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2014届高考数学(文)二轮复习作业手册(新课标·浙江专用)专题限时集训


新课标 数学(文科)· 浙江省专用

专题限时集训(一)A [第 1 讲 集合与常用逻辑用语]作 专题限时集训(一)B [第 1 讲 集合与常用逻辑用语]作 专题限时集训(二) [第 2 讲 算法初步、推理与证明]作 专题限时集训(三) [第 3 讲 平面向量与复数]作 专题限时集训(四)A [第 4 讲 不等式与线性规划]作 专题限时集训(四)B [第 4 讲 不等式与线性规划]作 专题综合训练(一) [专题一 突破高考客观题常考问题]作 专题限时集训(五) [第 5 讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质]作 专题限时集训(六) [第 6 讲 函数与方程、函数模型及其应用]作 专题限时集训(七) [第 7 讲 导数在研究函数性质中的应用]作 专题综合训练(二) [专题二 函数与导数]作 专题限时集训(八) [第 8 讲 三角函数的图像与性质]作 专题限时集训(九) [第 9 讲 三角恒等变换与解三角形]作 专题综合训练(三) [专题三 三角函数、三角恒等变换与解三角形]作 专题限时集训(十) [第 10 讲 等差数列、等比数列]作 专题限时集训(十一) [第 11 讲 数列求和及数列的简单应用]作 专题综合训练(四) [专题四 数 列]作 专题限时集训(十二) [第 12 讲 简单空间几何体]作 专题限时集训(十三) [第 13 讲 点、线、面之间的位置关系]作 专题限时集训(十四) [第 14 讲 空间角]作 专题综合训练(五) [专题五 立体几何]作 专题限时集训(十五) [第 15 讲 直线与圆]作 专题限时集训(十六) [第 16 讲 圆锥曲线的方程与性质]作 专题限时集训(十七) [第 17 讲 圆锥曲线的热点问题]作 专题综合训练(六) [专题六 平面解析几何]作 专题限时集训(十八) [第 18 讲 概率与统计]作 专题综合训练(七) [专题七 概率与统计]作 专题限时集训(十九) [第 19 讲 函数与方程思想、数形结合思想]作 专题限时集训(二十) [第 20 讲 分类与整合思想、化归与转化思想]作 专题综合训练(八) [专题八 数学思想方法]作 专题限时集训(二十一)A [第 21 讲 坐标系与参数方程]作 专题限时集训(二十一)B [第 21 讲 坐标系与参数方程]作 专题限时集训(二十二)A [第 22 讲 不等式选讲]作 专题限时集训(二十二)B [第 22 讲 不等式选讲]作

专题限时集训(一)A [第 1 讲 集合与常用逻辑用语] (时间:30 分钟)

1.已知集合 M={0,1,3},N={x|x=3a,a∈M},则 M∪N=( ) A.{0} B.{0,3} C.{1,3,9} D.{0,1,3,9} ? 1 x+1 ? <3 ≤9?,B={x|log2x≤1},则 A∪B 等于( 2.若集合 A=?x? ) ? ?3 ? A.(-∞,2] B.(-∞,2) C.(-2,2] D.(-2,2) 3.设集合 A={1,2,3},B={1,3,9},x∈A 且 x?B,则 x=( ) A.1 B.2 C.3 D.9 π 4. “φ = ”是“函数 f(x)=cos x 与函数 g(x)=sin(x+φ)的图像重合”的( ) 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设 a,b 为两个非零向量,则“a· b=|a|· |b|”是“a 与 b 共线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 x 1 6.设命题 p:函数 y=cos 的最小正周期为 2π ,命题 q:函数 y=2x+ x是偶函数.则 2 2 下列判断正确的是( ) A.p 为真 B.綈 q 为真 C.p∧q 为真 D.p∨q 为真 7.设 M={x|y=ln(x-1)},N={y|y=x2+1},则有( ) A.M=N B.M∩N=M C.M∪N=M D.M∪N=R - 8.设全集 U=R,A={x|2x(x 2)<1},B={x|y=ln(1-x)},则 A∩(?RB)=( A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2} C.{x|0<x≤1} D.{x|x≤1} 9.定义集合运算 A*B={z|z=xy+x+y,x∈A,y∈B}.已知 P=?x?x=sin
? ?

)

?

? kπ ,k∈Z?, 2 ?

Q={1,2},则 P*Q=( ) A.{-1,1,2,3,5} B.{-1,0,1,2} C.{-1,1,2} D.{0,1,2,3} π 5π 10.已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ,则命题 p:|a-b|>1 是命题 q:θ∈? , ? 6 ? ?2 的( ) A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11. “x2-2x<0”是“0<x<4”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 12.设集合 P={y|y=k,k∈R},Q={y|y=ax+1,a>0 且 a≠1,x∈R},若集合 P∩Q 只有一个子集,则 k 的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 13.在一次跳伞中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降落在指定范围”,命 题 q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ________. ? 2 2 4? ? B={(x, 14. 已知集合 A=?(x,y)? y)|2|x-3|+|y-4|=λ}, ?(x-3) +(y-4) =5?, ? 若 A∩B≠?,则实数 λ 的取值范围是________.

专题限时集训(一)B [第 1 讲 集合与常用逻辑用语] (时间:30 分钟)

1.设集合 A={x|-3<x<1},B={x|log2|x|<1},则 A∩B 等于( ) A.(-3,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1) C.(-2,1) D.(-2,0)∪(0,1) 2.已知全集 U=R,集合 A={x|x2-1<0},B={y|y= x},则 A∩(?UB)=( ) A.(-1,0) B.(-1,0] C.(0,1) D.[0,1) 3. “a>1”是“a2>1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={1,2,3,5},B={2,4,6},则 图 X1-1 中的阴影部分表示的集合为( )

图 X1-1 A.{2} B.{4,6} C.{1,3,5} D.{4,6,7,8} 5.已知 a>0 且 a≠1,则 loga b>0 是(a-1)(b-1)>0 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.若集合 A={0,1},B={-1,a2},则“a=1”是“A∩B={1}”的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

7.已知集合 M={1,2,3},N={2,3,4},全集 I={1,2,3,4,5},则图 X1-2 所示的阴影部分表示的集合为( )

图 X1-2 A.{1} B.{2,3} C.{4} D.{5} 8.设 x,y∈R,则“x≥1 且 y≥2”是“x+y≥3”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

9.下列判断中正确的是(

)

1 A.命题“若 a-b=1,则 a2+b2> ”是真命题 2 1 1 1 B. “ + =4”的必要不充分条件是“a=b= ” a b 2 1 1 C.命题“若 a+ =2,则 a=1”的逆否命题是“若 a=1,则 a+ ≠2” a a D. “函数 f(x)=cos2ax-sin2ax 的最小正周期为π ”是“a=1”的必要不充分条件 1 10.函数 f(x)=log (x2-3x+2)的值域是( ) 2 A.R B.(1,2) C.[2,+∞) D.(-∞,1)(2,+∞) 11. Sn 是数列{an}的前 n 项和, 则“Sn 是关于 n 的二次函数”是“数列{an}为等差数列” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 12.若命题“存在实数 x0,使 x2 0+ax0+1<0”的否定是真命题,则实数 a 的取值范围为 ________. - 13.若集合 M={x|x=2 t,t∈R},N={y|y=sin x,x∈R},则 M∩N=________. 2 14.已知 R 是实数集,M=x? ?x<1,N=y|y= x-1+1,则 N∩(?RM)=________.

专题限时集训(二) [第 2 讲 算法初步、推理与证明] (时间:30 分钟)

1.若程序框图如图 X2-1 所示,则该程序运行后输出 k 的值是(

)

图 X2-1 A.4 B.5 C.6 D.7 2.已知函数 f(n)=n2cos(nπ ),且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3+?+a100=( ) A.-100 B.0 C.100 D.200 3.观察下列算式: 13=1,23=3+5,33=7+9+11, 43=13+15+17+19,?. 若某数 n3 按上述规律展开后,发现等式右边含有“2013”这个数,则 n=________.

图 X2-2 4.在如图 X2-2 所示的数阵中,第 9 行的第 2 个数为________. π π π 5.给出下列等式: 2=2cos , 2+ 2=2cos , 2+ 2+ 2=2cos ,?,请从 4 8 16 中归纳出第 n 个等式:错误!未指定书签。=________. 6.观察下列不等式: 1 1 1 1 1 1 ① <1;② + < 2;③ + + < 3;?. 2 2 6 2 6 12 则第 5 个不等式为________.

7.某程序框图如图 X2-3 所示,则该程序运行后输出的值是( A.2011 B.2012 C.2013 D.2014

)

图 X2-3 8.阅读如图 X2-4 所示的程序框图,若运行相应的程序,则输出的 S 的值是( A.102 B.21 C.81 D.39

)

图 X2-4

图 X2-5

9.阅读如图 X2-5 所示的程序框图,输出的 S 等于________. 10 .已知 21 ? 1 = 2 , 22 ? 1 ? 3 = 3?4 , 23 ? 1 ? 3 ? 5 = 4?5?6 , 24 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 = 5?6?7?8,?,依此类推,第 n 个等式为________________________. 11.观察下列不等式: 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 5 1+ + >1,1+ + +?+ > ,1+ + +?+ >2,1+ + +?+ > ,?,照此 2 3 2 3 7 2 2 3 15 2 3 31 2 规 律 , 第 6 个 不 等 式 为 ________________________________________________________________________. 12.用火柴棒摆“金鱼”,如图 X2-6 所示,按照规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒 的根数为________(用 n 表示).

图 X2-6

13.根据下面一组等式: S1=1;S2=2+3=5;S3=4+5+6=15;S4=7+8+9+10=34;S5=11+12+13+14+ 15=65;S6=16+17+18+19+20+21=111;S7=22+23+24+25+26+27+28=175;?. 可得 S1+S3+S5+?+S2n-1=________. 14. “无字证明”,就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请 利用图 X2-7 中甲、 乙两图阴影部分的面积关系, 写出该图所验证的一个三角恒等变换公式: ________________________________________________________________________.

图 X2-7

专题限时集训(三) [第 3 讲 平面向量与复数] (时间:30 分钟)

1.已知向量 a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量 a,b 的夹角的余弦值为( ) 3 3 A. 10 B.- 10 10 10 2 2 C. D.- 2 2 2.已知向量 a=(-1,1),b=(3,m),a∥(a+b),则 m=( ) A.2 B.-2 C.-3 D.3 3.设 i 是虚数单位,复数 z=cos 45°-i?sin 45°,则 z2=( ) A.-i B.i C.-1 D.1 → 4.已知点 A(-1,5)和向量 a=(2,3),若AB=3a,则点 B 的坐标为( ) A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5,14) x 5.已知 x,y∈R,i 为虚数单位.若 =1-yi,则 x+yi=( ) 1+i A.2+i B.1+2i C.1-2i D.2-i 6.下列命题是真命题的是( ) A.单位向量都相等 B.若 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共线 C.若|a+b|=|a-b|,则 a· b=0 D.若 a 与 b 都是单位向量,则 a· b=1 → → → → 7.已知△ABC 的三个顶点 A,B,C 及所在平面内一点 P 满足PA+PB+PC=AB,则点 P 与△ABC 的关系是( )

A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部 C.P 在 AB 边上 D.P 在 AC 边上 8.若向量 a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂直,则 9x+3y 的最小值为( ) A.4 B.6 C.9 D.12 9.若复数 z=(a2+2a-3)+(a-1)i(i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值为( ) A.-3 B.-3 或 1 C.3 或-1 D.1 → → → → → 10.在平行四边形 ABCD 中,AE=EB,CF=2FB,联结 CE,DF 相交于点 M,若AM= → → λ AB+μAD,则实数 λ 与 μ 的乘积为( ) 1 A. 4 3 B. 8 3 C. 4 4 D. 3 11.若向量 a=(cos θ ,sin θ ),b=( 3,-1),则|a-b|的最大值为________. 2 12.下面是关于复数 z= 的四个命题: -1+i ①|z|=2; ②z2=2i; ③z 的共轭复数为 1+i; ④z 的虚部为-1. 其中所有真命题的序号是________. 13 .若复数 z = (m2 - m - 2) + (m + 1)i(i 为虚数单位 ) 为纯虚数,其中 m∈R ,则 m = ________. → → 14.△ABC 中 AB=2,AC=3,点 D 是△ABC 的重心,则AD?BC=________.

专题限时集训(四)A [第 4 讲 不等式与线性规划] (时间:30 分钟)

1.函数 f(x)=

3-x2 的定义域是( x-1

)

A.[-3,3] B.[- 3, 3] C.(1, 3]

D.[- 3,1)∪(1, 3] ? x-2 ? 2.已知集合 A=?x? ≤0,x∈N?,B={x|1≤2x≤16,x∈Z},则 A∩B=( ? ? x ? A.(1,2) B.[0,2] C.{0,1,2} D.{1,2} ?0≤x≤1, 3.已知实数 x,y 满足?x-y≤2, 则 z=2x-3y 的最大值是(

)

?

? ?x+y≤2,

)

A.-6 B.-1 C.6 D.4 x≤0, ? ? 4.若 A 为不等式组?y≥0, 表示的平面区域,则当实数 a 从-2 连续变化到 0 时,动直 ? ?y-x≤2 线 x+y=a 扫过 A 中部分的区域的面积为( ) 3 1 A. B. 4 2 C.2 D.1 5.已知关于 x 的不等式 ax2+2x+b>0(a≠0)的解集是错误!,且 a>b,则错误!的最小值 是( ) A.2 2 B.2 C. 2 D.1 6.在如图 X4-1 所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部 分),则其边长 x 为______m.

图 X4-1 7.若直线 ax-by+1=0 平分圆 C:x2+y2+2x-4y+1=0 的周长,则 ab 的取值范围是 ) 1 1 -∞, ? B.?-∞, ? A.? 4? 8? ? ? 1 1 ? ? ? C.? ?0,4? D.?0,8? ?2x+y-2≥0, 8.设变量 x,y 满足约束条件?x-2y+4≥0,则目标函数 z=3x-2y 的最小值为(

(

?

? ?x-1≤0,

)

A.-6 B.-4 C.2 D.4
? ?0≤x≤1, 9.已知点 P(x,y)满足? 则点 Q(x+y,y)构成的图形的面积为( ) ?0≤x+y≤2, ? A.1 B.2 C.3 D.4 1 1 10.已知 a>0,b>0,a,b 的等比中项是 1,且 m=b+ ,n=a+ ,则 m+n 的最小值 a b 是( ) A.3 B.4 C.5 D.6

11.某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量 分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型车不能多于 A 型车 7 辆,则租金最少为( ) A.31 200 元 B.36 000 元 C.36 800 元 D.38 400 元 ?x≤2, 12.不等式组?y≥0, 表示的平面区域的面积是________.

?

? ?y≤x-1

x-y+3≥0, ? ? 13.已知变量 x,y 满足约束条件?-1≤x≤1, 则 z=x+y 的最大值是________. ? ?y≥1,

a2 14.设常数 a>0,若 9x+ ≥a+1 对一切正实数 x 成立,则 a 的取值范围为________. x

专题限时集训(四)B [第 4 讲 不等式与线性规划] (时间:30 分钟)

1.已知集合 A={x∈R|2x+1<0},B={x∈R|(x+1)(x-2)<0},则 A∩B=( A.(-∞,-1) 1 -1,- ? B.? 2? ? 1 ? C.? ?-2,2? D.(2,+∞) 2.若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( A.a+b≥2 ab 1 1 2 B. + > a b ab b a C. + ≥2 a b D.a2+b2>2ab 2x-y≥0, )

)

? ?y≥x, 3.实数 x,y 满足? 则 z=2x+y 的最小值为( 9 ? ?y≥-x+4,
A.-2 B.2 C.3 D.4

)

x+2y-5>0, ? ? 4. 若整数 x, y 满足不等式组?2x+y-7>0,且 x, y 为整数, 则 3x+4y 的最小值为( ? ?x≥0,y≥0, A.14 B.16 C.17 D.19 y2 5.设 x,y,z 均为正整数,满足 x-2y+3z=0,则 的最小值是________. xz 6.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by=3,a+b=2 1 A. B.1 2 3 C. D.2 2 1 1 3,则 + 的最大值为( x y )

)

? ?x+|y|≤1, → → 7. 已知 O 为坐标原点, A(1, 2), 点 P 的坐标(x, y)满足约束条件? 则 z=OA? OP ?x≥0, ? 的最大值为( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2

x+2y m 8.已知 x>0,y>0,若不等式 ≥ 恒成立,则实数 m 的最大值为( ) xy 2x+y A.10 B.9 C.8 D.7 9.设奇函数 f(x)在[-1,1]上是增函数,且 f(-1)=-1,若函数 f(x)≤t2-2at+1 对所有 的 x∈[-1,1]都成立,则当 a∈[-1,1]时 t 的取值范围是( ) A.-2≤t≤2 1 1 B.- ≤t≤ 2 2 C.t≤-2 或 t=0 或 t≥2 1 1 D.t≤- 或 t=0 或 t≥ 2 2 x + y ≤ 4, ? 10.设不等式组?y-x≥0,表示的平面区域为 D.若圆 C:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)不经

?

? ?x-1≥0

过区域 D 上的点,则 r 的取值范围是( ) A.[2 2,2 5] B.[2 2,3 2] C.[3 2,2 5] D.(0,2 2)∪(2 5,+∞) ?3x-5y+6≥0, 11.若 x,y 满足条件?2x+3y-15≤0,当且仅当 x=y=3 时,z=ax-y 取最小值,则实

?

? ?y≥0,

数 a 的取值范围是________. 12. 已知两非零向量 a, b 满足|a|=2, |a-b|=1, 则向量 a 与 b 夹角的最大值是________. 13. 若关于 x 的不等式 2-x2≥|x-a|至少有一个正数解, 则实数 a 的取值范围是________.

专题综合训练(一) [专题一 突破高考客观题常考问题] (时间:60 分钟 分值:100 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.设集合 M={-1,0,1},N={x|x2≤x},则 M∩N=( ) A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,1} 3+i 2.复数 z= 的共轭复数 z=( ) 1-i A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i x2 y2 x2 3.命题 p:双曲线 - 2=1(b>0)的离心率为 2;命题 q:椭圆 2+y2=1(b>0)的离心率 4 b b 3 为 ,则 q 是 p 的( ) 2 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.给出如下三个命题: ①若“p 且 q”为假命题,则 p,q 均为假命题; ②命题“若 a>b,则 2a>2b-1”的否命题为“若 a≤b,则 2a≤2b-1” ; ③命题“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题是真命题. 其中假命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.已知向量 a=(2,1),b=(-2,k),且 a⊥(2a-b),则实数 k=( ) A.-14 B.-6 C.6 D.14 ?x+y+5≥0, 6.已知 x,y 满足约束条件?x-y≤0,

?

? ?y≤0,

则 z=2x+4y 的最小值为(

)

A.-14 B.-15 C.-16 D.-17 → → 7.在△ABC 中,若∠A=120°,AB?AC=-1,

图 Z1-1 → 则|BC|的最小值是( )

A.2 B.3 C. 6 D.2 3 8.如图 Z1-1 所示,若输出的 S 为 1525,则判断框内应填( ) A.k<4? B.k≤4? C.k>4? D.k≥4? 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) ?-1,x∈M, ? 9.对于集合 M,定义函数 fM(x)=? 对于两个集合 A,B,定义集合 A∩B= ?1,x?M. ? {x|fA(x)· fB(x)=-1}.已知 A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,12},则用列举法写出集 合 A∩B 的结果为________. 10.已知复数 z=m2(1+i)-m(3+5i)-(4+6i)为纯虚数,则实数 m 为________. 11.若正数 a,b 满足 2a+b=1,则 4a2+b2+ ab的最大值为________. ?Sn? d 12. “公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn,则数列? n ?是公差为 的等差数列”, 2 ? ? 类 比 上 述 性 质 有 : “ 公 比 为 q 的 等 比 数 列 {bn} 的 前 n 项 的 积 为 Tn , 则 数 列 __________________________”. 三、解答题(共 40 分) 13.(13 分)已知函数 f(x)=4|a|x-2a+1.当命题:“当 x∈(0,1)时,f(x)=0 有解”是真 命题,求实数 a 的取值范围.

14.(13 分)已知圆 M:(x-3)2+(y-3)2=4,四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形,E 为 → → 边 AB 的中点.当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动,同时点 F 在边 AD 上运动时,求ME?OF的 最大值.

图 Z1-2

15.(14 分)已知实数 a1,a2,a3,a4 满足 a1+a2+a3=0,a1a2 4+a2a4-a2=0,且 a1>a2>a3, 求 a4 的取值范围.

专题限时集训(五) [第 5 讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质] (时间:45 分钟)

1.下列函数为奇函数的是( A.y=|sin x| B.y=|x| C.y=x3+x-1 D.y=ln

)

1+x 1-x ?log3x,x>0, ? 1?? 2.已知函数 f(x)=? x 则 f? f? ) 9??的值是( ? ? ?2 ,x≤0, ? 1 1 A.4 B. C.-4 D.- 4 4 3.已知 a>0,且 a≠1,loga3<1,则实数 a 的取值范围是( A.(0,1) B.(0,1)∪(3,+∞) C.(3,+∞) D.(1,2)∪(3,+∞) 4.已知幂函数 f(x)的图像经过点(9,3),则 f(2)-f(1)=( A.3 B.1- 2 C. 2-1 D.1 1 1 5.若 log (1-x)<log x,则 x 的取值范围是( ) 2 2 1 A.0<x<1 B.x< 2 1 1 C.0<x< D. <x<1 2 2 6.lg 5+lg 20的值是________.

)

)

7.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( 1 - A.y= B.y=e x x C.y=-x2+1 D.y=lg |x|

)

1 8.设定义在[-1,7]上的函数 y=f(x)的图像如图 X5-1 所示,则关于函数 y= 的 f(x) 单调区间表述正确的是( )

图 X5-1 A.在[-1,1]上单调递减 B.在(0,1]上单调递减,在[1,3)上单调递增 C.在[5,7]上单调递减 D.在[3,5]上单调递增 9.若函数 y=loga(x2-ax+1)有最小值,则 a 的取值范围是( A.0<a<1 B.0<a<2,a≠1 C.1<a<2

)

D.a≥2 10.已知函数 f(x)的图像如图 X5-2 所示,则 f(x)的解析式可以是(

)

图 X5-2 1 ex A.f(x)=x- B.f(x)= x x 1 ln |x| C.f(x)= 2-1 D.f(x)= x x ? kx + 2 , x≤0, ? 11.已知函数 f(x)=? (k∈R),若函数 y=|f(x)|+k 有三个零点,则实数 k 的 ?ln x,x>0 ? 取值范围是( ) A.k≤2 B.-1<k<0 C.-2≤k<-1 D.k≤-2 12.函数 f(x)=-(cos x)lg|x|的部分图像是( )

C D 图 X5-3 13.x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 f(x)=x-[x]在 R 上为( ) A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.周期函数 x ? ?2 (x<0), ? 14.已知函数 f(x)= 若直线 y=m 与函数 f(x)的图像有两个不同的交点, ?log2x(x>0), ? 则实数 m 的取值范围是________. 15.设函数 f(x)=ax-(1+a2)x2,其中 a>0,区间 I={x|f(x)>0}. (1)求 I 的长度(注:区间(α,β)的长度定义为 β-α); (2)给定常数 k∈(0,1),当 1-k≤a≤1+k 时,求 I 的长度的最小值.

A

B

?ax,0≤x≤a, 16.设函数 f(x)=? a 为常数且 a∈(0,1). 1 (1-x),a<x≤1, ?1-a
1 ?1?? (1)当 a= 时,求 f? ?f?3??; 2 (2)若 x0 满足 f[f(x0)]=x0,但 f(x0)≠x0,则称 x0 为 f(x)的二阶周期点.证明函数 f(x)有且仅 有两个二阶周期点,并求二阶周期点 x1,x2; (3)对于(2)中的 x1,x2,设 A(x1,f[f(x1)]),B(x2,f[f(x2)]),C(a2,0),记△ABC 的面积为 1 1 S(a),求 S(a)在区间 , 上的最大值和最小值. 3 2

1

专题限时集训(六) [第 6 讲 函数与方程、函数模型及其应用] (时间:45 分钟)

1 1.函数 f(x)=ln x- (x>1)的零点所在的区间为( ) x-1 3? ?3 ? A.? ?1,2? B.?2,2? 5 5 2, ? D.? ,3? C.? ? 2? ?2 ? 2.如图 X6-1 所示,图(1)反映的是某条公共汽车线路收支差额 y 与乘客量 x 之间关系 的图像.由于目前该条公交线路亏损,公司有关人员提出两种调整建议,如图(2)(3)所示. (注:收支差额=营业所得的票价收入-付出的成本)

图 X6-1 给出以下说法: ①图(2)的建议是提高成本,并提高票价; ②图(2)的建议是降低成本,并保持票价不变; ③图(3)的建议是提高票价,并保持成本不变; ④图(3)的建议是提高票价,并降低成本. 其中说法正确的序号是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 3.规定记号“?”表示一种运算,即 a?b=a2+2ab-b2.设函数 f(x)=x?2,且关于 x 的方 程 f(x)=lg|x+2|(x≠-2)恰有四个互不相等的实数根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4 的值是 ( ) A.-4 B.4 C.8 D.-8 4. “m<0”是“函数 f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.函数 f(x)=|x-2|-ln x 在定义域内的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 - 6.函数 f(x)=-|x-5|+2x 1 的零点所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 7. 某企业为了节能减排, 决定安装一个可使用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的成本费(单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:平方米)成正比,比例 1 系数约为 , 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 2 安装后该企业每年消耗的电费 C(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积 x(单位:平

120 方米)之间的函数关系是 C(x)= (x>0). 记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业 x+5 15 年共将消耗的电费之和为 F(x)(万元),则 F(40)等于( ) A.80 B.60 2 C.40 D.40 3 8.若函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)=f(x-1),且 x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数 g(x) lg x(x>0), ? ? =? 1 则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为( ) - (x<0), ? ? x A.6 B.7 C.8 D.9 9.在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y).若对任意 x>2,不等式(x-a)?x≤a+2 都成立,则 实数 a 的取值范围是( ) A.[-1,7] B.(-∞,3] C.(-∞,7] D.(-∞,-1]∪[7,+∞) 10.若 x1,x2 是函数 f(x)=x2+mx-2(m∈R)的两个零点,且 x1<x2,则 x2-x1 的最小值 是________. 1 11.函数 f(x)=ln x- 在区间(k,k+1)(k∈N*)上存在零点,则 k 的值为________. x-1 12.某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤前的废气的污染指数量为 P0 mg/L,过滤 - 过程中废气的污染指数量 P mg/L 与时间 t h 间的关系为 P=P0e kt.如果在前 5 个小时消除了 10%的污染物,则 10 小时后还剩________%的污染物. 13.某公司一年购买某种货物 600 吨,每次都购买 x 吨(x 为 600 的约数),运费为 3 万元 /次,一年的总存储费用为 2x 万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需 购买________吨. 14.对于二次函数 f(x)=ax2+bx+c,有下列命题: ①若 f(p)=q,f(q)=p(p≠q),则 f(p+q)=-(p+q); ②若 f(p)=f(q)(p≠q),则 f(p+q)=c; ③若 f(p+q)=c(p≠q),则 p+q=0 或 f(p)=f(q). 其中一定正确的命题是________(写出所有正确命题的序号). 15.某医药研究所开发一种新药,在试验药效时发现:如果成人按规定剂量服用,那么 ax (0<x<1), x2+1 服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 x(小时)之间满足 y= 其对应 - a· 2x 1 ( x ≥ 1 ), - 4x 1+1 1 16? 曲线(如图 X6-2 所示)过点? ?2, 5 ?. (1)试求药量峰值(y 的最大值)与达峰时间(y 取最大值时对应的 x 值); (2)如果每毫升血液中含药量不少于 1 微克时治疗疾病有效,那么成人按规定剂量服用该 药后一次能维持多长的有效时间(精确到 0.01 小时)?

? ? ? ? ?

图 X6-2

2 ? ?x -ax+1,x≥a, ? 16.已知函数 f(x)= x x-a ?4 -4?2 ,x<a. ?

(1)若 x<a 时,f(x)<1 恒成立,求 a 的取值范围; (2)若 a≥-4 时,函数 f(x)在实数集 R 上有最小值,求实数 a 的取值范围.

专题限时集训(七) [第 7 讲 导数在研究函数性质中的应用] (时间:45 分钟)

1. 过曲线 y=x3+x-2 上一点 P0 处的切线平行于直线 y=4x, 则点 P0 的一个坐标是( A.(0,-2) B.(1,1) C.(1,4) D.(-1,-4) 2.函数 f(x)=2ln x+x2-bx+a(b>0,a∈R)在点(b,f(b))处的切线斜率的最小值是( A.2 2 B.2 C. 3 D.1 x3 3.函数 y= x 的图像大致是( ) 3 -1

)

)

图 X7-1 4.现有四个函数:①y=xsin x,②y=xcos x,③y=x|cos x|,④y=x2x.它们的部分图像如 图 X7-2 所示,但顺序被打乱,则按照从左到右将图像对应的函数序号排列正确的一组是 ( )

图 X7-2 A.④①②③ B.①④③② C.①④②③ D.③④②① 5.函数 f(x)=x+sin x(x∈R)( ) A.是偶函数且为减函数 B.是偶函数且为增函数 C.是奇函数且为减函数 D.是奇函数且为增函数 1 1 6.函数 f(x)= x3- ax2+(a-1)x+1 在区间(1,5)上为减函数,在区间(6,+∞)上为增 3 2 函数,则实数 a 的取值范围是( ) A.[4,5]

B.[3,5] C.[5,6] D.[6,7] 7.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=1 且对一切 x∈R 都有 f′(x)<4,则不等式 f(x)>4x-3 的解集为( ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 8.已知函数 f(x)=ax-x3,对区间(0,1)上的任意 x1,x2,且 x1<x2,都有 f(x2)-f(x1)>x2 -x1 成立,则实数 a 的取值范围为( ) A.(0,1) B.[4,+∞) C.(0,4] D.(1,4] 9.设函数 f(x)的导函数为 f′(x),对任意 x∈R 都有 f′(x)>f(x)成立,则( ) A.3f(ln 2)>2f(ln 3) B.3f(ln 2)=2f(ln 3) C.3f(ln 2)<2f(ln 3) D.3f(ln 2)与 2f(ln 3)的大小不确定 10.已知函数 f(x)及其导数 f′(x),若存在 x0,使得 f(x0)=f′(x0),则称 x0 是 f(x)的一个“巧 值点”.下列函数中,有“巧值点”的是( ) - ①f(x)=x2;②f(x)=e x;③f(x)=ln x; 1 ④f(x)=tan x;⑤f(x)= . x A.①③⑤ B.③④ C.②③④ D.②⑤ 11.设 a 为实数,函数 f(x)=x3+ax2+(a-3)x 的导函数为 f′(x),且 f′(x)是偶函数,则曲 线 y=f(x)在原点处的切线方程为________. 12. 函数 f(x)=x3-x2+ax+b 在点 x=1 处的切线与直线 y=2x+1 垂直, 则 a=________. 1 13.已知函数 f(x)= x3+ax2+bx(a,b∈R). 3 (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调区间; 1? 1 (2)若 f(1)= ,且函数 f(x)在? ?0,2?上不存在极值点,求 a 的取值范围. 3

14.已知 a>0,函数 f(x)=ax2-ln x. (1)求 f(x)的单调区间; 2? 1 (2)当 a= 时,证明:方程 f(x)=f? ?3?在区间(2,+∞)上有唯一解. 8

15.已知函数 f(x)=-x3+ax(a>0). (1)当 a=1 时,求过点 P(-1,0)且与曲线 y=f(x)相切的直线方程; 1 1 1 1 (2)当 x∈[0,1]时, x- ≤f(x)≤ x+ 恒成立,求 a 的取值范围的集合. 4 4 4 4

专题综合训练(二) [专题二 函数与导数] (时间:60 分钟 分值:100 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 2 ? ?- x,x<0, 1.已知 f(x)=? 则 f[f(-1)]等于(

? ?3+log2x,x>0,

)

A.-2 B.2 C.-4 D.4 2.下列函数在其定义域内是增函数的是( ) x A.y=tan x B.y=-3 C.y=x3 D.y=ln |x| 3.已知函数 f(x)=x2+lg(x+ 1+x2),且 f(2)=a,则 f(-2)的值为( ) A.a-4 B.4-a C.8-a D.a-8 4.下列函数中,为偶函数且有最小值的是( ) A.f(x)=x2+x B.f(x)=|ln x| - C.f(x)=xsin x D.f(x)=ex+e x x 5.为了得到函数 y=lg 的图像,只需把函数 y=lg x 的图像上( ) 10 A.所有点向右平移 1 个单位长度 B.所有点向下平移 1 个单位长度 1 C.所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变) 10 1 D.所有点的纵坐标缩短到原来的 (横坐标不变) 10 1 1 1 6.已知 a=ln ,b=sin ,c=2- ,则 a,b,c 的大小关系为( ) 2 2 2 A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 7.某地区的绿化面积平均每年比上一年增长 18%,经过 x 年,绿化面积与原绿化面积 之比为 y,则 y=f(x)的图像大致为( )

图 Z2-1 8.对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)与二次函数 y=(a-1)x2-x 在同一坐标系内的图像可 能是( )

图 Z2-2 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) f(x) 9.若函数 f(x)=x2+ax+1 是偶函数,则函数 y= 的最小值为________. |x|

10.若函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-2,1]上的最大值为 4,最小值为 m,则 m 的值是 ________. 3? 11.设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则 f? ?2? =________. 12.给出下列命题: 1 - ①在区间(0,+∞)上,函数 y=x 1,y=x ,y=(x+1)2,y=x3 中有三个是增函数; 2 ②若 logm3<logn3<0,则 0<n<m<1; ③若函数 f(x)是奇函数,则函数 f(x+1)的图像关于点(1,0)对称; ④函数 f(x)=3x-2x-3,则方程 f(x)=0 有 2 个实数根. 其中真命题的序号是________. 三、解答题(共 40 分) 13.(13 分)已知函数 f(x)=e|x|+|x|.若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,求实数 k 的取值范围.

? ?b(a≥b), 4 1+ ??log2x, 14.(13 分)定义一种新运算: a?b=? 已知函数 f(x)=? 若函数 g(x) x? ? ? ?a(a<b). =f(x)-k 恰有两个零点,求 k 的取值范围.

15.(14 分)设函数 f(x)=(x-a)|x|+b. (1)当 a=2,b=3 时,画出函数 f(x)的图像,并求出函数 y=f(x)的零点; (2)设 b=-2,且对任意 x∈(-∞,1],f(x)<0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

专题限时集训(八) [第 8 讲 三角函数的图像与性质] (时间:45 分钟)

(

1.已知 sin 10°=k,则 sin 70°=( ) A.1-k2 B.1+k2 C.2k2-1 D.1-2k2 3 2.已知 sin α =- ,且 α 是第三象限角,则 sin 2α -tan α =( ) 3 2 2 2 2 A. B. C. D. 3 4 6 8 π 1 3.设 sin? +θ?= ,则 sin 2θ =( ) ?4 ? 3 7 1 A.- B.- 9 9 1 7 C. D. 9 9 π 4.函数 f(x)=sin x-cos?x- ?的值域为( ) ? 6? A.[-2,2] B.[- 3, 3] 3 3 C.[-1,1] D.?- , ? ? 2 2? π π 5.将函数 y=sin?6x+ ?的图像上各点向右平移 个单位,则得到新函数的解析式为 8 4? ? ) π A.y=sin?6x- ? 2? ? π B.y=sin?6x+ ? 4? ? 5 π C.y=sin?6x+ ? 8 ? ? π D.y=sin?6x+ ? 8? ? sin x 6.若函数 f(x)= 是奇函数,则 a 的值为( ) (x+a)2 A.0 B.1 C.2 D.4

7.要得到函数 y=cos(2x+1)的图像,只要将函数 y=cos 2x 的图像( ) A.向左平移 1 个单位 B.向右平移 1 个单位 1 C.向左平移 个单位 2 1 D.向右平移 个单位 2 8.函数 y=sin ω x(ω>0)的部分图像如图 X8-1 所示,点 A,B 是最高点,点 C 是最低 点.若△ABC 是直角三角形,则 ω 的值为( )

图 X8-1 π A. 2 π B. 4 π C. 3 D.π

π 3π 9.关于函数 f(x)=sin?2x+ ?与函数 g(x)=cos?2x- ?,下列说法正确的是( ) 4? 4 ? ? ? A.函数 f(x)和 g(x)的图像有一个交点在 y 轴上 B.函数 f(x)和 g(x)的图像在区间(0,π )内有 3 个交点 π C.函数 f(x)和 g(x)的图像关于直线 x= 对称 2 D.函数 f(x)和 g(x)的图像关于原点(0,0)对称 10.若函数 f(x)=sin ω x+ 3cos ω x(x∈R,ω>0)满足 f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最 π 小值为 ,则函数 f(x)的单调递增区间为________. 2 π 11.如图 X8-2 所示的是函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ ≤ )的部分图像,其中 A, 2 B 两点之间的距离为 5,那么 f(-1)=________.

图 X8-2 12.图 X8-3 表示的是函数 y=Asin(ωx+φ)(ω>0,-π <φ <π )的图像的一段,O 是坐 → → → 标原点,P 是图像的最高点,M 点的坐标为(5,0),若|OP|= 10,OP?OM=15,则此函数 的解析式为________.

图 X8-3 π 1- 2sin?2x- ? 4? ? 13.已知函数 f(x)= . cos x (1)求函数 f(x)的定义域; 4 (2)设 α 是第四象限的角,且 tan α =- ,求 f(α)的值. 3

14.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π )的部分图像如图 X8-4 所示. (1)求 ω,φ 的值;

(2)设 g(x)=2

x? ? x π ? π 2f? ?2?f?2- 8 ?-1,当 x∈0, 2 时,求函数 g(x)的值域.

图 X8-4

π 15.已知函数 f(x)=cos?2x- ?+2sin2x,x∈R. 3? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期及对称轴方程; π (2)当 x∈?0, ?时,求函数 f(x)的最大值和最小值及相应的 x 值. 2? ?

专题限时集训(九) [第 9 讲 三角恒等变换与解三角形] (时间:45 分钟)

1.已知 α∈? 24 A. 7

π 3 ? ? 2 ,π ?,sin α =5,则 tan 2α =(

)

24 24 24 B. C.- D.- 25 25 7 3 1 2. - =( ) cos 10° sin 170° A.4 B.2 C.-2 D.-4 π 1 3.已知 sin α =- ,且 α∈?- ,0?,则 sin 2α =( ) 3 ? 2 ? 2 2 2 2 4 2 4 2 A. B.- C. D.- 3 3 9 9 4.若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶7,则△ABC( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 5. 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 若 C=120°, c= 3a, 则( ) A.a>b B.a<b C.a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定 6.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=7,b=5,c=8,则△ABC 的面积等于( ) A.10 B.10 3 C.20 D.20 3 7.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 a= 6,b=2,且 1+2cos(B +C)=0,则△ABC 的 BC 边上的高等于( ) 6 A. 2 B. 2 6+ 2 3+1 C. D. 2 2 8.已知△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S, 且 2S=(a+b)2-c2,则 tan C 等于( ) 3 4 A. B. 4 3 4 3 C.- D.- 3 4 2 9.在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对的边,若 b=1,c= 3,C= π , 3 则 S△ABC=________. 3 5 10.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且 cos A= ,cos B= ,b=3, 5 13

则 c=________. 11.△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对的边,若(2a+c)· cos B+b· cos C=0, 则 B 的值为________. π 12.在△ABC 中,已知内角 A= ,边 BC=2 3.设内角 B=x,周长为 y,则 y=f(x)的 3 最大值是________. b2-a2-c2 sin C 13.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 = 2 . 2sin A-sin C c -a2-b2 (1)求角 B 的大小; (2)设 T=sin2A+sin2B+sin2C,求 T 的取值范围.

14.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 f(A)=2cos A A sin2 -cos2 . 2 2 (1)求函数 f(A)的最大值; 5π (2)若 f(A)=0,C= ,a= 6,求 b 的值. 12

A A ? sin π - 2 ? ?+ 2 ?

a+c sin A-sin B 15.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,并满足 = . b sin A-sin C (1)求角 C; a+b (2)求 的取值范围. c

专题综合训练(三) [专题三 三角函数、三角恒等变换与解三角形] (时间:60 分钟 分值:100 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.cos 300°的值是( ) 1 1 3 3 A. B.- C. D.- 2 2 2 2 π 2 2.已知 α∈(0,π ),cos?α+ ?=- ,则 tan 2α =( 2 3? ? 3 3 A. B.- 3或- 3 3 3 C.- D.- 3 3

)

π 3.下列函数中,最小正周期为π ,且图像关于直线 x= 对称的是( ) 3 π A.y=sin?2x- ? 3? ? π B.y=sin?2x- ? 6? ? π C.y=sin?2x+ ? 6? ? π x D.y=sin? + ? ?2 3 ? π 4.将函数 y=sin 2x+cos 2x 的图像向左平移 个单位长度,所得图像对应的函数解析式 4 可以是( ) A.y=cos 2x+sin 2x B.y=cos 2x-sin 2x C.y=sin 2x-cos 2x D.y=sin xcos x 5.如图 Z3-1 所示的是函数 y=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π )在一个周期内的图像,此函 数的解析式是( )

图 Z3-1 π A.y=2sin?2x+ ? 3? ? 2π B.y=2sin?2x+ ? 3 ? ? x π C.y=2sin? - ? ?2 3 ? π D.y=2sin?2x- ? 3? ?

6.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)- 3cos(ωx+φ)ω>0,|φ |<

π ,其图像相邻的两条对称轴方 2

π 程为 x=0 与 x= ,则( ) 2 A.f(x)的最小正周期为 2π ,且在(0,π )上为单调递增函数 B.f(x)的最小正周期为 2π ,且在(0,π )上为单调递减函数 π C.f(x)的最小正周期为π ,且在?0, ?上为单调递增函数 2? ? π D.f(x)的最小正周期为π ,且在?0, ?上为单调递减函数 2? ? 7.函数 y=xsin x 在[-π ,π ]上的图像是( )

图 Z3-2 π π 8. 将函数 f(x)=sin?2x+ ?的图像向右平移 个单位长度后得到函数 y=g(x)的图像, 则 4 3 ? ? g(x)的单调递增区间为( ) π k A.?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z) 6 3? ? π 5 π B.?2kπ + ,2kπ + ?(k∈Z) 3 6 ? ? π π C.?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 6 3? ? π 5 π D.?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 6 6 ? ? 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 1 9. 设 α 是第二象限角, P(x, 4)为其终边上的一点, 且 cos α = x, 则 tan α =________. 5 10.在△ABC 中,若 2sin A=sin C,a=b,则角 A=________. π 11.在△ABC 中,BC=2,AC= 7,B= ,则△ABC 的面积是________. 3 12.已知函数 f(x)= 3sin 2x-cos 2x,x∈R,给出以下说法: π ①函数 f(x)的图像的对称轴是 x=kπ + ,k∈Z; 3 7 π ②点 P? ,0?是函数 f(x)的图像的一个对称中心; ? 12 ? π 1 ③函数 f(x)在区间? ,π ?上的最大值是 ; 2 ?2 ? π ④将函数 f(x)的图像向右平移 个单位长度,得到函数 g(x)=sin 2x- 3cos 2x 的图像. 12 其中正确说法的序号是________. 三、解答题(共 40 分) 13.(13 分)在△ABC 中,若 sin A=2sin B?cos C 且 sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC 的形状.

14.(13 分)已知函数 f(x)=sin(π -2x)+2 π (1)求 f? ?; ?6? (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间.

3cos2x,x∈R.

1 15.已知函数 f(x)=cos ω x( 3sin ω x-cos ω x)+ 的最小正周期为 2π . 2 (1)求 ω 的值; (2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足 2bcos A=2c- 3a,求 f(B)的值.

专题限时集训(十) [第 10 讲 等差数列、等比数列] (时间:45 分钟)

1. 一个由正数组成的等比数列, 它的前 4 项和是前 2 项和的 5 倍, 则此数列的公比为( A.1 B.2 C.3 D.4 2.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S8-S4=12,则 S12 的值为( ) A.64 B.44 C.36 D.22 3.在正项等比数列{an}中,已知 a3?a5=64,则 a1+a7 的最小值为( ) A.64 B.32 C.16 D.8 4.设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和,若 S11=S10,则 a1=( ) A.18 B.20 C.22 D.24 2 5.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3?a9=2a5 ,a2=1,则 a1=( ) 1 2 A. B. 2 2 C. 2 D.2 6.公差不为零的等差数列{an}的第 2,3,6 项构成等比数列,则这三项的公比为( A.1 B.2 C.3 D.4

)

)

7.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 a13=S13=13,则 a1=( ) A.-14 B.13 C.-12 D.-11 8.已知数列{an}是公差为 2 的等差数列,且 a1,a2,a5 成等比数列,则数列{an}的前 5 项和 S5=( ) A.20 B.30 C.25 D.40 9.已知等比数列{an}中,各项均为正数,前 n 项和为 Sn,且 4a3,a5,2a4 成等差数列, 若 a1=1,则 S4=( ) A.7 B.8 C.15 D.16 10.已知等差数列{an}的首项 a1=1,前三项之和 S3=9,则数列{an}的通项公式 an= ________. 11.已知等差数列{an}的公差为-2,a3 是 a1 与 a4 的等比中项,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 12.已知{an}为等比数列,a2+a3=1,a3+a4=-2,则 a5+a6+a7=________. 13.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=5,S3=9. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足 b2=a2,b3=a5,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

14.数列{an}中,a1=3,an+1=an+cn(c 是常数,n=1,2,3,?),且 a1,a2,a3 成公 比不为 1 的等比数列. (1)求 c 的值; (2)求数列{an}的通项公式.

1 15.设正项等比数列{an}的首项 a1= ,前 n 项和为 Sn,且-a2,a3,a1 成等差数列. 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nSn}的前 n 项和 Tn.

专题限时集训(十一) [第 11 讲 数列求和及数列的简单应用] (时间:45 分钟)

1.若数列{an}是等差数列,且 a3+a7=4,则数列{an}的前 9 项和 S9 等于( ) A.9 B.18 C.36 D.72 1 1 2.已知数列{bn}是首项为 ,公比为 的等比数列,则数列{nbn}的前 n 项和 Tn=( ) 2 2 n 1?n-1 ?1? A.2-? B . 2 - ?2? ?2? n+2 n+1 C.2- n D.2- n 2 2 n ?1? ,则数列{cn}的前 n 项和 Rn=( 3.若数列{cn}的通项 cn=(2n-1)· ) ?3? n+1 n A.1- n B.1- n 3 3 n+1 n C.1+ n D.1+ n 3 3 ?1? 4.已知等差数列{an},a1=3,d=2,前 n 项和为 Sn,设 Tn 为数列?S ?的前 n 项和,则 ? n? Tn=( ) n 1 1 n 1 1 A. ?n+1-2(n+2)? B. ?n+1-2(n+2)? 2? 2? ? ? 1 n n 1? 1 1 C. n+1+2(n+2)? D. ?n+1+2(n+2)? 2? 2? ? ? 2n 5.数列{cn}的通项为 cn= n ,则其前 n 项和 Sn=________. + (2 -1)(2n 1-1) 6.数列{2n· 3n}的前 n 项和 Tn=________. 7.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,把{Sn}的前 n 项和称为“和谐和”,用 Hn 来表示.对 于 an=3n,其“和谐和”Hn=( ) + + 3n 2-6n-9 3n 1-6n-9 A. B. 4 4 n+1 n 3 +6n-9 3 +6n-9 C. D. 4 4 1 n-1 n+1 n+1 n+1 ?bn? ? ?的 - ? ,bn= 8.设两数列{an}和{bn},an=? + +?+ ,则数列 ? 3? ?an? 1?2 2?3 n(n+1) 前 n 项的和为( ) 1-(4n-1)(-3)n 1+3n(4n+1) A. B. 16 16 n 1-3 (4n+1) 1-(4n+1)(-3)n C. D. 16 16 ? 1 ? 18 9.已知数列{an},an+1=an+2,a1=1,数列?a a ?的前 n 项和为 ,则 n=________. 37 + ? n n 1? 10.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=5,S9=99,

? 4 ? 则数列?a2-1?的前 n 项和 Tn=________. ?
n

?

11.已知数列{an}是首项为 1,公差为 20 的等差数列,数列{bn}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,则数列{an?bn}的前 n 项和为________. 12.某辆汽车购买时的费用是 15 万元,每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为 1.5 万元. 年维修保养费用第一年 3000 元, 以后逐年递增 3000 元, 则这辆汽车报废的最佳年限(即 使用多少年的年平均费用最少)是________. + 13.数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n 1-2,数列{bn}是首项为 a1,公差为 d(d≠0)的等差数 列,且 b1,b3,b9 成等比数列. (1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式; 2 (2)若 cn= (n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 Tn. (n+1)bn

14.已知数列{an}满足 a1=1,an-an-1+2anan-1=0(n∈N*,n>1).
?1? (1)求证:数列?a ?是等差数列并求数列{an}的通项公式; ? n?

1 (2)设 bn=anan+1,求证:b1+b2+?+bn< . 2

15.在等比数列{an}中,已知 a1=3,公比 q≠1,等差数列{bn}满足 b1=a1,b4=a2,b13 =a3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)记 cn=(-1)nbn+an,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

专题综合训练(四) [专题四 数 列] (时间:60 分钟 分值:100 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9,则 a1a6 的值为( ) A.14 B.18 C.21 D.27 S3 2.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,2a3+a4=0,则 =( ) a1 A.2 B.3 C.4 D.5 3.已知数列{an}中,an=-4n+5,等比数列{bn}的公比 q 满足 q=an-an-1(n≥2)且 b1 =a2,则|b1|+|b2|+?+|bn|=( ) A.1-4n B.4n-1 1-4n 4n-1 C. D. 3 3 S3 S2 4.记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 - =1,则其公差 d=( ) 3 2 1 A. B.1 2 C.2 D.3 5. 设等比数列{an}的公比为 q, 前 n 项和为 Sn, 且 a1>0.若 S2>2a3, 则 q 的取值范围是( ) 1 ? A.(-1,0)∪? ?0,2? 1 ? B.? ?-2,0?∪(0,1) 1 ? C.(-∞,-1)∪? ?2,+∞? 1 -∞,- ?∪(1,+∞) D.? 2? ? 6.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2n=4(a1+a3+?+a2n-1),a1?a2?a3=27,则 a6 =( ) A.27 B.81 C.243 D.729 7.公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,且 S10= 60,则 S20=( ) A.80 B.160 C.320 D.640 8.已知数列{an}的首项为 3,数列{bn}为等差数列,b1=2,b3=6,bn=an+1-an(n∈N*), 则 a6=( ) A.30 B.33 C.35 D.38 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
? 1 ? 9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列?a a ?的前 100 项和为 ? n n+1? ________.

10.已知数列{an}是等比数列,且 a1?a3=4,a4=8,则 a5 的值为________. S12 S10 11.在等差数列{an}中,a1=-2013,其前 n 项和为 Sn,若 - =2,则 S2013 的值等 12 10 于________. b2 12.已知数列 1,a1,a2,9 是等差数列,数列 1,b1,b2,b3,9 是等比数列,则 的 a1+a2 值为________. 三、解答题(共 40 分) 13.(13 分)已知等比数列{an}的各项均为正数,a2=8,a3+a4=48. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log4an.求证:数列{bn}为等差数列,并求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

14.(13 分)各项均为正数的等比数列{an}中,已知 a2=8,a4=128,bn=log2an. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn; 1? ? 1? ? 1 ? 1007 (3)求满足不等式? ?1-S2???1-S3?????1-Sn?≥2013的正整数 n 的最大值.

15.已知正项数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和 Sn 满足 an= Sn+ Sn-1(n≥2). (1)求证:{ Sn}为等差数列,并求数列{an}的通项公式; ? 1 ? (2)记数列?a a ?的前 n 项和为 Tn,若对任意的 n∈N*,不等式 4Tn<a2-a 恒成立,求实 ? n n+1? 数 a 的取值范围.

专题限时集训(十二) [第 12 讲 简单空间几何体] (时间:45 分钟)

1.一个锥体的正视图和侧视图如图 X12-1 所示,下列选项中,不可能是该锥体的俯视 图的是( )

图 X12-1

图 X12-2 2.已知某三棱锥的三视图如图 X12-3 所示,则该三棱锥的体积为( 1 1 1 A. B. C. D.1 6 3 2

)

图 X12-3

图 X12-4 3.已知某几何体的三视图如图 X12-4 所示,则该几何体的表面积为( ) A.24 B.20+4 2 C.28 D.24+4 2 4.已知一个三棱锥的三视图如图 X12-5 所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该 三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( )

图 X12-5 A.1 B.2 C.3 D.4 5.某三棱锥的三视图如图 X12-6 所示,该三棱锥的体积为( 8 A. B.4 3 4 C.2 D. 3

)

图 X12-6

图 X12-7

6.若正三棱柱的三视图如图 X12-7 所示,则该三棱柱的表面积是( 9 3 A.6+2 3 B. 2 C.6+ 3 D. 3

)

7. 某四棱锥的底面为正方形, 其三视图如图 X12-8 所示, 则该四棱锥的体积等于( 2 A.1 B.2 C.3 D. 3

)

图 X12-8

图 X12-9

8.某几何体的三视图如图 X12-9 所示,该则几何体的表面积为( A.28+6 5 B.30+6 5 C.56+12 5 D.60+12 5 9.

)

图 X12-10 已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如图 X12-10 所示, 则此四棱锥的四个侧面的面积中最 大的是( ) A.2 B.3 C. 13 D.3 2 10.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图 X12-11 所示,则该三棱锥的外接球 的表面积为________.

图 X12-11

图 X12-12

11.某几何体的三视图如图 X12-12 所示,则它的体积为________. 12.某正三棱柱的三视图如图 X12-13 所示,其中正视图是边长为 2 的正方形,该正三 棱柱的表面积是________.

图 X12-13

图 X12-14

13.如图 X12-14 所示的是一几何体的三视图,则该几何体的体积是________. 14.如图 X12-15 所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1, B1C 上的点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为________.

图 X12-15 15.如图 X12-16 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 为正 方形,F 为 AB 上一点.该四棱锥的正视图和侧视图如图 X12-17 所示,则四面体 P-BFC 的体积是________.

图 X12-16

图 X12-17

16.如图 X12-18 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,△PBC 为正三角形,PA⊥底面 ABCD, 其三视图如图 X12-19 所示,俯视图是直角梯形. (1)求正视图的面积; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积.

图 X12-18

图 X12-19

专题限时集训(十三) [第 13 讲 点、线、面之间的位置关系] (时间:45 分钟)

1.已知三个互不重合的平面 α,β,γ,α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ =c,则给出下列命题: ①若 a⊥b,a⊥c,则 b⊥c;②若 a∩b=P,则 a∩c=P;③若 a⊥b,a⊥c,则 a⊥γ;④ 若 a∥b,则 a∥c. 其中真命题个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中错误的是( ) A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么直线 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 3.给出下列命题: ①直线 a 与平面 α 不平行,则 a 与平面 α 内的所有直线都不平行; ②直线 a 与平面 α 不垂直,则 a 与平面 α 内的所有直线都不垂直; ③异面直线 a,b 不垂直,则过 a 的任何平面与 b 都不垂直; ④若直线 a 和 b 共面,直线 b 和 c 共面,则 a 和 c 共面. 其中假命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.下列命题为真命题的是( ) A.若平面 α 不平行于平面 β,则 β 内不存在直线平行于平面 α B.若平面 α 不垂直于平面 β,则 β 内不存在直线垂直于平面 α C.若直线 l 不平行于平面 α,则 α 内不存在直线平行于直线 l D.若直线 l 不垂直于平面 α,则 α 内不存在直线垂直于直线 l 5.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列为真命题的是( ) A.若 m⊥α,n?β ,m⊥n,则 α⊥β B.若 α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则 n⊥β C.若 α⊥β,m⊥α,n∥β,则 m⊥n D.若 α∥β,m⊥α,n∥β,则 m⊥n 6.已知空间三条直线 a,b,m 及平面 α,且 a,b?α .条件甲:m⊥a,m⊥b;条件乙: m⊥α,则“条件乙成立”是“条件甲成立”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分且必要条件 D.既非充分也非必要条件 7.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,则下列为真命题的是( ) A.若 α⊥β,m⊥α,则 m∥β B.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β C.若 m⊥α,n∥m,则 n⊥α D.若 m∥α,n∥α,则 m∥n 8.下面四个命题: ①“直线 a∥直线 b”的充分条件是“直线 a 平行于直线 b 所在的平面”;②“直线 l⊥ 平面 α”的充要条件是“直线垂直平面α 内无数条直线” ;③“直线 a,b 不相交”的必要不 充分条件是“直线 a,b 为异面直线”;④“平面 α∥平面 β”的必要不充分条件是“平面 α 内存在不共线三点到平面 β 的距离相等”. 其中为真命题的序号是( )

A.①② B.②③ C.③④ D.④ 1 9.在透明塑料制成的正方体容器中灌进 体积的水,密封后可以任意摆放,那么容器内 6 水面形状可能是:①三角形;②梯形;③长方形;④五边形. 其中正确的结果是( ) A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②③④ 10.正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 2,高为 2,E 是边 BC 的中点,动点 P 在棱锥表 面上运动,并且总保持 PE⊥AC,则动点 P 的轨迹的周长为________. 11.

图 X13-1 如图 X13-1 所示,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为各边的中点,G,H 分别为 DE, AF 的中点,将△ABC 沿 DE,EF,DF 折成正四面体 P-DEF,则四面体中异面直线 PG 与 DH 所成角的余弦值为________. 12.下列命题中为真命题的是________(填上你认为所有正确的选项). ①空间中三个平面 α,β,γ ,若α ⊥β ,γ ⊥β ,则α ∥γ ;②空间中两个平面α ,β , 若α ∥β ,直线 a 与 α 所成角等于直线 b 与 β 所成角,则 a∥b;③球 O 与棱长为 a 正四面体 π 各面都相切,则该球的表面积为 a2;④三棱锥 P-ABC 中,PA⊥BC,PB⊥AC,则 PC⊥AB. 6 13.如图 X13-2 所示,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别是 CC1, C1D1,D1D,DC 的中点,N 是 BC 的中点,

图 X13-2 点 M 在四边形 EFGH 上或其内部运动,且使 MN⊥AC.对于下列命题:①点 M 可以与点 H 重合;②点 M 可以与点 F 重合;③点 M 可以在线段 FH 上;④点 M 可以与点 E 重合.其 中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上). 14. 在如图 X13-3 所示的几何体中, 四边形 ABCD 是菱形, ADNM 是矩形, 平面 ADNM⊥ 平面 ABCD,P 为 DN 的中点. (1)求证:BD⊥MC; (2)线段 AB 上是否存在点 E,使得 AP∥平面 NEC?若存在,说明在什么位置,并加以证 明;若不存在,说明理由.

图 X13-3

15.如图 X13-4(1)所示,⊙O 的直径 AB=4,点 C,D 为⊙O 上两点,且∠CAB=45°, ∠DAB=60°,F 为 BC 的中点.沿直径 AB 折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图 X13 -4(2)所示). (1)求证:OF∥平面 ACD; (2)在 BD 上是否存在点 G,使得 FG∥平面 ACD?若存在,试指出点 G 的位置,并求点 G 到平面 ACD 的距离;若不存在,请说明理由.

图 X13-4

专题限时集训(十四) [第 14 讲 空间角] (时间:45 分钟)

1.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 AA1 与平面 AC 所成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 2.如图 X14-1 所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,A1D 与 BC1 所成的 π 角为 ,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为( ) 2

图 X14-1 3 15 A. B. 2 5 1 6 C. D. 2 3 3. 如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面, 则这两个二面 角的大小关系是( ) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.大小不确定 4.如图 X14-2 所示的是某个正方体的展开图,l1,l2 是两条面对角线,则在正方体中, l1 与 l2 的关系为( )

图 X14-2 A.互相平行 B.异面且互相垂直 π π C.异面且夹角为 D.相交且夹角为 3 3 5.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的 中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.90°

图 X14-3 6.如图 X14-3 所示,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,且 PA=2AB,则下列结论正确的是( ) A.PB⊥AD B.平面 PAB⊥平面 PBC C.直线 BC∥平面 PAE D.直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45° 7.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为 BB1,CC1 的中点,那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为( ) 1 2 A. B. 2 2 3 4 C. D. 5 5 8.夹在两平行平面间的线段 AB,CD 的长分别为 2 和 2,若 AB 与这两个平行平面所 成的角为 30°,则 CD 与这两个平行平面所成的角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 9.如图 X14-4 所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,截面 C1D1AB 与底面 ABCD 所成二 面角 C1-AB-C 的大小为________.

图 X14-4 10.等边△ABC 与正方形 ABDE 有一公共边,二面角 C-AB-D 为直二面角,M,N 分 别是 AC,BC 的中点,则异面直线 EM 与 AN 所成角的余弦值为________. 11.如图 X14-5 所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 CD,CC1 的中点, 则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小为________.

图 X14-5 12.如图 X14-6 所示,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的侧棱 AA1 的长为 a,底面 ABCD 是边长 AB=2a,BC=a 的矩形,E 为 C1D1 的中点. (1)求证:DE⊥平面 EBC; (2)求异面直线 AD 与 EB 所成的角的正切值.

图 X14-6

13.如图 X14-7 所示,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相 等,D,E,F 分别为棱 AB,BC,A1C1 的中点. (1)求证:EF∥平面 A1CD; (2)求证:平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (3)求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值.

图 X14-7

14.如图 X14-8 所示,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,BC⊥AC,BC=AC =2,D 为 AC 的中点. (1)若 AA1=2,求证:BC1⊥平面 AB1C; (2)若 AA1=3,求二面角 C1-BD-C 的余弦值.

图 X14-8

专题综合训练(五) [专题五 立体几何] (时间:60 分钟 分值:100 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图 Z5-1 所示,则其俯视 图为( )

图 Z5-1

图 Z5-2 2. 如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面, 则这两个二面 角的关系是( ) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不能确定

图 Z5-3 3.已知一个几何体的三视图如图 Z5-3 所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个 几何体的体积为( ) (4+π ) 3 A. 3 B.(4+π ) 3 (8+π ) 3 C. 2 (8+π ) 3 D. 6 4.一个三棱柱的侧棱垂直于底面,且所有棱长都为 a,则此三棱柱的外接球的表面积为 ( ) A.π a2 B.15π a2 11 7 C. π a2 D. π a2 3 3 5.如图 Z5-4 所示,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,PA=AB,则直线 PB 与平面

ABC 所成的角是(

)

图 Z5-4 A.90° B.60° C.45° D.30° 6.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线成等角的 直线共有( ) A.0 条 B.1 条 C.4 条 D.无数条 7.下列命题:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线 a,b 分别和一个二 面角的两个面垂直,则 a,b 所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角的平面角 是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角的 顶点在棱上的位置没有关系.其中真命题的是( ) A.①③ B.②④ C.③④ D.①② 8.已知正方形 ABCD 的边长为 2 2,将△ABC 沿对角线 AC 折起,使平面 ABC⊥平面 ACD,得到如图 Z5-5 所示的三棱锥 B-ACD.若 O 为 AC 边的中点,M,N 分别为线段 DC, BO 上的动点(不包括端点),且 BN=CM.设 BN=x,则三棱锥 N-AMC 的体积 y=f(x)的函数 图像大致是( )

图 Z5-5

图 Z5-6

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9.一水平放置的平面图形 OABC,用斜二测画法画出它的直观图 O′A′B′C′如图 Z5-7 所 示,此直观图恰好是一个边长为 2 的正方形,则原平面图形 OABC 的面积为________.

图 Z5-7

图 Z5-8

10.如图 Z5-8 所示是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是两底长分别为 2 和 4,腰长为 4 的等腰梯形,则该几何体的表面积是________. 11.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 5 的球 O 的球面上,且 AB=8,BC=2 3,则 棱锥 O-ABCD 的体积为________. 12.如图 Z5-9 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 PA⊥平面 ABCD, PA=5,AB=4,AD=3.则直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为________.

图 Z5-9 三、解答题(共 40 分) 13.已知在空间四边形 ABCD 中,AB⊥CD,AB=4,CD=4 AC,BD 的中点,求 MN 与 AB,CD 所成的角.

3,M,N 分别是对角线

图 Z5-10

AD CE 1 14.等边△ABC 的边长为 3,点 D,E 分别是边 AB,AC 上的点,且满足 = = (如 DB EA 2 图 Z5-11①所示).将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使二面角 A1-DE-B 成直二面 角,联结 A1B,A1C(如图 Z5-11②所示). (1)求证:A1D⊥平面 BCED; 5 (2)若点 P 在线段 BC 上,PB= ,求直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角. 2

图 Z5-11

15.如图 Z5-12 所示,在△ABC 中,B=90°,AB= 2,BC=1,D,E 两点分别在线 AD AE 段 AB,AC 上,满足 = =λ,λ ∈(0,1).现将△ABC 沿 DE 折成直二面角 A-DE-B. AB AC 1 (1)求证:当 λ= 时,平面 ADC⊥平面 ABE; 2 π (2)当 λ∈(0,1)时,直线 AD 与平面 ABE 所成的角能否等于 ?若能,求出 λ 的值;若 6 不能,请说明理由.

图 Z5-12

专题限时集训(十五) [第 15 讲 直线与圆] (时间:45 分钟)

1.过点 A(1,2)且垂直于直线 2x+y-5=0 的直线方程为( ) A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0 2.经过圆 x2-2x+y2=0 的圆心且与直线 x+2y=0 平行的直线方程是( ) A.x+2y-1=0 B.x-2y-2=0 C.x-2y+1=0 D.x+2y+2=0 3.若直线(1+a)x+y+1=0 与圆 x2+y2-2x=0 相切,则 a 的值是( ) A.1 或-1 B.2 或-2 C.1 D.-1 4.已知圆 C:x2+y2=2 与直线 l:x+y+ 2=0,则圆 C 被直线 l 所截得的弦长为( A.1 B. 3 C.2 D.2 3 5.设过点(0,b)且斜率为 1 的直线与圆 x2+y2+2x=0 相切,则 b 的值为( ) A.2± 2 B.2±2 2 C.1± 2 D. 2±1 6.若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心,则 a 的值为________.

)

7.已知直线 l1:x+(a-2)y-2=0,直线 l2:(a-2)x+ay-1=0,则“a=-1”是“l1 ⊥l2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.圆 C1:x2+y2-1=0 与圆 C2:x2+y2-4x-5=0 的位置关系是( ) A.相交 B.外切 C.内切 D.外离 9. 若直线 ax-by+1=0 过圆 C: x2+y2+2x-4y+1=0 的圆心, 则 ab 的取值范围是( ) 1 ? A.? ?-∞,4?

1? B.? ?-∞,8? 1? C.? ?0,4? 1 0, ? D.? ? 8? 10.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx-2 上 至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的取值范围为( ) 4 A.0≤k≤ 3 4 B.k<0 或 k> 3 3 4 C. ≤k≤ 4 3 4 D.k≤0 或 k> 3 11.直线 x- 3y+2=0 被圆 x2+y2=4 截得的劣弧长为________. 12.若直线 l 与圆 x2+(y+1)2=4 相交于 A,B 两点,且线段 AB 的中点坐标是(1,-2), 则直线 l 的方程为________. x y 13.已知圆 C:(x-a)2+(y-b)2=8(ab>0)过坐标原点,则圆心 C 到直线 l: + =1 的距 b a 离的最小值等于________. 14.在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P 为圆 C:(x-1)2+y2=4 上的任意一点,点 Q(2a, a-3)(a∈R),则线段 PQ 长度的最小值为________. 15.求圆心在抛物线 x2=4y 上,且与直线 x+2y+1=0 相切的面积最小的圆的方程.

16.已知圆 C 的方程为 x2+y2=1,直线 l1 过点 A(3,0)且与圆 C 相切. (1)求直线 l1 的方程; (2)设圆 C 与 x 轴交于 P,Q 两点,M 是圆 C 上异于 P,Q 的任意一点,过点 A 且与 x 轴 垂直的直线为 l2,直线 PM 交直线 l2 于点 P′,直线 QM 交直线 l2 于点 Q′. 求证:以 P′Q′为直径的圆 C′过定点,并求出定点坐标.

专题限时集训(十六) [第 16 讲 圆锥曲线的方程与性质] (时间:45 分钟)

x2 y2 1.已知椭圆 2+ 2=1 的左焦点为 F1,右顶点为 A,上顶点为 B.若∠F1BA=90°,则椭 a b 圆的离心率是( ) 5-1 3-1 A. B. 2 2 3 1 C. D. 2 2 x2 2 2.椭圆 2+y =1 的一个焦点在抛物线 y2=4x 的准线上,则该椭圆的离心率为( ) a 1 2 A. B. 2 2 1 3 C. D. 3 3 x2 y2 3.已知抛物线 x2=-4y 的准线与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线围成一个等 a b 腰直角三角形,则该双曲线的离心率是( ) A. 2 B.2 C. 5 D.5 x2 y2 4.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)右支上的一点 P(x0,y0)到左焦点的距离与到右焦点 a b 2 的距离之差为 2 2,且到两条渐近线的距离之积为 ,则双曲线的离心率为( ) 3 5 6 A. B. 2 2 C. 5 D. 6 x2 y2 5.若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆 x2+y2-6x=0 截得的弦长为 2 5, a b 则双曲线的离心率为( ) 6 A. 3 B. 2 3 5 C. D. 5 5 x2 y2 1 6.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点到渐近线的距离是焦距的 ,则双曲线的 a b 4 离心率是( ) A.2 B.4 4 15 2 3 C. D. 15 3 x2 y2 7.抛物线 y2=8x 的准线与双曲线 - =1 的两条渐近线围成的三角形的面积为( 12 4 4 3 2 3 A. B. 3 3 )

C.

x y2 x2 y2 8.若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与椭圆 2+ 2=1(m>b>0)的离心率之积大于 1,则以 a, a b m b b,m 为边长的三角形一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 x2 y2 9.设双曲线 - =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A, 4 3 B 两点,则|BF2|+|AF2|的最小值为( ) 19 A. B.11 C.12 D.16 2 x2 y2 10.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均与圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切, a b 则该双曲线的离心率等于( ) 3 5 6 3 5 A. B. C. D. 5 2 2 5 x2 y2 11.已知 A 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左顶点,F1,F2 分别为双曲线的左、右焦点, a b → → P 为双曲线上一点,G 是△PF1F2 的重心,若GA=λPF1,则双曲线的离心率为________. 2 x → → 12.设 F1,F2 为双曲线 2-y2=1 的两个焦点,已知点 P 在此双曲线上,且PF1?PF2= a 5 0.若此双曲线的离心率等于 ,则点 P 到 x 轴的距离等于________. 2 13.椭圆的两焦点为 F1(-4,0),F2(4,0),P 在椭圆上,若△PF1F2 的面积的最大值为 12,则椭圆方程为________. 14. 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A, 直线与抛 → → → → 物线的准线的交点为 B,点 A 在抛物线的准线上的射影为 C,若AF=FB,BA?BC=36,则 抛物线的方程为________. 15.已知椭圆与双曲线 x2-y2=0 有相同的焦点,且离心率为 (1)求椭圆的标准方程; → → (2)过点 P(0,1)的直线与该椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若AP=2PB,求△AOB 的面积. 2 . 2

3 3

D.2
2

3

16.已知抛物线 y2=6x 上的两个动点 A 和 B,F 是焦点,满足|AF|+|BF|=7,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C. (1)求点 C 的坐标; (2)当线段 AB 最长时,求△ABC 的面积.

图 X16-1

专题限时集训(十七) [第 17 讲 圆锥曲线的热点问题] (时间:45 分钟)

x2 y2 1.已知椭圆 C: + =1,直线 l:y=mx+1,若对任意的 m∈R,直线 l 与椭圆 C 恒 4 b 有公共点,则实数 b 的取值范围是( ) A.[1,4) B.[1,+∞) C.[1,4)∪(4,+∞) D.(4,+∞) 2.与两圆 x2+y2=1 及 x2+y2-8x+12=0 都外切的圆的圆心在( ) A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D.一个圆上 2 → → x 3. 已知两定点 A(1, 1), B(-1, -1), 动点 P(x, y)满足PA? PB= , 则点 P 的轨迹是( ) 2 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.拋物线 x2 y2 x2 y2 4.已知椭圆 C1: + =1 与双曲线 C2: - =1 共焦点,则椭圆 C1 的离心率 e m n m+2 n 的取值范围为( ) 2 2 A.? ,1? B.?0, ? 2? ?2 ? ? 1? C.(0,1) D.? ?0,2? 5.以抛物线 y2=8x 上的任意一点为圆心作圆与直线 x+2=0 相切,这些圆必过一定点, 则这一定点的坐标是( ) A.(0,2) B.(2,0) C.(4,0) D.(0,4) x2 y2 6.过椭圆 + =1 上一点 M 作圆 x2+y2=2 的两条切线,点 A,B 为切点.过 A,B 的 9 4 直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于 P,Q 两点,则△POQ 的面积的最小值为( ) 1 2 A. B. 2 3 4 C.1 D. 3 7.已知点 A(2,1),抛物线 y2=4x 的焦点是 F,若抛物线上存在一点 P,使得|PA|+|PF| 最小,则 P 点的坐标为( ) A.(2,1) B.(1,1) 1 ? ?1 ? C.? ?2,1? D.?4,1? π 8.过抛物线 y2=x 的焦点 F 的直线 m 的倾斜角 θ≥ ,m 交抛物线于 A,B 两点,且 A 4 点在 x 轴上方,则|FA|的取值范围是________. 9.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该抛物线相交于 A,B 两点.其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60°,则△OAF 的面积为________. 10.已知 E(2,2)是抛物线 C:y2=2px 上一点,经过点(2,0)的直线 l 与抛物线 C 交于 A,

B 两点(不同于点 E), 直线 EA, EB 分别交直线 x=-2 于点 M, N, 则∠MON 的大小为________. x2 y2 11. 已知椭圆 C: + =1, 过点 M(2, 0)且斜率不为 0 的直线交椭圆 C 于 A, B 两点. 在 9 4 x 轴上若存在定点 P,使 PM 平分∠APB,则 P 的坐标为________. 12.已知点 A(m,4)(m>0)在抛物线 x2=4y 上,过点 A 作倾斜角互补的两条直线 l1 和 l2, 且 l1,l2 与抛物线的另一个交点分别为点 B 和点 C. (1)求证:直线 BC 的斜率为定值; (2)若抛物线上存在两点关于直线 BC 对称,求|BC|的取值范围.

图 X17-1

13.如图 X17-2 所示,已知圆 C1:x2+(y-1)2=4 和抛物线 C2:y=x2-1,过坐标原点 O 的直线与 C2 相交于点 A,B,定点 M 的坐标为(0,-1),直线 MA,MB 分别与 C1 相交于 点 D,E. (1)求证:MA⊥MB; S1 (2)记△MAB,△MDE 的面积分别为 S1,S2,若 =λ ,求λ 的取值范围. S2

图 X17-2

14.已知直线 l:y=2x-2 与抛物线 M:y=x2 的切线 m 平行. (1)求切线 m 的方程和切点 A 的坐标; (2)若点 P 是直线 l 上的一个动点,过点 P 作抛物线 M 的两条切线,切点分别为 B,C 并 S△ABC 且分别与切线 m 交于 E,F 两点,试问 是否为定值?若是,求出其值;若不是,则说明 |EF|

理由.

专题综合训练(六) [专题六 平面解析几何] (时间:60 分钟 分值:100 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) x2 1.双曲线 -y2=1 的渐近线方程为( ) 4 A.y=± 2x B.y=± 4x 1 1 C.y=± x D.y=± x 2 4 2.过点 A(2,3)且垂直于直线 2x+y-5=0 的直线方程为( ) A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0 x2 y2 3.若抛物线 y2=2px 的焦点与双曲线 - =1 的右焦点重合,则 p 的值为( ) 2 2 A.-2 B.2 C.-4 D.4 4.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为 F1(- 5,0),点 P 在双曲线上,且线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则此双曲线的方程是( ) x2 2 y2 2 A. -y =1 B.x - =1 4 4 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 2 3 3 2 5.已知 M(x0,y0)为圆 x2+y2=a2(a>0)内异于圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a2 与该圆的 位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交 6.已知圆 C 经过 A(5,2),B(-1,4)两点,圆心在 x 轴上,则圆 C 的方程是( ) 2 2 2 2 A.(x-2) +y =13 B.(x+2) +y =17 C.(x+1)2+y2=40 D.(x-1)2+y2=20 y2 7.若双曲线 x2+ =1 的离心率是 2,则实数 k 为( ) k A.3 B.-3 1 1 C. D.- 3 3 x2 8.已知 A,B 是双曲线 -y2=1 的两个顶点,点 P 是双曲线上异于 A,B 的一点,联结 4 2 x PO(O 为坐标原点)交椭圆 +y2=1 于点 Q,如果设直线 PA,PB,QA 的斜率分别为 k1,k2, 4 15 k3,且 k1+k2=- ,假设 k3>0,则 k3 的值为( ) 8 1 A.1 B. 2 C.2 D.4 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) x2 y2 9.已知点 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点 P 是双曲线上的一点, a b → → 且PF1?PF2=0,则△PF1F2 的面积为________. 10.已知抛物线方程为 x2=4y,过点 M(0,m)的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两

点,且 x1x2=-4,则 m 的值________. y2 x2 11.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0),P 为 x 轴上一动点,经过 P 的直线 y=2x+ a b m(m≠0)与双曲线 C 有且只有一个交点,则双曲线 C 的离心率为________. x2 y2 12.椭圆 Γ: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= 3(x a b +c)与椭圆的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________. 三、解答题(共 40 分) x2 y2 13.(13 分)已知圆 G:x2+y2-2x- 2y=0 经过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点 F 及上 a b 顶点 B. (1)求椭圆的方程; 5π (2)过椭圆外一点 M(m,0)(m>a),倾斜角为 的直线 l 与椭圆交于 C,D 两点,若右焦 6 点 F 在以弦 CD 为直径的圆的外部,求实数 m 的取值范围.

14.已知直线 l:y=kx+1 过抛物线 C:x2=2py 的焦点 F. (1)求抛物线 C 的方程; (2)直线 l 与抛物线 C 交于 P,Q 两点,以 P,Q 为切点分别作 C 的切线,两切线交于点 A.求证:FA⊥PQ. 15.(14 分)平面内动点 P 到点 F(1,0)的距离等于它到直线 x=-1 的距离,记点 P 的轨 迹为曲线 Γ. (1)求曲线 Γ 的方程; → → → (2)若点 A,B,C 是 Γ 上的不同三点,且满足FA+FB+FC=0.证明:△ABC 不可能为直 角三角形.

专题限时集训(十八) [第 18 讲 概率与统计] (时间:45 分钟)

1.投掷两颗骰子,其向上的点数分别为 m,n,则复数(m+ni)2 是纯虚数的概率是( ) 1 1 A. B. 3 4 1 1 C. D. 6 12 2.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 m,第二次出现的点 数为 n,向量 p=(m,n),q=(3,6),则向量 p 与 q 共线的概率为( ) 1 1 A. B. 3 4 1 1 C. D. 6 12 3.某同学学业水平考试的 9 科成绩的茎叶图如图 X18-1 所示,则根据茎叶图可知该同 学的平均分为( )

图 X18-1 A.79 B.80 C.81 D.82 4.甲、乙两名运动员在某项测试中的 6 次成绩的茎叶图如图 X18-2 所示,x1,x2 分别 表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数,s1,s2 分别表示甲、乙两名运动员这项测试 成绩的标准差,则有( )

图 X18-2 A.x1>x2,s1<s2 B.x1=x2,s1>s2 C.x1=x2,s1=s2 D.x1=x2,s1<s2 5.总体由编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体,选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数 字,则选出来的第 5 个个体的编号为( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B.07 C.02 D.01 6.一个样本容量为 20 的样本数据,它们组成一个公差不为 0 的等差数列{an},若 a3=8 且前 4 项和 S4=28,则此样本的平均数和中位数分别是( ) A.22,23 B.23,22 C.23,23 D.23,24

7.从集合{1,2,3,4}中随机取一个元素 a,从集合{1,2,3}中随机取一个元素 b,则 a>b 的概率是( ) 5 1 A. B. 12 2 7 2 C. D. 12 3 8.从某项综合能力测试中抽取 50 人的成绩,统计如下表,则这 50 人成绩的方差为 ________. 5 4 3 2 1 分数 10 5 15 15 5 人数 9.从 1,3,5,7 这四个数中随机地取出两个数组成一个两位数,则组成的两位数是 5 的 倍数的概率为________. 10.设 a,b 随机取自集合{1,2,3},则直线 ax+by+3=0 与圆 x2+y2=1 有公共点的 概率是________. 11.6 名外语翻译者中有 4 人会英语,另外 2 人会俄语.现从中抽出 2 人,则抽到英语, 俄语翻译者各 1 人的概率等于________. 12.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,若记向量 a=(m,n)与向量 b=(1,-2)的 夹角为 θ,则 θ 为锐角的概率是________. 13.在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三个小球.现从这个盒子中,有放回地 先后抽得两个小球的标号分别为 x,y,设 O 为坐标原点,M 的坐标为(x-2,x-y). → (1)求|OM|2 的所有取值之和; → (2)求事件“|OM|2 取得最大值”的概率.

14.公安部交管局修改后的酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒后驾车”和 “醉酒驾车”,其判断标准是驾驶人员每 100 毫升血液中的酒精含量 X 毫克,当 20≤X<80 时,认定为酒后驾车;当 X≥80 时,认定为醉酒驾车,重庆市公安局交通管理部门在对 G42 高速路我市路段的一次随机拦查行动中,依法检测了 200 辆机动车驾驶员的每 100 毫升血液 中的酒精含量,酒精含量 X(单位:毫克)的统计结果如下表: X [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100) [100,+∞) t 1 1 1 1 1 人数 依据上述材料回答下列问题: (1)求 t 的值; (2)从酒后违法驾车的司机中随机抽取 2 人,求这 2 人中含有醉酒驾车司机的概率.

专题综合训练(七) [专题七 概率与统计] (时间:60 分钟 分值:100 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.某城市修建经济适用房,已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭 360 户、270 户、 180 户.若首批经济适用房中有 90 套住房用于解决住房紧张问题,采用分层抽样的方法决定 各社区户数,则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为( ) A.40 B.36 C.30 D.20

图 Z7-1 2.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛,他们每场比赛得分的情况用如 图 Z7-1 所示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员的中位数分别为( ) A.19,13 B.13,19 C.20,18 D.18,20 3.某个小区住户共 200 户,为调查该小区居民 7 月份的用水量,用分层抽样的方法抽取 了 50 户进行调查,从而得到本月用水量(单位:m3)的频率分布直方图如图 Z7-2 所示,则该 小区本月用水量超过 15 m3 的住户的户数为( )

图 Z7-2 A.10 B.50 C.60 D.140 4.将容量为 n 的样本数据分成 6 组,若第一组至第六组数据的频率之比为 2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之和等于 27,则 n 的值为( ) A.70 B.60 C.50 D.40 5. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计, 得到样本的茎叶图(如图 Z7-3 所示), 则该样本的中位数、众数、极差分别是( )

图 Z7-3 A.46,45,56 B.46,45,53

C.47,45,56 D.45,47,53 6.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个数 b,则 a>2b 的概率为( ) 1 4 1 16 A. B. C. D. 5 15 3 5 7.在正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则构成的四边形是梯形的概率为( ) 1 2 1 1 A. B. C. D. 5 5 6 8 8.一个单位有职工 800 人,其中具有高级职称的 160 人,具有中级职称的 320 人,具有 初级职称的 200 人,其余人员 120 人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从 中抽取容量为 40 的样本,则从上述各层中依次抽取的人数分别是( ) A.12,24,15,9 B.9,12,12,7 C.8,15,12,5 D.8,16,10,6 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9.一次射击训练中,某小组的成绩只有 7 环、8 环、9 环三种情况,且该小组的平均成 绩为 8.15 环.设该小组成绩为 7 环的有 x 人,成绩为 8 环、9 环的人数情况见下表: 环数(环) 人数(人) 8 7 9 8

那么 x=________. 10.某地政府调查了工薪阶层 1000 人的月工资收入,并把调查结果画成如图 Z7-4 所 示的频率分布直方图.为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度,要用分层抽样方法从调 查的 1000 人中抽出 100 人作电话询访,则(30,35](百元)月工资收入段应抽出________人.

图 Z7-4 11.某个年级有男生 560 人,女生 420 人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取 一个容量为 280 的样本,则此样本中男生人数为________. 12.连掷两次骰子(骰子六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6)得到的点数分别记为 a 和 b,则使直线 3x-4y=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=4 相切的概率为________. 13.某地区高中学校分三类,A 类学校共有学生 2000 人,B 类学校共有学生 3000 人,C 类学校共有学生 4000 人.若采取分层抽样的方法抽取 900 人,则 A 类学校中应抽取学生 ________人. 14.由正整数组成的一组数据 x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是 2,且标准差等于 1,则这组数据为________. 三、解答题(共 40 分) 15.(13 分)某校从高一年级学生中随机抽取 50 名学生,将他们的期中考试数学成绩(满 分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段为[40,50),[50,60),?,[90,100],得 到如图 Z7-5 所示的频率分布直方图. (1)若该校高一年级共有学生 1000 人,试估计成绩不低于 60 分的人数; (2)为了帮助学生提高数学成绩,学校决定在随机抽取的 50 名学生中成立“二帮一”小 组,即从成绩[90,100]中选两位同学共同帮助[40,50)中的某一位同学.已知甲同学的成绩 为 42 分,乙同学的成绩为 95 分,求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率.

图 Z7-5

16.随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位: cm),获得身高 数据的茎叶图如图 Z7-6 所示. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班样本的方差.

图 Z7-6

专题限时集训(十九) [第 19 讲 函数与方程思想、数形结合思想] (时间:45 分钟)

1.若 i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数 x+yi 的模是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 1 1 2.直线 y= x+b 与曲线 y=- x+ln x 相切,则 b 的值为( ) 2 2 A.-2 B.1 1 C.- D.-1 2 x2 y2 3.F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,过左焦点 F1 的直线 l 与双曲 a b 线 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点.若|AB|∶|BF2|∶|AF2|=3∶4∶5,则双曲线的离心率 是( ) A. 13 B. 15 C.2 D. 3 ?x≥1, 4.已知 a>0,x,y 满足约束条件?x+y≤3,

?

? ?y≥a(x-3).

若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=(

)

1 1 A. B. C.1 D.2 4 2 5.函数 f(x)=ln x 的图像与函数 g(x)=x2-4x+4 的图像的交点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6.若点 P 是曲线 y=x2-ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小值为________. y 7.已知实数 x,y 满足 x2+y2-4x+1=0,则 的最大值为( ) x A.1 B.- 3 C. 3 D.2 8.已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数 f′(x)的图像如图 X19-1 a+2 所示.若两正数 a,b 满足 f(a+2b)<1,则 的取值范围是( ) b+2

图 X19-1 1 ? A.? ?3,2? B.(-∞,-1) C.(-1,0) 1 ? D.? ?2,3? 9.已知函数 f(x)=3x+sin x-2cos x 的图像在点 A(x0,f(x0))处的切线斜率为 3,则 tan x0 的值是________.

1 1 10.若曲线 y=x- 在点(m,m- )处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为 18,则 m 2 2 =________. 2-sin x 11.函数 y= 的值域是________. 3-cos x 1 12.已知函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-log x,h(x)=log2x- x的零点分别为 x1,x2,x3, 2 则 x1,x2,x3 的大小关系是______________. 13.设函数 f(x)=x2+aln(x+1)有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2. (1)求实数 a 的取值范围; 3 1 (2)当 a= 时,判断方程 f(x)=- 的实数根的个数,并说明理由. 8 4

14.已知函数 f(x)=(x2-3x+3)· ex 的定义域为[-2,t](t>-2). (1)试确定 t 的取值范围,使得函数 f(x)在[-2,t]上为单调函数; f′(x0) 2 (2)当 1<t<4 时,求满足 = (t-1)2 的 x0 的个数. ex0 3 1 1 15.设 f(x)=ln(x2+1),g(x)= x2- . 2 2 (1)求 F(x)=f(x)-g(x)的单调区间,并证明对[-1,1]上的任意 x1,x2,x3,都有 F(x1)+ F(x2)>F(x3); (2)将 y=f(x)的图像向下平移 a(a>0)个单位,同时将 y=g(x)的图像向上平移 b(b>0)个单 a+1 位,使它们恰有四个交点,求 的取值范围. b+1

专题限时集训(二十) [第 20 讲 分类与整合思想、化归与转化思想] (时间:45 分钟)

sin 47°-sin 17°cos 30° =( ) cos 17° 3 1 1 3 A.- B.- C. D. 2 2 2 2 ?x2+2x,x≥0, ? 2.已知函数 f(x)=? 为奇函数,则 f[g(-1)]=( ) ?g(x),x<0 ? A.-20 B.-18 C.-15 D.17 π π 3.已知函数 f(x)=asin? x?+btan? x?(a,b 为常数),若 f(1)=1,则不等式 f(31)>log2x ?5 ? ?5 ? 的解集为________. ?log1x,x≥1, ? 4.函数 f(x)=? 2 的值域为________. 1.

?2x,x<1 ?

5. “a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足下列三个条件:①对任意的 x∈R 都有 f(x+2)= -f(x);②对于任意的 0≤x1<x2≤2,都有 f(x1)<f(x2);③y=f(x+2)的图像关于 y 轴对称.下列 结论中,正确的是( ) A.f(4.5)<f(6.5)<f(7) B.f(4.5)<f(7)<f(6.5) C.f(7)<f(4.5)<f(6.5) D.f(7)<f(6.5)<f(4.5) 7.若函数 f(x)=x3-3x 在(a,6-a2)上有最小值,则实数 a 的取值范围是( ) A.(- 5,1) B.[- 5,1) C.[-2,1) D.(-2,1) 8.在三棱锥 A-BCD 中,侧棱 AB,AC,AD 两两垂直,且△ABC,△ACD,△ADB 的 2 3 6 面积分别为 , , ,则该三棱锥外接球的表面积为( ) 2 2 2 A.2π B.6π C.4 6π D.24π 9.已知向量 α,β,γ 满足|α|=1,|α-β|=|β|,(α-γ)· (β-γ)=0.若对每一个确定的 β,|γ| 的最大值和最小值分别为 m,n,则对任意 β,m-n 的最小值是( ) 1 A. B.1 C.2 D. 2 2 10.已知函数 f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设 H1(x)=max{f(x), g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示 p,q 中的较大值,min{p,q}表示 p,q 中的较 小值),记 H1(x)的最小值为 A,H2(x)的最大值为 B,则 A-B=( ) 2 2 A.a -2a-16 B.a +2a-16 C.-16 D.16

1 11.设函数 f(x)=x- ,对任意 x∈[1,+∞),f(2mx)+2mf(x)<0 恒成立,则实数 m 的取 x 值范围是________. 12.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≥0 时,f(x)=2x.若对任意的 x∈[a,a+2], 不等式 f(x+a)≥f2(x)恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 13.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+1,数列{bn}是首项为 1,公比为 b 的等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn.

14.已知函数 f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)讨论函数 f(x)的单调区间; ?f(x)(0<x≤1), ? (2)若函数 g(x)=? 且 g(x)≤1 恒成立,求实数 a 的取值范围. ?ax-1(-1≤x≤0), ? 1-a 15.已知函数 f(x)=ln x-ax+ (0<a<1),讨论 f(x)的单调性. x

专题综合训练(八) [专题八 数学思想方法] (时间:60 分钟 分值:100 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.设函数 f(x)=x3-4x+a(0<a<2)有三个零点 x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,则下列结论正确 的是( ) A.x1>-1 B.x2<0 C.0<x2<1 D.x3>2 ?x-y≥0, 2.已知实数 x,y 满足不等式组?x-3y+2≤0,则 2x-y+3 的最小值是(

?

? ?x+y-6≤0,

)

A.3 B.4 C.6 D.9 3. “φ =π ”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ?x,x≤0, ? 4.已知函数 f(x)=? 2 若函数 g(x)=f(x)-m 有三个不同的零点,则实数 m 的取 ?x -x,x>0. ? 值范围为( ) 1 ? 1 ? ? A.?-2,1? B.? ?-2,1? 1 ? ? 1 ? C.? ?-4,0? D.?-4,0? 5.已知函数 f(x)=3x+x-3 的零点为 x1,函数 g(x)=log3x+x-3 的零点为 x2,则 x1+x2 =( ) A.1 B.2 C.3 D.4

图 Z8-1 6.阅读程序框图(如图 Z8-1),如果输出的函数值在区间[1,3]上,则输入的实数 x 的 取值范围是( ) A.{x∈R|0≤x≤log2 3} B.{x∈R|-2≤x≤2} C.{x∈R|0≤x≤log2 3 或 x=2} D.{x∈R|-2≤x≤log2 3 或 x=2} 7.已知函数 f(x)=2x+1,x∈N*.若?x0,n∈N*,使 f(x0)+f(x0+1)+?+f(x0+n)=63 成 立,则称(x0,n)为函数 f(x)的一个“生成点”.函数 f(x)的“生成点”共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

8.设 f(x)是定义在 R 上的增函数,且对于任意的 x∈R 都有 f(2-x)+f(x)=0 恒成立.如 2 2 ? ?f(m -6m+23)+f(n -8n)<0, 果实数 m, n 满足不等式组? 则 m2+n2 的取值范围是( ) ?m>3, ? A.(3,7) B.(9,25) C.(13,49) D.(9,49) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9. 如果 sin3θ -cos3θ >cos θ -sin θ , 且 θ∈(0, 2π ), 那么角θ 的取值范围是________. → → → → → → → → → 10. 已知向量AB与AC的夹角为 120° , 且|AB|=3, |AC|=2.若AP=λ AB+AC, 且AP⊥BC, 则实数 λ 的值为________. 11. 若不等式 x2+2xy≤a(x2+y2)对于一切正数 x, y 恒成立, 则实数 a 的最小值为________. 12.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)对任意的 x 都满足 f(x+1)=-f(x),当-1≤x<1 时, f(x)=x3.若函数 g(x)=f(x)-loga|x|至少有 6 个零点,则 a 的取值范围是________. 三、解答题(共 40 分) 13.(13 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=1,c= 2,cos 3 C= . 4 (1)求 sin A 的值; (2)求△ABC 的面积.

14.(13 分)已知向量 p=(an,2n),q=(2n 1,-an+1),n∈N*,向量 p 与 q 垂直,且 a1


=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=log2 an+1,求数列{an?bn}的前 n 项和 Sn.

x2 15.(14 分)已知函数 f(x)= x. e (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)设 g(x)=x2+mx,h(x)=ex-1,若在(0,+∞)上至少存在一点 x0,使得 g(x0)>h(x0)成 立,求 m 的范围.

专题限时集训(二十一)A [第 21 讲 坐标系与参数方程] (时间:30 分钟)

?x=2cos θ , 1.已知在直角坐标系 xOy 中,圆锥曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数),定 ?y= 3sin θ 点 A(0,- 3),F1,F2 是圆锥曲线 C 的左、右焦点. (1)以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求经过点 F1 且平行于直线 AF2 的直 线 l 的极坐标方程; (2)在(1)的条件下,设直线 l 与圆锥曲线 C 交于 E,F 两点,求弦 EF 的长.

2.以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,已知点 P 的直角坐标为(1,- π π 5),点 M 的极坐标为?4, ?,若直线 l 过点 P,且倾斜角为 ,圆 C 是以 M 点为圆心,4 3 2? ? 为半径的圆. (1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (2)判定直线 l 与圆 C 的位置关系.

? ?x=2+2cos θ , 3.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程是? (θ 为参数). ?y=2sin θ ? (1)将 C1 的参数方程化为普通方程;

π (2)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线 C2 的极坐标方程是 θ= 3 (ρ∈R),求曲线 C1 与 C2 交点的极坐标.

?x=2cos α , ? 4.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? (α 为参数),M 是 C1 上 ? ?y=2+2sin α → → 的动点,P 点满足OP=2OM,P 点的轨迹为曲线 C2.

(1)求 C2 的方程. π (2)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 射线 θ= (ρ>0)与 C1 的异于极点 3 的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|的长.

专题限时集训(二十一)B [第 21 讲 坐标系与参数方程] (时间:30 分钟)

12 1.已知椭圆 C 的极坐标方程为 ρ2= ,点 F1,F2 为其左、右焦点.以极 3cos2θ +4sin2θ 2 x=2+ t, 2 点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 (t 2 y= t 2 为参数,t∈R).

? ? ?

(1)求直线 l 的普通方程和椭圆 C 的直角坐标方程; (2)求点 F1,F2 到直线 l 的距离之和.

? ?x=1+tcos α , 2.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? (t 为参数),在极坐标系 ?y=2+tsin α ? (与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的 方程为 ρ=6sin θ . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于 A,B 两点.若点 P 的坐标为(1,2),求|PA|+|PB|的最小值.

π 3.已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ2?1+sin2?θ - ??=4.点 P 为曲线 C1 上的点,△OPQ 4 ?? ? ? 为以 Q 为直角顶点的等腰直角三角形,且 O,P,Q 三点按顺时针方向排列.记点 Q 的轨迹 为曲线 C2. (1)求曲线 C2 的极坐标方程; 3 (2)若过点 F(1,π )的直线 l 交 C2 于 M,N 两点,分别交直线 ρcos θ =± 于 A,B 两点, 2 若|MN|,||AF|-|BF||,|AB|成等比数列,求直线 l 的方程.

?x=t, 4.平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是? (t 为参数),以坐标原点为极点,x ?y= 3t 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 4ρ2cos 2θ -4ρsin θ +3= 0. (1)求直线 l 的极坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求|AB|.

专题限时集训(二十二)A [第 22 讲 不等式选讲] (时间:30 分钟)

1.(1)已知 x,y,z 为正实数,满足 x+y+z=2,求证:3x2+9y+9z≥9; (2)已知不等式|x+3|+m|2-x|≥2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

2.设函数 f(x)=|2x+1|-|x-2|. (1)求不等式 f(x)>2 的解集; 11 (2)若任意 x∈R,f(x)≥t2- t 恒成立,求实数 t 的取值范围. 2

3.已知函数 f(x)=|x-1|,g(x)=-|x+3|+a(a∈R). (1)解关于 x 的不等式 g(x)>6; (2)若函数 y=2f(x)的图像恒在函数 y=g(x)的图像的上方,求实数 a 的取值范围.

4.已知关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|<3a2-7a+4. (1)当 a=2 时,求不等式的解集; (2)如果关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|<23a2-7a+4 的解集为空集, 求实数 a 的取值范围.

专题限时集训(二十二)B [第 22 讲 不等式选讲] (时间:30 分钟)

1.已知函数 f(x)=|2x-a|+a. (1)若不等式 f(x)≤6 的解集为{x|-2≤x≤3},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若存在实数 n,使 f(n)≤m-f(-n)成立,求实数 m 的取值范围.

2.已知函数 f(x)=|x-2|-|x-5|. (1)求证:-3≤f(x)≤3; (2)求不等式 f(x)≥x2-8x+15 的解集.

3.设函数 f(x)=|x+1|+|x-4|-a. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的最小值; 4 (2)若 f(x)≥ +1 对任意的实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. a

4.(1)已知 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,求 3a+1+ 3b+1+ 3c+1的最大值; (2)已知 a2+2b2+3c2=6,若存在实数 a,b,c,使得不等式 a+2b+3c>|x+1|成立,求 实数 x 的取值范围.

专题限时集训(一)A 1.D [解析] 因为 N={0,3,9},所以 M∪N={0,1,3,9}. 1 + 2.C [解析] <3x 1≤9?-1<x+1≤2,-2<x≤1;log2x≤1?0<x≤2,故 A∪B=(-2, 3 2]. 3.B [解析] 由题意知 1,3 是集合 A 和 B 的公共元素,x∈A 且 x?B,则 x=2. 4.A [解析] 函数 f(x)=cos x 与函数 g(x)=sin(x+φ)的图像重合,则 cos x=sin(x+φ), π π 所以 φ=2kπ + (k∈Z),则“φ= ”是“函数 f(x)=cos x 与函数 g(x)=sin(x+φ)的图像重 2 2 合”的充分而不必要条件. 5.A [解析] 若 a 与 b 共线,则 a,b 的夹角为 0 或π ,a· b=|a|· |b|,则 a,b 的夹角为 0, 故“a· b=|a|· |b|”是“a 与 b 共线”的充分不必要条件. 6.D [解析] p 假,q 真,则 p∨q 为真. 7.B [解析] M=(1,+∞),N=[1,+∞),所以 M∩N=M. 8.B [解析] 集合 A={x|0<x<2},集合 B={x|x<1},故 A∩(?RB)={x|1≤x<2}. 9.A [解析] 由 P={-1,0,1},Q={1,2}可得 P*Q 的元素分别为-1,1,2,3, 5. 10.B [解析] 若|a-b|=1,则以|a|,|b|,|a-b|为边的三角形为等边三角形,此时 a 与 π π b 的夹角 θ= ,而|a-b|>1,则夹角为θ ∈? ,π ?,故命题 p 是命题 q 成立的必要而不充 3 ?3 ? 分条件. 11.B [解析] 由 x2-2x<0 解得 0<x<2,可以推出 0<x<4,故“x2-2x<0”是“0<x<4”的 充分不必要条件. 12.B [解析] ∵ax>0,∴y=ax+1>1,故 Q={y|y=ax+1,a>0 且 a≠1,x∈R}=(1, +∞),若集合 P∩Q 只有一个子集,则 P∩Q 为空集,故 k 的取值范围是(-∞,1]. 13.綈 p∨綈 q [解析] 因为 p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”, 则綈 p 是“甲没有降落在指定范围”,綈 q 是“乙没有降落在指定范围”,所以命题“至少 有一位学员没有降落在指定范围”可表示为綈 p∨綈 q.

4 5 ? 2 2 ,2 [解析] 由题可知,集合 A 表示圆(x-3) +(y-4) =5上点的集合,集合 B 5 ? ? 表示曲线 2|x-3|+|y-4|=λ 上点的集合,此二集合所表示的曲线的中心都在(3,4)处,集合 A 表示圆,集合 B 则表示菱形,可以将圆与菱形的中心同时平移至原点,如图所示,可求得 2 5 ? λ 的取值范围是? . ? 5 ,2? 专题限时集训(一)B 1.D [解析] B={x|log2|x|<1}=(-2,0)∪(0,2),所以 A∩B=(-2,0)∪(0,1). 2.A [解析] 由 x2-1<0 得-1<x<1,所以 A={x|-1<x<1},又 B={y|y≥0},所以?U B ={y|y<0},所以 A∩(?UB)=(-1,0). 3.A [解析] a2>1?a<-1 或 a>1,显然选 A. 4.B [解析] 图中的阴影部分表示的集合为(?UA)∩B={4,6,7,8}∩{2,4,6}={4, 6}. 2

14.?

? ?0<a<1, ?a>1, ? [解析] loga b>0?? 或? 故(a-1)(b-1)>0 成立,故充分条件成立.而 ? ? ?b>1 ?0<b<1, ?a>1, ? ?a<1, ? (a-1)(b-1)>0?? 或? 若 b≤0,则 logab 无意义.故选 A. ?b>1 ?b<1. ? ? 6.A [解析] a=1?A∩B={1};A∩B={1}?a=± 1,故为充分不必要条件. 7.C [解析] M∩N={2,3},则阴影部分表示的集合为{4}. 8.A [解析] “x≥1 且 y≥2”?“x+y≥3”,而“x+y≥3”?/ “x≥1 且 y≥2”,故 为充分不必要条件. 1 2 1 b+ ? + ≥ 9. D [解析] 选项 A 中, a=1+b, 故 a2+b2=(1+b)2+b2=2b2+2b+1=2? ? 2? 2 1 1 1 1 ,故选项 A 中的命题是假命题;选项 B 中, + =4 推不出 a=b= ,反之成立,故选项 B 2 a b 2 1 1 中的命题是假命题;选项 C 中, “若 a+ =2,则 a=1”的逆否命题是“若 a≠1,则 a+ ≠ a a 2π 2” ,故选项 C 中的命题是假命题;选项 D 中,f(x)=cos 2ax,其最小正周期为π 时, =π , 2|a| 即 a=± 1,故命题是真命题. 3 2 1 x- ? - 知 x2-3x+2 可以取到所有的正实数,所以 10.A [解析] 由 y=x2-3x+2=? ? 2? 4 函数 f(x)的值域为 R,选 A. 11. D [解析] 若 Sn 是关于 n 的二次函数, 则设为 Sn=an2+bn+c(a≠0), 则当 n≥2 时, 有 an=Sn-Sn-1=2an+b-a,当 n=1 时,S1=a+b+c,只有当 c=0 时,数列{an}才是等差 n(n-1)d n2 ? d 数列;若数列{an}为等差数列,则 Sn=na1+ = d+?a1-2? ?n,当 d≠0 时为二次 2 2 函数,当 d=0 时,为一次函数,所以“Sn 是关于 n 的二次函数”是“数列{an}为等差数列” 的既不充分也不必要条件. 12.[-2,2] [解析] 该命题的否定为“?x∈R,x2+ax+1≥0”,则 Δ=a2-4≤0,- 2≤a≤2. 13.(0,1] [解析] 由题意得 M=(0,+∞),N=[-1,1],故 M∩N=(0,1]. 2-x 2 14. [1, 2] [解析] 化简 -1<0, 可得 <0, 即 x(x-2)>0, ∴M={x|x<0 或 x>2}, ?RM x x =[0,2],N={y|y= x-1+1}={y|y≥1},故 N∩(?RM)=[1,2]. 专题限时集训(二) 16 1.B [解析] 第一次,n=3?5+1=16,k=1;第二次,n= =8,k=2;第三次,n 2 8 4 2 = =4,k=3;第四次,n= =2,k=4;第五次,n= =1,k=5,此时满足条件输出 k= 2 2 2 5. 2.A [解析] 若 n 为偶数,则 an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-(2n+1),它是首项为 a2=-5,公差为-4 的等差数列;若 n 为奇数,则 an=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+1)2=2n+1, 它是首项为 a1=3, 公差为 4 的等差数列. 所以 a1+a2+a3+?+a100=(a1+a3+?+a99)+(a2 50?49 50?49 +a4+?+a100)=50?3+ ?4+50?(-5) ?4=-100,选 A. 2 2 3.45 [解析] 观察所给算式的规律,我们发现:第一个式子的最后一个数为 12+0,第 二个式子的最后一个数为 22+1,第三个式子的最后一个数为 32+2,?,所以第 n 个式子的 最后一个数为 n2+n-1,而 2013 介于 442+43 和 452+44 之间,所以 n=45. 4.66 [解析] 每行的第 2 个数构成一个数列{an},由题意知 a2=3,a3=6,a4=11,a5 =18,所以 a3-a2=3,a4-a3=5,a5-a4=7,?,an-an-1=2(n-1)-1=2n-3,等式两边 同时相加得 [(2n-3)+3]?(n-2) 2 an-a2= =n -2n, 2

5.A

所以 an=n2-2n+a2=n2-2n+3(n≥2),所以 a9=92-2?9+3=66. π π π π 5.2cos n+1 [解析] 对比 2cos ,2cos ,2cos 可得第 n 个等式为错误!未指定书签。 4 8 16 2 π =2cos n+1. 2 1 1 1 1 1 1 1 6. + + + + < 5 [解析] 不等式左边为 + +?+ 2 6 12 20 30 1?2 2?3 1 1 1 1 1 1 ,不等式右边为 n,故第 5 个不等式为 + + + + < 5. 2 6 12 20 30 n?(n+1) 7.B [解析] 在循环中 S 的值具有周期性:2012→2013→2012→2013→?,当 i=0 时, 输出结果为 2012. 8.A [解析] S=1?31+2?32+3?33=102. 9.50 [解析] S=-1+2-3+4-?-99+100=50. 10.2n?1?3?5???(2n-1)=(n+1)?(n+2)?(n+3)???(n+n) 1 1 1 7 11.1+ + +?+ > [解析] 观察不等式: 2 3 127 2 1 1 2 1+ + 2 >1= ; 2 2 -1 2 1 1 1 3 1+ + +?+ 3 > ; 2 3 2 -1 2 1 1 1 4 1+ + +?+ 4 > ; 2 3 2 -1 2 1 1 1 5 1+ + +?+ 5 > ; 2 3 2 -1 2 ?? 1 1 1 7 所以由此猜测第 6 个不等式为 1+ + +?+ > . 2 3 127 2 12.6n+2 [解析] 根据图形可知,当 n=1 时,S1=6+2;当 n=2 时,S2=6?2+2; 当 n=3 时,S3=6?3+2,?,依此推断,Sn=6n+2. 13.n4 [解析] S1=1;S1+S3=1+15=16;S1+S3+S5=1+15+65=81,由归纳推理可 知 S1+S3+S5+?+S2n-1=n4. 14.sin(α+β)=sin α cos β +cos α sin β [解析] 由题意知甲图的阴影部分为菱形, 其面积为 S=1?1?sin(α+β),乙图阴影部分的面积为 sin α cos β +cos α sin β =sin(α+ β). 专题限时集训(三) a?b 1?2+1?0 2 1.C [解析] 由已知条件求得 b=(2,0),所以 cos〈a,b〉= = = . |a||b| 2 2?2 2.C [解析] a+b=(2,m+1),由 a∥(a+b)得-(m+1)-2=0,解得 m=-3. 3.A [解析] z2=(cos 45°)2+(i?sin 45°)2-2· i?cos 45°sin 45°=-i. ? ? x + 1 = 6 , ? ?x=5, → 4.D [解析] 设 B(x,y),由AB=3a 得? 解得? 所以选 D. ?y-5=9, ?y=14, ? ? x x x x 5.A [解析] 由 =1-yi,得 - i=1-yi,所以 x=2,y= =1,x+yi=2+i. 2 2 2 1+i 6.C [解析] 由|a+b|=|a-b|两边平方得 2a· b=-2a· b,a· b=0. → → → → → → → → → =PB-PA,代入PA+PB+PC=AB,得 2PA=-PC 7.D [解析] AB ,故 P 在 AC 边上. 8. B [解析] 由 a=(x-1, 2), b=(4, y)垂直得 2x+y=2, ∴9x+3y=32x+3y≥2 32x?3y =2?3=6. 2 ? ?a +2a-3=0, 2 9.A [解析] 若复数 z=(a +2a-3)+(a-1)i 为纯虚数,则? 解得 a=- ?a-1≠0, ? 3.

→ → → 1 → → 1→ 1 → → 1→ → 3→ 10. B [解析] 可证EM=MC, EM= (EB+BC)= AB+ AD, 所以AM= AB+EM= AB 2 4 2 2 4 1→ 3 1 3 + AD,由此得 λ= ,μ= ,故 λμ= . 2 4 2 8 11.3 [解析] 因为向量 a=(cos θ ,sin θ ),b=( 3,-1),所以|a|=1,|b|=2,a· b π = 3cos θ -sin θ , 所以|a-b|2=a2+b2-2a· b=5-2( 3cos θ -sin θ)=5-4cos?θ + ?, 6? ? 所以|a-b|2 的最大值为 9,因此|a-b|的最大值为 3. 2(-1-i) 2 12.②④ [解析] z= = =-1-i.|z|= 2,z2=2i,z=-1+i,z 的虚 2 -1+i 部为-1,故命题②④是真命题. 13.2 [解析] 实数 m 满足 m2-m-2=0 且 m+1≠0,解得 m=2. 5 → 2→ 2 1 → 14. [解析] 设 E 为边 BC 的中点, 因为点 D 是△ABC 的重心, 所以AD= AE= ? (AB 3 3 3 2 1 1 1 → → → → → → → → → → → → → → +AC)= (AB+AC),又BC=AC-AB,所以AD?BC= (AB+AC)· (AC-AB)= (AC2-AB2)= 3 3 3 5 . 3 专题限时集训(四)A 2 ? ?3-x ≥0, 1.D [解析] 由题意知? 所以- 3≤x≤ 3且 x≠1. ?x-1≠0, ? 2.D [解析] 集合 A=x错误!错误!≤0,x∈N={1,2},B={x|1≤2x≤16,x∈Z}={0, 1,2,3,4},所以 A∩B={1,2}. 3.C [解析] 画图可知,四个角点分别是 A(0,-2),B(1,-1),C(1,1),D(0,2), 可知 zmax=zA=6.

4.D [解析] A 区域为(-2,0),(0,0),(0,2)形成的直角三角形,其面积为 2,则直 线 x+y=a 从(-2,0)开始扫过,扫到区域一半时停止,所以扫过 A 中部分的区域的面积为 1. 5.A [解析] 由已知可知方程 ax2+2x+b=0(a≠0)有两个相等的实数解,故 Δ=0,即 ab=1. a2+b2 (a-b)2+2ab 2 2 = =(a-b)+ ,因为 a>b,所以(a-b)+ ≥2 2. a-b (a-b) (a-b) (a-b) 6.20 [解析] 如图所示,利用所给的图形关系,可知△ADE 与△ABC 相似,设矩形的 S△ADE ?40-y?2 x(40-y) x+y?2 另一边长为 y,则 = = ,所以 y=40-x,又有 xy≤? 2 40 ? 2 ? =400 成 S△ABC ? 40 ? 立,当且仅当 x=40-x 时等号成立,则有 x=20,故其边长 x 为 20 m.

7.B [解析] 依题意知直线 ax-by+1=0 过圆 C 的圆心(-1,2),即 a+2b=1,由 1 1 =a+2b≥2 2ab?ab≤ ,故选 B. 8 3 z 8. B [解析] 作出不等式组对应的可行域如图所示, 由 z=3x-2y 得 y= x- .由图像可 2 2 3 z 知当直线 y= x- 经过点 C(0,2)时,直线的截距最大,而此时 z=3x-2y 最小,最小值为- 2 2 4.

? ?0≤u-v≤1, [解析] 令 x+y=u,y=v,则点 Q(u,v)满足? 在 uOv 平面内画出点 ?0≤u≤2, ? Q(u,v)所构成的平面区域如图所示,易得其面积为 2,故选 B.

9.B

1 1 1 1 a+ ? 10. B [解析] 由 a, b 的等比中项是 1, 得 ab=1, b= , 所以 m+n=b+ +a+ =2? a a b ? a? ≥4. 11 . C [ 解析 ] 根据已知,设需要 A 型车 x 辆, B 型车 y 辆,则根据题设,有 x+y≤21,

? ?y-x≤7, ?x≥0,y≥0, 画出可行域,求出三个顶点的坐标分别为 A(7,14),B(5,12),C(15,6), ? ?36x+60y=900,
目标函数(租金)为 k=1600x+2400y, 如图所示, 将点 B 的坐标代入其中, 即得租金的最小值, 即 k=1600?5+2400?12=36 800(元).

1 12. 2

1 1 [解析] 不等式组表示的可行域如图中阴影所示,故面积为 ?1?1= . 2 2

13.5 [解析] 画出不等式组表示的可行域,如图所示,根据图知,线性目标函数 z=x +y 在点 C 处取得最大值,易求得点 C(1,4),故 zmax=5.

1 a2 a2 1 ,+∞? [解析] 由题知, 14.? 当 x >0 时, f ( x ) = 9 x + ≥ 2 9 x ? =6a≥a+1?a≥ . ?5 ? x x 5 专题限时集训(四)B 1? 1? ? ? ?x?-1<x<- ?. 1.B [解析] A=?x?x<-2?,B={x|-1<x< 2 },所以 A∩B=? 2? ? ? ? ? b a b a b a 2.C [解析] 因为 ab>0,所以 >0, >0,即 + ≥2 ? =2,所以选 C. a b a b a b 2x-y≥0, 3.C

? ?y≥x, [解析] 画出约束条件? 表示的可行域,如图所示,由可行域知目标函 9 ? ?y≥-x+4

3 3? 3 3 数 z=2x+y 过点? ?4,2?时取最小值,此时最小值为 zmin=2?4+2=3.

1 4. B [解析] 设 z=3x+4y, x+2y-5=0 的斜率 k1=- , 2x+y-7=0 的斜率 k2=-2, 2 3 z=3x+4y 的斜率 k3=- ,x,y 为整数,从图中的区域中可看出当 z=3x+4y 经过点 G(4, 4 1)时,z 有最小值且最小值为 16.

5.3 6.B log3? 2 3?
2

[解析]

y2 1? x 9z? = 6+z + x ?≥3. xz 4? a+b?2 1 1 1 1 [解析] 由 ax=by=3 得 =log3a, =log3b,所以 + =log3ab≤log3? x y x y ? 2 ?=

=1. ? 2 ?
? ?x+|y|≤1, [解析] 问题转化为求在约束条件? 下 z=x+2y 的最大值.约束条件可 ?x≥0 ? ?y≥0, ?y<0,

7.D

分为?x+y≤1,和?x-y≤1,两部分,可判断 z=x+2y 过点(0,1)时取到最大值 2.

?

?

? ?x≥0

? ?x≥0 2 1? ?x y? ? ?x y?? 8.B [解析] m≤? ?x+y?(2x+y)=5+2?y+x?,?5+2?y+x??min=9,所以 m 的最大值为

9. 9.C [解析] 因为奇函数 f(x)在[-1,1]上是增函数,且 f(-1)=-1,所以最大值为 f(1) =1,要使 f(x)≤t2-2at+1 对所有的 x∈[-1,1]都成立,则 1≤t2-2at+1,即 t2-2at≥0, ?g(-1)≥0, ? ?t2+2t≥0, ? 设 g(a)=t2-2at(-1≤a≤1),欲使 t2-2at≥0 恒成立,则? 即? 2 解得 ?g(1)≥0, ?t -2t≥0, ? ? t≥2 或 t=0 或 t≤-2. 10.D [解析] 不等式组对应的区域 D 为△ABE,圆 C 的圆心为(-1,-1).区域 D 中, A 到圆心的距离最小, B 到圆心的距离最大, 所以要使圆不经过区域 D, 则有 0<r<|AC|或 r>|BC|. ?x=1, ? ?x=1, ?x=1, ?x=1, ? ? ? 由? 得? 即 A(1,1),由? 得? ?y=x ?y=1, ?y=-x+4 ? ?y=3, ? ? ? 即 B(1,3),所以|AC|=2 2,|BC|=2 5,所以 0<r<2 2或 r>2 5,即 r 的取值范围 是(0,2 2)∪(2 5,+∞).

2 3 11.- , [解析] 画出可行域,如图所示,得到最优解(3,3).把 z=ax-y 变为 y= 5 5 2 3? ax-z,即研究-z 的最大值.当 a∈? ?-3,5?时,y=ax-z 均过(3,3)时截距-z 最大.

12 . 30 ° 2

[ 解析 ] |a - b|2 = a2 - 2a· b + b2 = 4 - 4|b|cos θ + |b|2 = 1 , cos θ =

3+|b|2 ≥ 4|b|

3|b| 3 = ,故夹角 θ 的最大值是 30°. 4|b| 2 9? 2 13.? ?-2,4? [解析] 可将本题转化为 y=2-x 与 y=|x-a|的交点问题. (1)y=|x-a|的图像在 y 轴右侧与 y=2-x2 的图像相切,显然 y=|x-a|变为 y=-x+a, 9 9 与 y=2-x2 相切时 a= ,a≤ 时,两图像在 y 轴的右侧至少有一个交点. 4 4 (2)y=|x-a|的图像在 y 轴左侧与 y=2-x2 的图像有交点,当 y=x-a 过(0,2)点时,a= 9 -2,显然当 y=x-a 右移时满足条件,a>-2.因此-2<a≤ . 4 专题综合训练(一) 1.B [解析] N={x|x2≤x}=[0,1],M∩N={0,1}. 3+i (3+i)(1+i) 2+4i 2.B [解析] z= = = =1+2i,所以 z=1-2i. 2 1-i (1-i)(1+i) 2 2 x y x2 3.C [解析] 由双曲线 - 2=1(b>0)的离心率为 2,可得 b=2;椭圆 2+y2=1(b>0) 4 b b 3 1 的离心率为 时,可得 b=2 或 b= ,所以 q 是 p 的必要不充分条件. 2 2 4.C [解析] ①“p 且 q”为假命题,则 p,q 至少有一个为假命题,所以①为假,②为 真;③“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题是“若 a<b,则 am2<bm2” ,所以③为假.所以假命 题的个数是 2. 5.D [解析] 因为 a⊥(2a-b),所以 a· (2a-b)=0,即 2|a|2-a· b=0,所以 2?5-(-4 +k)=0,解得 k=14. 6.B [解析] 最优解为(-2.5,-2.5)?zmin=-15. → → → → 7.C [解析] 由∠A=120°,AB?AC=-1 可得|AB||AC|=2, → → → → → → → → 又|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cos 120°≥3|AB||AC|=6,所以|BC|≥ 6.

8.B [解析] (k,S)→(2,2)→(3,6)→(4,39)→(5,1525),显然填 k≤4?. 9.{1,6,10,12} [解析] 要使 fA(x)?fB(x)=-1,必有 x∈{x|x∈A 且 x?B}∪{x|x∈B 且 x?A}={1,6,10,12},所以 A∩B={1,6,10,12}. 2 ? ?m -3m-4=0, 2 2 ? 10.4 [解析] z=m -3m-4+(m -5m-6)i 为纯虚数,则 2 所以 m=4. ?m -5m-6≠0, ? 17 2 2 11. [解析] 1=2a+b≥2 2ab, ab≤ .设 t= ab, 则 0<t≤ , 所以 4a2+b2+ ab 16 4 4 1 2 17 17 t- ? + ≤ . =1-4t2+t=-4? ? 8? 16 16 1 n ?n ? 1+2+?+n-1 1 ?是公比为 q的等比数列 [解析] ∵ Tn=(b1b2???bn) =(bn 12.? ) =(bn 1q 1 ? Tn ? n n n(n-1) 1 - q ) =b1( q)n 1, 2 n n ?是公比为 q的等比数列. ∴? ? Tn? 13.解:由“?x0∈(0,1),使得 f(x0)=0”是真命题,得 f(0)· f(1)<0,所以(1-2a)(4|a| ?a≥0, ?a<0, ? ? 1 -2a+1)<0,所以? 或? 解得 a> . 2 ?(2a+1)(2a-1)>0 ? ?(6a-1)(2a-1)<0, ? → → → → → → → → → → → → → → → 14. 解: ME? OF=ME? (OA+AF)=ME? OA+ME? AF=ME? (OE+EA)- 2|AF|=ME? OE → - 2|AF|. → → → 显然当点 F 落在 A 点时,|AF|=0,使ME?OF最大. → → → → → → → ME?OE=ME?(OM+ME)=ME?OM+2, → → → → → → → 设 E(x0,y0),则ME?OE=ME?(OM+ME)=ME?OM+2=3(x0+y0)-16. → 由|ME|= 2,得(x0-3)2+(y0-3)2=2, 令 x0=3+ 2cos θ ,y0=3+ 2sin θ , π → → 所以ME?OE=3(x0+y0)-16=6sin?θ + ?+2≤8. 4? ? → → 所以MF?OF的最大值为 8. a2 a3 a2 1> > , x= , ?a1>a2>a3, a1 a1 a1 ? 15.解:由? 得 令 a2 a3 a3 ? ?a1+a2+a3=0, 1+ + =0, y= , a1 a1 a1 ?y<x<1, ? 1 a2 a2 4 则? 其可行域如图所示, ∴- <x<1.由 a1a2 + a a - a = 0 可得 = , 所 4 2 4 2 2 1-a4 a1 ?x+y+1=0, ? 1 a2 4 以- < <1,解得 2 1-a4 -1- 5 -1+ 5 < a4 < . 2 2
? ?

? ? ?

? ? ?

专题限时集训(五) 1.D [解析] y=|sin x|与 y=|x|是偶函数,y=x3+x-1 是非奇非偶函数,故选 D. 1 -2 ?1?? 2.B [解析] f? ?f?9??=f(-2)=2 =4. 3.B [解析] 由已知得 loga3<logaa.当 a>1 时,3<a,所以 a>3;当 0<a<1 时,3>a,因 此 0<a<1.综合选 B. 1 α α α 4.C [解析] 设幂函数为 f(x)=x ,由 f(9)=9 =3,即 32 =3,可得 2α=1,α= .所以 2 1 f(x)=x = x,故 f(2)-f(1)= 2-1. 2 1 5.C [解析] 根据题意得 0<x<1-x,则 0<x< . 2 6.1 [解析] lg 5+lg 20=lg( 5? 20)=lg 100=lg 10=1. 7.C [解析] 显然 A,B 不满足偶函数条件,被排除;C,D 满足 f(-x)=f(x),但 y=lg |x|在(0,+∞)上单调递增,D 也被排除. 1 8.B [解析] 当 x=0,x=3,x=6 时函数 y= 无定义,故排除 A,C,D,选 B. f(x) 9.C [解析] 只有当 a>1 时,函数 y=loga(x2-ax+1)有最小值.若 y 有最小值,则 Δ 2 =a -4<0?-2<a<2,故 a 的取值范围是 1<a<2. 1 10.D [解析] 由图像可知该函数为奇函数,排除 B,C;验证 A,f(x)=x- ,当 x 正 x 向无限增大时,其函数值也无限增大,图像不满足,排除 A. 11.D [解析] 由 y=|f(x)|+k=0 得|f(x)|=-k≥0,所以 k≤0,作出函数 y=|f(x)|的图像, 要使函数 y=-k 与 y=|f(x)|的图像有三个交点,则有-k≥2,即 k≤-2.

12.A [解析] ∵f(x)=-(cos x)lg|x|, ∴f(-x)=-[cos(-x)]lg|-x|=-(cos x)lg|x|=f(x)(x≠0), ∴函数 f(x)=-(cos x)lg|x|为偶函数,故其图像关于 y 轴对称,可排除 B,D; 又当 0<x<1 时,cos x>0,lg|x|<0, ∴当 0<x<1 时,f(x)=-(cos x)lg|x|>0,故可排除 C. 故选 A. 13.D [解析] 函数 f(x)=x-[x]表示实数 x 的小数部分,有 f(x+1)=x+1-[x+1]=x-

[x]=f(x),所以函数 f(x)=x-[x]是以 1 为周期的函数. 14.(0,1) [解析] 分别画出函数 y=2x(x<0)和 y=log2x(x>0)的图像,不难看到当 0<m<1 时,直线 y=m 与函数 f(x)的图像有两个不同的交点. 15.解:(1)令 f(x)=x[a-(1+a2)x]=0, a 解得 x1=0,x2= , 1+a2 a ? ? ∴I=?x?0<x<1+a2?, ? ? ? a ∴I 的长度为 x2-x1= . 1+a2 (2)k∈(0,1),则 0<1-k≤a≤1+k<2. a 由(1)知 I 的长度为 , 1+a2 a 设 g(a)= , 1+a2 1-a2 令 g′(a)= >0,则 0<a<1. (1+a2)2 故 g(a)关于 a 在[1-k,1)上单调递增,在(1,1+k]上单调递减. 1-k 1-k 1+k g(1-k)= = ,g(1+k)= , 1+(1-k)2 2-2k+k2 1+(1+k)2 1-k 1-k 故 g(a)min= . 2,即 I 的长度的最小值为 2-2k+k 2-2k+k2 1? 2 ? ?1?? ?2? 1 ? 2? 2 16.解:(1)当 a= 时,f? ?3?=3,f?f?3??=f?3?=2?1-3?=3. 2 1 x,0≤x≤a2, a2

? ?a(11 (a-x),a <x≤a, -a) (2)证明:f[f(x)]=? 1 (x-a),a<x<a -a+1, (1-a) ? 1 ?a(1-a)(1-x),a -a+1≤x≤1.
2 2 2 2

1 当 0≤x≤a2 时,由 2x=x 解得 x=0,由于 f(0)=0,故 x=0 不是 f(x)的二阶周期点; a a 1 a 当 a2<x≤a 时,由 (a-x)=x 解得 x= 2 ∈(a2,a),因为 f?-a2+a+1? ? ? a(1-a) -a +a+1 1 a 1 a a = ? 2 = ≠ ,故 x= 2 是 f(x)的二阶周期点; a -a +a+1 -a2+a+1 -a2+a+1 -a +a+1 1 1 当 a<x<a2-a+1 时,由 (x-a)=x 解得 x= ∈(a,a2-a+1), (1-a)2 2-a 1 1 1 1 1 因为 f?2-a?= ??1-2-a?= ? ? 1-a ? ? 2-a,故 x=2-a不是 f(x)的二阶周期点; 1 1 当 a2-a+1≤x≤1 时,由 (1-x)=x 解得 x= 2 ∈(a2-a+1,1),因 a(1-a) -a +a+1 1 1 1 a 1 1 ? 1- ? 为 f?-a2+a+1?= ? ? 1-a?? -a2+a+1?=-a2+a+1≠-a2+a+1,故 x=-a2+a+1是 f(x)的二阶周期点. a 1 因此,函数 f(x)有且仅有两个二阶周期点,x1= 2 ,x2= 2 . -a +a+1 -a +a+1

2 a a 1 1 1 a (1-a) (3)由(2)得 A 2 , 2 , B , 2 , 则 S(a)= ? 2 , 2 2 -a +a+1 -a +a+1 -a +a+1 -a +a+1 -a +a+1 3 2 1 a(a -2a -2a+2) S′(a)= ? . 2 2 (-a +a+1)2 a(a3-2a2-2a+2) 1 1 1 因 为 a∈ , , 有 a2 + a<1 , 所 以 S′(a) = ? = 3 2 2 (-a2+a+1)2 2 2 1 a[(a+1)(a-1) +(1-a -a)] ? >0.或令 g(a)=a3-2a2-2a+2,g′(a)=3a2-4a-2 2 (-a2+a+1)2 2- 10 2+ 10 =3a- a- , 3 3 1 1 1 5 1 因为 a∈(0, 1), 所以 g′(a)<0, 则 g(a)在区间 , 上最小值为 g = >0, 故对于任意 a∈ , 3 2 2 8 3 3 2 1 1 a(a -2a -2a+2) 1 1 ,g(a)=a3-2a2-2a+2>0,S′(a)= ? >0 则 S(a)在区间 , 上单调递 2 2 3 2 (-a2+a+1)2 1 1 1 1 1 1 增,故 S(a)在区间 , 上的最小值为 S = ,最大值为 S = . 3 2 3 33 2 20 专题限时集训(六) 5 5 2 5 2 5 2 2 ? ?5? 1.C [解析] f(2)=ln 2-1<0,f? ?2?=ln2-3,由 125>8e 得2>e3,所以 f?2?=ln2-3>0, 5? ?2,5?. 因此 f(2)f? <0 ,所以其中的一个零点区间为 ?2? ? 2? 2.C [解析] 设图(1)中函数为 y=kx-b,其中 k 为票价,b 为付出的成本,则图(2)是降 低成本,并保持票价不变;图(3)是提高票价,并保持成本不变. 3.D [解析] 函数 f(x)=x2+4x-4,由于函数 y=f(x),函数 y=lg|x+2|的图像均关于直 线 x=-2 对称,故四个根的和为-8. 4.A [解析] 函数 f(x)存在零点,则 m≤0,是充分不必要条件,故选 A. 5.C [解析] 分别画出函数 y=ln x(x>0)和 y=|x-2|(x>0)的图像,可得 2 个交点,故 f(x) 在定义域中零点个数为 2. 6.C [解析] f(2)· f(3)=(-3+2)(-2+4)<0,所以该函数的零点所在的区间是(2,3). 1 120 7.B [解析] F(x)= x+15? ,F(40)=60. 2 x+5 8.C [解析] 因为函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)=f(x-1),所以函数 y=f(x)(x∈R)是周 期为 2 的周期函数,又因为 x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,所以作出函数 f(x)(x∈R)和 g(x)的图 像,如图所示.

由图知函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为 8. 9.C [解析] 由题意得(x-a)?x=(x-a)(1-x), 故不等式(x-a)?x≤a+2 化为(x-a)(1-x)≤a+2, 化简得 x2-(a+1)x+2a+2≥0, 故原题等价于 x2-(a+1)x+2a+2≥0 在(2,+∞)上恒成立. a+1 由二次函数 f(x)=x2-(a+1)x+2a+2 的图像,可知其对称轴为 x= . 2

a+1 ? 2 >2, ? ? ≤2 2 讨论得? 或? 解得 a≤3 或 3<a≤7,综上可得 a≤7. a+1? ? ? f ( 2 )≥ 0 ? ?f? 2 ?≥0, a+1 2 [解析] Δ=m2+8>0(m∈R),x2-x1= (x2+x1)2-4x2x1= m2+8≥2 2. 1 11.0 或 2 [解析] 转化为两个函数 y=ln x 与 y= 的图像的交点问题.依据图像可 x-1 以判断零点存在的区间为(0,1),(2,3).因此 k=0 或 k=2. - ? - - ? 12.81 [解析] P0e k 5=P0?(1-10%),e 5k=0.9,所以 P0e k 10=P0?0.81,即 10 小 时后还剩 81%的污染物. 600 13. 30 [解析 ] 设一年的总运费与总存储费用之和为 y 万元,则 y= ?3+2x≥2 x 1800 1800 ?2x=120,当且仅当 =2x,x=30 时,取得等号. x x 14.②③ [解析] ②③正确,对于①,由 f(p)=q,f(q)=p(p≠q),得(p-q)[a(p+q)+b +1]=0,所以 a(p+q)+b+1=0,a(p+q)2+b(p+q)+(p+q)=0,f(p+q)=-(p+q)+c. 1 a? 2 16 1 16 ? 15.解:(1)由曲线过点? ?2, 5 ?,可得1 = 5 ,故 a=8. +1 4 8x 8x 当 0<x<1 时,y= 2 < =4, x +1 2x - 当 x≥1 时,设 2x 1=t,可知 t≥1, - 8?2x 1 8t y= x-1 ≤ =4(当且仅当 t=1,即 x=1 时,等号成立). 4 +1 2t 综上可知 ymax=4,且当 y 取最大值时,对应的 x 值为 1. 所以药量峰值为 4 微克,达峰时间为 1 小时. 8x (2)当 0<x<1 时,由 2 =1,可得 x2-8x+1=0, x +1 解得 x=4± 15,又 4+ 15>1,故 x=4- 15. - 当 x≥1 时,设 2x 1=t,则 t≥1, x-1 8?2 8t =1,可得 2 =1,解得 t=4± 15, - 4x 1+1 t +1 - 又 t≥1,故 t=4+ 15,所以 2x 1=4+ 15, 可得 x=log2(4+ 15)+1. 由图像知当 y≥1 时,对应的 x 的取值范围是[4- 15,log2(4+ 15)+1], log2(4+ 15)+1-(4- 15)≈3.85, 所以成人按规定剂量服用该药后一次能维持大约 3.85 小时的有效时间. - 16.解:(1)因为 x<a 时,f(x)=4x-4?2x a,所以令 t=2x,则有 0<t<2a. t 当 x<a 时 f(x)<1 恒成立,转化为 t2-4? a<1, 2 4 1 即 a>t- 在 t∈(0,2a)上恒成立. 2 t 1 1 1 令 p(t)=t- ,t∈(0,2a),则 p′(t)=1+ 2>0,所以 p(t)=t- 在(0,2a)上单调递增, t t t 4 1 a a 所以 a≥2 - a,所以 2 ≤ 5,解得 a≤log2 5. 2 2 a 2 a2 x- ? +1- , (2)当 x≥a 时,f(x)=x2-ax+1,即 f(x)=? ? 2? 4 a 当 ≤a 时,即 a≥0 时,f(x)min=f(a)=1; 2 10.2

a? a a2 当 >a 时,即-4≤a<0,f(x)min=f? = 1 - . ?2? 2 4 2 2 4 4 - t- a? - a, 当 x<a 时,f(x)=4x-4?2x a,令 t=2x,t∈(0,2a),则 h(t)=t2- at=? ? 2? 4 2 2 2 a 1 4 ? 当 a<2 ,即 a> 时,h(t)min=h? ?2a?=-4a; 2 2 2 1 当 a≥2a,即 a≤ 时,h(t)在开区间 t∈(0,2a)上单调递减,h(t)∈(4a-4,0),无最小值. 2 2 1 4 4 综合 x≥a 与 x<a,所以当 a> 时,1>- a,函数 f(x)min=- a; 2 4 4 1 当 0≤a≤ 时,4a-4<0<1,函数 f(x)无最小值; 2 a2 当-4≤a<0 时,4a-4<-3≤1- ,函数 f(x)无最小值. 4 1 综上所述,当 a> 时,函数 f(x)有最小值. 2 专题限时集训(七) 2 1.D [解析] y′=3x2+1,设 P0(x0,x3 1.验证得其中的一 0+x0-2),则 3x0+1=4,x0=± 个坐标为(-1,-4). 2 2 2.A [解析] f′(x)= +2x-b,则在点(b,f(b))处的切线斜率 k= +b≥2 2. x b 3.C [解析] 函数的定义域是{x∈R|x≠0},排除选项 A;当 x<0 时,x3<0,3x-1<0, 故 y>0,排除选项 B; 当 x→+∞时,y>0 且 y→0,故为选项 C 中的图像. 4.C [解析] ①y=xsin x 为偶函数,对应第一个图像;②y=xcos x 为奇函数,y′=cos x -xsin x,满足 cos x-xsin x=0 的极值点有无数多个,且在原点右侧的两个极值为一正一负, 因此②对应第三个图像,选 C. 5.D [解析] 满足 f(-x)=-f(x),故函数是奇函数;f′(x)=1+cos x≥0,故函数 f(x)是 增函数. ?f′(6)≥0, ? ?f′(1)≤0, ? 2 ? 6.D [解析] f′(x)=x -ax+a-1,易得 且?a 所以 6≤a≤7. ?f′(5)≤0, ? ? ?2≤6, 7.C [解析] 令 g(x)=f(x)-4x+3,则 g′(x)=f′(x)-4,因为 f′(x)<4,所以 g′(x)=f′(x)- 4<0,所以函数 g(x)=f(x)-4x+3 在 R 上单调递减.又 f(1)=1,所以 g(1)=f(1)-4+3=0, 所以 g(x)=f(x)-4x+3>0 的解集为(-∞,1),即不等式 f(x)>4x-3 的解集为(-∞,1). 8.B [解析] 问题等价于函数 g(x)=f(x)-x 在(0,1)上为增函数,即 g′(x)=a-1-3x2 ≥0,即 a≥1+3x2 在(0,1)上恒成立,即 a≥4,所以实数 a 的取值范围是[4,+∞). f(x) f′(x)ex-f(x)ex 9.C [ 解 析 ] 构 造 函 数 g(x) = , 则 g ′( x ) = = ex (ex)2 f′(x)-f(x) f(ln 2) f(ln 3) >0,函数 g(x)在 R 上单调递增,所以 g(ln 2)<g(ln 3),即 < , ex eln 2 eln 3 即 3f(ln 2)<2f(ln 3). - - 10.A [解析] ①即 x2=2x,这个方程显然有解,故①符合要求;②即 e x=-e x,此方 1 程无解,②不符合要求;③即 ln x= ,数形结合可知这个方程也存在实数解,符合要求;④ x cos2x+sin2x 1 1 中,f′(x)= = 2 ,若 f(x)=f′(x),即 2 =tan x,化简得 sin xcos x=1,即 sin 2x 2 cos x cos x cos x 1 1 1 =2,方程无解,④不符合要求;⑤中,f′(x)=- 2,- 2= ,可得 x=-1 为该方程的解, x x x 故⑤符合要求. 11.3x+y=0 [解析] f′(x)=3x2+2ax+a-3,f′(x)是偶函数,因此 a=0,f(x)=x3-3x, f′(0)=-3,所以 y=f(x)在原点处的切线方程为 3x+y=0.

3 1 12.- [解析] 由题意可知该函数在点 x=1 处的切线的斜率为 k=- ,f′(x)=3x2-2x 2 2 1 3 +a,所以 f′(1)=3?12-2?1+a=- ,a=- . 2 2 2 13.解:(1)当 a=1 时,f′(x)=x +2x+b. ①若 Δ=4-4b≤0,即 b≥1 时,f′(x)≥0, 所以 f(x)为(-∞,+∞)上为增函数,所以 f(x)的增区间为(-∞,+∞); ②若 Δ=4-4b>0,即 b<1 时,f′(x)=(x+1+ 1-b)(x+1- 1-b), 所以 f(x)在(-∞,-1- 1-b),(-1+ 1-b,+∞)上为增函数,f(x)在(-1- 1-b, -1+ 1-b)上为减函数. 所以 f(x)的增区间为(-∞,-1- 1-b),(-1+ 1-b,+∞),减区间为(-1- 1-b, -1+ 1-b). 综上,当 b≥1 时,f(x)的增区间为(-∞,+∞);当 b<1 时,f(x)的增区间为(-∞,-1 - 1-b),(-1+ 1-b,+∞); 减区间为(-1- 1-b,-1+ 1-b). 1 (2)由 f(1)= ,得 b=-a, 3 1 3 即 f(x)= x +ax2-ax,f′(x)=x2+2ax-a. 3 令 f′(x)=0,即 x2+2ax-a=0,变形得(1-2x)a=x2, 1 x2 0, ?,所以 a= 因为 x∈? . ? 2? 1-2x 1 x2 1 令 1-2x=t,则 t∈(0,1), = ?t+ -2? ?. 1-2x 4? t 1 因为 h(t)=t+ -2 在 t∈(0,1)上单调递减,故 h(t)∈(0,+∞). t 1 1 x2 0, ?上不存在极值点,得 a= 0, ?上无解,所以,a∈(-∞,0]. 由 y=f(x)在? 在? 2? ? 2? ? 1-2x 综上,a 的取值范围为(-∞,0]. 2 1 2ax -1 14.解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2ax- = . x x 2a 2a ∵a>0,令 f′(x)>0 得 x> ;令 f′(x)<0,得 0<x< , 2a 2a 2a? 2a ?. ∴函数 f(x)的单调递减区间为?0, ,单调递增区间为? 2a ? ? ? 2a ,+∞? 1 1 (2)证明:当 a= 时,f(x)= x2-ln x,由(1)知 f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区 8 8 间为(2,+∞), 4 2? ?2?<0,g(e2)=e -2 令 g(x)=f(x)-f? ,则 g ( x ) 在区间 (2 ,+∞ ) 单调递增且 g (2) = f (2) - f ?3? ?3? 8 1 2 - +ln >0, 18 3 2? 故方程 f(x)=f? ?3?在区间(2,+∞)上有唯一解. 15.解:(1)a=1 时,f(x)=-x3+x,则 f′(x)=-3x2+1, 设切点为 T(x0,y0),则 f′(x0)=-3x2 0+1, ∴切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0), 2 即 y-(-x3 0+x0)=(-3x0+1)(x-x0). 1 把(-1,0)代入得(x0+1)2(2x0-1)=0,∴x0=-1 或 x0= . 2 当 x0=-1 时,切线方程为 y=-2x-2;

1 1 1 当 x0= 时,切线方程为 y= x+ . 2 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)不等式 x- ≤f(x)≤ x+ ,即 x- ≤-x3+ax≤ x+ , 4 4 4 4 4 4 4 4 ①当 x=0 时,不等式显然成立. 1 1 1 1 ②当 x∈(0,1]时,不等式化为 - +x2≤a≤ + +x2. 4 4x 4 4x 1 1 1 1 设 g(x)= - +x2,h(x)= + +x2. 4 4x 4 4x 1 则 g′(x)= 2+2x>0,∴g(x)在(0,1]上单调递增, 4x ∴g(x)max=g(1)=1, 8x3-1 ? 1? ?1 ? h′(x)= 2 ,∴h(x)在 0, 上单调递减,在 ,1 上单调递增, 2 ? ? ?2 ? 4x 1? ∴h(x)min=h? ?2?=1, ∴1≤a≤1,即 a=1. 综上所述,a 的取值范围的集合为{a|a=1}. 专题综合训练(二) 2 1.D [解析] f(-1)=- =2,所以 f[f(-1)]=3+log22=3+1=4. -1 2.C [解析] y=tan x 只在其周期内单调递增;y=-3x 在 R 上单调递减;y=x3 在 R 上 单调递增;y=ln |x|在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 1 3.C [解析] f(2)=4+lg( 5+2)=a,因此 lg =a-4,lg( 5-2)=4-a,所以 f(- 5-2 2)=4+lg( 5-2)=8-a. 4.D [解析] A,B 为非奇非偶函数;C 是偶函数,但没有最小值;D 为偶函数,f(x)= - - - x e +e x≥2 ex?e x=2,当且仅当 ex=e x,即 x=0 时取最小值. x 5.B [解析] 因为 y=lg =lg x-lg 10=lg x-1,所以只需把函数 y=lg x 的图像上所 10 有点向下平移 1 个单位长度. π 1 1 1 1 1 2 1 6.A [解析] a=ln <0;0<sin <sin = ,所以 0<b< ;c=2- = > ,所以 a,b,c 2 2 6 2 2 2 2 2 的大小关系为 c>b>a. 7.D [解析] 设某地区起始年的绿化面积为 a,因为该地区的绿化面积平均每年比上一 年增长 18%,所以经过 x 年,绿化面积 g(x)=a(1+18%)x,因为绿化面积与原绿化面积之比 g(x) 为 y,则 y=f(x)= =(1+18%)x=1.18x,则函数为单调递增的指数函数,可排除 C.当 x a =0 时,y=1,可排除 A,B,故选 D. 8.A [解析] 当 a>1 时,二次函数 y=(a-1)x2-x 开口向上,两个零点分别为 x=0 或 x 1 = >0,故选 A. a-1 f(x) x2+1 9 . 2 [ 解 析 ] 函 数 f(x) 为 偶 函 数 , 显 然 a = 0 , 所 以 y = = = |x| |x| 1 x+ ,x>0, x 其最小值为 2. 1 - ?,x<0, (-x)+? ? x?

? ? ?

1 1 1 1 - 10. 或 [解析] 若 a>1,则有 f(1)=a=4,f(-2)=a 2=m,解得 m= 2= .若 0<a<1, 2 16 a 16 1 1 1 - 则有 f(1)=a=m,f(-2)=a 2=4,解得 m=a= .所以 m= 或 m= . 2 2 16

3? ? 1? ?1? 3 11. [解析] 因为函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数, 所以 f? ?2?=f?-2?=f?2?= 2 1 3 +1= . 2 2 12.①②④ [解析] 对于③,f(x+1)的图像关于点(-1,0)对称,故③错,其余三个命 题均为真命题. 13.解:由 f(x)=k 得 f(x)=e|x|+|x|=k,即 e|x|=k-|x|. 令 y=e|x|,y=k-|x|,分别作出函数 y=e|x|,y=k-|x|的图像,如图所示,由图像可知要 使两个函数图像的交点有 2 个,则有 k>1,即实数 k 的取值范围是(1,+∞).

4 ? ?1+x(x≥4), 14.解:由定义可知 f(x)=? ? ?log2x(0<x<4).

4 4 当 x≥4 时,f(x)=1+ 单调递减,且 1<1+ ≤2; x x 当 0<x<4 时,f(x)=log2x 单调递增,且 f(x)=log2x<2. 所以要使方程 g(x)=f(x)-k 有两个不同的实根,则有 1<k<2.

?x2-2x+3,x≥0, ? 15.解:(1)f(x)=? 图像如图所示. 2 ?2x-x +3,x<0. ?

当 x≥0 时,f(x)=0,即 x2-2x+3=0,可知此时无实根; 当 x<0 时,f(x)=0,即 x2-2x-3=0,得 x=-1 或 x=3(舍).所以函数的零点为 x=- 1.

(2)当 x=0 时,a 取任意实数,不等式恒成立;

2 2 当 0<x≤1 时,a>x- ,令 g(x)=x- ,则 g(x)在 0<x≤1 上单调递增,故 a>g(x)max=g(1) x x =-1; 2 2 当 x<0 时,a>x+ ,令 h(x)=x+ , x x 则 h(x)在[- 2,0)上单调递减,(-∞,- 2]上单调递增, 故 a>h(x)max=h(- 2)=-2 2.综上可知 a>-1. 专题限时集训(八) 1.D [解析] sin 10°=k,sin 70°=cos 20°=1-2sin210°=1-2k2. 3 6 2. C [解析] 由 sin α=- , α 为第三象限角, 得 cos α =- , 由 sin 2α =2sin α 3 3 2 2 2 2 cos α = ,tan α = ,得 sin 2α -tan α = . 3 2 6 π 1 2 2 1 2 3. A [解析] 因为 sin? +θ?= , 所以 sin θ +cos θ = , 3 ?4 ? 3 即 2 sin θ + 2 cos θ =3, 2 7 两边平方得 1+2sin θ cos θ = ,所以 sin 2θ =- . 9 9 π 4.C [解析] f(x)=sin?x- ?,该函数的值域为[-1,1]. ? 3? π π π π 5.A [解析] y=sin?6x+ ?的图像向右平移 个单位后变为 y=sin?6?x- ?+ ?= 8 4? ? ? ? 8? 4? π sin?6x- ?. 2? ? 6.A [解析] 由于 y=sin x 是奇函数,则 y=(x+a)2 是偶函数,故 a=0. 1? 1 7.C [解析] 把函数 y=cos 2x 的图像向左平移 个单位,得 y=cos 2? ?x+2?的图像,即 2 y=cos(2x+1)的图像,因此选 C. 8.A [解析] 取 AB 的中点 D,则可知 CD=2,而△ABC 是直角三角形,则 AB=2CD 2π π =4,故周期 T=4,则 ω= = . T 2 3π π π π π π 9.D [解析] g(x)=cos?2x- ?=cos?2x- - ?=cos? -?2x- ??=sin?2x- ? 4 ? 4 2? 4? 4 ?? ? ? ? ?2 ? π 与 f(x)=sin2x+ 关于原点对称,故选 D. 4 5π π π 10.?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z) [解析] f(x)=sin ω x+ 3cos ω x=2sin?ω x+ ?.因 6 6? 3? ? ? π T π 为 f(α)=-2,f(β )=0,且|α-β|min= ,所以 = ,得 T=2π (T 为函数 f(x)的最小正周期), 2 4 2 2π π π π 5π π 故ω = =1,所以 f(x)=2sin?x+ ?.由 2kπ - ≤x+ ≤2kπ + ,解得 2kπ - ≤x T 2 3 2 6 3 ? ? π 5π π ≤2kπ + (k∈Z).所以函数 f(x)的单调递增区间为?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z). 6 6 6? ? 2π π π 11.-1 [解析] 由题意知 T=6,则 ω= = ,再由 2sin φ =1 得 φ= ,故 f(x)= 6 3 6 π π 2sin? x+ ?,因此 f(-1)=-1. 6? ?3 π π → → → 12.y=sin? x- ? [解析] 设 P 点坐标为(m,n),因为|OP|= 10,OP?OM=15,所 4? ?4 ?m=3, ? m2+n2= 10, ? 2π 2π π 以? 解得? 所以 P 点的坐标为(3, 1), 进而得 A=1, ω= = = , T 8 4 ?n=1, ? ?5m+0=15,

π π 把点 P 的坐标(3,1)代入函数 y=sin? x+φ?,得 1=sin ?3+φ.因为-π <φ <π ,所以 φ 4 ?4 ? π π π =- ,则函数的解析式为 y=sin? x- ?. 4 4? ?4 π 13.解:(1)函数 f(x)要有意义需满足 cos x≠0,解得 x≠ +kπ (k∈Z), 2 ? ? ? π 即 f(x)的定义域为?x x≠ +kπ ,k∈Z?. 2 ? ? ? π? ? 1- 2sin 2x- 4? ? (2)f(x)= = cos x 2 2 1- 2? sin 2x- cos 2x? 2 ?2 ? 1+cos 2x-sin 2x = = cos x cos x 2cos2x-2sin xcos x =2(cos x-sin x), cos x 4 4 由 tan α =- ,得 sin α =- cos α ,又∵sin2α +cos2α =1, 3 3 9 ∴cos2α = . 25 3 4 ∵α 是第四象限的角,∴cos α = ,sin α =- , 5 5 14 ∴f(α)=2(cos α -sin α )= . 5 2π π π 14.解:(1)由图像知 T=4? - ?=π ,则 ω= =2. T ?2 4? π 由 f(0)=-1 得 sin φ =-1,即 φ=2kπ - (k∈Z). 2 π ∵|φ |<π ,∴φ=- . 2 π (2)由(1)知 f(x)=sin?2x- ?=-cos 2x. 2? ? x? ? x π ? π 2 ∵g(x)=2 2f? -cosx- -1=2 2cos x (cos x+sin x) ?2?f?2- 8 ?-1=2 2(-cos x)· 4 2 π -1=2cos2x+2sin xcos x-1=cos 2x+sin 2x= 2sin2x+ , 4 π π π π 5 π 2 当 x∈?0, ?时,2x+ ∈? , ?,则 sin2x+ ∈- ,1, 4 ?4 4 2 2? 4 ? ? ∴g(x)的值域为[-1, 2]. π 1 3 3 1 15. 解:(1)f(x)=cos?2x- ?+2sin2x= cos 2x+ sin 2x+1-cos 2x= sin 2x- cos 2x 2 2 2 2 3? ? π +1=sin?2x- ?+1. 6? ? 2π 则 f(x)的最小正周期为 T= =π . 2 π π kπ π 由 2x- =kπ + ,得对称轴方程为 x= + ,k∈Z. 6 2 2 3 π π 5 π π (2)当 x∈?0, ?时,- ≤2x- ≤ , 6 6 6 2? ? π π π 则当 2x- = ,即 x= 时,f(x)max=2; 6 2 3

π π 1 当 2x- =- ,即 x=0 时,f(x)min= . 6 6 2 专题限时集训(九) π 3 4 3 1.D [解析] 因为 α∈? ,π ?,sin α = ,所以 cos α =- ,tan α =- .所以 tan 2 5 5 4 ?2 ? 3 ? 2?? ?-4? 2tan α 24 α = = . 2=- 7 3 1-tan2α - ? 1-? ? 4? 3sin 10°-cos 10° 3 1 3 1 - = - = = cos 10° sin 170° cos 10° sin 10° sin 10°cos 10° 2sin(10°-30°) 2sin(-20°) -2sin 20° = = =-4,故选 D. sin 10°cos 10° sin 10°cos 10° 1 sin 20° 2 2.D [解析] π [解析] ∵α∈- ,0,∴cos α = 2 4 2 sin 2α =2sin α cos α =- . 9 3.D 4.C 1 2 2 - ?= 1-? ? 3? 2 3 ,

16k2+25k2-49k2 1 [解析] 由正弦定理可设 a=4k,b=5k,c=7k,则 cos C= =- 5 2?4k?5k <0,因此三角形为钝角三角形. 1 5.C [解析] 因为 sin 120°= 3sin A,所以 sin A= ,则 A=30°=B,因此 a=b. 2 49+25-64 1 48 4 3 1 4 3 6. B [解析] 因为 cos C= = , sin C= = , 所以 S= ?7?5? 7 49 7 2 7 2?7?5 =10 3. π 1 3 6 [解析] 由 1+2cos(B+C)=0 得 cos A= , 则 sin A= , A= , 由正弦定理得 2 2 3 3 2 π 5π π π 2 2 2 = , sin B= , B= , C= , 因此 BC 边上的高为 2?sin C=2?sin? + ?=2 sin B 2 4 12 ?4 6? 2 6+ 2 3 2 1 ? + ? = . 2 2 2 2 1 8.C [解析] 由 2S=(a+b)2-c2 得 2S=a2+b2+2ab-c2,即 2? absin C=a2+b2+2ab 2 2 2 2 a + b - c ab sin C-2ab sin C -c2,则 absin C-2ab=a2+b2-c2,又因为 cos C= = = -1,所 2ab 2ab 2 C 2tan 2 2?2 sin C C C C C 4 以 cos C+1= ,即 2cos2 =sin cos ,所以 tan =2,即 tan C= = 2=- . 2 2 2 2 2 C 3 1 - 2 1-tan2 2 3 b c 1 3 1 9. [解析] 因为 b<c, 所以 B<C, 由正弦定理得 = , 即 = ,即 4 sin B sin C sin B sin B 2π sin 3 π π 2π π 1 1 =2,由 B 是三角形的内角知,B= ,于是 A=π - - = ,则 S△ABC= bcsin A= ? 6 6 3 6 2 2 1 3 3? = . 2 4 14 3 5 4 10. [解析] 因为 cos A= ,cos B= ,所以 sin A= , 5 5 13 5 7. C

12 a b a 3 13 sin B= .由正弦定理得 = ,即 = ,所以 a= .由余弦定理得 b2=a2+c2- 13 sin A sin B 4 12 5 5 13 169 14 2accos B,即 9= +c2-2c,解得 c= (负值舍去). 25 5 2π 11. [解析] 由正弦定理可将(2a+c)cos B+bcos C=0 转化为 2sin A? cos B+sin C? cos 3 B+sin Bcos C=0,即 2sin Acos B+sin(B+C)=0,得 2sin Acos B+sin A=0,又由 A 为△ABC 2π 1 内角,可知 sin A≠0,则 cos B=- ,则 B= . 2 3 π 2π 12.6 3 [解析] △ABC 的内角和 A+B+C=π ,由 A= ,B>0,C>0 得 0<B< . 3 3 2 π BC 2 3 BC 应用正弦定理知 AC= sin B= ?sin x=4sin x,AB= sin C=4sin? -x?.因为 y sin A sin A ? 3 ? π sin 3 2π 2π ? ? ? ? π? =AB+BC+AC,所以 y=4sin x+4sin? ? 3 -x?+2 3?0<x< 3 ?,即 y=4 3sin?x+ 6 ?+2 π π π π π 5π 3? <x+ < ?,所以当 x+ = ,即 x= 时,y 取得最大值 6 3. 6 2 3 6 6 ? ?6 13.解:(1)在△ABC 中, b2-a2-c2 -2accos B ccos B sin Ccos B sin C = = = = , 2sin A-sin C c2-a2-b2 -2abcos C bcos C sin Bcos C 因为 sin C≠0,所以 sin Bcos C=2sin Acos B-sin Ccos B, 所以 2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A. 1 因为 sin A≠0,所以 cos B= , 2 π 因为 0<B<π ,所以 B= . 3 (2)T=sin2A+sin2B+sin2C 1 3 1 = (1-cos 2A)+ + (1-cos 2C) 2 4 2 7 1 = - (cos 2A+cos 2C) 4 2 4π 7 1? = - cos 2A+cos? -2A?? 4 2? ? 3 ?? 7 1?1 3 = - cos 2A- sin 2A? 4 2?2 2 ? π 7 1 = - cos?2A+ ?, 4 2 ? 3? 2π 4π 因为 0<A< ,所以 0<2A< , 3 3 π π 5π π 1 故 <2A+ < ,因此-1≤cos?2A+ ?< , 3 3 3 3? 2 ? 3 9 所以 <T≤ . 2 4 π A A A A 14.解:(1)f(A)=2cos sin +sin2 -cos2 =sin A-cos A= 2sin?A- ?. 2 2 2 2 4? ? π π 3π 因为 0<A<π ,所以- <A- < . 4 4 4 π π 3π 当 A- = ,即 A= 时,f(A)取得最大值,且最大值为 2. 4 2 4

π (2)由题意知 f(A)= 2sin?A- ?=0, 4? ? π 所以 sin?A- ?=0. 4? ? π π 3π π π 又知- <A- < ,则 A- =0,所以 A= . 4 4 4 4 4 5π 7π π 因为 C= ,所以 A+B= ,则 B= . 12 12 3 π 6?sin 3 a b asin B 由 = ,得 b= = =3. sin A sin B sin A sin A a+c sin A-sin B a-b 15.解:(1)由正弦定理,得 = = ,化简得 a2+b2-ab=c2, b sin A-sin C a-c a2+b2-c2 1 π 所以 cos C= = ,而 C 为△ABC 的内角,则 C= . 2ab 2 3 a+b sin A+sin B 2 ? 2 π π (2) = = sin A+sin? -A??=2sin?A+ ?. c sin C 6? ? 3 ?? ? 3? π 1 ? 2π π 5π π ,1 . 因为 A∈?0, ?,A+ ∈? , ?,所以 sin?A+ ?∈? 6 ?6 3 ? 6 ? 6 ? ?2 ? ? ? a+b 故 的取值范围是(1,2]. c 专题综合训练(三) 1 1.A [解析] cos 300°=cos(360°-60°)=cos 60°= . 2 π 5π 11π 2 3 2.C [解析] 由 cosα + =- 可得 α= 或 α= ,则 tan 2α =- . 3 2 12 12 3 π π 3.B [解析] 最小正周期为π ,则 ω=2,图像关于直线 x= 对称,则当 x= 时,函 3 3 数取最值,故选 B. π π 4.B [解析] y=sin 2x+cos 2x→y=sin 2?x+ ?+cos 2x+ =cos 2x-sin 2x. 4 ? 4? 2 π π 5 π π 2 5.B [解析] T=? + ??2=π ,ω= =2,当 x=- 时,可得 A=2,φ = π . T 12 3 ? 12 12? 2 ? ∴y=2sin? ?2x+3π ?. π 6. C [解析] 由其图像相邻的两条对称轴方程为 x=0 与 x= , 知周期 T=π , 排除 A, 2 B. π π ? ? π π f(x)=2sin?2x+φ- ?, sin φ - ??=1, 显然 φ=- , f(x)=2sin?2x- ?=-2cos 2x, 6 3? ? ? 3 ?? 2? ? ? π 在?0, ?上为单调递增函数. 2? ? π 7.A [解析] y=xsin x 为偶函数,排除 D.当 x=± π 时,y=0, 排除 C.当 x=± 时,y>0, 2 排除 B. π π π π π π 8.C [解析] g(x)=sin?2?x- ?+ ?=sin?2x- ?,由- +2kπ ≤2x- ≤ +2k 2 6 2 6? ? ? ? 4? 3? π π π (k∈Z)得单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 6 3? ? 4 1 x 9.- [解析] 因为 α 是第二象限角,所以 x<0.又因为 cos α = x= 2 ,解得 x 3 5 x +16

4 4 =-3,所以 tan α = =- . x 3 π a2+( 2a)2-a2 π 2 10. [解析] 因为 c= 2a,b=a,所以 cos A= = ,A= . 4 2 4 2a? 2a π ,即 7=AB2+4-2AB, 3 π 1 所以 AB2-2AB-3=0, 解得 AB=3 或 AB=-1(舍去). 所以△ABC 的面积是 S= AB? BC? sin 2 3 1 3 3 3 = ?3?2? = . 2 2 2 π π 12.①②④ [解析] f(x)=2sin?2x- ?,将 x=kπ + (k∈Z)代入得到 y=2,①正确; 3 6? ? 5π π 11 π 当 x∈? ,π ?时, ≤2x- ≤ π ,ymax=1,③错误.再依次验证②④正确. 6 6 6 ?2 ? a ?2 b 2 c 2 13.解:由 sin2A=sin2B+sin2C 得? ?2R? =2R +2R , π 则 a2=b2+c2,即 A= . 2 a2+b2-c2 a 由 sin A=2sin B?cos C 得 =2? ,则 b=c. b 2ab 综上可知,该三角形为等腰直角三角形. π 14.解:(1)f(x)=sin(π -2x)+2 3cos2x=sin 2x+ 3cos 2x+ 3=2sin?2x+ ?+ 3, 3? ? π π π 3 则 f? ?=2sin? + ?+ 3=2? + 3=2 3. 2 ?6? ?3 3? 2π π (2)f(x)=2sin?2x+ ?+ 3的最小正周期 T= =π , 2 3? ? π π π 5π π 又由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ?kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 故函数 f(x)的单调递 2 3 2 12 12 5π π 增区间为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 12 12? ? 1+cos 2ω x 1 1 3 3 15.解:(1)f(x)= 3sin ω xcos ω x-cos2ω x+ = sin 2ω x- + = sin 2 2 2 2 2 2 2π π 1 1 ω x- cos 2ω x=sin?2ω x- ?.由于 f(x)的最小正周期为 2π ,则 =2π ,故 ω= . 2 2 6? ? 2ω π (2)由(1)可知 f(x)=sin?x- ?. ? 6? b2+c2-a2 方法一,已知 2bcos A=2c- 3a,由余弦定理,可得 2b· =2c- 3a, 2bc a2+c2-b2 3 整理得 a2+c2-b2= 3ac,故 cos B= = , 2ac 2 π 因为 0<B<π ,所以 B= . 6 π 即 f(B)=sin?B- ?=sin 0=0. 6? ? 方法二,已知 2bcos A=2c- 3a,由正弦定理,可得 2sin Bcos A=2sin C- 3sin A,即 2sin Bcos A=2sin(A+B)- 3sin A,整理得 2sin Acos B- 3sin A=0,即 sin A(2cos B- 3)= 0. 3 因为 0<A<π ,所以 sin A≠0,故 cos B= . 2 3 11. 3 2 [解析] 由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos

π 又因为 0<B<π ,所以 B= , 6 π 则 f(B)=sin?B- ?=sin 0=0. 6? ? 专题限时集训(十) 1.B [ 解析 ] 设此数列的公比为 q ,根据题意得 q>0 且 q≠1 ,由 a1(1-q4) = 1-q

5a1(1-q2) ,解得 q=2. 1-q 12 2.C [解析] 由 S8-S4=12 得 a5+a8=a6+a7=a1+a12=6,则 S12= ?(a1+a12)=36. 2 3.C [解析] 由 a3?a5=64 可得 a1?a7=64,则 a1+a7≥2 a1a7=16. 4.B [解析] 由 S11=S10 得,a11=0,即 a1+(11-1)?(-2)=0,得 a1=20. a2 2 2 5.B [解析] 由 a3?a9=2a2 . 5,可得 q =2,所以 q= 2,则 a1= = q 2 6.C [解析] 由(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d)得 d=-2a1,因此可罗列该数列的前 6 项为 a1,-a1,-3a1,-5a1,-7a1,-9a1,则公比为 3. 13(a1+a13) 7.D [解析] 在等差数列中,S13= =13,得 a1+a13=2,即 a1=2-a13= 2 2-13=-11,选 D. 8.C [解析] 由数列{an}是公差为 2 的等差数列,得 an=a1+(n-1)· 2,又因为 a1,a2, 2 a5 成等比数列,所以 a1?a5=a2 ,即 a ? ( a + 8) = ( a + 2) ,解得 a = 1 ,所以 S5=5a1+ 2 1 1 1 1 5?(5-1) ?d=5?1+20=25. 2 9.C [解析] 由 4a3+2a4=2a5 得 q2(q2-q-2)=0,由题意知 q=2,则 S4=1+2+4+8 =15. 3(a1+a3) 10.2n-1 [解析] 由 =S3,得 a3=5,故 d=2,an=1+(n-1)?2=2n-1. 2 n(n-1) 11.-n2+9n [解析] 由 a2 ?(-2) 3=a1?a4 可得 a1=-4d=8,故 Sn=8n+ 2 2 =-n +9n. 12.24 [解析] 由 a2+a3=1,a3+a4=-2 得 q=-2,由 a2+a2q=1,得 a2=-1,因 此 a5+a6+a7=8-16+32=24. 13.解:(1)由 S3=9 得 3a2=9,a2=3,因为 a3=5,所以 d=2,从而 an=a2+(n-2)d =2n-1. (2)由题意知 b2=3,b3=9,q=3, b1(1-qn) 1?(1-3n) 3n-1 故 Tn= = = . 2 1-q 1-3 14.解:(1)a1=3,a2=3+c,a3=3+3c, ∵a1,a2,a3 成等比数列,∴(3+c)2=3(3+3c), 解得 c=0 或 c=3. 当 c=0 时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故 c=3. (2)当 n≥2 时,由 a2-a1=c,a3-a2=2c,?,an-an-1=(n-1)c, n(n-1) 则 an-a1=[1+2+?+(n-1)]c= c. 2 3 3 又∵a1=3,c=3,∴an=3+ n(n-1)= (n2-n+2)(n=2,3,?). 2 2 3 2 当 n=1 时,上式也成立,∴an= (n -n+2). 2 15.解:(1)设正项等比数列{an}的公比为 q(q>0),由题意得

1 a1-a2=2a3,且 a1= , 2 1 即 a1-a1q=2a1q2,化简得 2q2+q-1=0,解得 q=-1(舍去)或 q= . 2 1 故 an= n. 2 1 1 (2)因为{an}是首项 a1= ,公比 q= 的等比数列,故 2 2 1? 1? 1- n 2? 2 ? 1 n Sn= =1- n,则 nSn=n- n. 1 2 2 1- 2 1 2 n? 则数列{nSn}的前 n 项和 Tn=(1+2+?+n)-? ?2+22+?+2n?,① n-1 n ? Tn 1 ?1 2 = (1+2+?+n)-?22+23+?+ 2n + n+1?.② 2 2 2 ? ? 1 1 1 Tn 1 n + 2+?+ n?+ n+1 由①-②得 = (1+2+?+n)-? 2 2 2 ? ? 2 2 2 1? 1? 1- n n(n+1) 2? 2 ? n(n+1) n(n+1) n+2 n 1 n = - + n+1= -1+ n+ n+1= + n+1 -1,所以 4 1 4 2 4 2 2 2 1- 2 n(n+1) n+2 Tn= + n -2. 2 2 专题限时集训(十一) 9(a1+a9) 9(a3+a7) 1.B [解析] S9= = =18. 2 2 1 n 2.C [解析] 因为 bn= n,nbn= n, 2 2 n-1 n 1 2 3 4 所以 Tn= + 2+ 3+ 4+?+ n-1 + n,① 2 2 2 2 2 2 n - 1 2 3 4 n 2Tn=1+ + 2+ 3+?+ n-2 + n-1,② 2 2 2 2 2 1 1 1 n ②-①得 Tn=1+ + 2+?+ n-1- n, 2 2 2 2 n 1 ? 1-? ?2? n n+2 即 Tn= - n=2- n .故选 C. 1 2 2 1- 2 3.A [解析] Rn=c1+c2+c3+?+cn, 2 3 n 1?1 ?1? +5??1? +?+(2n-1)??1? ,① Rn=1?? + 3 ? ?3? ?3? ?3? ?3? 2 3 4 n n+1 1 1 1 1 ? +3?? ? +5?? ? +?+(2n-3)??1? +(2n-1)??1? ,② Rn=1?? ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? 3 ①式减②式得 1?n+1 1 2 1 3 1 4 1 n 2 1 Rn= +2??3? +?3? +?3? +?+?3? ?-(2n-1)?? ?3? , 3 3 ?? ? ? ? ? ? ? ?? 2 n-1 ?1? ?1-?1? ? ?3? ? ?3? ? 1?n+1 2 2(n+1) ?1?n 2 1 则 Rn= +2? -(2n-1)?? ??3? , ?3? =3- 3 3 1 3 1- 3

n+1 故 Rn=1- n ,故选 A. 3 n(a1+an) 4.D [解析] ∵Sn= =n(n+2), 2 1 1 1 1 1 ∴ = = ?n-n+2?. Sn n(n+2) 2? ? 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 n ∴Tn= - + - + - +?+ - + - = + - - = + 21 3 2 4 3 5 n 2 1 2 n-1 n+1 n+2 n+1 n+2 2n+1 n .故选 D. 2(n+2) + 2n 1-2 2n 1 1 5. n+1 [解析] cn= n = - + , + 2 -1 (2 -1)(2n 1-1) 2n-1 2n 1-1 1 1 1 1 1 1 则 Sn = c1 + c2 + c3 +?+ cn = - + - +?+ n - + =1- 2-1 22-1 22-1 23-1 2 -1 2n 1-1 + 2n 1-2 1 = . + + 2n 1-1 2n 1-1 1? n+1 3 6.? 31+4· 32+6· 33+?+2n· 3n,① ?n-2??3 +2 [解析] Tn=2· + 3Tn=2· 32+4· 33+6· 34+?+2n· 3n 1,② 1? + n+1 3 ①-②得-2Tn=2· 31+2· 32+2· 33+?+2· 3n-2n· 3n 1,则 Tn=? ?n-2??3 +2. + 3n 2-6n-9 3 n 3 1 2 n 7.A [解析] Sn= (3 -1),Hn= (3 +3 +?+3 -1?n)= .故选 A. 2 2 4 1 n+1 n+1 n+1 ? 1 + 1 +?+ ? 8.D [解析] bn= + +?+ =(n+1)· n(n+1)? ?1?2 2?3 1?2 2?3 n(n+1) 1 1 ? 1 1 1 1- ?+? - ?+?+?n- =(n+1)? ? 2? ?2 3? ? n+1?=n. ?bn? - 记数列?a ?的前 n 项的和为 Sn,则 Sn=1+2?(-3)+3?(-3)2+?+n?(-3)n 1, ? n? -3Sn=-3+2?(-3)2+3?(-3)3+?+n?(-3)n, 两式相减,得 1-(-3)n - 4Sn = 1 + ( - 3) + ( - 3)2 +?+ ( - 3)n 1 - n?( - 3)n = - n?( - 3)n ,故 Sn = 4 1-(4n+1)(-3)n . 16 9.18 [解析] 因为 an+1=an+2,所以数列是公差为 2 的等差数列,所以 an=2n-1.又 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 因为 = ?a -a ? , 所 以 Sn = - + - +?+ - = ? a -a ? = 2 2 a a a a a 2 2 + + ? n ? ? 1 ? anan+1 an+1 n 1 n 1 1 2 2 3 n ?1- 1 ?=18,解得 n=18. ? 2n+1? 37 n 10. [解析] 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. n+1 ∵a2=5,S9=99, 9(2a1+8d) ∴a1+d=5, =99, 2 解得 a1=3,d=2, ∴an=2n+1. 4 设 bn= 2 (n∈N+). an-1 2 ∵an=2n+1,∴an -1=4n(n+1),

4 1 1 1 ∴bn= = = - , 4n(n+1) n(n+1) n n+1 1? ?1 1? 1 n ?1- 1 ? ∴Tn=b1+b2+b3+?+bn=? ?1-2?+?2-3?+?+?n n+1?=1-n+1=n+1. (20n-29)· 3n+29 11. [解析] an=1+20(n-1)=20n-19, 2 n-1 bn=3 , - 令 Sn=1?1+21?3+41?32+?+(20n-19)· 3n 1,① - 则 3Sn=1?3+21?32+?+(20n-39)· 3n 1+(20n-19)· 3n,② - 3(1-3n 1) 2 n-1 n ①-②得,- 2Sn = 1 + 20?(3 + 3 +?+ 3 ) - (20n - 19)· 3 = 1 + 20? - 1-3 (20n-19)· 3n=(29-20n)· 3n-29, (20n-29)· 3n+29 所以 Sn= . 2 12 . 10 [ 解 析 ] 设 最 佳 使 用 年 限 为 x 年 , 年 平 均 费 用 为 y 万 元 , 则 y = x(x+1) 15+1.5x+ ?0.3 2 15 = +0.15x+1.65≥4.65,此时 x=10. x x + 13.解:(1)当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n 1-2n=2n, 1+1 1 因为 a1=S1=2 -2=2=2 ,也满足上式, 所以数列{an}的通项公式为 an=2n. 2 b1=a1=2,则由 b1,b3,b9 成等比数列,即 b3 =b1b9, 2 得(2+2d) =2?(2+8d), 解得 d=0(舍去)或 d=2, 所以数列{bn}的通项公式为 bn=2n. 2 1 (2)cn= = , (n+1)bn n(n+1) 1 1 1 1 1 1 1 1 数列{cn}的前 n 项和 Tn= + + ?+ =1- + - +?+ - 2 2 3 n 1?2 2?3 3?4 n?(n+1) 1 1 n =1- = . n+1 n+1 n+1 1 1 14.证明:(1)已知 an-an-1+2anan-1=0,两边同除以 anan-1 得 - =2. an an-1 ?1? 则数列?a ?是以 1 为首项,2 为公差的等差数列, ? n? 1 1 于是 =2n-1,an= (n∈N*). an 2n-1 1 (2)由(1)知 bn= ,则 (2n-1)(2n+1) 1 1 1 1 1 1 1 1 b1+b2+?+bn= + +?+ = 1- + - +?+ - 3 3 5 1?3 3?5 (2n-1)(2n+1) 2 2n-1 1 1 1 1 = 1- < . 2n+1 2 2n+1 2 15.解:(1)设等比数列{an}的公比为 q,等差数列{bn}的公差为 d. 由已知得 a2=3q,a3=3q2,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d, ? ? ?3q=3+3d, ?q=1+d, 故? 2 即? 2 解得 d=2 或 d=0(舍去), ?3q =3+12d, ? ?q =1+4d, ? 所以 q=3,所以 an=3n,bn=2n+1. (2)由题意得 cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n, Sn=c1+c2+?+cn - =-3+5-7+9-?+(-1)n 1(2n-1)+(-1)n(2n+1)+3+32+?+3n.

3n 1 3 3n 1 3 当 n 为偶数时,Sn=n+ - = +n- ; 2 2 2 2 n+1 n+1 3 3 3 7 当 n 为奇数时,Sn=(n-1)-(2n+1)+ - = -n- . 2 2 2 2 + 3n 1 3 +n- ,n为偶数, 2 2 所以 Sn= n+1 3 7 -n- ,n为奇数. 2 2 专题综合训练(四) 1.A [解析] 在等差数列{an}中,由 a2=3,a3+a4=9,解得 a1=2,d=1,则 a6=a1 +5d=7,故 a1a6=2?7=14. 3 1+ 8 a4 S3 1-q 2. B [解析] 在等比数列{an}中, 由 2a3+a4=0 得 =-2=q, 故 = = a3 a1 1-q 1-(-2) =3. - - 3.B [解析] 因为 q=an-an-1=-4,b1=a2=-3,所以 bn=b1qn 1=-3· (-4)n 1,所 - - 以|bn|=|-3· (-4)n 1|=3· 4n 1,即{|bn|}是首项为 3,公比为 4 的等比数列,所以|b1|+|b2|+|b3| n 3(1-4 ) n +?+|bn|= =4 -1. 1 -4 S3 S2 3a1+3d 2a1+d 1 4.C [解析] - = - = d=1,故 d=2. 3 2 3 2 2 5.B [解析] 因为 S2>2a3 得 a1+a2>2a3,即 a1+a1q>2a1q2,所以 2q2-q-1<0,解得- 1 ? 1 <q<1.又因为 q≠0,所以 q 的取值范围是? ?-2,0?∪(0,1). 2 6.C [解析] 因为 S2=4a1=a1+a2,所以 a2=3a1,由 a1?a2?a3=27 得 a3 2=27,a2= 3.因此 a1=1,q=3,a6=1?35=243. 3 ? 3 ? 10?9d=60,解得 d=2, 7.C [解析] 由 a2 4=a3a7 得 a1=- d,则 S10=10? -2d + ? ? 2 2 20?19 所以 a1=-3,S20=20?(-3)+ ?2=320. 2 8.B [解析] b1=a2-a1,a2=5,b2=a3-a2,a3=9,b3=a4-a3,a4=15,b4=a5-a4, a5=23,a6=a5+b5=33. 5(a1+5) 100 1 9. [解析] 由题意知 =15,解得 a1=1,所以 d=1,an=n,所以 = 101 2 anan+1 ? 1 ? 1 1 1 100 = - ,因此?a a ?的前 100 项和为 . 101 n(n+1) n n+1 ? n n+1? 2 3 10.±16 [解析] 由 a1?a3=4,a4=8 得 a2 2.当 q=2 时,a1 1q =4,a1q =8,解得 q=± 4 =1,此时 a5=a1q =16.当 q=-2 时,a1=-1,此时 a5=a1q4=-16. 9 S12 S10 11 a1+ d?=2,即 d=2, 11.-2013 [解析] 在等差数列中,由 - =2 得 a1+ d-? 2 ? ? 12 10 2 2013?2012 故 S2013=2013a1+ d=2013?(-2013+2012)=-2013. 2 3 12. [解析] 因为 1,a1,a2,9 是等差数列,所以 a1+a2=1+9=10.因为 1,b1,b2, 10 b2 3 2 b3,9 是等比数列,所以 b2 = . 2=1?9=9.因为 b1=b2>0,所以 b2=3,则 a1+a2 10 13.解:(1)设等比数列{an}的公比为 q,依题意 q>0, 因为 a2=8,a3+a4=48,两式相除得 q2+q-6=0,解得 q=2 或 q=-3(舍去),所以 a1 a2 = =4. q - + 所以数列{an}的通项公式为 an=a1?qn 1=2n 1.
+ +

? ? ?

n+1 n+2 n+1 1 1+1 ,因为 bn+1-bn= - = ,b1= =1, 2 2 2 2 2 1 所以数列{bn}是首项为 1,公差为 的等差数列, 2 1 设公差为 d,则 d= , 2 n(n-1) n2+3n 所以 Sn=nb1+ d= . 2 4 14.解:(1)已知等比数列{an}的各项为正数,a2=8,a4=128, a4 128 设公比为 q,∴q2= = =16,q=4,a1=2, a2 8 - n- 1 n-1 ∴an=a1q =2?4 =22n 1. - (2)∵bn=log2an=log222n 1=2n-1, n?(1+2n-1) 2 ∴Sn=b1+b2+?+bn=1+3+?+(2n-1)= =n . 2 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? (3)∵ ? ?1-S2? ? ?1-S3? ? ? ? ?1-Sn? = ?1-22? ? ?1-32? ? ? ? ?1-n2? = n-2 n-1 n+1 n+1 1 3 2 4 n ? ? ? ??? ? ? ? = . 2 2 3 3 n n 2n n-1 n-1 n+1 1007 ∴ ≥ ,∴n≤2013. 2n 2013 ∴n 的最大值为 2013. 15.解:(1)因为 an= Sn+ Sn-1,所以 Sn-Sn-1= Sn+ Sn-1, 所以 Sn- Sn-1=1,所以数列{ Sn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列.因为 Sn=n, 所以 an= Sn+ Sn-1=n+(n-1)=2n-1(n≥2),当 n=1 时 a1=1 也适合, 故 an=2n-1. 1 1 1 1 1 (2)因为 = = ?2n-1-2n+1?, ? anan+1 (2n-1)(2n+1) 2? 1 1 1 1 1 1 1 1 n 所以 Tn= ?1-3+3-5+?+2n-1-2n+1?= ?1-2n+1?= 2? ? 2? ? 2n+1. 1 由于 Tn< ,则 4Tn<2. 2 则当 4T<a2-a 时,只需 2≤a2-a 成立便可,解得 a≤-1 或 a≥2. 专题限时集训(十二) 1.C [解析] 若俯视图为 C,则与侧视图矛盾,其他三者均有可能. 2. (2)证明:由(1)得 bn=log4an=

[解析] 由题设条件,此几何体为一个三棱锥,如图所示,三棱锥 P-ABC 的高为 1, 1 1 1 底面是直角边长为 1 的等腰直角三角形, 所以底面积为 ?1?1= , 所以三棱锥的体积为 ? 2 2 3 1 1 ?1= . 2 6 3.B [解析] 由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为 2 高为 1 的正四棱锥, 1 该几何体的下部是边长为 2 的正方体,所以该几何体的表面积为 S=5?22+4? ? 2?2= 2 20+4 2.

A

4.D [解析] 由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图所示,利用长 方体模型可知,此三棱锥的四个面都是直角三角形.

5.B [解析] 如图所示,此三棱锥的高 AO=2,底面三角形的高 OC=3,又 BD=4, 1 1 所以该三棱锥的体积为 ? ?4?3?2=4. 3 2 6.A [解析] 由三视图可知,三棱柱的高为 1,底面正三角形的高为 3,所以正三角形 1 的边长为 2,所以三棱柱的侧面积为 2?3?1=6,两底面积为 2? ?2? 3=2 3,所以表 2 面积为 6+2 3. 7.D [解析] 由三视图可知该四棱锥有一侧棱与底面垂直,底面面积为 2,高为 1,所 1 2 以 V= ?2?1= . 3 3 1 1 ? 8.B [解析] 如图所示,该几何体的表面积为 S=? ?2?5?4? ? 3 + 2 ? 2 5 ? ( 41)2-( 5)2=30+6 5.

[解析] 由三视图可知该是四棱锥顶点在底面的射影是底面矩形的一个顶点, 底面 1 边长分别为 3,2,后面是直角三角形,直角边分别为 3,2,所以后面的三角形的面积为 ?2 2 1 ?3=3.左面三角形是直角三角形,直角边长分别为 2,2,三角形的面积为 ?2?2=2.前面 2 1 三角形是直角三角形,直角边长分别为 3,2 2,其面积为 ?3?2 2=3 2.右面也是直 2 1 角三角形,直角边长为 2, 13,三角形的面积为 ?2? 13= 13.所以四棱锥 P-ABCD 的 2 四个侧面中面积最大的是前面的三角形,面积为 3 2,选 D. 10.29π [解析] 借助长方体画出直观图,该三棱锥的外接球即是长方体的外接球,所 1 29 以该球的半径为 R= 22+32+42= ,其表面积为 29π . 2 2

9. D

11.16 [解析] 由三视图可知该几何体的底面是下底为 4,上底为 2,高为 4 的直角梯 形,该几何体是高为 4 的四棱锥,顶点在底面的射影是底面直角梯形高的中点,几何体的体

1 2+4 积为 V= ? ?4?4=16. 3 2 12.12+2 3 [解析] 由三视图可知,正三棱柱的高为 2,底面边长为 2,所以底面积 1 3 为 2? ?22? =2 3,侧面积为 3?2?2=12,所以正三棱柱的表面积是 12+2 3. 2 2

13.

5 6

[解析] 由三视图可知该几何体是一个正方体去掉一角,其直观图如图所示,其中

1 1 1 正方体的棱长为 1,所以正方体的体积为 1.去掉的三棱锥的体积为 ? ?1?1?1= ,所以 3 2 6 1 5 该几何体的体积为 1- = . 6 6 1 1 1 14. [解析] 因为 E 点在线段 AA1 上,所以 S△DED1= ?1?1= ,又因为 F 点在线段 6 2 2 1 B1C 上,所以点 F 到平面 DED1 的距离为 1,即 h=1,所以 VD1-EDF=VF-DED1= ?S△ 3 1 1 1 DED1?h= ? ?1= . 3 2 6 2 1 15. [解析] 由侧视图可得 F 为 AB 的中点,所以△BFC 的面积为 S= ?1?2=1.因为 3 2 1 1 2 PA⊥平面 ABCD,所以四面体 P-BFC 的体积为 V 四面体 P-BFC= S△BFC?PA= ?1?2= . 3 3 3 16.解:(1)如图所示,过 A 作 AE∥CD 交 BC 于 E,联结 PE.根据三视图可知,E 是 BC 的中点,

且 BE=CE=1,AE=CD=1, 又∵△PBC 为正三角形, ∴BC=PB=PC=2,且 PE⊥BC. ∴PE2=PC2-CE2=3. ∵PA⊥平面 ABCD,AE?平面 ABCD,∴PA⊥AE, ∴PA2=PE2-AE2=2,即 PA= 2, 1 ∴正视图的面积为 S= ?2? 2= 2. 2 (2)由(1)可知,四棱锥 P-ABCD 的高 PA= 2, AD+BC 1+2 3 底面积为 S= ?CD= ?1= . 2 2 2 1 1 3 2 ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V 四棱锥 P-ABCD= S?PA= ? ? 2= . 3 3 2 2 专题限时集训(十三) 1.C [解析] ①错误,可举反例直三棱柱说明;②③④均正确. 2.D [解析] 根据面面垂直的性质可知,D 错误. 3.C [解析] ①②④错误,③正确. 4.B [解析] 选项 A,C,D 为假命题,对于选项 B,考察它的逆否命题“若 β 内存在

直线垂直于平面 α,则平面 α 垂直于平面 β”是真命题,故选项 B 是真命题. 5.D [解析] 举反例,对于 A,α∥β 这种情形存在;对于 B,n?β 这种情形存在;对 于 C,m∥n 这种情形存在. 6.A [解析] m⊥α?m⊥a,m⊥b,而当 a∥b 时,不能反推,选 A. 7.C [解析] 举反例,对于 A,可能 m?β ;对于 B,α,β 可能相交;对于 D,m,n 可能相交或异面. 8.D [解析] ①若直线 a 平行于直线 b 所在的平面,则直线 a 可能与直线 b 平行也可能 异面,即“直线 a 平行于直线 b 所在的平面”不能推出“直线 a∥直线 b”,故①错误;②根 据直线与平面垂直的定义, “直线 l 垂直平面 α”的充要条件是“直线 l 垂直于平面 α 内的任 意一条直线”,故②错误;③直线 a,b 不相交,则直线 a,b 平行或异面,即“直线 a,b 不 相交”不能推出“直线 a, b 为异面直线”, 故“直线 a, b 不相交”的充分不必要条件是“直 线 a,b 为异面直线”,故③错误;④若平面 α∥平面 β,则两平面间的公垂线段都相等,故 平面 α 内存在不共线三点到平面 β 的距离相等,反之,平面 α 内存在不共线三点到平面 β 的 距离相等,平面 α 与平面 β 可能平行也可能相交,故“平面 α∥平面 β”的必要不充分条件 是“平面 α 内存在不共线三点到平面 β 的距离相等”,④正确. 1 9.D [解析] 水的体积占正方体体积的 ,四种形状均可以出现. 6 10. 2+ 6 [解析] 联结 AC,BD 交于点 O,联结 SO,则 SO⊥平面 ABCD,由 AC? 平面 ABCD,故 SO⊥AC. 取 SC 中点 F 和 CD 中点 G,联结 GF,FE,GE,GE 交 AC 于 H,则 H 为 OC 的中点, 故 FH∥SO,则 FH⊥AC,又由 GE∥BD,BD⊥AC 得 GE⊥AC.∵GE∩FH=H,GE,FH? 平面 FGE,∴AC⊥平面 FGE,故当 P∈平面 FGE 时,总有 PE⊥AC,故动点 P 的轨迹即为 △FGE 的周长,求得结果为 2+ 6. 2 11. [解析] 折成的四面体是正四面体,画出立体图形,根据中点找平行线,把所求的 3 异面直线所成角转化到一个三角形内进行计算.如图所示,联结 HE,取 HE 的中点 K,联结 GK,PK,则 GK∥DH,故∠PGK 即为所求的异面直线所成的角或者其补角.设这个正四面 3 7 3 2 体的棱长为 2,在△PGK 中,PG= 3,GK= ,PK= 12+? ? = ,故 cos∠PGK= 2 ?2? 2 3 2 7 2 ( 3)2+? ? -? ? ?2? ?2? 2 2 = ,即异面直线 PG 与 DH 所成角的余弦值是 . 3 3 3 2? 3? 2

12. ③④ [解析] 显然①②错误; 计算可判断③正确; 可过 P 作底面的垂线证明④正确. 13.①②③ [解析] 易知 HN⊥AC,FN⊥AC,故 M 在 FH 上时,均能满足要求.事实 上,若 M 为 FH 上异于 F,H 的任意一点,∵FH⊥底面 ABCD,∴HN 是斜线 MN 在底面 ABCD 上的射影, 而 HN⊥AC, ∴MN⊥AC, 显然, M 为 H 或 F 时, MN⊥AC.①②③正确. 而 NE∥BC1,且 BC1 与 AC 不垂直,因此点 M 不能与点 E 重合,④错. 14.解:(1)证明:联结 AC,因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 AC⊥BD. 又四边形 ADNM 是矩形,平面 ADNM⊥平面 ABCD,平面 ADNM∩平面 ABCD=AD, AM⊥AD, 所以 AM⊥平面 ABCD. 因为 BD?平面 ABCD, 所以 AM⊥BD.

因为 AC∩AM=A, 所以 BD⊥平面 MAC. 又 MC?平面 MAC, 所以 BD⊥MC. (2)当 E 为 AB 的中点时,有 AP∥平面 NEC. 取 NC 的中点 S,联结 PS,SE.

1 因为 PS∥DC∥AE,PS=AE= DC, 2 所以四边形 APSE 是平行四边形, 所以 AP∥SE. 又 SE?平面 NEC,AP?平面 NEC, 所以 AP∥平面 NEC. 15.解:(1)证明:如图所示,联结 CO,

∵∠CAB=45°,∴CO⊥AB, 又∵F 为 BC 的中点,∴∠FOB=45°, ∴OF∥AC. ∵OF?平面 ACD,AC?平面 ACD, ∴OF∥平面 ACD. (2)设在 BD 上存在点 G,使得 FG∥平面 ACD,联结 OG,如图. ∵OF∥平面 ACD,OF∩FG=F,∴平面 OFG∥平面 ACD, ∴OG∥AD,∠BOG=∠BAD=60°. 因此,在 BD 上存在点 G,使得 FG∥平面 ACD,且点 G 为 BD 的中点. 联结 AG,过 C 作 CE⊥AD 于 E,联结 OE,设点 G 到平面 ACD 的距离为 h. 1 1 1 ∵S△ACD= ?AD?CE= ?2? 7= 7,S△GAD=S△OAD= ?2? 3= 3, 2 2 2 1 1 2 21 ∴由 V 三棱锥 G-ACD=V 三棱锥 C-AGD,得 ? 7?h= ? 3?2,则 h= . 3 3 7 专题限时集训(十四) 1.D [解析] AA1⊥平面 AC,故所成的角为 90°. π 2.C [解析] 当 A1D 与 BC1 所成的角为 时,长方体 ABCD-A1B1C1D1 为正方体,联 2 结 A1C1,与 B1D1 交于 O 点,联结 OB,易证 A1C1⊥平面 BB1D1D,则 BC1 与平面 BB1D1D OC1 1 所成的角为∠OBC1.又 BC1=2 2,OC1= 2,所以 sin ∠OBC1= = . BC1 2 3.D [解析] 如果两个二面角的棱不平行,其大小没关系.

4.D [解析] 把展开图还原为正方体,如图所示,l1,l2 是正方体中位于同一个顶点处 π 的两个面的面对角线,故一定相交且夹角为 . 3 5.C [解析] 如图所示,取 BC 的中点 E,联结 DE,AE,由题意知此三棱柱为正三棱 柱,易得 AE⊥平面 BB1C1C,故∠ADE 为 AD 与平面 BB1C1C 所成的角.设各棱长为 1,则 3 3 1 AE 2 AE= ,DE= ,tan ∠ADE= = = 3,故∠ADE=60°. 2 2 DE 1 2

6.D [解析] ∵AD 与 PB 在平面 ABC 内的射影 AB 不垂直,∴选项 A 不正确. ∵平面 PAB⊥平面 PAE,∴平面 PAB⊥平面 PBC 不成立,故选项 B 不正确. ∵BC∥AD,∴BC∥平面 PAD,∴直线 BC∥平面 PAE 不成立,故选项 C 不正确. 在 Rt△PAD 中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°,∴选项 D 正确. 7. C [解析] 联结 DF, 则由 DF∥AE 可知∠DFD1 或其补角为异面直线 AE 与 D1F 所成 的角.设正方体的棱长为 2 ,则 DF= D1F = 5 , DD1 = 2. 由余弦定理可得 cos ∠ DFD1 = D1F2+DF2-D1D2 5+5-4 3 = = . 5 2D1F?DF 2?5 8.B [解析] 过 A 作另一平面的垂线段 AO,垂足为 O,联结 BO,可知∠ABO=30°, 由 AB=2 得 AO=1.又因为两平面平行, 所以点 C 到另一平面的垂线段的长等于 AO 的长. 故 AO 2 CD 与两个平行平面所成的角的正弦值为 = ,所以 CD 与这两个平行平面所成的角为 CD 2 45°. 9.45° [解析] AB⊥BC,AB⊥BC1,则∠C1BC 为二面角 C1-AB-C 的平面角,其大 小为 45°. 15 10. [解析] 如图所示,设 G 为 DE 的中点,联结 NG,则 NG∥EM,∠ANG 即为异 10 面直线 EM 与 AN 所成的角.设正方形的边长为 2,则 AN= 3,AG= 5,NG=EM= 5, ( 3)2+( 5)2-( 5)2 15 所以 cos ∠ANG= = . 10 2? 3? 5

11.90° [解析] 联结 D1M,易得 DN⊥A1D1,DN⊥D1M,所以 DN⊥平面 A1MD1. 又因为 A1M?平面 A1MD1,所以 DN⊥A1M,故直线 A1M 与直线 DN 所成的角为 90°. 12.解:(1)证明:由题意 EC=ED= 2a,又 CD=2a,可知△DEC 中,EC2+ED2=CD2, 故 EC⊥ED. 由 BC⊥平面 CC1D1D,得 BC⊥DE. 又 EC∩BC=C,所以 DE⊥平面 EBC. (2)由 AD∥BC,得∠EBC 即为异面直线 AD 与 EB 所成的角(或其补角). 由 BC⊥平面 DCC1D1,可知 BC⊥EC, 即△EBC 为直角三角形,

EC 2a 则 tan ∠EBC= = = 2. BC a 故异面直线 AD 与 EB 所成的角的正切值为 2.

13.解:(1)证明:如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC∥A1C1,且 AC=A1C1.联 1 结 ED.在△ABC 中,因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点,所以 DE= AC 且 DE∥AC.又因为 2 F 为 A1C1 的中点,所以 A1F=DE,且 A1F∥DE,所以四边形 A1DEF 为平行四边形,所以 EF∥DA1.又 EF?平面 A1CD,DA1?平面 A1CD,所以 EF∥平面 A1CD. (2)证明:由题意,△ABC 是正三角形,因为 D 为 AB 的中点,故 CD⊥AB.又侧棱 A1A ⊥底面 ABC, CD?平面 ABC, 所以 A1A⊥CD.因为 A1A∩AB=A, 所以 CD⊥平面 A1ABB1, 而 CD?平面 A1CD,所以平面 A1CD⊥平面 A1ABB1. (3)在平面 A1ABB1 内, 过点 B 作 BG⊥A1D 交直线 A1D 于点 G, 联结 CG.因为平面 A1CD ⊥平面 A1ABB1,平面 A1CD∩平面 A1ABB1=A1D, 所以 BG⊥平面 A1CD,所以∠BCG 为直线 BC 与平面 A1CD 所成的角. 5a 5a 设棱长为 a,可得 A1D= ,由△A1AD∽△BGD,易得 BG= .在 Rt△BCG 中,sin 2 5 BG 5 ∠BCG= = . BC 5 5 所以直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值为 . 5 14.解:(1)证明:在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 有 AA1 綊 BB1 綊 CC1,又 AA1⊥平面 ABC,所以 CC1⊥平面 ABC 且 CC1=BC, 故可知平行四边形 C1CBB1 为正方形,故有 BC1⊥B1C. 由于 CC1⊥平面 ABC,AC?平面 ABC,所以 CC1⊥AC,而 AC⊥BC, CC1∩BC=C,故 AC⊥平面 C1CBB1. 因为 BC1?平面 C1CBB1,所以 AC⊥BC1. 又 AC∩B1C=C,所以 BC1⊥平面 AB1C. (2)过点 C 作 CE⊥BD 于点 E,联结 C1E.因为 CC1⊥平面 ABC,BD?平面 ABC,所以 CC1⊥BD.又 CE⊥BD,CC1∩EC=C,所以 BD⊥平面 CC1E,故 BD⊥C1E. 故∠C1EC 为二面角 C1-BD-C 的平面角. BC?CD 2 由 BC=AC=2,CC1=3,得 BD= 5,CE= = . BD 5 5 CE 2 2 7 在 Rt△CC1E 中,CC1=3,C1E= CC2 ,cos ∠C1EC= = . 1+CE = 5 C1E 7 专题综合训练(五) 1.C [解析] 直观图如图所示,则其俯视图为 C.

2.C [解析] 当这两个二面角的两个面均同向或均异向时,它们相等;当这两个二面角 的两个面中,一组同向,另一组异向时,它们互补. 1 3.D [解析] 该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组合而成的,所以其体积为 ?π 3

(8+π ) 3 1 1 ?12? 3? + ?4? 3= . 2 3 6 2 a ?2 ?2 7a2 3 ?2 2 7π a 4.D [解析] R= ? + = , S = 4 π R = . ?2? ?3? 2 a? 12 3 5.C [解析] ∠PBA 即为 PB 与平面 ABC 所成的角. ∵PA=AB,PA⊥AB,∴∠PBA=45°. 6.C [解析] 根据异面直线所成的角的定义可知:与其中一条直线平行的直线,与另一 条所成的角相等.而在长方体的 12 条棱中,分为三组,每组只有四条直线相互平行,故只有 四条直线与过 P 的直线成等角. 7.B [解析] 由二面角的定义可以简单判定①③为假命题;②④为真命题. 8. D [解析] 因为正方形 ABCD 的边长为 2 2, 所以 AC=4, 又平面 ABC⊥平面 ACD, 2 2 O 为 AC 边的中点,所以 BO⊥AC,BO⊥平面 ACD.可求得 f(x)=- (x-1)2+ . 3 3 9.8 2 [解析] 原平面图形为平行四边形,S=2?4 2=8 2. 1 1 10.17π [解析] 该几何体为一圆台,S 上+S 下=5π ,S 侧= ?1π ?4+ ?2π ?4= 2 2 12π ,所以表面积为 17π . 11 . 16 2 [ 解 析 ] 球 心 在 矩 形 的 射 影 为 矩 形 对 角 线 的 交 点 . 因 为 对 角 线 长 为 1 2 8 +(2 3)2=2 19, 所以棱锥的高为 52-( 19)2= 6, 所以棱锥的体积为 ? 6? 3 8?2 3=16 2.

12.45° [解析] 如图所示,联结 AC.因为 PA⊥平面 ABCD,所以 AC 是 PC 在平面 ABCD 上的射影, 所以∠PCA 就是 PC 与平面 ABCD 所成的角. 在△PAC 中,PA⊥AC,PA=5, AC= AB2+AD2= 42+32=5, 所以直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45°. 13.解:取 BC 的中点 P,联结 PM,PN. ∵PM,PN 分别是△ABC,△BCD 的中位线, 1 1 ∴PN∥CD 且 PN= CD,PM∥AB 且 PM= AB, 2 2 ∴PN=2 3,PM=2, 且∠PMN,∠PNM 分别是 MN 与 AB,CD 所成的角,∠MPN 是异面直线 AB 和 CD 所 成的角. ∵AB⊥CD,∴∠MPN=90°, PN 2 3 ∴tan ∠PMN= = = 3, PM 2 ∴∠PMN=60°,∠PNM=30°. ∴MN 和 AB 所成的角为 60°,MN 和 CD 所成的角为 30°. AD CE 1 14.解:(1)证明:因为等边△ABC 的边长为 3,且 = = ,所以 AD=1,AE=2. DB EA 2 在△ADE 中,∠DAE=60°,由余弦定理得 DE= 12+22-2?1?2?cos 60°= 3. 因为 AD2+DE2=AE2,所以 AD⊥DE,则折叠后有 A1D⊥DE. 因为二面角 A1-DE-B 是直二面角,所以平面 A1DE⊥平面 BCED.又平面 A1DE∩平面 BCED=DE,A1D?平面 A1DE,A1D⊥DE,所以 A1D⊥平面 BCED. (2)如图所示,过 P 作 PH 垂直 BD 于 H 点,则 PH∥DE.

由(1)得 A1D⊥平面 BCED,所以 A1D⊥PH,所以 PH⊥平面 A1BD,所以∠PA1H 为所求 角.

由于等边△ABC 的边长为 3,可求得 5 3 5 PH= ,A1H= , 4 4 5 3 4 HP 在 Rt△A1HP 中,tan ∠PA1H= = = 3, HA1 5 4 故可知∠PA1H=60°,即 PH 和平面 A1BD 所成的角为 60°. AD AE 15. 解: (1)证明: 联结 BE.∵ = =λ, ∴DE∥BC, ∴DE⊥AD, DE⊥BD, ∴∠ADB AB AC π 为二面角 A-DE-B 的平面角,∴∠ADB= , 2 ∴AD⊥平面 BCD.又∵BE?平面 BCD,∴AD⊥BE. 1 2 1 BD BC 又当 λ= 时,BD= ,DE= ,BC=1,即 = ,∴△BDE∽△CBD. 2 2 2 DE BD ∴∠EBD=∠DCB,∴BE⊥DC, ∴BE⊥平面 ADC.又 BE?平面 ABE,∴平面 ABE⊥平面 ADC.

(2)过点 D 作 DH⊥BE 于点 H,联结 AH, 过点 D 作 DO⊥AH 于点 O. ∵AD⊥BE,BE⊥DH, ∴BE⊥平面 ADH. 又 DO?平面 ADH, ∴BE⊥DO. 又 DO⊥AH,∴DO⊥平面 ABE, 故∠DAO 为 AD 与平面 ABE 所成的角. DH Rt△ADH 中,tan ∠DAO= ,Rt△BDE 中, DA 2(1-λ)λ BD= 2(1-λ),DE=λ,∴DH= 2 , λ +2(1-λ)2 π 1-λ 3 1 又 AD= 2λ ,若∠DAO= ,则 2 2= 3 ,解得 λ=2. 6 λ +2(1-λ) 专题限时集训(十五) 1 1.C [解析] 直线 2x+y-5=0 的斜率为-2,因此所求直线的斜率为 ,方程为 y-2 2 1 = (x-1),化为一般式为 x-2y+3=0. 2 1 [解析] 圆 x2-2x+y2=0 的圆心为(1,0),所求直线方程为 y-0=- (x-1),即 2 x+2y-1=0. 2.A

3.D [解析] x2+y2-2x=0 化为标准方程为(x-1)2+y2=1,由 =-1. | 2| 4.C [解析] 因为 d= =1,所以弦长为 2 2 5. C

=1 得 a (1+a)2+12

|1+a+1|

( 2)2-12=2.

|-1+b| [解析] 设直线的方程为 y=x+b, 圆心(-1, 0)到直线的距离等于半径 1, 即 2 =1,解得 b=1± 2. 6.1 [解析] x2+y2+2x-4y=0 化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,则有 3?(-1)+2 +a=0,解得 a=1. 7.A [解析] 由 1?(a-2)+(a-2)a=0 得 a=-1 或 a=2,因此“a=-1”是“l1⊥l2” 的充分不必要条件. 8. C [解析] 两圆标准方程分别为 x2+y2=1 和(x-2)2+y2=9, (0-2)2+(0-0)2 =2=3-1,所以两圆位置关系为内切. (a+2b)2 9. B [解析] 因为直线 ax-by+1=0 过圆 C 的圆心(-1, 2), 所以 a+2b=1.由 8 1 ≥ab?ab≤ . 8 10.A [解析] 将圆 C 的方程 x2+y2-8x+15=0 化为标准式,即(x-4)2+y2=1.两圆有 |4k-2| 4 交点,则圆心(4,0)到直线 y=kx-2 的距离 d= 2 ≤2,即 3k2-4k≤0,解得 0≤k≤ . 3 k +1 4π 11. 3 [解析] 圆心为(0,0),半径为 2,圆心到直线的距离 d= 22-12=2 =1,直 1 +( 3)2 π 2π 3,该弦所对的圆心角为 ?2= ,所以劣 3 3
2

|2|

线 l 与圆 C 相交所得的弦长为 2 2π 4π 弧长为 ?2= . 3 3

1 [解析] 圆心坐标为(0,-1),则直线 l 的斜率为 k=- = -2-(-1) 1-0 1,所以直线 l 的方程为 y+2=x-1,即 x-y-3=0. |a2+b2-ab| x y 13. 2 [解析] 由题意得 a2+b2=8,+ =1 可化为 ax+by-ab=0, 所以 d= b a a2+b2 12.x-y-3=0 = ≥ = = 2. 8 8 8 14. 5-2 [解析] 点 Q 在直线 x-2y-6=0 上,圆心(1,0)到该直线的距离为 d= |1-2?0-6| = 5,因此线段 PQ 长度的最小值为 5-2. 12+22 t2 t, ?,半径为 r. 15.解:设圆心坐标为? ? 4? 1 ?t+ t2+1? ? 2 ? 5 5 5 根据已知得 r= = (t2+2t+2)= [(t+1)2+1]≥ ,当 t=-1 时取等号, 10 10 10 5 1 2 1 5 1 y- ? = . 此时 r 最小为 ,圆心坐标为-1, ,故所求的圆的方程是(x+1)2+? ? 4? 20 10 4 16.解:(1)∵直线 l1 过点 A(3,0),且与圆 C:x2+y2=1 相切, 设直线 l1 的方程为 y=k(x-3),即 kx-y-3k=0.

?8-a +b ? 2 ? |8-4| |8-ab| ?

2

2

则圆心 C(0,0)到直线 l1 的距离为 d=

|3k| 2 =1,解得 k=± , 2 4 k +1

2 ∴直线 l1 的方程为 y=± (x-3),即 2x±4y-3 2=0. 4 (2)证明:对于圆方程 x2+y2=1,令 y=0,得 x=± 1,即 P(-1,0),Q(1,0). ∵直线 l2 过点 A 且与 x 轴垂直, ∴直线 l2 的方程为 x=3. t 设 M(s,t),则直线 PM 方程为 y= (x+1). s+1 x=3, ? ? 4t 2t 解方程组? 得 P′?3,s+1?.同理可得,Q′?3,s-1?. t ? ? ? ? y= (x+1), ? ? s+1 4t 2t ∴以 P′Q′为直径的圆 C′的方程为(x-3)(x-3)+?y-s+1??y-s-1?=0. ? ?? ? 又∵s2+t2=1, 6s-2 ∴整理得(x2+y2-6x+1)+ y=0, t 若圆 C′经过定点,只需令 y=0,从而有 x2-6x+1=0,解得 x=3± 2 2. ∴圆 C′过定点,且定点坐标为(3± 2 2,0). 专题限时集训(十六) c?2 c b b 1.A [解析] 根据已知得- ? =-1,即 b2=ac,由此得 c2+ac-a2=0,即? ?a? +a- c a -1+ 5 1=0,即 e2+e-1=0,解得 e= (舍去负值). 2 2 2.B [解析] 抛物线 y =4x 的准线方程为 x=-1,故椭圆的一个焦点为(-1,0),所 2 以 c=1,a= 2,离心率 e= . 2 3.A [解析] 抛物线 x2=-4y 的准线为 l:y=1,显然双曲线的两条渐近线互相垂直, 所以该双曲线为等轴双曲线,则 e= 2. 2 2 |bx0-ay0| |bx0+ay0| 2 b2x2 a2b2 0-a y0 2 4. B [解析] 由题意知 a= 2, 2 2 ? 2 2 = , 所以 2 2 = , 因此 2 2 3 3 a +b a +b a +b a +b 2 1 6 = ,因此 b=1,e= 1+ = . 3 2 2 5. C [解析] 圆心(3, 0)到渐近线的距离为 e= b2 3 5 1+ 2 = . a 5 6.D |3b| b2 4 2 5?2 ? 3- = 2, 所以 2 2=2, 2 = , a 5 ? 2 ? a +b
2

c |bc| b2 2 3 2 2 [解析] 由题意可知 = 2 ,所以 a = 3b , e = 1 + = . 2 a2 3 a + b2 x2 y2 3 2 7.A [解析] y =8x 的准线为 x=-2,双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x,所 12 4 3 2 3 1 4 3 以 S= ?2?2? = . 3 2 3 a2+b2 m2-b2 8. D [解析] 即 ? >1, 即(a2+b2)(m2-b2)>a2m2, 即-a2b2+b2(m2-b2)>0, a m 即 a2+b2<m2,故以 a,b,m 为边长的三角形一定是钝角三角形. ?|AF2|-|AF1|=2a=4, ? 9 . B [ 解析 ] 由题意,得 ? ? |BF2|+ |AF2|= 8 + |AF1|+ |BF1|= 8 + ?|BF2|-|BF1|=2a=4 ?

b2 |AB|,显然,AB 最短即为通径,|AB|min=2? =3,故(|BF2|+|AF2|)min=11. a 10.A [解析] 圆的标准方程为(x-3)2+y2=4,圆心为(3,0),半径 r=2,双曲线的一 b |3b| 条渐近线为 y= x,即 bx-ay=0.圆心到直线 bx-ay=0 的距离 d= 2 2=r=2,即 9b2 a a +b 4 4 9 9 3 5 =4(a2+b2),即 b2= a2,所以 c2=a2+b2=a2+ a2= a2,所以 e2= ,即 e= . 5 5 5 5 5 |PO| |OF1| → → 11. 3 [解析] 由GA=λPF1可知 GA∥PF1, 因为 G 是△PF1F2 的重心, 所以 =3= |GO| |OA| c = ,所以 e=3. a 5 x2 5 12. [解析] ∵ 2 -y2=1 的离心率等于 , 5 a 2 a2+1 5 ∴ 2 = ,∴a2=4. a 4 x2 ∵点 P 在双曲线 -y2=1 上,∴(|PF1|-|PF2|)2=16, 4 → → 2 2 即|PF1| +|PF2| -2|PF1||PF2|=16.又∵PF1?PF2=0,∴PF⊥PF2, ∴|F1F2|2-2|PF1||PF2|=16,解得|PF1||PF2|=2. 1 1 5 设 P 点到 x 轴的距离等于 d,则 |F1F2|?d= |PF1||PF2|.解得 d= . 2 2 5 x2 y2 13. + =1 [解析] 当点 P 为椭圆的短轴顶点时,△PF1F2 的面积最大,此时△PF1F2 25 9 1 x2 y2 的面积为 S= ?8?b=12,解得 b=3.又 a2=b2+c2=25,所以椭圆方程为 + =1. 2 25 9 p ? 14.y2=2 3x [解析] 设 A(x0,y0),则点 A 关于点 F? ?2,0?的对称点 B 的坐标为(p- p p p 3p ? x0,-y0),该点在抛物线的准线 x=- 上,所以 p-x0=- ,即 x0= ,此时 B? ?-2,-y0?. 2 2 2 p → → → → 2 ? 点 C? ?-2,y0?.所以BA=(2p,2y0),BC=(0,2y0),因为BA?BC=36,所以 4y0=36,解得 3 2 ? y0=3(舍去负值),此时点 A? ?2p,3?,代入抛物线方程,得 9=3p ,解得 p= 3,所以所求的 抛物线方程为 y2=2 3x. x2 y2 15.解:(1)设椭圆方程为 2 + 2=1,a>b>0, a b c 2 由 c= 2, = ,可得 a=2,b2=a2-c2=2, a 2 x2 y2 所以椭圆的标准方程为 + =1. 4 2 ?-x1=2x2, → → ? (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由AP=2PB得? ? ?1-y1=2(y2-1), 可得 x1=-2x2.① 设过点 P 的直线方程为 y=kx+1,代入椭圆方程,整理得 (2k2+1)x2+4kx-2=0, -2 4k 则 x1+x2=- 2 ,② x1x2= 2 ,③ 2k +1 2k +1 4k 1 由①②得 x2= 2 ,将 x1=-2x2 代入③得 x2 , 2= 2k +1 2k2+1 4k 2 1 1 所以?2k2+1? = 2 ,解得 k2= .

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