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2012-2014年北京市春季普通高中会考数学试卷及答案(word))


2014 年北京市春季普通高中会考数学试卷
一.在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? ?0,1,3? , B ? ?0,1,2? ,那么 A A.

B 等于(
C.

) D.

?0,1?

B.

?0,1, 2

?

?3?

?0,1,2,3?
2.如果 m ? 0 ,那么 m ? A. 2

4 的最小值为( m

) C. 4 D. 8

B. 2 2 )

3.不等式 x 2 ? x ? 0 的解集为( A.

? x x ? 0?

B.

? x x ? ?1?

C.

? x ?1 ? x ? 0?

D.

? x x ? ?1或x ? 0?
4 已知点 A(3, 4) 是角 a 终边上的一点,那么 sin a 等于( A. ) D.

3 4

B.

4 3

C.

3 5

4 5
) D.

5 过点 (1, 0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线的方程是( A.

x ? 2 y ?1 ? 0

B.

x ? 2 y ?1 ? 0

C.

2x ? y ? 2 ? 0

x ? 2 y ?1 ? 0
6.在等比数列 ?an ? 中, a2 ? 4, a3 ? 8 ,那么 a1 ? a2 ? a3 ? a4 等于( A. 30 C. 24 B. 28 D. 15 ) D. )

7.函数 f ( x) ? 2sin 3x ? cos3x 的最小正周期为( A.

?

B.

? 2
1

C.

? 3

? 6

8.盒子里装有大小完全相同且分别标有数字 1, 2,3, 4 的四个小球, 从盒子里 随机摸出两个小球,那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为 5”的概 率是( ) A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

9.某程序框图如下图所示,该程序运行后输出 n 的值是( A. 13 C. 121 B. 40 D. 364



10.函数 y ? ex , y ? lg x, y ? cos x, y ? x?1 中,奇函数 是( ) B. y ? e x C. y ? lg x

A. y ? cos x D. y ? x ?1

11.已知函数 f ( x) ? 实数 x0 的值为( A. 2 D. 1 或 ?2

?2 x , x ? 0 ? ?2 x , x ? 0


,如果 f ( x0 ) ? 4 ,那么

B. 0

C. 2 或 ?2

12.已知平面向量 a ? (?1, 2), b ? (2, x) , 且 a ?b ? 0 , 那么 b 等于 ( A.



2 5

B.

5

C. 20 D. 5 13.已知某三棱锥的三视图如右图所示, 那 么三棱锥的体积是( )

1 3 3 C. 2
A.

B. 1 D.

9 2
2

18.国际能源署研究发现,在 2000 年开始的未来三十年内,非水利的可再 生能源的年发电量将比其他任何燃料的年发电量增长都要快,其年平均增 长率可达 6% , 设 2013 年某地区非水利的可再生能源年发电量为 a 度, 那 么经过 12 年后,该地区非水利的可再生能源年发电量度数约为( ) ( 1.06 ? 2 )
6

A. 2 a

B. 3a

C. 4 a

D. 6 a

19.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列四个命 题: ①如果 m / /? , n ? ? ,那么 m / / n ; ②如果 m ? ? , m ? ? ,那么 ? / / ? ; ③如果 ? ? ? , m ? ? ,那么 m / / ? ; ④如果 ? ? ? , ?

? ? m, m ? n ,那么 n ? ? 。
C. ③

其中正确的命题是( ) A. ① B. ② D. ④ 那么 AO ? BC 的值为( A. 10 C.

20.如图, 在圆 O 中。 已知弦 AB ? 4 , 弦 AC ? 6 , )

B. 2 13 D. ?10

10

3

二.填空题 21.计算 cos 43 cos13 ?sin 43 sin13 的值等于______。 22.校园歌手大奖赛中,甲、乙两组同学(每组 5 人)的成绩用茎叶图表示 如下图所示。 如果用 s甲,s乙 分别表示两组同学的成 绩的标准差,那么 s甲 ___ s乙 (填<,>,=) 。 23.已知点 A 的坐标为 (2,1) ,点 B 的坐标为 (3,3) , 且 AC ? 2 AB ,那么点 C 的坐标为______。

a ?3 24. 已知数列 ?an ? 满足 an?1 =(-1) n ? 2an (n ? N ? )且 a1 ? a2 ,那么

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 =______。
三、解答题 25.(本小题满分 7 分) 已知函数 f ( x) ? cos x ? 3sin(? ? x) 。 (1)求 f ( ) 的值;

?

3

(2)求函数 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值。 , ? 2 2? ?

4

26.(本小题满分 7 分) 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, E , F 分别为 AD, AB 的中点。 (1)求证: EF / /平面CB1D1 (2) 求证: 平面 CAAC 1 1 ? 平面CB 1D 1。

27.(本小题满分 7 分) 已知圆 C : ( x ? a) ? y ? r 与直线 y ? x ? 1 交于 A, B 两点,点 P 为线段
2 2 2

AB 的中点, O 为坐标原点。 (Ⅰ)如果直线 OP 的斜率为 (Ⅱ)如果 AB ?

1 ,求实数 a 的值; 3

20 ,且 OA ? OB ,求圆 C 的方程。

5

28.(本小题满分 7 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 2 ,且函数 f ( x ? 2) 是偶数。 (Ⅰ)求实数 a 的值 ( Ⅱ ) 设 函 数

y ? g ( x)







M ? {x g( x) ? x ? 0}, N ? {x g( g( x)) ? x ? 0} 。
(i)证明 M ? N ; (ii) 如果 g ( x) ? f ( x ) , 集合 P ? {x g ( x) ? x ? 0, 且 x ? 2} 那么集合 P 中的元素个数为______。

6

参考答案: 1. D2.C3.D.4.D5.A6.A7.C8.B9.B10.D11.C12.B13.C14.A15.B16.C17.B18.A 19.B20.B— 延 长 AO— 直 径

21. 24.

3 22. 2

23. (4,5)

7

25.

26.略 27.

8

9

28.

10

11

12

13

2013 年北京市春季普通高中会考(新课程)数学试卷

第一部分

选择题(每小题 3 分,共 60 分)
B 等于(
) (D) {?1, 2}

在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的. 1.如果集合 A ? { ? 1, 2} , B ? {x | x ? 0} ,那么集合 A (A) ? (B) {?1} (C) {2}

2 2.不等式 x ? 2 x ? 0 的解集为(

) (C) {x | 0 ? x ? 2}

(A) {x | x ? 2}

(B) {x | x ? 0}

(D) {x | x ? 0 或 x ? 2}

3.已知向量 a ? (?2, 3) , b ? (1, 5) ,那么 a ? b 等于( (A) ?13 (B) ?7 (C) 7

) (D) 13

4.如果直线 y ? 3x 与直线 y ? ?mx ? 1 平行,那么 m 的值为( (A) ?3 (B) ?

) (D) 3

1 3

(C)

1 3

5.如果 a ? 0 ,那么 a ? (A) 2

1 ? 1 的最小值是( ) a (C) 4 (B) 3

(D) 5

6 .要得到函数 y ? 2sin( x ? ( )

? ) 的图象,只要将函数 y ? 2sin x 的图象 6
14

? 个单位 6 ? (C)向左平移 个单位 3
(A)向左平移

? 个单位 6 ? (D)向右平移 个单位 3
(B)向右平移

7.在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 1 , S5 ? 25 ,那么 a5 等于( (A) 9 (B) 8 (C) 7

) (D) 6

8.在函数 y ? cos x , y ? x3 , y ? e x , y ? ln x 中,奇函数是( (A) y ? cos x (B) y ? x3 (C) y ? e x

) (D) y ? ln x

9. cos

11? 的值为( 6

) (B) ?

(A) ?

3 2

2 2

(C)

2 2

(D)

3 2

10.函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x ( x ? R) 的最小正周期是( (A)

) (D) ??

? 2

(B) ?

(C) ??

11.已知函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 在区间 [0, 1] 上最大值是 2 ,那么 a 等于( )
x

(A)

1 4

(B)

1 2

(C) 2

(D) 4

15

?A ? 60? ,AC ? 2 3 ,BC ? 3 2 , 12. 在 ?ABC 中, 则角 B 等于 (
(A) 45 ? (B) 30 ? 或 60 ? (C) 135?

) (D) 45 ? 或135?

13.口袋中装有 4 个大小、材质完全相同的小球,球的颜色分别是红色、 黄色、蓝色和白色, 从口袋中随机摸出 2 个小球, 摸到红色小球和白色小球的概率是 ( (A) ) (D)

1 6

(B)

1 3

(C)

1 2

2 3

14.为了解决某学校门前公路的交通状况,从行驶过的 汽车中随机抽取 200 辆进行统计分析,绘制出关于 它们车速的频率分布直方图(如图所示) ,那么车速 在 [60,70) 区间的汽车大约有( (A)20 辆 (B)40 辆 (C)60 辆 (D)80 辆 )

15.已知平面 ? 、 ? ,直线 a 、 b ,下面的四个命题

a∥b ? a ?? ① ? ? b ? ? ;② b ?? a ???

a ?? ? ? ? ? a∥b ;③ b ? ? ? ? a ? b ; ? ? ?? ?

16

a ??? ? ④ b ? ? ? ? a∥b 中,所有正确命题的序号是( ? ∥? ? ?
(A)①② (B)②③ (C)①④



(D)②④

? x ? y, ? 16. 当 x, y 满足条件 ? y ? 0, 时, 目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值是 ?2x ? y ? 3 ? 0 ?
( ) (A) 1 (B) 1.5 (C) 4 (D) 9

17.针对 2020 年全面建成小康社会的宏伟目标,十八大报告中首次提出 “实现国内生产总值和城乡居民人均收入比 2010 年翻一番”的新指 标.按照这一指标,城乡居民人均收入在这十年间平均增长率 x 应满 足的关系式是( (A) 1 ? 10 x ? 2 ) (B) 10(1 ? x) ? 2 (C) (1 ? x) ? 2
10

(D) 1 ? x

10

?2

18.一个空间几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积为( (A) 12 (B) 18 (C) 24 (D) 36
正(主)视图



3 3 侧(左)视图 3 4 俯视图

17

19.将长度为 1 米的绳任意剪成两段,其中一段的长度小于 0.4 米的概率 是( ) (B) 0.8 (C) 0.6 (D) 0.5

(A) 1

20.记时钟的时针、分针分别为 OA 、OB ( O 为两针的旋转中心) .从 12 点整开始计时, 经过 m 分钟, 那么 m 的值是 ( OA ? OB 的值第一次达到最小时, (A) 30 (B) ) (D)

360 11

(C) 31

2? 11

开始

第二部分 非选择题(共 40 分) 一、填空题(共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分)

1 ?1 21.计算 ( ) ? log 3 1 的结果为 2

S=1,i=1


i≤4 是 S=S+2i i = i+1 否

22.已知圆 C : ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ,那么圆心 C 到坐标 原点 O 的距离是 .

23.某程序框图如下图所示,该程序运行后输出的 S 的 值为 .

输出S

24.已知数列 {an } 是公差为 d 的等差数列,且各项均为正 整数,如果 a1 ? 1 , an ? 16 ,那么 n ? d 的最小值为
结束



18

二、解答题(共 4 个小题,共 28 分) 25. (本小题满分 7 分)
A1

D1 B1

C1

如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

E

E 是棱 CC1 的中点.
(Ⅰ)证明: AC1 ∥平面 BDE ; (Ⅱ)证明: AC1 ? BD .
A D B C

26. (本小题满分 7 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,角 ? , ? (0 ? ? ?

? ? , ? ? ? ?) 的 2 2

顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边分别与单位圆交于

A, B 两点, A, B 两点的纵坐标分别为
(Ⅰ)求 tan ? 的值; (Ⅱ)求 ?AOB 的面积.

5 3 , . 13 5

19

27. (本小题满分 7 分) 已知圆 C : x2 ? y 2 ? 5m2 (m ? 0) ,直线 l 过点 M(-m,0)且与圆

C 相交于 A, B 两点.
(Ⅰ)如果直线 l 的斜率为 1 ,且 | AB |? 6 ,求 m 的值; (Ⅱ)设直线 l 与 y 轴交于点 P ,如果 | PA |? 2 | PM | ,求直线 l 的斜 率.

20

27. (本小题满分 7 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 满足:
2

① f ( x ) 的一个零点为 2 ;② f ( x ) 的最大值为 1 ;③ 对任意实数 x 都 有 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) . (Ⅰ)求 a, b, c 的值; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? ?

0 ? x0 ? x? ? 1 .

x? A ? x, 是定义域为 (0, 1) 的单调增函数,且 ? f ( x), x ? B

当 x0 ? B 时,证明: x? ? B .

21

2013 年北京市春季普通高中会考(新课程)数学试卷 参考答案
选择题: 1.C2.C3.D4.C5.B6.A7.A8.B9.D10.B11.C12.A13.A14.D15.A16. C17.C18.B19.B20.B 填空题: 21.2 ;22.

2 ;23.31;24.9;

解答题: 25.(I)证明:连接 AC 交 BD 于 O,连接 OE,因为 ABCD 是正方形, 所以 O 为 AC 的中点, 因为 E 是棱 CC1 的中点,所以 AC1∥OE.又因为 AC1 ? 平面 BDE,OE ? 平面 BDE,所以 AC1∥平面 BDE.

(II)证明因为 ABCD 是正方形,所以 AC⊥BD. 因为 CC1⊥平面 ABCD,且 BD ? 平面 ABCD,所以 CC1⊥BD. 又因为 CC1∩AC=C,所以 BD⊥平面 ACC1.又因为 AC1 ? 平面 ACC1, 所以 AC1⊥BD. 26. (I)解: 因为在单位圆中, B 点的纵坐标为

3 3 , 所以 sin ? ? , 5 5

因为

?
2

? ? ? ? ,所以 cos ? ? ?

sin ? 3 4 ?? . ,所以 tan ? ? 5 cos ? 4
5 5 , 所以 sin ? ? . 13 13

(II)解: 因为在单位圆中, A 点的纵坐标为 因为 0 ? ? ?

?
2

,所以 cos ? ?

12 . 13

22

由(I)得 sin ? ? 所 以 s i? n

3 4 , cos ? ? ? , 5 5
A ?O B ? ? ?s i= nsin ( ? cos ? ) ? cos ? sin ?

?

56 . 65
又 因 为 |OA|=1 , |OB|=1, 所 以 △ AOB 的 面 积

S?

1 | O A? | 2

2 8 | O ? B | s i? .n 6 5

A O B

27. (I)解:由已知,直线 l 的方程为 y ? x ? m ,圆心(0,0)到

l 直线的为

|m| . 2
2

因为|AB|=6,所以 5m ? (

|m| 2 ) ? 9 ,解得 m 2 ? 2 .由 m ? 0 , 2

得m? 2 . (II)解:设 A( x1 , y1 ),直线 l : y ? k ( x ? m) ,则点 P(0, km ).

A ?2 P M 因为 | PA |? 2 | PM | , 所以 PA ? 2PM 或 PA ? ?2 PM , 当P

时,

( x1 , y1 ? km) ? 2(?m, ?km) ,所以 x1 ? ?2m , y1 ? ?km .
? x12 ? y12 ? 5m 2 ? 由方程组 ? x1 ? ?2m 得 k ? ?1 . ? y ? ?km ? 1
当 PA ? ?2 PM 时 , ( x1 , y1 ? km) ? ?2(?m, ?km) , 所 以

x1 ? 2m , y1 ? 3km .
? x12 ? y12 ? 5m 2 1 ? 由方程组 ? x1 ? 2m 得k ? ? . 3 ? y ? 3km ? 1
23

综上,直线 l 的斜率为±1, ?

1 . 3

28. (I) 解:因为 f ( x ) 的一个零点为 2 ,所以 f (2) ? 0,即

4a ? 2b ? c ? 0 .
又 因 为 对 任 意 , 所 ? 1 ) ? f (?1 x ) 以 x 都 有 f( x

f (0) ? f (2) ? 0 ,即 c ? 0 .

4ac ? b 2 ? 1 ,所以 a ? ?1, b ? 2 . 因为 f ( x ) 的最大值为 1, 所以 4a
(II) 证明:由 (I) 可知, f ( x) ? ? x ? 2 x . 因为 x0 ? B ,所以
2
2 g ( x0 ) ? ? x0 ? 2 x0 .

因为 0 ? x0 ? 1 ,所以 x0 ? g ( x0 ) ? 1 .
2 因为 g ( x) 是单调递增函数,所以 [ x0 , ? x0 ? 2x0 ] ? B .



2 x1 ? ? x0 ? 2x0 ? (0,1) ,

x2 ? ? x12 ? 2x1 , ? ,

2 xn ? ? xn ?1 ? 2 xn?1 ,?

所以 [ x0 , x1 ] ? B .

同理 [ x1 , x2 ] ? B ,?,[ xn?1 , xn ] ? B ,?

2 2 2 由 xn ? ? xn ?1 ? 2 xn?1 ,得 1 ? xn ? 1 ? xn?1 ? 2 xn?1 ? (1 ? xn?1 ) .

所以 1 ? xn ? (1 ? xn?1 )2 ? (1 ? xn?2 )2 ?

2

? (1 ? x0 )2

n

? , 由于 x0 ? x? ? 1,可取自然数 nx? ? log2 log(1? x0( ) 1? x)
于是 x? ? xnx? ,即 x ?[ x0 , xnx? ] . 而且 x ?[ x0 , xnx? ] ? B ,所以 x? ? B .

24

2012 年北京市春季普通高中会考

数学试卷
第一部分 选择题 (每小题 3 分, 共 60 分)
) (D) ?0,1, 2, 3? ) (D) 16 ) (D) (5, ? 4)

在每个小题给出的四个备选答案中, 只有一个是符合题目要求的.
1.已知集合 M ? ?0,1, 2? , N ? ?2, 3? ,那么集合 M ? N 等于( (A) ?1? (B) ?2? (C) ?1, 2?

2.在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 2 , a2 ? 4 ,那么 a5 等于( (A) 6 (B) 8 (C) 10

3.已知向量 a ? (3, 1) , b ? (?2, 5) ,那么 2a ? b 等于( (A) (?1,11) (B) (4, 7) ) (C) (1, ? ?) (C) (1, 6)

4.函数 y ? log2 ( x ? 1) 的定义域是( (A) (0, ? ?) (B) (?1, ? ?)

(D) [?1, ? ?) ) (D) 3

5.如果直线 3x ? y ? 0 与直线 mx ? y ? 1 ? 0 平行, 那么 m 的值为 ( (A) ?3 (B) ?

1 3

(C)

1 3

6.函数 y ? sin ? x 的图象可以看做是把函数 y ? sin x 的图象上所有点的 纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 ( ) (B) 2
3 x

1 倍而得到的,那么 ? 的值为 2
(C)

(A) 4

1 2

(D) )

1 4

7.在函数 y ? x , y ? 2 , y ? log 2 x , y ? (A) y ? x
3

x 中,奇函数是(

(B) y ? 2

x

(C) y ? log 2 x

(D) y ?

x

25

8. sin

11? 的值为( 6

) (B) ?

(A) ?

2 2

1 2


(C)

1 2

(D)

2 2

9.不等式 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集为( (A) x x ? 2

?

?

(B) x x ? 1 )

?

?

(C) x 1 ? x ? 2

?

?

(D) x x ? 1或x ? 2

?

?

10.实数 lg 4 ? 2lg5 的值为( (A) 2 (B) 5

(C) 10

(D) 20

11 .某城市有大型、中型与小型超市共 1 500 个,它们的个数之比为

1: 5 : 9 . 为调查超市每日的零售额情况, 需要通过分层抽样抽取 30 个
超市进行调查,那么抽取的小型超市个数为( (A) 5 (B) 9 ) (D) 20

(C) 18

12.已知平面 ? ∥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,那么直线 m 与平面 ? 的关 系是( ) (B)直线 m 与平面 ? 相交但不垂直 (D)直线 m 与平面 ? 平行 ) (D)

(A)直线 m 在平面 ? 内 (C)直线 m 与平面 ? 垂直

13.在 ?ABC 中,如果 a ? 3 , b ? 2 , c ? 1 ,那么 A 的值是( (A)

? 2

(B)

? 3

(C)

? 4

? 6

14.一个几何体的三视图如图所示, 该几何体的表面积是( (A) 3? (B) 8? (C) 12? (D) 14?
俯视图
26



3

2 主(正)视图

2 左(侧)视图

15.当 x ? 0 时, 2 x ? (A) 1

1 的最小值是( 2x
(B) 2

) (C) 2 2 (D) 4

16.从数字 1 , 2 , 3 , 4 , 5 中随机抽取两个数字(不允许重复) ,那么 这两个数字的和 是奇数的概率为( (A) ) (B)

4 5

3 5

(C)

2 5

(D)

1 5

?x ? 1, ? 17.当 x , y 满足条件 ?x ? y ? 0, 时,目标函数 z ? x ? y 的最小 ?x ? 2y ? 6 ? 0, ?
值是( ) (A) 2 (B) 2. 5 (C) 3. 5 (D) 4

18. 已知函数 f ( x) ? ? (A) 4

?2 x , x ? 0 , ? ? x, x ? 0 .
(B) 0

如果 f ( x0 ) ? 2 , 那么实数 x0 的值为 ( (C) 1 或 4



(D) 1 或 ?2

19.为改善环境,某城市对污水处理系统进行改造.三年后,城市污水排 放量由原来每年 125 万吨降到 27 万吨,那么污水排放量平均每年降 低的百分率是( (A) 50% ) (B) 40%
2

(C) 30%

(D) 20%

20.在 ?ABC 中, (BC ? BA ) ? AC ? AC ,那么 ?ABC 的形状一定是 ( ) (A)等边三角形 (C)直角三角形 (B)等腰三角形 (D)等腰直角三角形

27

第二部分 非选择题 (共 40 分)
一、填空题(共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分)
21 . 已 知 向 量 a ? ( 2, 3) , b ? (1, m) , 且 a ? b , 那 么 实 数 为 .

m 的值
乙 1 2 3 4 0

22.右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛中得 分情况的茎叶图.那么甲、乙两人得分的 标准差 s甲 . s乙 (填 ?, ? , ? )

甲 2 1 0 0 1 2 8 9 3

23 . 某 程 序 框 图 如 下 图 所 示 , 该 程 序 运 行 后 输 出 的 为 . 开始
n=1

a 的最大值

a=15n 输出a n=n+1 否 n>3 是 结束

24.数学选修课中,同学们进行节能住房设计,在分析气候和民俗后,设 计出房屋的剖面图(如下图所示) .屋顶所在直线的方程分别是

y?

1 1 x ? 3 和 y ? ? x ? 5 ,为保证采光, 2 6


竖直窗户的高度设计为 1 m ,那么点 A 的横坐标是

28

屋顶 y(m)

竖直窗户

O

A

x(m)

二、解答题(共 4 个小题,共 28 分)
25. (本小题满分 7 分) 在三棱锥 P ? ABC 中,侧棱 PA ? 底面 ABC , AB ? BC , E 、

F 分别是棱 BC 、 PC 的中点.
(Ⅰ)证明: EF ∥平面 PAB ; (Ⅱ)证明: EF ? BC .
F P

A E B

C

29

26. (本小题满分 7 分) 已 知 向 量 a ? (2sin x, 2sin x) , b ? (cos x, ? sin x) , 函 数

f ( x) ? a ? b ? 1.
(Ⅰ)如果 f ( x) ? (Ⅱ)如果 x ? (0,

?

1 ,求 sin 4 x 的值; 2 ) ,求 f ( x) 的取值范围.

2

30

27. (本小题满分 7 分) 已知图 1 是一个边长为 1 的正三角形,三边中点的连线将它分成 四个小三角形,去掉中间的一个小三角形,得到图 2 .再对图 2 中剩 下的三个小三角形重复前述操作,得到图 3 .重复这种操作可以得到 一系列图形. 记第 n 个图形中所有剩下的 小三角形的面积之和为 an , ..... 所有去掉的 三角形的周长之和为 bn . ..... (Ⅰ)试求 a4 , b4 ; (Ⅱ)试求 an , bn

图1

图2

图3

图4

31

28. (本小题满分 7 分) 已知圆 C 的方程是 x2 ? y 2 ? 2 y ? m ? 0 . (Ⅰ)如果圆 C 与直线 y ? 0 没有公共点,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)如果圆 C 过坐标原点,直线 l 过点 P(0, a) (0 ? a ? 2) ,且与圆

C 交于 A 、 B
两点,对于每一个确定的 a ,当 ?ABC 的面积最大时,记直线 l 的斜率的平方 为 u ,试用含 a 的代数式表示 u ,并求 u 的最大值.

32

2012 年北京市春季普通高中会考

数学试卷参考答案:
1、B 2、C 3、B 4、B 5、A 6、B 7、A 8、B 9、C 10、A C 12、D 13、B 14、B 15、B 16、B 17、A 18、D 19、B 20、C 11、

2 21、 3 ; 22、> ;23、45;24、 4.5 ; ?
25、(I)证明:∵E,F 分别是 BC,PC 的中点,∴EF∥PB.∵EF ? 平面 PAB,PB ? 平面 PAB,∴EF∥平面 PAB; (II)证明:在三棱锥 P-ABC 中,∵侧棱 PA⊥底面 ABC,PA⊥BC.∵AB⊥BC, 且 PA∩AB=A,∴BC⊥平面 PAB.∵PB ? 平面 PAB,∴BC⊥PB.由(I)知 EF ∥PB,∴EF⊥BC. 26、 (I)解:∵ a =(2sin x, 2sin x) , b=(cos x, ? sin x) ,∴ f (x)= a ? b+1

=2sin xcos x ?2sin

2

x +1

= sin 2 x ? cos 2 x . ∵

1 f (x ) = i nx ? 2 2 , ∴

1 x c o s 2 = 2 , ∴

1 1 1 + 2 x s i nx 2 c o sins 4 x= 2 = 4 .∴ 4.

x? (II) 解 : 由 ( I ) 知 f ( x) = s i n 2

2 2 = 2( sin 2 x+ cos 2 x) c o sx2 2 2
)

= 2 ( s i n x2 c o s 4 = 2 sin (2 x +

?

+ cx os 2 sin 4 x?(
. ∵

?

?
4

)

?

0 2

,


)

?
4

<2 x +

?
4

<

5? 4



2 ? < sin (2 x+ ) ? 1 2 4 .

33

∴ f (x) 的取值范围为 ( ? 1, 2] .

27、 (I)解:

a4 =

27 3 57 ,b4= 256 8 .

(II)解:由图易知,后一个图形中剩下的三角形个数是前一个的 3 倍,∴第

n 个图形中剩下的三角形个数为 3n ?1 .又∵后一个图形中剩下的三角形边
1 1 ( ) n ?1 长是前一个的 2 倍,∴第 n 个图形中每个剩下的三角形边长是 2 ,面

3 1 n ?1 3 3 n ?1 ( ) an = ( ) 4 4 积是 4 4 .∴ .
设第 n 个图形中所有剩下的小三角形周长为

cn ,由图可知, cn ? bn =3 .

1 因为后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的 2 倍,∴第 n 个图形中每 1 1 3 ( ) n ?1 3( ) n ?1 cn =3( )n ?1 2 个剩下的三角形边长是 2 ,周长是 2 .∴ ,从而 3 bn =cn ? 3=3( )n ?1 ? 3 2 .
28 、 ( I ) 解 : 由 x +y ? 2 y +m=0 可 得 : x +(y ?1)=1 ? m . ∵
2 2 2 2 2 x2 +(y ?1) =1 ? m 表示圆,

∴ 1 ? m>0 ,即 m <1 .又∵圆 C 与直线 y =0 没有公共点,∴ 1 ? m<1 ,即

m >0 .
综上,实数 m 的取值范围是 0<m <1 . (II)解:∵圆 C 过坐标原点,∴ m =0 .∴圆 C 的方程为 x +(y ? 1)=1 ,
2 2

34

圆心 C(0,1) ,半径为 1. 当 a =1 时,直线 l 经过圆心 C,△ABC 不存在,故 a ?[0,1) 由题意可设直线 l 的方程为 y =kx +a ,△ABC 的面积为 S.

(1,2] .

1 1 则 S= 2 |CA|·|CB|·sin∠ACB= 2 sin∠ACB.∴当 sin∠ACB 最大时,S 取
得最大值.

|a ? 1 | 2 ? 2 = 2 2 . l 2 k +1 2 要使 sin∠ACB= , 只需点 C 到直线 的距离等于 . 即
整理得 k =2(a ? 1) ? 1 ? 0 .解得
2 2

a ? 1?

2 2 a ? 1+ 2 . 2 或

a ? [0,1 ?


2 2 ] [1+ ,2] 2 2 时 , sin ∠ ACB 最 大 值 是 1 . 此 时

k 2 =2a 2 ? 4a+1 ,即 u =2a 2 ? 4a +1.

a ? (1 ?


? 2 2 ? ( ,? ) ,1) (1,1+ ) 2 2 2 时,∠ACB .
?

( ,? ) y = sin x ∵ 是 2 上的减函数,∴当∠ACB 最小时,sin∠ACB 最大. 1 过 C 作 CD⊥AB 于 D,则∠ACD= 2 ∠ACB.∴当∠ACD 最大时,∠ACB 最
小.

|CD| ? ? (0, ) 2 ,∴当|CD |最大时,sin∠ACD ∵sin∠CAD= | CA | =|CD|,且∠CAD
取得最大值,即∠CAD 最大. ∵|CD|≤|CP|,∴当 CP⊥ l 时,|CD|取得最大值|CP|.

35

∴当△ABC 的面积最大时,直线 l 的斜率 k =0 .∴ u =0 .

? 2 2 2 ] [1+ ,2] ?2a ? 4a +1,a ? [0,1 ? ? 2 2 u= ? 2 2 ?0, a ? (1 ? ,1) (1,1+ ) ? ? 2 2 . 综上所述,
a ? [0,1 ?
i)

2 2 ] [1+ ,2] 2 2 2 2 , u =2a ? 4a +1 =2(a ?1) ?1 , 当 a =2 或

a =0 时, u 取得最大值 1.
a ? (1 ?
ii)

2 2 ,1) (1,1+ ) 2 2 , u =0 .

由 i) ,ii)得 u 的最大值是 1.

36


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