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1[1].1.3集合的基本运算 第1课时 并集和交集 课件(人教A版必修1)


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第一章 1.1.3 集合的基本运算
第一课时 并集和交集

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1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

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预习导学

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●课标展示 1.理解两个集合的并与交的含义,会求两个简单集合的 交集与并集. 2 . 通 过 观 察 和 类 比 , 借 助 Venn 图 理 解 集 合 的 基 本 运

算.能使用 Venn 图表达集合的运算,体会直观图示对理解抽
象概念的作用.

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●温故知新 旧知再现 任何一个 1.集合A是集合B的子集的含义是:集合 A中的 _________元素都是集合B的元素. 相等 . 2.若A?B,同时B?A,则A与B的关系是_____ 真子集 . 3.空集是任何非空集合的________

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4.已知集合 A={高一· 三班同学},B={高一· 三班二组成 员},则( ) B.A?B D.B A

A.A?B C.A B
[答案] D

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5.集合{a,b,c}的真子集有( A.8个 C.6个 B.7个 D.5个

)

[答案] B

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6.下列各式中正确的是( A.{0}∈R C.{0,1}≠{1,0}

) B.{1}∈{1,2,3} D.? {1}

[答案] D

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新知导学 1.并集和交集的定义

定义
自然 语言 符号 语言 图形 语言

交集 且 一般地,由所有属于集 一般地,由属于集合A_____ 或 集合B的元素组成 属于集合B的所有元素组成 合A___ 的集合,称为集合A与B 的集合,称为集合A与B的 A∩B A∪B 的并集,记作________ 交集,记作_________ x∈A ,或 A∪B={x|______ x∈B } A∩B={x|x∈A,且_______ x∈B}

并集

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[名师点拨]

(1)简单地说,集合A和集合B的全部(公共)元

素组成的集合就是集合 A与B的并( 交) 集; (2)当集合 A, B无公 共元素时,不能说A与B没有交集,只能说它们的交集是空集; (3) 在两个集合的并集中,属于集合 A且属于集合 B的元素只显

示一次;(4)交集与并集的相同点是:由两个集合确定一个新的
集合,不同点是:生成新集合的法则不同.

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并集 2.并集和交集的性质 A ; 简单 A∪A=___ 性质 A∪?= ___ A

交集 A ; A∩A= ___

? A∩?= ___ A∩B=B∩A;
(A∩B)?A; (A∩B)?B;

A∪B=B∪A;
常用 A?(A∪B); 结论 B?(A∪B);

A∪B=B?A?B

A∩B=B?B?A

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●自我检测 1.设集合M={1,2},N={2,3},则M∪N等于( A.{1,2,2,3} C.{1,2,3} B.{2} D.{1,3} )

[答案] C

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2.(2014·广东高考)已知集合M={2,3,4},N={0,2,3,5}, 则M∩N=( A.{0,2} C.{3,4} ) B.{2,3} D.{3,5}

[答案] B
[解析] M∩N={2,3},故选B.

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3. 设 S={x|2x+1>0}, T={x|3x-5<0}, 则 S∩T=( A.?
? 5? C.?x|x>3? ? ? ? 1? B.?x|x<-2? ? ? ? 1 5? D.?x|-2<x<3? ? ?

)

[答案] D

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4.设A={x|x<1},B={x|x<-1},则A∪B=________. [答案] {x|x<1} [解析] 画数轴.

A∪B={x|x<1}.

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5 . 设 集 合 A = {7 , a} , B = { - 1} , A∩B = B , 则 a = ________. [答案] -1 [ 解析 ] 因为 A∩B = B ,所以 B?A. 又- 1∈B ,则- 1∈A.

又A={7,a},则有a=-1.

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互动课堂

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●典例探究

并集的概念及其运算

(1)(2013~2014·西宁高一检测)已知集合A={x|
-1≤x<3},B={x|2<x≤5},则A∪B=( A.{x|2<x<3} C.{x|-1<x<5} ) B.{x|-1≤x≤5} D.{x|-1<x≤5} )

(2)(2013~2014·重庆高一检测 )设集合M={1,2},则满足 条件M∪N={1,2,3,4}的集合N的个数是( A.1 C.2 B.3 D.4

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(3)(2013~2014·杭州高一检测)集合A={0,2,a},B={1,
a2}.若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( A.0 C.2 B.1 D.4 )

[分析] 1.两个集合求并集的实质是什么?

2.题2中在已知M∪N及集合M的条件下,如何确定集合N?
3.当并集中的元素个数与构成并集的两个集合的元素个 数和相等时,如何确定其中的参数?

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[解析] (1)结合数轴分析可知,A∪B={x|-1≤x≤5}.
(2)∵M={1,2}, M∪N={1,2,3,4}. ∴ N = {3,4} 或 {1,3,4} 或 {2,3,4} 或 {1,2,3,4} , 即 集 合 N 有 4 个.

(3)∵A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16},
∴a=4,a2=16或a=16,a2=4, 解得a=4.

[答案] (1)B

(2)D (3)D

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规律总结:求两个集合并集的两个方法

(1)若两个集合元素个数有限,可根据定义直接写出并集.
(2)若两个集合元素个数无限,可借助于数轴分析,求出并 集,但应注意端点是否能取得.

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(1)已知A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},则A∪B= ________ (2) 已知 A = {x|2≤x < 4} , B = {x|3x - 7≥8 - 2x} 则 A∪B = ________. [答案] (1){x|x是实数} (2){x|x≥2}

[解析] (1){x|x是实数}
(2)∵B = {x|3x - 7≥8 - 2x} = {x|5x≥15} = {x|x≥3} , 又 ∵A={x|2≤x<4},∴A∪B={x|x≥2}.

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交集的概念及其运算 (2012 湖 南 文 科 高 考 · 1 题 )(1) 设 集 合 M = { - 1,0,1},N={x|x2=x}则M∩N=( A.{-1,0,1} ) B.{0,1}

C.{1}

D.{0}

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(2) 若集合 A = {x| - 2≤x≤3} , B = {x|x< - 1 或 x>4} ,则集合
A∩B等于( ) B.{x|-1<x≤3} D.{x|-2≤x<-1} A.{x|x≤3或x>4} C.{x|3≤x<4}

(3) 已知 A ={(x , y)|4x + y = 6} , B = {(x , y)|3x + 2y = 7} ,

则A∩B=________.
[分析] (1)先求出集合 N 中的元素再求 M、N 的交解.(3) 集合 A 和 B 的元素是有序实数对(x,y),A、B 的交集即为方程
? ?4x+y=6 组? ? ?3x+2y=7

的解集.

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[解析] (1)N={x|x2=x}={0,1},∴M∩N={0,1}故选B.
(2) 将集合 A 、 B 表示在数轴上,由数轴可得 A∩B = {x| - 2≤x<-1},故选D.

(3)A∩B={(x,y)|4x+y=6}∩{(x,y)|3x+2y=7} ? ?? ? ?4x+y=6 =??x,y??? ?3x+2y=7 ? ?? ? ? ? ?={(1,2)}. ? ?

[答案] (1)B

(2)D (3){(1,2)}

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规律总结:求集合A∩B的方法与步骤
(1)步骤 ①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么; ②把所求并集的集合用集合符号表示出来,写成“A∩B” 的形式; ③把化简后的集合 A、B的所有元素都写出来即可 (相同元 素只写一个).

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(2)方法 ①若 A 、 B 的代表元素是方程的根,则应先解方程求出方 程的根后,再求两集合的交集;若集合的代表元素是有序数对, 则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集,解集是点集.

②若 A 、 B 是无限数集,可以利用数轴来求解但要注意,
利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实点表示,不含有端 点的值用虚点表示.

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(1)已知集合A={0,2,4,6},B={2,4,8,16},则A∩B=( A.{2} C.{0,2,4,6,8,16} ( ) A.{2} B.{x|1<x<3} B.{4} D.{2,4}

)

(2)已知集合A={x|1<x<3},B={x|2<x <5},则A∩B=

C.{x|2<x<3}
则A∩B=________. [答案] (1)D (2)C

D.{x|3<x<5}

(3) 已知 A = {x|x 是等腰三角形 } , B = {x|x 是直角三角形 } , (3){x|x是等腰直角三角形}

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[解析] (1)观察集合A、B,可得公共元素是2,4,故选D. (2)在数轴上表示集合A、B,如下图所示,则A∩B={x|2< x<3},故选C.

(3) 既是等腰又是直角的三角形为等腰直角三角形.所以

A∩B={x|x是等腰直角三角形}.

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集合交集、并集运算的性质及其简单综合

(1)(2013 ~ 2014· 临沂高一检测 ) 已知集合 A =
{x|x2 -px - 2= 0} , B= {x|x2 + qx +r =0} ,且 A∪B = { - 2,1,5}, A∩B={-2},则p+q+r=________. (2)设集合A={-2},B={x|ax+ 1=0,a∈R},若A∩B= B,则a的值为________. [ 分析 ] 集合B? (2)条件中的A∩B=B应如何转化? (1) - 2 是不是方程 x2 - px - 2 = 0 的根?怎样确定

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[解析] (1)∵A∩B={-2}, ∴-2∈A且-2∈B, 将x=-2代入x2-px-2=0, 得p=-1,∴A={1,-2},

∵A∪B={-2,1,5},A∩B={-2},
∴B={-2,5}, ∴q=-[(-2)+5]=-3,r=(-2)×5=-10,∴p+q+r

=-14.

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(2)∵A∩B=B,∴B?A. ∵A={-2}≠?, ∴B=?或 B≠?. 当 B=?时,方程 ax+1=0 无解,此时 a=0,满足 B?A. 当 B≠?时,此时 a≠0,则 1 1 ∴-a∈A,即-a=-2,
? 1? B=?-a?, ? ?

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1 得 a=2. 1 综上,得 a=0 得 a=2.

1 [答案] (1)-14 (2)a=0 或2

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规律总结: 利用集合交集、并集的性质解题的方法 及关注点 (1) 方法:利用集合的交集、并集性质解题时,常常遇到 A∪B=B, A∩B=A等这类问题,解答时常借助于交集、并集 的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解,如

A∩B=A?A?B,A∪B=B?A?B.
(2)关注点:当集合A?B时,若集合A不确定,运算时要考 虑A=?的情况,否则易漏解.

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已知集合M={x|2x-4=0},N={x|x2-3x+m=0}. (1)当m=2时,求M∩N,M∪N. (2)当M∩N=M时,求实数m的值. [解析] 由已知得M={2},

(1)当m=2时,N={1,2},
所以M∩N={2},M∪N={1,2}. (2)若M∩N=M,则M?N,∴2∈N,

所以4-6+m=0,m=2.

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●误区警示
易错点一 集合运算时忽略空集易错 4 集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-2x+a- 1=0},A∩B=B,求a的取值范围. [错解] 由题意,得A={1,2}.∵A∩B=B,∴1∈B,或者 A∩B = B?A?B. 而 B 是二次方程的解集,它

2∈B,∴a=2或a=1.
[ 错因分析 ] 可能为空集,如果B不为空集,它可能是A的真子集,也可以等

于A.

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[思路分析] A∩B=B,B可能为空集,千万不要忘记. [正解] 由题意,得A={1,2},∵A∩B=B, 当B=?时,(-2)2-4(a-1)<0,解得a>2; 当1∈B时,1-2+a-1=0,解得a=2,且此时B={1},

符合题意;
当2∈B时,4-4+a-1=0,解得a=1,此时B={0,2}, 不合题意.

综上所述,a≥2.

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设集合M={x|-2<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R}, 若M∩N=N,则实数t的取值范围为________.

1 [解析] 当 2t+1≤2-t 即 t≤3时 N=?.满足 M∩N=N;
? ?2-t≥-2 1 当 2t+1>2-t 即 t>3时若 M∩N=N 应满足? 解 ? ?2t+1≤5

得 t≤2.

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1 ∴3<t≤2. 综上 t≤2.

[答案] t≤2

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易错点二 含字母的集合运算时忽视了检验
5 已知M={2,a2-3a+5,5},N={1,a2-6a+

10,3},M∩N={2,3},则a的值是( A.1或2 C.2 D.1

)

B.2或4

[错解] A
∵M∩N={2,3},∴a2-3a+5=3,∴a=1或2. [错因分析] 验. 没有对当a=1或2时的集合元素互异性进行检

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[思路分析]

M∩N={2,3}有两层含义,一是2,3是集合M,

N的元素,另外集合M,N只有这两个公共元素,因此解出字母 a后,要代入原集合进行检验. [正解] C

∵M∩N={2,3} ,∴a2 -3a+ 5= 3,∴a=1 或 2. 当a=1时,
N={1,5,3},M={2,3,5}不合题意;当a=2时,N={1,2,3},M ={2,3,5}符合题意.

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A={1,4},B={x|(x-3)(x-a)=0}求A∪B.
[解析] 当a=3时,B={3},A∪B={1,3,4} 当a=1时,B={1,3},A∪B={1,3,4} 当a=4时,B={1,4},A∪B={1,3,4} 当a≠1,3,4时,B={3,a},A∪B={1,3,4,a}

综上当a=1或3或4时,A∪B={1,3,4}
当a≠1,3,4时,A∪B={1,3,4,a}.

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随堂测评

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1 .下列关系 Q∩R = R∩Q ; Z∪N = N ; Q∪R = R∪Q ; Q∩N=N中,正确的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

[答案] C
[解析] 只有Z∪N=N,不正确,其余都正确,故选C.

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2.(2013~2014·重庆一中高一定时练习)集合A={1,3}, B={2,3,4}则A∩B=( A.{1} C.{3} ) B.{2} D.{1,2,3,4}

[答案] C
[解析] A∩B={1,3}∩{2,3,4}={3}故选C.

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3 .已知集合 M = {x| - 3<x≤5} , N = {x|x>3} ,则 M∪N =
( ) A.{x|x>-3} C.{x|3<x≤5} [答案] A B.{x|-3<x≤5} D.{x|x≤5}

[解析] 在数轴上表示集合M,N,如图所示,

则M∪N={x|x>-3}.

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4 . (2014· 全国高考卷 Ⅰ) 已知集合 M = {x| - 1<x><3} , N
={x|-2<x<1},则M∩N=( A.{x|-2<x<1} C.{x|1<x<3} [答案] B ) B.{x|-1<x<1} D.{x|-2<x<3}

[解析] 在数轴上画集合M与集合N的图象

由图象得:M∩N={x|-1<x<1},故选B.

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5.若A={0,1,2,3},B={x|x=3a,a∈A},则A∩B=( A.{1,2} C.{0,3} [答案] C B.{0,1} D.{3}

)

[解析]

A = {0,1,2,3} , B = {x|x = 3a , a∈A} , ∴ B =

{0,3,6,9},∴A∩B={0,3}.

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6 .已知集合 A = {x|x2 + px + q = 0} , B = {x|x2 - px - 2q =
0},且A∩B={-1},求A∪B.
[解析] 因为 A∩B={-1},所以-1∈A,-1∈B,即-1 是方程 x2+px+q=0 和 x2-px-2q=0 的解,
2 ? ??-1? -p+q=0, 所以? 2 ? ? - 1 ? +p-2q=0, ?

? ?p=3, 解得? ? ?q=2,

所以 A={-1,-2},B={-1,4}, 所以 A∪B={-2,-1,4}.

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