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2011年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准


2011 年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1. 答案:B. 解析:不等式 (1? | x |)(1 ? x) ? 0 成立的充要条件是 {x | x ? 1且x ? ?1} ,故充分而不必要 的条件选 B。 2. 答案:D. 解析:本题应知“ A, B, P 共线,等价于存在 ? , ? ? R, 使 MP ? ?

MA ? ? MB 且 ? ? ? ? 1 ”。 故选 D。 3. 答案:A. 解析:由 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 13,知 f ( x ? 3) ? f ( x ? 6) ? 13,所以 f ( x) ? f ( x ? 6) ,即 f ( x) 是 周期函数,周期为 6.所以 f (34) ? f (6 ? 5 ? 4) ? f (4) ? 4. 答案:C.
① ?2 y ? x ? z 2 ? 2 解析:由已知可得 ? y ? z ( x ? 1) ② ,又由②-③得 z ? 2 x ,代入①得 x ? y ,从 3 ? y 2 ? x( z ? 2) ③ ?
13 13 ? .选 A. f (1) 2

而 z ? y ,再代入②,得 y ? 12 . 故选 C . 5. 答案:D. 解析: 令 f (u) ? au , u ? lg t , t ? 3 ? ax ,在 x ?[?1,1] 上, t ? 3 ? ax 为减函数, u ? lg t 为增函数. 要使 x ?[?1,1] 上 f ( x) 为减函数, f (u) ? au 应为增函数,故 a ? 1 . 为了保 证 t ? 3 ? ax 在[-1,1]上 t ? 0 恒成立,只需 t ? (3 ? ax)min ? f (1) ? 3 ? a ? 0 ,即 a ? 3 . 因此,
1? a ? 3.

4 3

故选 D .

6. 答案:C. 解析:由 n ? x ? n ? 1 得 n(n ? ) ? x( x ? ) ? (n ? 1)(n ? ) ,又 n(n ? ) , (n ? 1)( n ? ) 中必 有一个是正整数,且 (n ? 1)(n ? ) ? n(n ? ) ? 2n ? , 故 an ? 2n . 选 C . 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)
1

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1.答案:250. 解 析 : 因 为 an ? Sn ? Sn 1 1 ?2 n ( n ? 2, ) a1 ? S1 ? 9 ? 11 ? 2 , 所 以 an ? 11 ? 2n . 又 ?1 ? 所以, 当 n ? 5 时, 当 n ? 5 时, a5 ? 1 ? 0 , a6 ? ?1 ? 0 。 bn ? an , Tn ? Sn ? 10n ? n2 ; bn ? ?an ,
Tn ? 2S5 ? Sn ? 50 ? (10n ? n2 ) ? n2 ?10n ? 50 . 所 以 T20 ? 202 ?10 ? 20 ? 50 ? 250 .
?10n ? n 2 (n ? 5) ? Tn ? ? 2 . ? ?n ? 10n ? 50 (n ? 5)



2.答案: ? 4 ? a ? ?1. 解析:易得 A ? (1,3) ,设 f ( x) ? 21?x ? a , g ( x) ? x 2 ? 2(a ? 7) x ? 5 ,要使 A ? B ? C , 只 需 f ( x) 、 g ( x) 在区间 (1,3) 上的图象均在 x 轴下方,其充要条件是 f (1) ? 0 , f (3) ? 0 ,
g (1) ? 0, g (3) ? 0 ,由此推出 ? 4 ? a ? ?1.

3.答案: ?3,?1? . 解 析 : 由 y ? 2x2 ? 4x ? 5 ? 2( x ?1)2 ? 3 , 知 a ? ( ?1, ? 3 . ) 设 b ? ( x, y) , 则 由 题 意 有
?? x ? 3 y ? 0 ?x ? 3 ,解得 ? , 所以 b ? (3, ?1) . ? ? y ? ?1 ?x ? y ? 4

4.答案:92. 解析:易知 a1 ? a2 ,所以 a1 不是最大的. 数列 {an } 的最大项 an 应满足
?19n ? 93n ? 19n?1 ? 93n?1 ? ? an ? an ?1 n , 从而有 ? ,即 ? ? n ?1 n ?1 ? an ? an ?1 ?19n ? 93n ? 19 ? 93 ? n ?1 ?
19 ? (n ? 19)( ) n ?1 ? ( n ? 93) ? 0 ① ? ? 93 . ? ?(n ? 18)(19 ) n ? ( n ? 92) ? 0 ② ? 93 ?

由①式可得 n ? 93 ,由②式可用反证法证得 n ? 92 . 因此,当 an 取得最大值时
n ? 92 .

5.答案: x ? ?3 .
( ? ) 6 ?( f ) ? x 解析: 由已知有 ( x ? 6)2011 ? ( x ? 6) ? (? x)2011 ? (? x) , 设 f ( x) ? x2011 ? x , 则 fx

.

因 f ( x) 在 R 上单调递增,故 x ? 6 ? ? x , x ? ?3 .
2

6.答案: 2 x ? 1 或 ? 2 x ? 3 . 解 析 : 设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) , 记 f n ( x) ? f { f ? f ( x)} , 其 中 含 有 n 个 f , 则
f 2 ( x) ? f [ f ( x)] ? a(ax ? b) ? b ? a 2 x ? b(a ? 1) ,
f 3 ( x) ? f { f [ f ( x)]} ? a[a 2 x ? b(a ? 1)] ? b ? a 3 x ? b(a 2 ? a ? 1).

以此类推有 f10 ( x) ? a10 x ? b(a 9 ? a 8 ? ? ? a ? 1) ? a10 x ? 由题设可知 a10 ? 1024 且

b(1 ? a10 ) . 1? a

b(1 ? a10 ) ? 1023. 所以 a ? 2, b ? 1 或 a ? ?2, b ? ?3. 1? a

即 f ( x) ? 2 x ? 1或 f ( x) ? ?2 x ? 3 。 三、解:由已知等式有 c 2 ? a 2 ? ab ,由正弦定理得 sin2 C ? sin2 A ? sin Asin B ① , 即: (sin C ? sin A)(sin C ? sin A) ? sin A sin B ? 2 sin
? sin(C ? A) sin(C ? A) ? sin A sin B
C?A C?A C?A C?A cos ? 2 cos sin 2 2 2 2

……5 分

从而有 sin(C ? A) ? sin A ? C ? A ? A或C ? A ? 180? ? A 所以 C ? 2 A或C ? 180 ? (舍去). 又因 a ? c ? 2b cos ,由正弦定理得 sin A ? sin C ? 2sin B cos
sin B ? sin(180 ? A ? C) ? sin(180 ? 3A) ? sin 3A ,代入②,得
sin A ? sin 2 A ? 2 sin 3 A cos ? 2sin A 2

……10 分
A ②. 而 2

A 2

……15 分

3A A A 3A 3A 3A cos ? 2sin 3 A cos ? sin ? sin 3 A ? ? 3A 或 ? 180 ? 3 A , 2 2 2 2 2 2

从而有 A ? 0 (舍去) 或 A ? 40 , 所以 C ? 2 A ? 80 , B ? 60 . ……20 分

四、解:将 x ? 1 代入 x2 ? 5x ? m ? 0 ,得 m ? 4 ,从而方程 x2 ? 5x ? m ? 0 的两根分别为 1、4,且由题设可知 n ? 0 ,方程 x2 ? 10 x ? n ? 0 的两根为正实数. ……5 分

若 4 是该等比数列的第 2 项,则方程 x2 ? 10 x ? n ? 0 的两根应为 16、64,这不 符合韦达定理; 若 4 是该等比数列的第 4 项,不符合韦达定理;
3

……10 分

若 4 是该等比数列的第 3 项,则方程 x2 ? 10 x ? n ? 0 的两根应为 2、8,符合韦 达定理,此时
m 4 1 ? ? . n 2?8 4

……15 分

同理,将 x ? 1 代入 x2 ? 10 x ? n ? 0 ,得 n ? 9 ,从而方程 x2 ? 10 x ? n ? 0 的两根分别 为 1、9,均不合题意. 五、解:易知 f ( x) ? a ? 2x 的反函数是 f ?1 ( x) ? log2 ( x ? a) , 于是由题意,有 y1 ? log2 x, y2 ? log2 ( x ? a), y3 ? 1, (a ? 0) . 而 y1 ? y3 ? y2 ,所以1 ? log2 x ? 2log2 ( x ? a) , 即 log2 2x ? 2log2 ( x ? a) ,等价于
?2 x ? ( x ? a ) 2 (1) ? (2) ? x?a ? x?0 (3) ?

……20 分 ……5 分

……10 分

由(1),得 x2 ? 2(a ?1) x ? a2 ? 0 ,所以有判别式 ? ? 4(a ? 1)2 ? 4a2 ? 8a ? 4 ≥0. 当 ? ? 0 时,即 a ? ? 时,方程有且只有一个实数解 x ? ,满足条件要求; ……15 分 当 ? ? 0 ,即 a ? ? 时,方程有两个相异实根: x1 ? a ?1? 1? 2a , x2 ? a ?1? 1? 2a . 易见, x1 满足要求. 要使 x2 不满足要求,应有 a ?1 ? 1 ? 2a ? a ,解得 a ? 0 . 综合上述,可知当 a ? ? 或 a ? 0 时有且只有一个实数 x 满足条件.
1 2

1 2

1 2

1 2

……20 分

4


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