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1.1几何光学基础&光的反射


第一讲 几 何 光 学 §1.1 几何光学基础 1、光的直线传播:光在同一均匀介质中沿直线传播。 2、光的独立传播:几束光在交错时互不妨碍,仍按原来各自的方向传播。 3、光的反射定律: ①反射光线在入射光线和法线所决定平面内; ②反射光线和入射光线分居法线两侧; ③反射角等于入射角。 4、光的折射定律: ①折射光线在入射光线和法线所决定平面内; ②折射光线和入射光线分居法线两侧;

③入射角 i1 与折射角 i 2 满足 n1 sin i1 ? n2 sin i2 ; ④当光由光密介质向光疏介质中传播,且入射角大于临界角 C 时,将发生全反射现象 (折射率为 n1 的光密介质对折射率为 n 2 的光疏介 A S1 S

sin C ?
质的临界角

n2 n1 ) 。

§1.2 光的反射 1.2.1、组合平面镜成像: 1.组合平面镜 由两个以上的平面镜组成的光学 系统叫做组合平面镜,射向组合平面镜的光线往往要 在平面镜之间发生多次反射,因而会出现生成复像的 现象。先看一种较简单的现象,两面互相垂直的平面 镜(交于 O 点)镜间放一点光源 S(图 1-2-1) S 发 , 出的光线经过两个平面镜反射后形成了 S 1 、

O

B

S2

S3 图 1-2-1 S1 S

S 2 、 S 3 三个虚像。用几何的方法不难证明:这
三个虚像都位于以 O 为圆心、OS 为半径的圆上, 而且 S 和 S 1 、S 和 S 2 、 S 1 和

S4 O S5 S2 S3 图 1-2-2

S 3 、 S 2 和 S 3 之间

都以平面镜 (或它们的延长线) 保持着对称关系。 用这个方法我们可以容易地确定较复杂的情况 中复像的个数和位置。 两面平面镜 AO 和 BO 成 60?角放置 (图 1-2-2) , 用上述规律,很容易确定像的位置:①以 O 为圆心、

OS 为半径作圆; ②过 S 做 AO 和 BO 的垂线与圆交于 S 1
和 S2 ; ③过 S 1 和 S 2 作 BO 和 AO 的垂线与圆交于 ④过

S3 和 S4 ;
O α A

L1 L2

S 3 和 S 4 作 AO 和 BO 的垂线与圆交于 S 5 , S1 ~ S 5 便

是 S 在两平面镜中的 5 个像。 双 镜 面 反 射 。 如 图 1-2-3 , 两 镜 面 间 夹 角 a =15

图 1-2-3

?,OA=10cm,A 点发出的垂直于 L2 的光线射向 L1 后在两镜间反复反射,直到光线平行于某一

镜面射出,则从 A 点开始到最后一次反射点,光线所走的路程是多少? 如图 1-2-4 所示,光线经 L1 第一次反射的反射线为

BC, 根据平面反射的对称性, BC ? ? BC , 且∠ BOC ? ? a 。
上述 A, B, C ?, D? 均在同一直线上,因此光线在 L1 、 L2 之 间的反复反射就跟光线沿 ABC ? 直线传播等效。 N ? 是光 设 线第 n 次反射的入射点,且该次反射线不再射到另一个镜 面 上 , 则 n 值 应 满 足 的 关 系 是 na <90 ? ? (n ? 1)a , O α

O?

C? B A C

D

L1 L2

图 1-2-4

n?

90 ?6 0 a 。 取 n=5 , ∠ N ?OA ? 75 , 总 路 程

0

AN ? ? OAtg 5? ? 37.3cm 。
2、全反射 全反射光从密度媒质 1 射向光疏煤质 2,当入射角大 于临界角 a ? sin
?1

A n1 n2 i B γ β

n21 时,光线发生全反射。

全反射现象有重要的实用意义, 如现代通讯的重要组 成部分——光导纤维, 就是利用光的全反射现象。 1-2-5 图 是光导纤维的示意图。AB 为其端面,纤维内芯材料的折射 率 n1 ? 1.3 ,外层材料的折射率 n2 ? 1.2 ,试问入射角在

什么范围内才能确保光在光导纤维内传播? 图 1-2-5 中的 r 表示光第一次折射的折射角, 表示光第二次的入射角, β 只要β 大于临 界角,光在内外两种材料的界面上发生全反射,光即可一直保持在纤维内芯里传播。

图 1-2-5

? ? sin ?1 n21
? sin ?1 n2 1.2 ? sin ?1 ? 67.4 0 r ? ? ? ? ? 90 o ? 67.4 o ? 22.6 o n1 1.3 2

sin i / sin r ? 1.3 / 1
只要 sin i ? 0.50, i ? 30 即可。
o

例 1、如图 1-2-6 所示,AB 表示一平直的平面镜,

P1

S b

P2 N B

P1 P2 是水平放置的米尺(有刻度的一面朝着平面镜) MN ,
是屏,三者相互平行,屏 MN 上的 ab 表示一条竖直的缝 (即 ab 之间是透光的) 。某人眼睛紧贴米尺上的小孔 S (其位置如图所示) 可通过平面镜看到米尺的一部分刻 , 度。试在本题图上用三角板作图求出可看到的部位,并 在 P1 P2 上把这部分涂以标志。 分析: M A a

图 1-2-6

本题考查平面镜成像规律及成像作图。人眼通过小孔看见的是米尺刻度的像。

由反射定律可知,米尺刻度必须经过平面镜反射后,反射光线进入人的眼睛,人才会看到米 尺刻度的像。可以通过两种方法来解这个问题。 解法一: 相对于平面镜 AB 作出人眼 S 的像 S ? 。 连接 Sa 并延长交平面镜于点 C, 连接 S ? 与点 C 并延长交米尺 P1 P2 于点 E,点 E 就是人眼看到的米尺刻度的最左端;连接 S ?b 并延长 交米尺 P1 P2 于点 F,且

S ?b 与平面镜交于 D,连接 S 与点 D,则点 F 就是人眼看到的米尺刻

度的最右端。E 与 F 之间的米尺刻度就是人眼可看到部分,如图 1-2-7 所示。 解法二:根据平面镜成像的对称 S S E F 性,作米尺 P1 P2 及屏 MN 的像,分别是

P1

P2 P1

E FP 2
b
N

M ? ? P1 P2 及 M ? ? , b 的像分别为 a ?, b ? , N a、
如图 1-2-8 所示。 连接 Sa 交 AB 于点 C, 延 长 并 交 P1 P2 于 点 E ? , 过 点 E ? 作

a
C D

b

N M

a
C a?

A

? ?

B A M?
P1 ?

D
b?

B N?
P2 ?

P1 P2 ( AB) 的垂线,交于点 E,此点就是
人眼看到的米尺刻度的最左端;连接

S?
图 1-2-7

图 1-2-8

? ? Sb? 交 AB 于点 D,延长并交 P1 P2 于点

F ? ,过点 F ? 作 P1 P2 (AB)的垂线 P1 P2 交于点 F,点 F 就是人眼看到的米尺刻度的最右端。
EF 部分就是人眼通过平面镜可看见的米尺部分。
点评:平面镜成像的特点是物与像具有对称性。在涉及到平面镜的问题中,利用这一特 点常能使问题得以简洁明晰的解决。 例 2、 两个平面镜之间的夹角为 45?、 60?、 120?。 而物体总是放在平面镜的角等分线上。 试分别求出像的个数。 P3 P1 P1 P3 分析:由第一面镜生 A A 成的像,构成第二面镜的 物,这个物由第二面镜所 成的像,又成为第一面镜 的物,如此反复下去以至 无穷。在特定条件下经过 有限次循环,两镜所成像 重合,像的数目不再增多, 就有确定的像的个数。 解:设两平面镜 A 和 B 的夹角为 2θ ,物 P 处在 他们的角等分线上,如图 1-2-9(a)所示。以两镜 交线经过的 O 点为圆心, OP 为半径作一辅助圆,所 有像点都在此圆周上。由 平 面 镜 A 成 的 像用 O θ

P
B

P5

O

60?

P
B

P4

P2 P3 (a) P1

P4 (b) A A P 120? P O

P2

P5 O P7 P6 P4 (c) 45?

P
B B

P2

1

P 图 1-2-9 (d) 2

P1 , P3 ? 表示, 由平面镜 B

成的像用 P2 , P4 ? 表示。由图不难得出:

P1 , P3 ? 在圆弧上的角位置为

(2k ? 1)? , P2 , P4 ? 在圆弧上的角位置为
2? ? (2k ? 1)? 。
其中 k 的取值为 k=1,2,? 若经过 k 次反射,A 成的像与 B 成的像重合, 则

(2k ? 1)? ? 2? ? (2k ? 1)?



k?

? 2?



2? ? 45 o ?
2? ? 60 o ?

?
4 时,k=4,有 7 个像,如图 1-2-9(a)所示;

?
3 时,k=3,有 5 个像,如图 1-2-9(b)所示;





2? ? 120 o ?

2? 3 时,k=1.5,不是整数,从图 1-2-10(d)可直接看出,物 P 经镜 A

成的像在镜 B 面上, 经镜 B 成的像则在镜 A 面上,所以有两个像。 A 例 3、要在一张照片上同时拍摄物体正面和几个不同侧 面的像,可以在物体的后面放两个直立的大平面镜 AO 和 BO, 使物体和它对两个平面镜所成的像都摄入照像机,如图 O C 1-2-11 所示。图中带箭头的圆圈 P 代表一个人的头部(其尺 P 寸远小于 OC 的长度) ,白色半圆代表人的脸部,此人正面对 着照相机的镜头;有斜线的半圆代表脑后的头发;箭头表示 头顶上的帽子,图 1-2-11 为俯视图,若两平面镜的夹角∠AOB=72?,设人头的中心恰好位于 角平分线 OC 上,且照相机到人的距离远大于到平面镜的距离。 1、 试在图 1-2-11 中标出 P 的所有像的方位示意图。 2、在方框中画出照片上得到的所有的像(分别用空白和斜线表示脸和头发,用箭头表 示头顶上的帽子) 。 本题只要求画出示意图,但须力求准确。 解: 本题的答案如图 1-2-13 所示。 例 4、五角棱镜是光学仪器中常用的一种元件,如图 1-2-14 所示。棱镜用玻璃制成, BC、CD 两平面高度抛光,AB、DE 两平面高度抛光后镀银。试证明:经 BC 面入射的光线,不 管其方向如何, 只要它能经历两次反射 (在 AB 与 DE 面上) 与之相应的由 CD 面出射的光线, , 必与入射光线垂直。 解:如 图 1-2-15 所 示, i 表示 以 A P B 图 1-2-12 图 1-2-13 O

入射角, i ? 表示反射角,r 表示折射角,次序则以下标注明。光线自透明表面的 a 点入射, 在棱镜内反射两次,由 CD 面的 e 点出射。可以看得出,在 DE 面的 b 点; 入射角为 反射角为 在四边形 bEAC 中, A ? a ? 90 o ? i2 ? 90 o ? r1 ? 22 .5 o ? 67 .5 o ? r1 而 B
112.5? 112.5?

i2 ? r1 ? 22.5 o
? i2 ? i2 ? r1 ? 22.5 o

E

? ? 360 o ? 2 ? 112 .5o ? a ? 135 0 ? (67.5o ? r1 )
= 67.5 ? r1
o

90?

112.5?



是 在△cdb 中 ∠ cdb=180

, ?

C

D

? i3 ? i3 ? 90 o ? ? ? 22 .5 o ? r1
F A ?
112.5?

图 1-2-14
45?

? (i ? i ) ? (i ? i )
2 2 3 3

?

?

=180

? 2(r1 ? 22.5 ) ? 2(22.5 ? r1 ) ? 90
o o

0

B

i3 i3

112.5?

E

这就证明了:进入棱镜内的第一条光线 ab 总是 与第三条光线 ce 互相垂直。 由于棱镜的 C 角是直角, r1 =360?-270?-∠ dec=90?-∠dec= i1 。设棱镜的折射率为 n,根据折射 定律有

i2 i2 i1
90?

γ C

1

i4
112.5?

D γ
4

图 1-2-15

sin i1 ? n sin r1

sin r4 ? n sin i4

? r1 ? i4 ,? r4 ? i1 总是成立的,而与棱镜折射率的大小及入射角 i1 的大小无关。只要光路符
合上面的要求,由 BC 面的法线与 CD 面的法线垂直,又有 i1 ? r4 ,?出射 光线总是与入射光线垂直,或者说,光线经过这种棱镜,有恒定的偏转角 ——90?。 R 例 5、横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图 1-2-16 所示的形状,一束平 行光垂直地射入平表面 A 上。试确定通过表面 A 进入的光全部从表面 B d 射出的 R/d 的最小值。已知玻璃的折射为 1.5。 B 分析: 如图 1-2-17 所示, A 外侧入射的光线在外侧圆界面上的入 A 从 射角较从 A 内侧入射的光线入射角要大, 最内侧的入射光在外侧圆界面上 的入射角α 最小。如果最内侧光在界面上恰好发生全反射,并且反射光线 图 1-2-16 又刚好与内侧圆相切,则其余的光都能保证不仅在外侧圆界面上,而且在 后续过程中都能够发生全反射,并且不与内侧圆相交。因此,抓住最内侧光线进行分析,使 其满足相应条件即可。 解: 当最内侧光的入射角α 大于或等于反射临界角时,入射光线可全部从 B 表面射出

而没有光线从其他地方透出。

即要求

sin a ? sin a ?

1 n



R R?d

? R
O d A
图 1-2-17

所以

R 1 ? R?d n R 1 ? d n ?1

B





1 1 ?R? ? ?2 ? ? ? ? d ? min n ? 1 1.5 ? 1

点评 对全反射问题,掌握全反射产生的条件是基础,而具体分析临界条件即“边界光 线”的表现是解决此类问题的关键。

例 6. 普通光纤是一种可传输光的圆柱 B 空气 形细丝,由具有圆形截面的纤芯 A 和包层 B ?0 组成,B 的折射率小于 A 的折射率,光纤的 O A 端面与圆柱体的轴垂直,由一端面射入的光 在很长的光纤中传播时,在纤芯 A 和包层 B 的分界面上发生多次全反射。现在利用普通 光纤测量流体 F 的折射率。实验方法如下: 图 1-2-18 让光纤的一端(出射端)浸在流体 F 中。令 与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚在光纤入射端面的中心 O。 经端面折射进 入光纤,在光纤中传播。由于 O 点出发的光束为圆锥形,已知其边缘光线和轴的夹角为 α0, 如图 1-2-18 所示。最后光从另一端面出射进入流体 F。在距出射端面 h1 处放置一垂直于光 纤轴的毛玻璃屏 D,在 D 上出现一圆形光斑,测出其直径为 d1,然后移动光屏 D 至距光纤 出射端面 h2 处,再测出圆形光斑的直径 d2,如图 1-2-19 所示。 (1)若已知 A 和 B 的折射率分别为 nA 与 nB。 h2 求被测流体 F 的折射率 nF 的表达式。 (2)若 nA、nB 和 α0 均为未知量,如何通过进 h
1

一步的实验以测出 n F 的值? 分析 光线在光纤中传播时,只有在纤芯 A 与 包层 B 的分界面上发生全反射的光线才能射出光纤 的端面,据此我们可以作出相应的光路图,根据光 的折射定律及几何关系,最后可求出 n F 。 解: (1)由于光纤内所有光线都从轴上的 O 点出发,在光纤中传播的光线都与轴相交,位于通 过轴的纵剖面内,图 1-2-20 为纵面内的光路图。

B A F
d1
d2

D D
图 1-2-19

设由 O 点发出的与轴的夹角为α 的光线,射至 A、B 分界面的入射角为 i,反射角也为 i,该 光线在光纤中多次反射时的入射角均为 i,射至出射端面时的入射角为α 。若该光线折射后 的折射角为 ? ,则由几何关系和折射定可得

i ? a ? 90?

① ②

B

n A sin a ? nF sin?
i

o

A? i F

i ?

?

当 i 大于全反射临界角 c 时将发生全 反射, 没有光能损失, 相应的光线将以不变

i ? iC 的光线则因 的光强射向出射端面。而

图 1-2-20

在发生反射时有部分光线通过折射进入 B,反射光强随着反射次数的增大而越来越弱,以致 在未到达出射端面之前就已经衰减为零了。 因而能射向出射端面的光线的 i 的数值一定大于 或等于 c , c 的值由下式决定:

i

i

n A sin iC ? n B




iC 对应的α 值为

? C ? 90 0 ? iC
a0 ? aC , 即



s i an ? s i an ? c oiCs ? 1 ? s i2 nC ? 1 ? ( i 0 C



nB 2 ) nA

时 , 或

2 2 n A s i an ? n A ? n B 时,由 O 发出的光束中,只有 a ? aC 的光线才满足 i ? iC 的条件下, 0

才能射向端面,此时出射端面处α 的最大值为

a max ? ac ? 90 0 ? iC




2 2 a 0 ? a c ,即 n A sin a 0 ? n A ? n B 时,则由 O 发出的光线都能满足 i ? iC 的条件,

因而都能射向端面,此时出射端面处α 的最大值为

a max ? a0



端面处入射角α 最大时,折射角θ 也达最大值,设为

? max ,由②式可知

n F sin? max ? n A sin a max
由⑥、⑦式可得,当



a 0 ? aC 时,

nF ?

n A sin a 0 sin ? max
a 0 ? aC 时,



由③至⑦式可得,当

2 2 n A ? nB n A cos iC nF ? ? sin ? max sin ? max

h2


? max 的数值可由图 1-2-21 上的几何关系求
得为

h1

B
O0

sin ? max

d 2 ? d1 2 ? ?(d 2 ? d1 ) / 2?2 ? (h2 ? h1 ) 2

A


O max

d 1 O1

d 2 O2

F O max D D

于是 n F 的表达式应为 图 1-2-21

? d ? d1 ? 2 ( d ? d1 ) nF ? n A sin? ? 2 ? ?? 0 ? ? C ? ? ? (h2 ? h1 ) / 2 2 ? 2 ?
2

(11)

2 2 nF ? n A ? nB

? d 2 ? d1 ? 2 ? ? ? (h2 ? h1 ) ? 2 ? ? ?? 0 ? ? C ? (d 2 ? d 1 ) 2
2

(12)

? (2) 可将输出端介质改为空气, 光源保持不变, 按同样手续再做一次测量, 可测得 h1 、
? ? h2 、 d 1? 、 d 2 ,这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同。已知空气的折射率等于 1,故
有 当 ? 0 ? ? C 时,

1 ? n A sin ? 0
当? 0 ? ? C 时

?(d 2? ? d1? ) / 2?2 ? (h2? ? h1? ) 2
? (d 2 ? d1? ) / 2
(13)

1? n ?n
2 A

2 B

?(d 2? ? d1? ) / 2?2 ? (h2? ? h1? ) 2
? ( d 2 ? d1? ) / 2
(14)

将(11) (12)两式分别与(13) (14)相除,均得

nF ?

? d 2 ? d1? d2 ? d

? d 2 ? d1 ? 2 ? ? ? (h2 ? h1 ) ? 2 ?

2

?(d 2? ? d1? ) / 2?2 ? (h2? ? h1? ) 2

(15)

此结果适用于 ? 0 为任何值的情况。


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