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2010年全国高中数学联赛江西预赛试题及答案


江西省预赛试题(一) 一.填空题(共 2 题,每题 10 分,合计 80 分) 1.设多项式 f ( x ) 满足:对于任意 x ? R ,都有 f ( x ? 1) ? f ( x ?1) ? 2 x2 ? 4 x, 则 f ( x ) 的 最小值是______. 2.数列 {an },{bn } 满足: ak bk ? 1, k ? 1, 2, 列 {bn } 的前 n 项和

Bn ? ______. 3.函数 f ( x) ?

, 已知数列 {an } 的前 n 项和为 An ?

n ,则数 n ?1

1 ? x2 的值域是______. x?2

4 .过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点 F ,作一条斜率为 2 的直线 l ,若 l 交抛物线于 A, B 两点,则

?OAB 的面积是______.
5.若 ?ABC 为锐角三角形,满足

sin A ? cos( A ? B) ,则 tan A 的最大值为______. sin B

6.若正三棱锥的内切球半径为 1 ,则其体积的最小值为______. 7.将 1, 2,

,9 随机填入右图正方形 ABCD 的九个格子中,则其每行三

数,每列三数自上而下、自左而右顺次成等差数列的概率 p ? ____ __.

8. 将 集 合 M ? {1, 2 ,

1 2} 的元素分成不相交的三个子集: M ? A? B ?C ,其中

< c 2 < c3 < c 4 ,且 ak ? bk ? ck , A ?{a ? {b ? C {1 c,2 c ,3 c, ,4 c c1} 1, a 2, a 3, a 4 }B 1 ,b 2 ,b 3 ,b 4 }

k ? 1, 2,3, 4, 则集合 C 为:______.
二.解答题(共 2 题,合计 70 分) N 分别是两段弧的中点, 9.(20 分)如图, AB 是圆的一条弦,它将圆分成两部分, M 、

P, 以点 B 为旋转中心,将弓形 AMB 顺时针旋转一个角度成弓形 A 1MB , AA 1 的中点为

MN 的中点为 Q .求证: MN ? 2PQ .

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10.(25 分)给定椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1, (a > b > 0) 以及圆 O : x2 ? y 2 ? b2 ,自椭圆上异 2 a b
O 的两条切线,切点为 M , N ,若直线 MN 在 x, y 轴上的截

于其顶点的任意一点 P ,做

距分别为 m, n ;证明:

a 2 b2 a 2 ? ? . n2 m2 b2

11.(25 分)对于 2 n 个素数组成的集合 M ? { p1 , p2 , 积,得到一个 n 元集,如果 A ? {a1a2 , a3a4 ,

, p2n } ,将其元素两两搭配成 n 个乘

, a2n?1a2n ,} 与 B ? {b1b2 , b3b4 , , , a2n } = {b1 , b2 , , b2n } ? M ,且

b2n?1b2n } 是由此得到的两个 n 元集,其中 {a1 , a2 ,

A ? B ? ? ,就称集合对 { A, B} 是由 M 炮制成的一副“对联”.(例如当 n ? 2 时,由四元
集 {a, b, c, d} 可炮制成三副“对联” : {ab, cd }

{ac, bd} , {ab, cd}

{ad , bc}

{ac, bd}

{ad , bc} ).

(1).当 n ? 3 时,求 6 元素集 M ? {a, b, c, d , e, f } 所能炮制成的“对联”数; (2)对于一般的 n ? 2 ,求由 2 n 元素集 M 所能炮制成的“对联”数 T (n) .

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2010 年全国高中数学联赛 江西省预赛试题答案 1.-2 2.

n(n ? 1)(n ? 2) 3
6. 8 3 7.

3. ? 0,

? ?

3? ? 3 ?

4. 4 5

5.

2 4

8 9!

8. {8,9,10,12},{7,9,11,12},{6,10,11,12}

9.思路:取 AB 中点 E, A 1B 中点 F,可证 PEBF 为菱形; 证明角 MFP=角 PEN; 再证角 PNE=角 MPF; 然后证角 MPN 为直角 10.关键步骤:设 P 点坐标 ( x0 , y0 ) ,易的 OMPN 四点共圆,此圆方程减圆 O 方程得直线 MN 方程 x0 x ? y0 y ? b2 11.(1)60; (2) T ( n) ?

1 n ?1 ? 1 1 1 C2 n ?1 ? Dn ? n ! (其中 Dn = n !?1 ? ? ? ? 2 ? 1! 2! 3!

(?1) n

1? ?) n! ?

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