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揭秘高考圆锥曲线离心率的几种常规求法——离心率取值范围问题的求解策略


● 

雅 ● 

解 题 技 巧 与 方 法 
?

殛?  
● 

搦秘高考  锥 线离心牟  
◎张 利 平  ( 新 疆 沙 湾 县 第 一 中学 8 3 2 1 0 0 )  

种常规求法  

离心率 取值 范 围问

题 的求 解 策略 

【 摘要 】 离心 率是 圆锥 曲线 的一个特 别 重要性 质, 求圆  
锥 曲线 离 心 率 的值 或 取 值 范 围, 是 解析 几 何 中 的重 点、 难  点, 也 是 高 考 中考 查 的 高 频 考 点. 纵 观 近年 的高 考, 数 学 试 
题越 来越 “ 返 璞 归真 ” , 既 不 需 要 深 奥 的知 识 , 也没有高 难的  

解析
2   M F2 F1 .  


如 右 图 由 直 线 方 程 为 y=  

(  +C ) , 知 /MF l F 2 = 6 0 。 , 又/ _ MF l F 2 =  



. 

M F2 F1= 3 0。, M F1上 M F2,  

技巧, 许 多题 目源 于 课 本 , 由若 干 基 础 知 识 经 串并 联 、 类 比、  


?



I  F   l = c ,   I MF   I =   ,  

改造 而 成 , 正所谓“ 问渠哪得 清如 许, 为有 源头活 水来 ” . 通 


- .

过 引 申、 拓展 、 探究, 做到解一题通 一片, 跳 出 题 海.  

『  F   l +l MF   l = c +   = 2 a ,  
Ⅱ 

【 关键词】 圆锥 曲线 ; 离心 率 ; 椭 圆; 双 曲线 ; 焦 点; 取值 
范围; 曲线 类 型 ; 类比方法; 齐次不 等式 ; 抛物 线; 定 义; 正弦  
定理 ; 余 弦定 理 ; 高 考 题 

即 e = 三 =   一1 . 故 填  一1 .   二、 构造 。 、 c的 齐次 式 。 求解离心率 e  

根据题设条件 , 借助 o , b , c 之 间 的关 系 , 构造 o , c的 关  系( 特别是齐二次式 ) , 进 而 得 到 关 于 e的 一 元 方 程 , 从 而 解  得 离心率 e .  
例2   ( 2 0 1 4? 重 庆 高 考 理 第 8题 ) 设 ,   , F   分 别 为 双 

求离 心 率 的值或 取 值范 围 , 是 解析 几何 中的重 点 、 难  点, 离 心率 也 是 历 年 来 是 圆 锥 曲线 客 观 题 的 考 查 重 点 , 对 于  求 圆锥 曲线 离 心 率 的 问题 , 通常有两类 : 一是求 椭 圆和双 曲  
线的离心率 ; 二 是求 椭 圆 和双 曲 线 离 心 率 的 取 值 范 围 , 属 于 

曲 线  一 告= 1 ( n > 0 , 6 > 0 ) 的 左 、 右焦点 , 双曲 线 上 存在  
Ⅱ  


中档 次 的 题 型 . 一般来 说 , 求 椭 圆( 或 双 曲线 ) 的离 心率 、 或  离 心 率 的 取 值 范 围 只 需 要 由条 件 得 到 一 个 关 于 基 本 量 。 , 6 ,   c , e的一 个 方 程 , 或 不等式 , 就 可 以 从 中求 出 离 心 率 或 其 范  围. 许 多 题 目源 于课 本 , 由若 干 基 础 知 识 经 串 并 联 、 类 比、 改 
造而成 , 正所谓 “ 问渠哪得 清如许 , 为 有源 头活水 来” . 用 最 

点P使得 I   P F   I +I   P F : I : 3 b ,   I P F 。 I .I   P F   I = — 9   。 6则 


该 双 曲线 的 离 心 率 为 (  

) .  

A . ÷  
解析

C .   4  

D . 3  

不 妨 设 P为 双 曲线 右 支 上 一 点 , 根 据 双 曲 线 的 

淳朴的定义来解 题是最 好 的, 此 时 无 招 胜 有 招 !笔 者 根 据  2 0多 年 的 高 中数 学 教 学 经 验 , 小 结 如下 方 法 供 同 学们 借 鉴 .  


定义有 『 P F 。 『 一I 尸 ,   I = 2 a , 联立 l   P F   l 十I   P F   l = 3 b , 平方  相减 得 l   P F , 1 .  1   P ,   I =   , 则 由题 设 条 件 得,  



直 接 求 出 0、 c 。 求解离心率 e  

已知 圆 锥 曲线 的 标 准 方 程 或 o , c 易 求时 , 可 利 用 率 心  率公式 e :   来解决.  

亏 斗   垡= ÷ 斗   n 6 , 整 理 得   b = 了 4 j   .  
?




e =

例 1  

( 2 0 1 3?浙 江 ) 如 图, F 。 , , :  
2  

÷ _ √   + ( ÷ )   - √   + ( ÷ )   = ÷ .  

故选 B .  

是 椭圆C 一 : }+ Y   = 1 与 双曲 线C z 的 公  
共焦 点, A , B分别是 C 。 , C  在 第 二 、 四象 
限 的公 共 点 , 若 四边形 A F 。  F  为 矩 形 ,   则 C  的 离 心 率 是 (   ) .  

三、 采 用 离 心 率 的 定 义 以 及 椭 圆 双 曲线 的 定 义 求 解 离 
心率 e  

例3   设椭圆 的两个 焦点分 别 为 F , , F   , 过, :作 椭 圆  
长 轴 的 垂 线 交 椭 圆于 点 P, 若 △F   P F 2为 等 腰 直 角 三 角 形 ,  

则椭圆的离心率是(  

) .  
一  

A  


B .  

c . ÷   D .  

A .   z  4
. 

B   .   一   1  
. 

c .   c.  

D   .  3 - 一1 .   一   

解析  由椭圆方程知 l   F   F   I = 2 √ - 设双曲线的方程为  

解析 易得 l P F   l = 2 c , l P F 。 l = 2   , 由椭圆的定义:  

告= 1 ( 。 > o , 6 > o ) ,  





’ .


l   A F   l +l   A F , } ; 4 ,   l A F   l 一『 A F 。 l = 2 a ,   J   A F 2   l = 2 + 口 , .   I A F l } = 2一 。 .  
由勾 股 定 理 : ( 2一 口 ) 。 +( 2+。 )  =( 2   ) ‘ ,  
口 :  , . . .   :

l   e v   I +I   P F z   I _ 2  
—  

÷ 口    口   ;   l , , . 1 十 『 r , , l  

:  



:  

一1 .  

2√ 2 c+2 c √ 2+1  
故选 B .  

在 l t t AF   A , 2中 ,  F   A F 2 = 9 0 。 ,  
? . .

四、 建 立等 量 关 系 求解 离 心 率 e  



_ ! _:   - 8 -






故选 D .  

例4 ( 2 O O 9 ? 全国 卷I ) 设 双曲 线   一 告= 1 ( 。 > 0 ,  
0   0  

数学学习与研究

2 0 1 5 . 9  

■  

. 

● . - l 釜 一 ●   。  
● 

解 题 技 巧 与 方 法 

b >0 ) 的渐 近 线 与 抛 物 线 Y=   +1相 切 则 该 双 曲 线 的 离心 

率等于(  
. 

) .  

即  
?
. .

= ÷ 。 . 南 一÷ ,  

B   2  

C . §


D  

- ’ ‘   _ r _   i  = ÷+ l   >   ( P 不与F 不与    F : z 共线,     I P F : z   I <  
。+ c ) , . ‘ . e +l >   二 _ - 一 , . ’ . ( e +1 )  >2 .  
又‘ . ‘ 0<P <1 , . ‘ .  ̄ / 2— 1< e <1 , 故选 C .  
六、 构 建 关 于 e的不 等 式 。 求 离 心 率 e的 取值 范 围  例 6   ( 2 0 1 3?重庆 ) 设 双 曲 线 C 的 中 心 为 点 0, 若有  

解析

’ . ‘ 双 曲 线  一百 y =1 ( 。> 0 b>o ) 的 一 条 渐 近 

线方程为 : y=  

, 代 入 抛 物 线 方 程 y: X 2 +1 , 整理得 a x 2 一  

- .



渐 近 线 与 抛 物 线相 切 , △= b   一 4 a  = 0 ,  


即 c  =5 口   , . ? . e=_ ! _=  

故选 C .  

.  

且 只 有 一 对 相 交 于 点 0、 所 成 的角 为 6 0 。 的直 线 A   B  和 

A   曰   使l   A   曰   l =1   A   曰   l , 其 中A , 、 B 。 和A   、 B   分别是这对 
直 线 与双 曲线 C 的交 点 , 则 该 双 曲线 的 离 心 率 的 取 值 范 围   是(   ) .  

变式练习 : ( 2 0 1 3? 四川) 从 椭 圆x   百 y =1 ( Ⅱ>6> 0 )   上 一 点 尸向  轴 作 垂 线 , 垂足恰 为左焦点 F   , A是 椭 圆 与 

轴正半轴的交点 , B 是 椭 圆 与 Y轴 正 半 轴 的 交 点 , 且A B∥  o P ( 0是 坐 标 原 点 ) , 则 该 椭 圆 的离 心 率 是 (  
A.

) .  

字   B . ÷   c . 譬   。 .  
一   ,  一

( 学, z ]   c . ( 竽, + 。 。 )  
于3 0 。 且 小 于或 等 于 6 0 。 ,  
即t a n   3 0 。<一 b ≤ t

B . [ 竽, 2 )   n . [ 学, +   )  

解 析  由题 意 可 设 P (一c , Y 。 ) , ( c为半 焦 距 ) ,  

解 析  由双 曲线 的 对 称 性 知 , 满 足 题 意 的 这 一 对 直 线 

也 关 于  轴 ( 或 y轴 ) 对称. 由题 意 知 有 且 只 有 一 对 这 样 的 

÷ .  

a 


直线 , 故该 双 曲 线 在 第 一 象 限 的 渐 近 线 的 倾 斜 角 范 围 是 大 
b c
y 。=   口  .  

由于 O P / / A 日, . ? .一 了 Y o—
C 

a n   6 0。,  

把点P f — c , 竺1 代人椭圆方程得:   、   a I  


? .

÷  ≤ s . 又 e 2 = ( ÷ )   =  =   +  ,  
÷< e 2 ≤ 4 , . . . 半< e ≤ 2 , 故 选 A .  
a  D  

+  
. . . 

… ( ÷ )   : ÷ ,  

. . .



三: 拿, 故 选e  

变式练习: 已知双曲线  一 告 = 1 ( 。 > 0 , b > 0 ) 的右焦 
点 为 F, 若 过 点 F且 倾 斜 角 为 6 O 。 的 直 线 与 双 曲线 的 右 支 有 
且只有一个交点 , 则 此 双 曲线 离 心 率 的取 值 范 围是 (   A . [ 1 , 2 ]   B . ( 1 , 2 )   D . ( 2 , +∞ )  
=1 ( 。>0 , b>o ) 的右焦点为 F ,  

五、 运 用 函 数 思 想 求 解 离 心 率 的 范 围 
例 5   ( 2 0 0 8 ?全 国 卷 Ⅱ )设 。 >1 , 则 双 曲线.   一  

) .  



= l 的 离 心 率 e 的 取 值 范 围 是 (  ) ?  
A. (   , 2 )   B . (   ,   )  

C . [ 2 , +∞ )  
解 析  双 曲线 " -   - i一  

C . ( 2 , 5 )  

D . ( 2 ,   )  

若 过 点 F且 倾 斜 角 为 6 O 。 的直 线 与 双 曲线 的 右 支 有 且 只 有 


解 析。 . , e 2 = ㈠  =  
. . 

…(   + ÷ )   ,  

个交点 , 则 该 直 线 的 斜 率 的 绝 对 值 小 于 等 于 渐 近 线 的 斜 

率  , . . .  


≥   , . . .  z :  

:  

≥4 .  

是 减 函数 , . . . 当 。>1 时, 0<   <1 ,  






e ≥2, 故选 C .  

? . .

2<e  < 5 , 即  < e <   , 故选 B .  

结 束 语 

变 式练 习 : 已知 椭 圆  +   Y =1 ( 。>b>0 ) 的左 、 右 焦  点分别 为 F   (一c , 0 ) 、 F  ( c , 0 ) , 若 椭 圆 上 存 在 点 P 使 

离心率是椭圆 、 双 曲线 的重 要 几 何 性 质 , 是 高 考 重 点 考  查的一个高频知识点 , 这 类 问题 一 般 有 两 类 : 一 类 是 根 据 一  定 的条 件 用 定 义 求 椭 圆 、 双曲线的离心率 ; 另 一 类 是 根 据 一 
定 的条 件 求 椭 圆 、 双 曲线 离 心 率 的 取 值 范 围 , 无 论 是 哪 类 问 

丽 a  
(   ) .  
A. ( 0, I )  



, 则 该 椭 圆 的 离 心 率 的 取 值 范 围 为  
B . (   一1 , 1 )  

题, 其难点都是建立关于 a , b , c的 关 系 式 ( 等式或不等 式 ) ,   并 且 最 后 要 把 其 中的 b 用 a , c 表达 . 转 化 为 关 于 离 心 率 e的  关 系式 , 或利用椭 圆、 双 曲线 的定 义 , 或 利用 a , c的 齐 次 式 

c . (   一 l , 1 )

D ? (   1 ,   一 1 )  
,  

关 系, 求解椭圆 、 双 曲线 的离心率 或其 范 围; 同 时 注 意 椭 圆 
离 心率 的取 值 范 围 e ∈ ( 0 , 1 ) , 双 曲 线 离 心 率 的 取 值 范 围 
e ∈( 1 , +   ) ; 这是化解 有关椭 圆 、 双 曲 线 的 离 心 率 问 题 难  点 的 根 本 方 法.  
数 学 学 习与 研 究

徂— 何   l P F   l  s i n  P F l F   s i n  P F 2 F  = 一 a ( P不 与 F 。 F   共线 )
C  

2 0 1 5 . 9  


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