8 环、7 环的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28,计 算该射手在一次射击中: (1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)少于 7 环的概率。 解:(1)该射手射中 10 环与射中 9 环的概率是射中 10 环的概率与射中 9 环的概率的和,即为 0.21+0.23=0.44。(2)射中不少于 7 环的概率恰为射中 10 环、9 环、8 环、7 环的 概率的和,即为 0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射中少于 7 环的事件与射中不少于 7 环 的事件为对立事件,所以射中少于 7 环的概率为 1-0.97=0.03。 2.已知盒子中有散落的棋子 15 粒,其中 6 粒是黑子,9 粒是白子,已知从中取出 2 粒都是黑子的

1 12 概率是 7 ,从中取出 2 粒都是白子的概率是 35 ,现从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是多少?
解: 从盒子中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率恰为取 2 粒白子的概率与 2 粒黑子的概率的和, 即

1 12 17 为 7 + 35 = 35
【板书设计】 略 【作业布置】课本 121 页 1---5T

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3.1.3 概率的基本性质
课前预习学案 一、预习目标: 通过预习事件的关系与运算,初步理解事件的包含,并,交, 相等事件, 以及互斥事件, 对 立事件的概念。 二、预习内容: 1、知识回顾: (1)必然事件:在条件 S 下, (2)不可能事件:在条件 S 下, (4)随机事件:在条件 S 下 2、事件的关系与运算 ①对于事件 A 与事件 B, 如果事件 A 发生,事件 B 一定发生, 就称事件 (或称事件 包含于事件 ).记作 A 包含事件 与 与 . 发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; 发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; 的事件,叫相对于条件 S 的随机事件;

(3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件;

B, 或 B

A. 如上面试验中 B. 如上面试验中
与 与

②如果 B ? A 且 A ? B, 称事件 A 与事件 B 相等.记作 A (或称和事件), 记作 A ? B(或 A ? B). 如上面试验中 (或称积事件), 记作 A ? B(或 A ? B). 如上面试验中 其含意是: 事件 A 与事件 B 在任何一次实验中 其含意是: 事件 A 与事件 B 在任何一次实验中

③如果事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生. 则称此事件为事件 A 与事件 B 的并. ④如果事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生. 则称此事件为事件 A 与事件 B 的交. ⑤如果 A ? B 为不可能事件(A ? B ? ? ), 那么称事件 A 与事件 B 互斥. 同时发生. 发生. ⑥如果 A ? B 为不可能事件,且 A ? B 为必然事件,称事件 A 与事件 B 互为对立事件. 3. 概率的几个基本性质 (1).由于事件的频数总是小于或等于试验的次数. 所以, 频率在 0~1 之间, 从而任何事件的 概率 在 0~1 之间.即 ①必然事件的概率: ; ; ②不可能事件的概率: . (2) 当事件 A 与事件 B 互斥时, A ? B 发生的频数等于 A 发生的频数与 B 发生的频数之和. 从而 A ? B 的频率 f n ( A ? B) ? f n ( A) ? f n (B) . 由此得 概率的加法公式: (3).如果事件 A 与事件 B 互为对立, 那么, A ? B 为必然事件, 即 P( A ? B) ? 因而 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 .

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课内探究学案 一、学习目标: 1.说出事件的包含,并,交, 相等事件, 以及互斥事件, 对立事件的概念; 2.能叙述互斥事件与对立事件的区别与联系 3. 说出概率的三个基本性质;会使用互斥事件、对立事件的概率性质求概率。 二、学习内容 1. 事件的关系与运算 (1) 显然,如果事件 C1 发生, 则事件 H 一定发生,这时我们说事件 H 包含事件 C1, 记作 H ? C1 一般地, 对于事件 A 与事件 B, 如何理解事件 B 包含事件 A (或事件 A 包含于事件 B) ? 特别地,不可能事件用Ф 表示,它与任何事件的关系怎样约定?

(2)分析事件 C1 与事件 D1 之间的包含关系,按集合观点这两个事件之间的关 系应怎样描述?

(3)如果事件 C5 发生或 C6 发生,就意味着哪个事件发生?反之成立吗?

事件 D2 称为事件 C5 与事件 C6 的并事件(或和事件),一般地,事件 A 与事件 B 的并事件(或 和事件)是什么含义?

(4)类似地,当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生时,事件 C 发生,则称事件 C 为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件),记作 C=A∩B(或 AB),在上述事件中能找出这样的例子吗?

(5)你能在探究试验中找出互斥事件吗?请举例。 (6)在探究试验中找出互斥事件

思考:事件 A 与事件 B 的和事件、积事件,分别对应两个集合的并、交,那么事件 A 与事件 B 互为对立事件,对应的集合 A、B 是什么关系? 思考:若事件 A 与事件 B 相互对立,那么事件 A 与事件 B 互斥吗?反之,若事件 A 与 事件 B 互斥,那么事件 A 与事件 B 相互对立吗? 2.概率的几个基本性质 思考 1:概率的取值范围是什么?必然事件、不可能事件的概率分别是多少? 思考 2:如果事件 A 与事件 B 互斥,则事件 A∪B 发生的频数与事件 A、B 发生的频数有什么关系? fn(A∪B)与 fn(A)、fn(B)有什么关系?进一步得到 P(A∪B)与 P(A)、P(B)有什么关系?
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思考 3:如果事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 P(A∪B)的值为多少?P(A∪B)与 P(A)、P(B)有什 么关系?由此可得什么结论?

思考 4:如果事件 A 与事件 B 互斥,那么 P(A)+P(B)与 1 的大小关系如何?

3、典型例题 例 1 如果从不包括大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张, 那么取到红心 (事件 A) 的概率是 0.25, 取到方片(事件 B)的概率是 0.25,问: (l)取到红色牌(事件 C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件 D)的概率是多少?

例 2 某射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件 A:命中环数大于 7 环; 事件 B:命中环数为 10 环; 事件 C:命中环数小于 6 环; 事件 D:命中环数为 6、7、8、9、10 环.

三、反思总结 1.如何判断事件 A 与事件 B 是否为互斥事件或对立事件? 2. 如果事件 A 与事件 B 互斥,P(A∪B)与 P(A)、P(B)有什么关系? 3. 如果事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 P(A∪B)的值为多少?P(A∪B)与 P(A)、P(B)有什么关 系? 四、当堂检测 1. 一 个 人 打 靶 时 连 续 射 击 两 次 , 事 件 “ 至 少 有 一 次 中 靶 ” 的 互 斥 事 件 是 ( ) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都不中靶 2. 把红、蓝、黑、白 4 张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人,每人分得一张,那么事件“甲得 红牌”与事件“乙分得红牌”是 ( ) A.对立事件 B. 互斥但不对立事件 C.必然事件 D. 不可能事件 3. 袋中有 12 个小球, 分别为红球、 黑球、 黄球、 绿球, 从中任取一球, 已知得到红球的概率是 1/3 , 得到黑球或黄球的概率是 5/12,得到黄球或绿球的概率也是 5/12 ,试求得到黑球、黄球、绿球的 概率分别是多少?

课后练习与提高 1.从一堆产品(其中正品与次品都多于 2 件)中任取 2 件,观察正品件数与次品件数,判
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断 下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件。 (1)恰好有 1 件次品恰好有 2 件次品; (2)至少有 1 件次品和全是次品; (3)至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; (4)至少有 1 件次品和全是正品

2.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数,事件 B 为出现 2 点, 已知 P(A)= 1 ,P(B)= 1 , 2 6 求出现奇数点或 2 点的概率。

3.某射手在一次射击训练中,射中 10 环、9 环、8 环、7 环的概率分别为 0.21,0.23,0.25, 0.28,计算该射手在一次射击中:(1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)少于 7 环的概率。

4.某射手在一次射击训练中,射中 10 环、8 环、7 环的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28, 计算该射手在一次射击中: (1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)少于 7 环的概率。

5.已知盒子中有散落的棋子 15 粒,其中 6 粒是黑子,9 粒是白子,已知从中取出 2 粒都是 黑子的概率是

1 12 ,从中取出 2 粒都是白子的概率是 ,现从中任意取出 2 粒恰好是同一色 7 35

的概率是多少?

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参考答案: 1.解:依据互斥事件的定义,即事件 A 与事件 B 在一定试验中不会同时发生知: (1)恰好有 1 件次品和恰好有 2 件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件, 又因为它们的并不是必然事件,所以它们不是对立事件,同理可以判断: (2)中的 2 个事件不是互斥事件,也不是对立事件。 (3)中的 2 个事件既是互斥事件也是对立事件。 2.解:“出现奇数点”的概率是事件 A,“出现 2 点”的概率是事件 B, “出现奇数点或 2 点”的概率之和为 P(C)=P(A)+P(B)=

1 1 2 + = 2 6 3

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