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2017年上海市高三数学第三次模拟测试试卷


2017 年上海市高三数学第三次模拟测试试卷
2017.5.18
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号.
2.本试卷共有 21 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

一.填空题(本大题满分 54 分)本大题共有 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分。考生应 在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得满分,否则一律得零分. 1. 2. 3. 已知集合 A= { x y = lg x} , B =

{x x

2

- 2 x - 3 < 0} ,则 A ? B =____________.

如果 (1+ i)(1+ mi) 是实数,则实数 m= _________________. 已知圆锥母线的轴截面的母线与轴的夹角是 积的最大值=_________________________.

p ,母线长为 3,则过圆锥顶点的截面面 3

4. 5.

设等差数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S7 = 42, 则a2 + a3 + a7 =_______________. 圆 C : ( x - 2)2 + y 2 = 4 ,直线 l1 : y = 长之比是 1:2,则 k = _______________.

3x, l2 : y = kx - 1 ,若 l1 , l2 被圆 C 所截得的弦

6.

已知 f ( x) = ln( x +

4 - a ) ,若对任意的 m ? R ,均存在 x0 > 0 ,使得 f ( x0 ) = m , x

则实数 a 的取值范围是________________________. 7.
2 若直线 y = k ( x + 1)(k > 0) 与抛物线 y = 4 x 相交于 A, B 两点, 且 A, B 两点在抛物线

的准线上的射影分别是 M , N , 且 BN = 2 AM ,则 k = _____________. 8. 某几何体的三视图及部分数据如图所示,则此几何体的表面积是 __________. 已知动点 ( x, y ) 满足条件 ? í

9.

ì y ? y ? 2x 1 ,则 的取值范围是_________. ? x ? ? y ? 2x + 3

x2 y2 10. 若 a, b ? {1,2,3,?,11} ,构造方程 2 + 2 = 1 ,则该方程表示的曲线 a b
为落在矩形区域 ( x, y ) x < 11, y < 9 内的椭圆的概率是_________________. 11. 已知 D ABC ,若存在 D A1B1C1 ,满足

{

}

cos A cos B cos C = = = 1 ,则称 D A1B1C1 是 sin A1 sin B1 sin C1

D ABC 的一个“友好”三角形.在满足下述条件的三角形中,存在“友好”三角形的
是___________: (请写出符合要求的条件的序号) ①A=90°,B=60°,C=30°;②A=75°,B=60°,C=45°; ③A=75°,B=75°,C=30°.

12. 已知函数 f ( x) =

??? ? ??? ? PA + PB = 2 ,则 P 的轨迹方程是________________________.

x- 2 , g ( x) = mx + 1- m 的图象相交于点 A, B 两点,若动点 P 满足 x- 1

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 13. 已知数列 { an } 中,a1 = 1, an+ 1 =

1 ,若利用下面程序框图计算该 1+ an


数列的第 2017 项,则判断框内的条件是(

A.n≤2014

B.n≤2016

C.n≤2015

D.n≤2017

14. 已知三条直线 a, b, c 两两互相垂直,P 为空间一个定点, 则在过点 P 的 直线中,分别与 a, b, c 所成的角都相等的直线有( )

A.1 条

B.3 条

C.4 条

D.无数条
2 2

15. 在锐角 D ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 sin C - cos C = 各式正确的是( A. a + b = 2c 16. 已知集合 M = ) B. a + b ? 2c C. a + b < 2c D. a + b ? 2c

1 , 则下列 2

{( x, y) x

2

+ y 2 ? 1} ,若实数 l , m 满足:对任意的 (x, y)? M ,都有
的“和谐实数对” ,则下列选项中,可以作为集

(l x, my)? M ,则称 (l , m)是集合 M
合 M 的“和谐实数对”的是( A. {(l , m) l +m=4} C. (l , m) l )

B. (l , m) l D. (l , m) l

{

2

+m2 =4} - m2 =4}

{

2

- 4m=4}

{

2

三、解答题(本大题满分 76 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 17. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分。 如图,在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中,? BAC 别在棱 AA1 , CC1 上,且 AE = C1F = 2 . (1)求四棱锥 B - AEFC 的体积; (2)求 D BEF 所在半平面与 D ABC 所在半平面所成二面角θ 的余弦值.

p , AB = AC = 2,AA 1 = 6 ,点 E , F 分 2

18. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,某城市设立以城中心 O 为圆心、 r 公里为半径的圆形保护区,从保护区边缘起,在城 中心 O 正东方向上有一条高速公路 PB 、 西南方向上有一条一级公路 QC , 现要在保护区边 缘 PQ 弧上选择一点 A 作为出口,建一条连接两条公路且与圆 O 相切的直道 BC .已知通 往一级公路的道路 AC 每公里造价为 a 万元, 通往高速公路的道路 AB 每公里造价是 m a 万 元,其中 a, r , m 为常数,设 ? POA q ,总造价为 y 万元. (1)把 y 表示成 ? 的函数 y ? f (? ) ,并求出定义域; (2)当 m ?
2

6? 2 时,如何确定 A 点的位置才能使得总造价最低? 2

19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分

m x = 0 ,椭圆 C : 2 + y 2 = 1,F1 , F2 分别为椭圆 C 的左右 已知 m > 1 ,直线 l : x - my 2 m
焦点. (1)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,D AF 若原点 O 在 1F 2,D BF 1F 2 的重心分别为 G , H , 以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围。

2

2

20. (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分。 对于函数 y = f ( x) ,若在定义域内存在实数 x, 满足 f (- x) = - f ( x) ,则称 y = f ( x) 为 “局部奇函数” 。 (1)若 f ( x) = 2x + m 是定义在区间 [- 1,1] 上的“局部奇函数” ,求实数 m 的取值范围; (2)若 f ( x) = 4x - m ?2x+ 1 “局部奇函数” , 求实数 m 的取值范围. m2 - 3 为定义域 R 上的

21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 7 分. 设函数 f ( x) = x2 - (3k + 2k ) x + 3k 孜 2k , x (1)若 f (1) ? 0, 求实数 k 的取值范围; 前 2 n 项和 S 2 n ; (3)对于(2)中的数列 { an } ,设 bn =

R.
的值及数列 { an } 的

(2)若 k 为整数, 设 f ( x) ? 0 的解集是 [a2k- 1 , a2k ], 求 a1 +a2 +a3 +a4

(- 1)n ,求数列 { bn } 的前 n 项和 Tn 的最大值。 a2n- 1 ×a2 n

2017 年上海市高三数学第三次模拟测试试卷
2017.5.18
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号.
2.本试卷共有 21 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

一.填空题(本大题满分 54 分)本大题共有 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分。考生应 在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得满分,否则一律得零分. 22. 已知集合 A= { x y = lg x} , B =

{x x

2

- 2 x - 3 < 0} ,则 A ? B = (?1, ??) .

23. 如果 (1+ i)(1+ mi) 是实数,则实数 m= ?1 . 24. 已知圆锥母线的轴截面的母线与轴的夹角是 积的最大值=

p ,母线长为 3,则过圆锥顶点的截面面 3

9 . 2

25. 设等差数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S7 = 42, 则a2 + a3 + a7 =18_____. 26. 圆 C : ( x - 2)2 + y 2 = 4 ,直线 l1 : y = 长之比是 1:2,则 k =

3x, l2 : y = kx - 1 ,若 l1 , l2 被圆 C 所截得的弦

1 . 2

27. 已知 f ( x) = ln( x +

4 - a ) ,若对任意的 m ? R ,均存在 x0 > 0 ,使得 f ( x0 ) = m , x

则实数 a 的取值范围是 a ? 4 .
2 28. 若直线 y = k ( x + 1)(k > 0) 与抛物线 y = 4 x 相交于 A, B 两点, 且 A, B 两点在抛物线

的准线上的射影分别是 M , N , 且 BN = 2 AM ,则 k =

2 2 . 3

29. 某几何体的三视图及部分数据如图所示,则此几何体的表面积是 3 ? 4 3 .

ì y ? 2x ? 30. 已 知 动 点 ( x, y ) 满 足 条 件 ? í ? ? ? y?

1 y ,则 的取值范围是 x 2x + 3

(??, ?2) ??1, ??? .
31. 若 a, b ?

{1,2,3,?,11} ,构造方程

x2 y2 + = 1 ,则该方程表示的曲线为落在矩形区 a 2 b2

域 ( x, y ) x < 11, y < 9 内的椭圆的概率是___ 32. 已知 D ABC ,若存在 D A1B1C1 ,满足

{

}

72 ______________. 121

cos A cos B cos C = = = 1 ,则称 D A1B1C1 是 sin A1 sin B1 sin C1

D ABC 的一个“友好”三角形.在满足下述条件的三角形中,存在“友好”三角形的
是____②_______: (请写出符合要求的条件的序号) ①A=90°,B=60°,C=30°;②A=75°,B=60°,C=45°; ③A=75°,B=75°,C=30°. 33. 已知函数 f ( x) =

??? ? ??? ? 2 PA + PB = 2 ,则 P 的轨迹方程是 ? x ? 1? ? ( y ? 1) 2 ? 1 .

x- 2 , g ( x) = mx + 1- m 的图象相交于点 A, B 两点,若动点 P 满足 x- 1

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 34. 已知数列 { an } 中,a1 = 1, an+ 1 =

1 ,若利用下面程序框图计算该 1+ an

数列的第 2017 项,则判断框内的条件是( B)

A.n≤2014

B.n≤2016

C.n≤2015

D.n≤2017

35. 已知三条直线 a, b, c 两两互相垂直,P 为空间一个定点, 则在过点 P 的 直线中,分别与 a, b, c 所成的角都相等的直线有(C )

A.1 条

B.3 条

C.4 条

D.无数条
2 2

36. 在锐角 D ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 sin C - cos C = 各式正确的是(B ) A. a + b = 2c 37. 已知集合 M = B. a + b ? 2c C. a + b < 2c D. a + b ? 2c

1 , 则下列 2

{( x, y) x

2

+ y 2 ? 1} ,若实数 l , m 满足:对任意的 (x, y)? M ,都有
的“和谐实数对” ,则下列选项中,可以作为集

(l x, my)? M ,则称 (l , m)是集合 M
合 M 的“和谐实数对”的是(C ) A. {(l , m) l +m=4} C. (l , m) l

B. (l , m) l D. (l , m) l

{

2

+m2 =4} - m2 =4}

{

2

- 4m=4}

{

2

三、解答题(本大题满分 76 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 38. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分。 如图,在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中,? BAC

p , AB = AC = 2,AA 1 = 6 ,点 E , F 分 2

别在棱 AA1 , CC1 上,且 AE = C1F = 2 . (1)求四棱锥 B - AEFC 的体积; (2)求 D BEF 所在半平面与 D ABC 所在半平面所成二面角θ 的余弦值. 解:(1)因为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱,所以 A1A⊥底面 ABC,所以 A1A⊥AB, 又 AB⊥AC,AC∩A1A=A,所以 AB⊥面 AA1C1C,则 AB 为四棱锥 B﹣AEFC 的高. 在直角梯形 AEFC 中,因为 AE=2,AC=2,CF=4,所以 所以 VB﹣AEFC= . .

(2)以 A 为坐标原点,分别以 AC,AB,AA1 所在直线为 x,y,z 建立如图所示的 直角坐标系,则 A(0,0,0) ,B(0,2,0) ,E(0,0,2) ,F(2,0,4) , , 设平面 BEF 的法向量为 ,则

,则

,取 z=1,得 x=﹣1,y=1.

所以

. ,

平面 ABC 的一个法向量为





所以△BEF 所在半平面与△ABC 所在半平面所成二面角 θ 的余弦值为



39. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,某城市设立以城中心 O 为圆心、 r 公里为半径的圆形保护区,从保护区边缘起,在城 中心 O 正东方向上有一条高速公路 PB 、 西南方向上有一条一级公路 QC , 现要在保护区边 缘 PQ 弧上选择一点 A 作为出口,建一条连接两条公路且与圆 O 相切的直道 BC .已知通 往一级公路的道路 AC 每公里造价为 a 万元, 通往高速公路的道路 AB 每公里造价是 m a 万 元,其中 a, r , m 为常数,设 ? POA q ,总造价为 y 万元. (1)把 y 表示成 ? 的函数 y ? f (? ) ,并求出定义域; (3)当 m ?
2

6? 2 时,如何确定 A 点的位置才能使得总造价最低? 2

解: (1)∵BC 与圆 O 相切于 A,∴OA⊥BC,在△OAB 中,AB=rtanθ,… 同理,可得 ∴ … ,

∴ 可得函数的定义域为: (2)由(1)可得 = = ∵ ∴ 当且仅当 又 ,所以 tanθ=

,… …

,∴tanθ﹣1>0, ≥2 m, ,即 tanθ= ,∴θ=60° 时取等号,

故当 θ 取 60°,即 A 点在 O 东偏南 60°的方向上,总造价最低. 40. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分

m x = 0 ,椭圆 C : 2 + y 2 = 1,F1 , F2 分别为椭圆 C 的左右 已知 m > 1 ,直线 l : x - my 2 m
焦点. (1)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,D AF 若原点 O 在 1F 2,D BF 1F 2 的重心分别为 G , H , 以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围。 解:(1)解:因为直线 l:x﹣my﹣ 所以 =
2 ,得 m =2,

2

2

=0,经过 F2(

,0) ,

又因为 m>1,所以 m= 故直线 l 的方程为 x﹣

, y﹣1=0.

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .



2 ,消去 x 得 2y +my+

﹣1=0

2 则由△=m ﹣8(

2 2 ﹣1)=﹣m +8>0,知 m <8,

且有 y1+y2=﹣ ,y1y2=

﹣ .

由于 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,故 O 为 F1F2 的中点,





=2

,可知 G(



) ,H(





由题意得: OG ? OH ? 0 ,即 x1x2+y1y2<0 而 x1x2+y1y2=(my1+ 所以( ) (my2+ )+y1y2=(m +1) (
2

???? ????



2 )<0,即 m <4

又因为 m>1 且△>0 所以 1<m<2. 所以 m 的取值范围是(1,2) . 41. (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分。 对于函数 y = f ( x) ,若在定义域内存在实数 x, 满足 f (- x) = - f ( x) ,则称 y = f ( x) 为 “局部奇函数” 。 (1)若 f ( x) = 2x + m 是定义在区间 [- 1,1] 上的“局部奇函数” ,求实数 m 的取值范围; (2)若 f ( x) = 4x - m ?2x+ 1 “局部奇函数” , 求实数 m 的取值范围. m2 - 3 为定义域 R 上的

解:f(x)为“局部奇函数”等价于关于 x 的方程 f(﹣x)=﹣f(x)有解. (1)当 f(x)=2x+m 时,f(﹣x)=﹣f(x)可化为 2x+2﹣x+2m=0,
x ﹣x 因为 f(x)的定义域为[﹣1,1],所以方程 2 +2 +2m=0 在[﹣1,1]上有解.…

令 所以 t∈[ 所以

,则 ]时,g(t) ,即

. . . …

(2)当 f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3 时,f(﹣x)=﹣f(x)可化为 4x+4﹣x﹣2m(2x+2﹣x)+2m2﹣6=0. t=2x+2﹣x≥2,则 4x+4﹣x=t2﹣2,
2 2 从而 t ﹣2mt+2m ﹣8=0 在[2,+∞)有解即可保证 f(x)为“局部奇函数”.… 2 2 令 F(t)=t ﹣2mt+2m ﹣8,

1° 当 F(2)≤0,t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在[2,+∞)有解, 由当 F(2)≤0,即 2m ﹣4m﹣4≤0,解得 1﹣
2

; …

2° 当 F(2)>0 时,t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在[2,+∞)有解等价于

解得





综上,所求实数 m 的取值范围为



42. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 7 分. 设函数 f ( x) = x2 - (3k + 2k ) x + 3k 孜 2k , x (1)若 f (1) ? 0, 求实数 k 的取值范围; 前 2 n 项和 S 2 n ; (3)对于(2)中的数列 { an } ,设 bn =

R.
的值及数列 { an } 的

(2)若 k 为整数, 设 f ( x) ? 0 的解集是 [a2k- 1 , a2k ], 求 a1 +a2 +a3 +a4

(- 1)n ,求数列 { bn } 的前 n 项和 Tn 的最大值。 a2n- 1 ×a2 n
k k

解: (1)∵f(1)≤0,∴1﹣(3k+2 )+3k?2 ≤0, 化为: (2 ﹣1) (3k﹣1)≤0,∴
k

,或



解得 k∈?,或 ∴实数 k 的取值范围时

. .

2 k k k (2)x ﹣(3k+2 )x+3k?2 ≤0,化为(x﹣3k) (x﹣2 )≤0,

∵k 为正整数,设 f(x)≤0 的解集为[a2k﹣1,a2k], ∴当 k=1 时,2≤x≤3,∴a1=2,a2=3. 当 k=2 时,4≤x≤6,∴a3=4,a4=6. 当 k=3 时,8≤x≤9,∴a5=8,a6=9. 当 k=4 时,12≤x≤16,∴a7=12,a8=16. 当 k≥5 时,2 =(1+1) ≥2(1+
k k

+

)=k +k+2>3k.

2

k ∴a2k﹣1=3k,a2k=2 . (k=4 时也成立) .

∴a1+a2+a3+a4=2+3+4+6=15. n≥4 时,数列{an}的前 2n 项和 S2n=a1+a2+…+a8+a9+a10+…+a2n﹣1+a2n =15+8+9+12+16+3(5+6+…+n)+(25+26+…+2n) =60+3× =
n1 + n﹣2+2 + .

+

经过验证,n=1,2,3 时也成立. ∴S2n=
n1 + n﹣2+2 + .

(3)对于(2)中的数列{an},

=



∴b1=﹣ ,b2= 则 T1= ,T2=

,b3=﹣

,b4=

,…,

,…,T2n+1<T2n,

而 T2n≤T2,


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