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江苏省沭阳县2014-2015学年高二下学期期中调研测试数学试题(扫描版)


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2014~2015 学年度第二学期期中调研测试 高二数学试题参考答案 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写

在答题卡相应位置 ....... 上 . . 1.函数 f ( x) ? lg(2 x ? 1) 的定义域为 ( , ??) . 2.已知全集 U ? ?1, 2,3? ,集合 A ? ?1? ,集合 B ? ?1, 2? ,则 A ?U B ? ?1,3? . 3. 函数 y ? a
x?2

1 2

? 1(a ? 0, a ? 1) 不论 a 为何值时,其图像恒过的定点为 (2, 2) .
1 4 1 . 9

4.已知幂函数 f ( x) 的图像过点 (2, ) ,则 f (3) ?

5.已知函数 f ? x ? ? ?

?log 3 x, x ? 0, ?2 ,
x

x ? 0.

则 f?f?

? ? 1 ?? 1 . ?? 的值为 8 ? ? 27 ??

6.已知 a, b ? R ,若 2a ? 5b ? 100 ,则

1 1 1 . ? ? a b 2

7.关于 x 的方程 x ? 2(a ? 1) x ? 2a ? 6 ? 0 的两根为 ? , ? ,且满足 0 ? ? ? 1 ? ? ,则 a 的
2

取值范围是

5 (?3, ? ) . 4
* *

8. 已知 f 是有序数对集合 M ? {( x( 正整数数对 ( x, y ) 在 ,n y,)n | )x ? N , y ? N } 上的一个映射,

( x, y )

(m, n)

(n, m)

映射 f 下对应的为实数 z , 记作 f ( x, y ) ? z . 对于任意的正整数 m, n (m ? n) , 映射 f 由下表给出:

f ( x, y )

n

m?n

m? n

则使不等式 f (2, x)≤3 的解集为 {1, 2} . 9.已知函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 2) ? x ? 5 存在唯一零点 x0 ,则大于 x0 的最小整数为 3 . 10.函数 y ?

2x ? 4 ,x ? [0,3]且x ? 2 的值域为 ? ??, ?2? x?2

?10, ?? ? .

11.生活中常用的十二进位制,如一年有 12 个月,时针转一周为 12 个小时,等等,就是逢

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12 进 1 的计算制,现采用数字 0~9 和字母 A、B 共 12 个计数符号,这些符号与十进制 的数的对应关系如下表; 十二进制 十进制 0 0 1 1 2 ] 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 A 10 B 11

例如用十二进位制表示 A+B=19,照此算法在十二进位制中运算 A×B= 92 . 12 . 已 知 函 数 f ( x) ?

3 ? ax (a ? ?1) 在 区 间 ? 0,1? 上 是 减 函 数 , 则 a 的 取 值 范 围 是 a2 ?1

(?1, 0) (1,3] .
13.已知大于 1 的任意一个自然数的三次幂都可写成连续奇数的和.如: 23 ? 3 ? 5 ,

33 ? 7 ? 9 ? 11 , 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ,
… 若 m 是自然数,把 m3 按上述表示,等式右侧的奇数中含有 2015,则 m ? 14. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 既是奇函数, 又是周期函数, 且周期为 45 .

3 3 .当 x ? [0, ] 时, 2 4
? f (100) 的 值 为

f ( x) ?

a ? sin ? x ? bx ( a 、 b ? R ) , 则 2 ? cos ? x

f (1) ? f (2) ?

?

2 2 ? . 2 3

二、解答题: 本大题共 6 小题, 15—17 每小题 14 分,18—20 每小题 16 分,共计 90 分.请 在答题卡指定的区域内作答 , 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ........... 15. (本题满分 14 分) 已知命题 A ? x x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 , B ? ? x (1)若 A

?

?

? x?m?3 ? ? 0, m ? R ? . x?m ? ?

B ? (2, 4) ,求 m 的值;

(2)若 B ? A ,求 m 的取值范围. 15. 【解答】 :化简得 A= x ?2 ? x ? 4 , B= x m ? 3 ? x ? m .

?

?

?

?

………………6 分

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(1)因为 A

B ? (2, 4) 所以有 m ? 3 ? 2且m ? 4, 则m ? 5 .

………………10 分

(2)因为 B ? A ,即 ?

?m ? 3 ? ?2 解得 1 ? m ? 4 . ?m ? 4

…………………………14 分

16. (本题满分 14 分) 已知 z 为复数, z ? 2i 为实数,且 (1 ? 2i ) z 为纯虚数,其中 i 是虚数单位. (1)求复数 z ; (2)若复数 z 满足 ? ? z ? 1 ,求 ? 的最小值. 16. 【解答】 : (1) 设z =a ? bi (a, b ? R ) , 则 z ? 2i ? a ? (b ? 2)i ,因为 z ? 2i 为实数,所以有 b ? 2 ? 0 ① ………………2 分 (1 ? 2i ) z ? (1 ? 2i )(a ? bi ) ? a ? 2b ? (b ? 2a)i ,因为 (1 ? 2i ) z 为纯虚数, 所以 a ? 2b ? 0, b ? 2a ? 0 ,② ……………………………………4 分 由①②解得 a ? 4, b ? ?2 . ………………………6 分 故 z =4 ? 2i . (2)因为 z =4 ? 2i ,则 z ? 4 ? 2i ,
2 2

………………………7 分 ………………………8 分
2

设 ? ? x ? yi ( x, y ? R ) ,因为 ? ? z ? 1 ,即 ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 1
2

………10 分

又 ? = x2 ? y 2 , 故 ? 的最小值即为原点到圆 ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 1 上的点距离的最小值, 因为原点到点 (4, 2) 的距离为 42 ? 2 2 ? 2 5 ,又因为圆的半径 r=1,原点在圆外, 所以 ? 的最小值即为 2 5 ? 1 . 17. (本题满分 14 分) 某商场欲经销某种商品,考虑到不同顾客的喜好,决定同时销售 A 、 B 两个品牌,根据生产 厂家营销策略,结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析, A 品牌的销售利润 y1 与投 x 入资金 成正比,其关系如图 1 所示, B 品牌的销售利润 y2 与投入资金 x 的算术平方根成正比, 其关系如图 2 所示 (利润与资金的单位: 万元) . x y y 1 ( )分别将 A 、 B 两个品牌的销售利润 1 、 2 表示为投入资金 的函 数关系式; (2)该商场计划投入 5 万元经销该种商品,并全部投入 A 、 B 两个品牌,问:怎样分配这 5 万元资金,才能使经销该种商品获得最大利润,其最大利润为多少万元?
y2 y1
1.

……………………………………14 分

0. O 2 (图 1) (第 17 题) x O (图 2) 4 x

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17. 【解答】 : (1)

因为 A 品牌的销售利润 y1 与投入资金 y1 ? k1 x???( x ? 0) , 又过点 (2, 0.5) ,所以 k1 ?

x

成正比,设

1 1 ,所以 y1 ? x???( x ? 0) 4 4
x

………………3 分 的算术平方根成正比,设

B 品 牌 的 销 售 利 润 y2 与 投 入 资 金

y2 ? k2 x ???( x ? 0)
y2 ?

, 又 过 点

(4,1.5) , 所 以 k2 ?

3 4

, 所 以 设

3 x ???( x ? 0) , ………………6 分 4 x (2) 设总利润为 y ,投入 B 品牌为 万元, 则投入 A 品牌为 (5 ? x) 万元, 1 3 则 y ? (5 ? x) ? ………………8 分 x (0 ? x ? 5) 4 4 1 令 t ? x (0 ? t ? 5) ,则 y ? (?t 2 ? 3t ? 5) ………………10 分 4 1 3 29 ? ? (t ? ) 2 ? 4 2 16 3 9 9 11 29 当 t ? 时,即 x ? 时,投入 A 品牌为: 5 ? ? , ymax ? ………………13 分 2 4 4 4 16 11 9 29 答:投入 A 品牌 万元、B 品牌 万元时,经销该种商品获得最大利润,最大利润为 万 4 4 16
元. 18. (本题满分 16 分) ……………………14 分

(1)找出一个等比数列 ?a n ? ,使得 1, 2 ,4 为其中的三项,并指出分别是 ?a n ? 的第几 项; (2)证明: 2 为无理数; (3)证明:1, 2 ,4 不可能为同一等差数列中的三项.

n ?1 18. 【解答】 : (1)取首项为 1,公比为 2 ,则 a n =( 2) ,

……………………2 分 ……………………4 分

则 a 1 =1, a 2 = 2, a 5 =4 . (2)证明:假设 2 是有理数,则存在互质整数 h, k ,使得 2 ? 则 h 2 ? 2k 2 ,所以 h 为偶数, 设 h ? 2l ,
l

h ,………………5 分 k
……………………7 分

为整数,则 k 2 ? 2l 2 ,所以 k 也为偶数, ……………………9 分

则 h, k 有公约数 2,这与 h, k 互质相矛盾,

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所以假设不成立,所以 2 是有理数.

……………………10 分

(3)证明:假设 1 , 2 ,4 是同一等差数列中的三项, 且分别为第 n, m, p 项且 n, m, p 互不相等, ……………………11 分

设公差为 d ,显然 d ? 0 ,则 2 ? 1 ? ( m ? n) d , 4 ? 1 ? ( p ? n) d , 消去 d 得, 2 ? 1 ?

3(m ? n) , p?n 3(m ? n) 为有理数, p?n

……………………13 分

由 n , m , p 都为整数,所以 1 ?

由(2)得 2 是无理数,所以等式不可能成立,

……………………15 分

所以假设不成立,即 1, 2 ,4 不可能为同一等差数列中的三项. …………………16 分 19. (本题满分 16 分) 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? ln(e (1)求实数 a 的值; (2)判断 f ? x ? 在 [0, ??) 上的单调性,并用定义法证明; (3)若 f ( x 2 ?
2x

? 1) ? ax(a ? R ) 是偶函数.

1 m ) ? f (mx ? ) 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2 x x

19. 【解答】 : (1)因为 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,所以 f ?1? ? f ( ?1) , 即 ln(e ? 1) ? a ? ln(e
2 ?2

? 1) ? a ,即 2a ? ln(
2x

e ?2 ? 1 ) ? ?2 ,得 a ? ?1 , ……………2 分 e2 ? 1

当 a ? ?1 时, f ? x ? ? ln(e

? 1) ? x , ? 1) ? x ? ln(e 2 x ? 1) ? x ? f ? x ? ,综上 a ? ?1 ………4 分
………………………………5 分

对于 ?x ? R , f ? ? x ? ? ln(e

?2 x

(2) f ? x ? 在 [0, ??) 上是单调增函数, 证明如下: 设 x1 , x2 为 [0, ??) 内的任意两个值,且 x1 ? x2 ,则

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f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ln(e 2 x1 ? 1) ? x1 ? ln(e 2 x2 ? 1) ? x2
? ln( e 2 x1 ? 1 (e 2 x1 ? 1)e x2 ? x1 e x2 ? x1 ? e x2 ? x1 x2 ? x1 ) ? ln(e ) ? ln[ ] ? ln( ) e 2 x2 ? 1 e 2 x2 ? 1 e 2 x2 ? 1
x2 ? x1

因为 0 ? x1 ? x2 ,所以 x2 ? x1 ? 0, x2 ? x1 ? 0 ,所以 e 所以 e
x2 ? x1

? 1, e x2 ? x1 ? 1 ,

? e x2 ? x1 ? (e 2 x2 ? 1) ? (1 ? e x2 ? x1 )(e x2 ? x1 ? 1) ? 0 ,所以 e x2 ? x1 ? e x2 ? x1 ? (e 2 x2 ? 1) ,

所以

e x2 ? x1 ? e x2 ? x1 ? 1 ,所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , e 2 x2 ? 1
………………………………10 分

所以 f ? x ? 在 [0, ??) 上是单调增函数.

(3) f ? x ? 在 [0, ??) 上是单调增函数,且是偶函数,又 f ( x 2 ? 所以 x 2 ? 令t ? x ?

1 m ) ? f (mx ? ) , 2 x x

1 m ? mx ? , 2 x x
1 ,则 t ? ? ??, ?2? x
2

………………………………12 分

? 2, ?? ? ,
2 恒成立, t
………………………………14 分

所以 mt ? t ? 2 , m ? t ?

因为 t ?

2 ,关于 t 在 ? 2, ?? ? 上单调递增, t 2 ? 1 ,所以 m ? 1 恒成立,所以 ?1 ? m ? 1 . t
………………………16 分

所以 t ?

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 1, g ( x) ?| x ? a | .
2

(1)当 a ? 1 时,求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的零点; (2)若方程 | f ( x) |? g ( x) 有三个不同的实数解,求 a 的值; (3)求 G ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 [?2, 2] 上的最小值 h(a ) .

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? x 2 ? x,?????????x ? 1, ? 20. 【解答】 : (1)当 a ? 1 时, F ( x) ? x ? 1? | x ? 1|? ? , ………2 分 2 ? ? x ? x ? 2,??? x ? 1.
2

令 F ( x) ? 0 得,当 x ? 1 时, x 2 ? x ? 0 , x ? 1 ( x ? 0 舍去) 当 x ? 1 时, x 2 ? x ? 2 ? 0 , x ? ?2 ( x ? 1 舍去) 所以当 a ? 1 时, F ( x) 的零点为 1, ?2 (2)方程 | f ( x) |? g ( x) ,即 | x 2 ? 1|?| x ? a | , 变形得 ( x ? x ? a ? 1)( x ? x ? a ? 1) ? 0 ,
2 2

………………………………4 分

………………………………6 分

从而欲使原方程有三个不同的解,即要求方程 x 2 ? x ? a ? 1 ? 0 …(1) 与 x 2 ? x ? a ? 1 ? 0 …(2) 满足下列情形之一: (I)一个有等根,另一个有两不等根,且三根不等 (II)方程(1) 、 (2)均有两不等根且由一根相同; 对情形(I) :若方程(1)有等根,则

5 a ? ? 代入方程(2)检验符合; 4 5 若方程(2)有等根,则 ? ? 1 ? 4(a ? 1) ? 0 解得 a ? 代入方程(1)检验符合;……8 分 4
? ? 1 ? 4(a ? 1) ? 0
解得 对情形(II) :设 x0 是公共根,则 x0 2 ? x0 ? a ? 1 ? x0 2 ? x0 ? a ? 1 , 解得 x0 ? a 代入(1)得 a ? ?1 ,

a ? 1 代入 | f ( x) |? g ( x) 检验得三个解为-2、0、1 符合 a ? ?1 代入 | f ( x) |? g ( x) 检验得三个解为 2、0、-1 符合
故 | f ( x) |? g ( x) 有三个不同的解的值为 a ? ?
2

5 或 a ? ?1 . 4

……………10 分

(3)因为 G ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? 1? | x ? a | = ?
2

? x 2 ? x ? a ? 1 ( x ? a) , 2 x ? x ? a ? 1 ( x ? a ) ?
1 2 1 , 2] 上递增, 2

① 当 a ? ?2 时 G ( x) ? x ? x ? 1 ? a ,在 [ ?2, ? ] 上递减,在 [ ? 故 G ( x) 在 [?2, 2] 上最小值为 G ( x) min ? G ( ? ) ? ?

1 2

5 ? a ………………11 分 4

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② 当 a ? 2 时 G ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? a ,在 [ ?2, ] 上递减,在 [ , 2] 上递增, 故 G ( x) 在 [?2, 2] 上最小值为 G ( x) min ? G ( ) ? ?

1 2

1 2

1 2

5 ? a ………………12 分 4

? x 2 ? x ? a ? 1 (a ? x ? 2) ? ③ 当 ?2 ? a ? 2 时, G ( x) ? ? ? x 2 ? x ? a ? 1 (?2 ? x ? a ) ? 1 1 1 (i)当 ?2 ? a ? ? 时,结合图形可知当 x ? [?2, ? ] 时递减,在 [ ? , 2] 上递增 2 2 2 1 5 故此时 G ( x) 在[-2,2]上的最小值为 G ( x) min ? G ( ? ) ? ? ? a ………………13 分 2 4 1 1 (ii)当 ? ? a ? 时,结合图形可知当 x ? [?2, a ] 时递减,当 x ? [a, 2] 时递增, 2 2
故此时 G ( x) 在[-2,2]上的最小值为 G ( x) min ? G (a ) ? a 2 ? 1 (iii)当 ……………………14 分

1 1 1 ? a ? 2 时,结合图形可知当 x ? [?2, ] 时递减,当 x ? [ , 2] 时递增, 2 2 2 1 5 ………………………15 分 G ( x) 在 [?2, 2] 上最小值为 G ( x) min ? G ( ) ? ? ? a 2 4

5 1 ? ? ? 4 ? a, ( a ? 2 ) ? 1 1 ? 2 综上所述: h(a ) ? ?a ? 1, ( ? ? a ? ) ………………………16 分 2 2 ? 1 ? 5 ? ? 4 ? a, ( a ? ? 2 ) ?
解法二:因为 G ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? 1? | x ? a | = ?
2

? x 2 ? x ? a ? 1 ( x ? a) , 2 ? x ? x ? a ? 1 ( x ? a)

1 1 1 时, G ( x) 在 [ ?2, ? ] 上递减,在 [ ? , 2] 上递增, 2 2 2 1 5 故 G ( x) 在 [?2, 2] 上最小值为 G ( x) min ? G ( ? ) ? ? ? a ………………12 分 2 4 1 1 1 2 ② 当 a ? 时 G ( x) ? x ? x ? 1 ? a ,在 [ ?2, ] 上递减,在 [ , 2] 上递增, 2 2 2 1 5 故 G ( x) 在 [?2, 2] 上最小值为 G ( x) min ? G ( ) ? ? ? a ………………14 分 2 4 1 1 ③ 当 ? ? a ? 时, G ( x) 在 [?2, a ] 上递减,当 x ? [a, 2] 时递增,故此时 G ( x) 在 2 2
① 当a ? ? [-2,2]上的最小值为 G ( x) min ? G (a ) ? a 2 ? 1

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5 1 ? ? ? 4 ? a, ( a ? 2 ) ? 1 1 ? 2 综上所述: h(a ) ? ?a ? 1, ( ? ? a ? ) 2 2 ? 1 ? 5 ? ? 4 ? a, ( a ? ? 2 ) ?
………………………16 分

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