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人教A版 必修二 第4章 4.3 4.3.2 空间两点间的距离公式


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4.3.2 空间两点间的距离公式

1.已知空间坐标系中,A(1,1,1),B(-3,-3,-3),则线 段 AB 的长|AB|=( A )

A.4
?1 ? ? ,3,0? ?2 ? __________.

3

B.2

/>3

C.4

2

D.3

2

2 .已知 A( -2,4,0) ,B(3,2,0) ,则线段 AB 的中点坐标是

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? ? 3.点 P 的坐标是?1, 2, 3?,过 P 作 yOz 平面的垂线, ? ?

(0, 2, 3) 垂足为 Q,则 Q 点的坐标是____________,过 P 作 y 轴的垂线,
(0, 2,0) 垂足为 H,则 H 点的坐标是___________.
4.已知 A(1,-2,1),B(2,2,2),点 P 在 z 轴上,且|PA |=|PB|, (0,0,3) 则点 P 的坐标为_______. 5.已知△ABC 的三个顶点分别为点 A(3,1,2),B(4,-2,

30 -2),C(0,5,1),则 BC 边上的中线长为______. 2

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重点

空间两点的距离公式

1.空间两点距离公式:设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),

则|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2.
2.中点坐标公式:设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),

则 AB 的中点 M

?x1+x2 y1+y2 z1+z2? 的坐标是? , 2 , 2 ?. ? 2 ?

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两点间的距离公式 例 1:已知两点 P(1,0,1)与 Q(4,3,-1). (1)求 P、Q 之间的距离;

(2)求 z 轴上的一点 M,使|MP|=|MQ|.

解:(1)|PQ|= ?1-4?2+?0-3?2+?1+1?2= 22. (2)设 M 点的坐标为(0,0,z), 则|MP|= 12+02+?z-1?2, |MQ|= ?4-0?2+?3-0?2+?-1-z?2, 又|MP|=|MQ|, 故 1+(z-1)2=16+9+(z+1)2,解得 z=-6, ∴M 点的坐标为(0,0,-6).

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1-1.求到两定点 A(2,3,0),B(5,1,0)的距离相等的点的坐标 (x,y,z)满足的条件.

解:设 P(x,y,z)为满足条件的任一点,
则由题意得

|PA|= ?x-2?2+?y-3?2+?z-0?2, |PB|= ?x-5?2+?y-1?2+?z-0?2.
∵|PA |=|PB|, ∴6x-4y-13=0 即为所求点所满足的条件.

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1-2.已知空间三点 A(0,0,3),B(4,0,0),C(4,5,0),求三角形 的周长.

解:∵A(0,0,3),B(4,0,0),C(4,5,0), ∴|AB|= ?0-4?2+02+?3-0?2 =5, |BC|= ?4-4?2+?0-5?2+02 =5, |AC|= ?0-4?2+?0-5?2+?3-0?2 =5 ∴三角形的周长为 10+5 2. 2,

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空间两点间距离公式的应用 例 2:在 xOy 平面内的直线 x+y=1 上确定一点 M,使 M

到点 N(6,5,1)的距离最小. 解:由已知,可设 M(x,1-x,0),

则|MN|= ?x-6?2+?1-x-5?2+?0-1?2 = 2?x-1?2+51. ∴|MN|min= 51.

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2-1.已知 A(2,m,m),B(1-m,1-m,m),求|AB|的最小

值.

解 : |AB| = 5m -2m+2=
2

?1-m-2?2+?1-m-m?2+?m-m?2 =

? 1?2 9 5?m-5? +5. ? ?

1 3 5 ∴当 m=5时,|AB|取得最小值 5 .

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2-2.已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1,-2,11), B(4,2,3),C(6,-1,4),请判断△ABC 的形状.

解:|AB|= ?4-1?2+?2+2?2+?3-11?2= 89, |AC|= ?1-6?2+?-2+1?2+?11-4?2= 75, |BC|= ?4-6?2+?2+1?2+?3-4?2= 14, ∵|AC|2+|BC|2=|AB|2,∴△ABC 为直角三角形.

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空间直角坐标系的应用 例 3: 如图 1,正方体边长为 1,以正方体的三条棱所在的 直线为坐标轴,建立空间直角坐标系 Oxyz,点 P 在正方体的对

角线 AB 上,点 Q 在正方体的棱 CD 上.

图1

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(1) 当点 P 为对角线 AB 中点,点 Q 在棱 CD 上运动时,求 |PQ|的最小值; (2)当点 Q 为棱 CD 的中点,点 P 在对角线 AB 上运动时, 求|PQ|的最小值.

解:(1)依题意 则|PQ|= =

?1 1 1? P?2,2,2?,设点 ? ?

Q(0,1,z),

?1?2 ?1 ?2 ?1 ?2 ? ? +? -1? +? -z? ?2? ?2 ? ?2 ?

? 1?2 1 ?z- ? + . 2? 2 ?

1 2 ∴当 z=2时,|PQ|min= 2 , 1 此时 Q(0,1,2),Q 恰为 CD 的中点.

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1 (2)依题意 Q(0,1,2),设 P(x,x,z), 则|PQ|= = x +?x-1?
2 2

? 1? ?z- ?2 + 2? ?

? 1? ? 1? 1 ?x- ?2+?z- ?2+ . 2 2? ? 2? 2 ?

1 2 ∴当 x=z=2时,|PQ|min= 2 , 此时 P
?1 1 1? 点坐标为?2,2,2?,P ? ?

恰为 AB 的中点.

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3-1.正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD 和平面 ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移 动,若 CM=BN=a(0<a<

2).

(1)求 MN 的长;
(2)a 为何值时,MN 的长最小? 解:(1)∵平面 ABCD⊥平面 ABEF, 平面 ABCD∩平面 ABEF=AB,AB⊥BE, ∴BE⊥平面 ABCD,则 AB、BE、BC 两两垂直.

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以 B 为坐标原点,以 BA、BE、BC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系.



? M? ?

? 2 ? 2 2 ? 2 ?,N? a, a,0?, 2 a,0,1- 2 a? 2 ? 2 ? ? ? ? ?2 2 2 ?2 ? 2 ?2 ? 2 ? +? ? +? ? 2 a- 2 a? ?0- 2 a? ?1- 2 a-0? ? ?a- ?

|MN|=
2

= a - 2a+1=

2?2 1 ? + . 2? 2

2 2 ? ? (2)当 a= 2 时,?MN?min= 2 ,此时 M、N 恰好为 AC、BF 的中点.

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例 4:给定空间直角坐标系,在 x 轴上找一点 P,使它与点

P0(4,1,2)的距离为 30.
错因剖析:开方运算时容易漏掉负数.

正解:设点 P 的坐标是(x,0,0),由题意,|P0P|= 30, 即 ?x-4?2+12+22= 30,
∴(x-4)2=25,解得 x=9 或 x=-1.
∴点 P 坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).

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4-1.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2),B(1,-3,1),

点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐标是
(0,-1,0) __________. 解析:设 M(0,y,0),由12+y2+4=1+(-3-y)2+1,可得 y=-1.故 M(0,-1,0).


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