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成才之路北师大数学必修2-2.2.1


第二章

§2

2.1

一、选择题 1.以点(2,-1)为圆心,以 2为半径的圆的标准方程是( A.(x+2)2+(y-1)2= 2 C.(x-2)2+(y+1)2=2 [答案] C 2.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上,则此圆 的方程是( ) B.(x+2)2+(y-3)

2=13 D.(x+2)2+(y-3)2=52 )

B.(x+2)2+(y-1)2=2 D.(x-2)2+(y+1)2= 2

A.(x-2)2+(y+3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 [答案] A

[解析] 设直径两端点为 A(x,0) B(0,y),则圆心(2,-3)为直径中点, 0 ?2=x+ 2 ∴? 0+y ?-3= 2
? ?x=4 即? .∴A(4,0),B(0,-6). ?y=-6 ?

1 1 ∴r= |AB|= · 42+62= 13, 2 2 ∴圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13. 3.直线 x+2y+3=0 将圆(x-a)2+(y+5)2=3 的周长平分,则 a 等于( A.13 C.-13 [答案] B [解析] 当直线过圆心时直线才将圆的周长平分,所以将圆心(a,-5)代入直线方程 x +2y+3=0,得 a+2×(-5)+3=0.解得 a=7. 4.圆心为(1,1)且与直线 x+y=4 相切的圆的方程是( A.(x+1)2+(y+1)2= 2 C.(x+1)2+(y+1)2=2 [答案] D |1+1-4| [解析] 圆的半径 r 即为圆心(1,1)到直线 x+y-4=0 的距离 d= = 2,所以圆 2 的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 5.如图所示,ACB 为一弓形,且 A,B,C 的坐标分别为(-4,0),(4,0),(0,2),那么弓 ) B.7 D.以上答案都不对 )

B.(x-1)2+(y-1)2= 2 D.(x-1)2+(y-1)2=2

形所在圆的方程为(

)

A.x2+y2=16 C.x2+(y+2)2=20 [答案] D [解析] ∵圆心在弦 AB 的中垂线上,

B.x2+y2=4 D.x2+(y+3)2=25

∴圆心在 y 轴上,可设 P(0,b),∵|AP|=|CP|, ∴ 16+b2=|2-b|,解得 b=-3, ∴圆心 P(0,-3).半径 r=|CP|=5, ∴圆的标准方程为 x2+(y+3)2=25. 6.圆心在直线 2x-y=3 上,且与两坐标轴相切的圆的标准方程为( A.(x-3)2+(y-3)2=9 B.(x-1)2+(y+1)2=1 C.(x-3)2+(y-3)2=9 或(x-1)2+(y+1)2=1 D.不存在 [答案] C [解析] 设圆心为 C(a,b),则|a|=|b|,∵圆心在 2x-y=3 上,∴当 a=b 时代入得 a= b=3,圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=9. 当 a=-b 时,同理得 a=1,b=-1,故选 C. 二、填空题 7.(2014· 陕西理,12)若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,则圆 C 的标准方程为________. [答案] x2+(y-1)2=1 [解析] 本题考查圆的标准方程,点关于直线的对称点求法. (1,0)关于直线 y=x 的对称点为(0,1), ∴标准方程为 x2+(y-1)2=1. 点(a,b)关于直线 y=x 的对称点是(b,a). 8.与圆(x-2)2+(y+3)2=16 同心且过点 P(-1,1)的圆的方程是________. [答案] (x-2)2+(y+3)2=25 [解析] 设圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=r2,把点 P(-1,1)代入可得 r2=25. )

三、解答题 9.已知一个圆经过两个点 A(2,-3)和 B(-2,-5),且圆心在直线 l:x-2y-3=0 上, 求此圆的方程. [解析] 解法一:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. ?2-a? +?-3-b? =r , ? ? 2 2 2 由已知条件得??-2-a? +?-5-b? =r , ? ?a-2b-3=0, a +b -4a+6b=r -13, ? ? 2 2 2 即?a +b +4a+10b=r -29, ? ?a-2b-3=0,
2 2 2 2 2 2

a=-1, ? ? ∴?b=-2, ? ?r2=10.

∴所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 解法二:由 A(2,-3),B(-2,-5)得 1 AB 的中点为(0,-4),kAB= , 2 ∴AB 的垂直平分线的方程为 y+4=-2x, 即 2x+y+4=0,
?2x+y+4=0, ? 解方程组? ? ?x-2y-3=0, ?x=-1, ? 得? ? ?y=-2.

∴圆心为(-1,-2), 半径 r= ?2+1?2+?-3+2?2= 10. 故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 解法三:设点 C 是圆心, ∵点 C 在直线 l 上,∴设点 C(2b+3,b). 又∵|CA|=|CB|, ∴ ?2b+3-2?2+?b+3?2= ?2b+3+2?2+?b+5?2, 解得 b=-2,∴圆心为 C(-1,-2),半径 r= 10, 故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.

一、选择题 1. 以点(2,-1)为圆心且与直线 3x-4y+5=0 相切的圆的方程为( A.(x-2) +(y+1) =3 C.(x-2)2+(y+1)2=9 [答案] C [解析] 首先排除 B、D,由圆心到直线的距离等于半径,求得圆的半径为 3.∴C 正确.
2 2

)

B.(x+2) +(y-1) =3 D.(x+2)2+(y-1)2=9

2

2

y 2.设实数 x,y 满足(x+3)2+y2=6,那么 的最大值是( x 1 A. 2 C. 2 [答案] C B. 3 3

)

D. 3

y [解析] 令 =k,即 y=kx,直线 y=kx 与圆相切时恰好 k 取最值. x 二、填空题 3.已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则 C 的方程为________. [答案] (x-2)2+y2=10 1 [解析] 由题意,知线段 AB 中点为 M(3,2),kAB=- , 2 所以线段 AB 的中垂线所在的直线方程为 y-2=2(x-3).
?y-2=2?x-3?, ? 由? 得圆心的坐标为(2,0). ?y=0, ?

则圆 C 的半径 r= ?2-1?2+?0-3?2= 10. 故圆 C 的方程为(x-2)2+y2=10. 4.一束光线从点 A(-1,1)发出,经 x 轴反射到圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1,最短路程为 __________. [答案] 4 [解析] 设光线与 x 轴交于 B(x,0), -1 3 依题意得 kBC+kBA=0.即 + =0. 2-x x+1 1 解得 x=- ,于是最短路程为: 4 d= 9 1+ + 16 81 9+ -1=4. 16

三、解答题 5.求满足下列条件的圆的标准方程: (1)圆心 C(8,-3)且过点 P(5,1); (2)圆心在 x 轴上,半径为 5,且截 y 轴所得线段长为 8. [解析] (1)方法一:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r2, ∵点 P(5,1)在圆上,∴(5-8)2+(1+3)2=r2. ∴r2=25. ∴所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25. 方法二:∵圆的半径为

r=|CP|= ?5-8?2+?1+3?2=5, 又圆心为 C(8,-3), ∴所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25. (2)如图,由题意|AC|=r=5,

|AB|=8.∴|AO|=4. 在 Rt△AOC 中, |OC|= |AC|2-|AO|2= 52-42=3. 设点 C 坐标为(a,0),则|OC|=|a|=3,∴a=± 3. ∴所求圆的方程为(x+3)2+y2=25 或(x-3)2+y2=25. 6.已知隧道的截面是半径为 4 m 的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为 2.7 m,高为 3 m 的货车能不能驶入这个隧道? [解析] 以某一截面半圆的圆心为坐标原点, 半圆的直径 AB 所在 的直线为 x 轴,建立直角坐标系,如图,那么半圆的方程为:x2+y2 =16(y≥0). 将 x=2.7 代入,得 y= 16-2.72= 8.71<3, 即在离中心线 2.7 m 处,隧道的高度低于货车的高度,因此,货车不能驶入这个隧道. 7.已知平面直角坐标系中有四个点 A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2),这四点能否在同 一个圆上?为什么? [解析] 设经过 A,B,C 三点的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0). a +?b-1? =r , ? ? 2 2 2 代入三点的坐标得??a-2? +?b-1? =r , ? ??a-3?2+?b-4?2=r2, a=1, ? ? 解方程组,得?b=3, ? ?r2=5. 所以经过 A,B,C 三点的圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5. 将 D 点坐标代入圆的标准方程的左边,得(-1-1)2+(2-3)2=5, 所以点 D 在圆上, 故 A,B,C,D 四点在同一个圆上.
2 2 2


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