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山东省实验中学2013届高三(6月)第二次模拟考试数学(文)试题


山东省实验中学 2010 级第二次模拟考试

数学试题(文科)
第Ⅰ卷(选择题
一项是符合题目要求的.

2013.06

注意事项:本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,共 4 页。两卷合计 150 分,考试时间为 120 分钟。选择题答案填涂在答题卡上;填空题、解答题答在答题纸上.

r />
60 分)

一.选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

1. 已 知 集 合 A ? {1,3,5} , 集 合 B ? {2, a, b} , 若 A ? B ? {1,3} , 则 a ? b 的 值 是 ( )

A. 10
2 . 复 数 1? ( )

B. 9

C. 7

D. 4

1 (i 为 虚 数 单 位 ) 的 共 轭 复 数 在 复 平 面 上 对 应 的 点 的 坐 标 是 i3

A. (1,1)
3 ( . ) “

B. (1, ?1)

C. (?1,1)
” 是 “

D. (?1, ?1)
” 的

2 a ? 2b

log 2 a ? log 2 b

A. 充分不必要条件
C. 充要条件

B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
( )

m l 4. 直线 l, m 与平面 ? , ? , ? , 满足 l ? ? ? ? , // ? , ? ? , ? ? , 则必有 m
A. ? ? ? 且 l ? m B. ? ? ? 且 m // ? C. m // ? 且 l ? m

D. ? // ? 且

? ??
5. 在 等 比 数 列

?an ?





a5 ? a11 ? 3, a3 ? a13 ? 4,



a15 ? a5





A .3
6. (

B.

1 3

C .3 或

1 3

D . ?3 或 ?

1 3

已 知 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 . 则 该 几 何 体 的 体 积 是 )

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A.

2 3 3

B.

4 3

C.

8 3

D.4

7 . 以 点 (2,?2) 为 圆 心 并 且 与 圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 相 外 切 的 圆 的 方 程 是 ( )

A . ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 9

B . ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 9 D . ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 16

C . ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 16

?x ? 1 ? 8. 已 知 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则 ?? 2 x ? y ? 2 ? 0 ?
( )

x2 ? y2 的 最 小 值 为

A. 5

B.

2 5 5

C .1
? ? 3? , ?2 2 ? ? 内的图像是 ?
y
x
O -2 π 2 3π π 2

D.

5 2

9. 函数 y ? tan x ? sin x ? | tan x ? sin x | 在区间 ?
y
2
O

y

π 2

3π π 2

y
2

O

π 2

π 3π 2

x

O

x

π 2

π

3π 2

x

-2

A.

B.

C.

D.

??? 1 ??? ???? ? ? 10. P 是 ?ABC 内的一点, AP ? ( AB ? AC ) ,则 ?ABC 的面积与 ?ABP 的面积之比为 3
( )

A.3

B .6

C .2

D.

3 2

11. 在区间 [1,5] 和 [ 2,4] 分别取一个数,记为 a,b , 则方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上且离 a2 b2
圆 的 概 率 为

心 (

率 )





3 2





A.

1 2

B.

31 32

C.

17 32

D.

15 32

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12. 函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? a 的图象如图所示,则函数 g ( x) ? ln x ? f ?( x) 的零点所在的区间 是 ( )

1 1 A.( , ) 4 2

1 B . ( ,1) 2

C . (1,2)

D . (2,3)

第 II 卷(非选择题

90 分)
开始

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题中横线上. 13.已知 f (x) 是奇函数, g ( x) ? f ( x) ? 4 , g (1) ? 2 , 则 f (?1) 的 值是 . 输入 n

14.阅读右图程序框图. 若输入 n ? 5 , 则输出 k 的值为___________.

2? 15.在 ?ABC 中,若 b ? 1 , c ? 3 , ?C ? ,则 3

S ?ABC ? _______________.
16.设 f 1 ( x) ? cos x ,定义 f n?1 ( x) 为 f n (x) 的导数,即

k ?0
=3

f n ?1 ( x) ? f ' n ( x) , n ? N * ,若 ?ABC 的内角 A 满足
1 f1 ( A) ? f 2 ( A) ? ? ? f 2013 ( A) ? ,则 sin 2 A 的值是 3
.

n ? 3n ? 1
k=k+1 否

n ? 150 ?
是 输出 k

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? sin ? x ? cos ? x ? 3 cos 2 ? x ?

3 (? ? 0 ) ,直线 x ? x1 , 2

结束

x ? x 2 是 y ? f (x) 图象的任意两条对称轴,且 | x1 ? x 2 | 的最小值为
(1)求 f ( x) 的表达式; (2)将函数 f ( x) 的图象向右平移

?
4



? 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来 8
? ?? ? 2? ?

的 2 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y ? g ( x ) 的图象, 若关于 x 的方程 g ( x) ? k ? 0 , 在区间 ? 0, 上有解,求实数 k 的取值范围.

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18.(本小题满分 12 分)2013 年“五一”期间,高速公路车 辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进 服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名 驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速 ( km / t )分成六段: [60, 65), [65, 70), [70, 75),

[75,80), [80,85), [85,90) 后得到如图 5 的频率分布直方图.
(1)求这 40 辆小型车辆车速的众数及平均车速. (2)若从车速在 [60, 70) 的车辆中任抽取 2 辆,求车速在

[65, 70) 的车辆至少有一辆的概率.
19.(本小题满分 12 分)在如图所示的几何体中, 平面 ACE ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为平行四边形,

?ACB ? 90? , EF // BC , AC ? BC ? 2 , AE ? EC ? 1 .
(1)求证: AE ? 平面 BCEF ; (2)求三棱锥 D ? ACF 的体积. 20.(本小题满分 12 分)已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 对一切正整数 n ,点 Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? x ? 2 x 的图像上,且过点 Pn (n, S n ) 的切线
2

的斜率为 k n . (1)求数列 {a n } 的通项公式. (2)若 bn

? 2 kn a n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

21.( 本小题 13 分) 已知 椭圆 C :

x2 y2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的 离 心率 e ? , 且经过点 2 a b 2

3 A (?1,? ) . 2
(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)如果斜率为

1 的直线 EF 与椭圆交于两个不同的点 E、F ,试判断直线 AE、AF 的斜 2 1 2 x ? ax ? ?a ? 1? ln x. 2

率之和是否为定值,若是请求出此定值;若不是,请说明理由. 22.(本小题 13 分)已知函数 f ? x ? ?

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(1)若曲线 f ? x ? 在点 ?2, f ?2 ?? 处的切线与直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直,求 a 的值; (2)若 f ? x ? 在区间 (0,??) 单调递增,求 a 的取值范围; (3)若 ? 1 ? a ? 3 ,证明:对任意 x1 , x 2 ? ?0,?? ?, x1 ? x2 , 都有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 1 成立. x1 ? x2

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山东省实验中学 2010 级第二次模拟考试文科数学参考答案
一.选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的. 1. D 2. A 7. A 8. B

3. B 9. C

4. A 10. A

5. C 11. D

6. B 12. B

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题中横线上. 13.

2

14. 3

15.

3 4

16.

4 2 9

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、解: f ( x) ? sin ? x ? cos ? x ? 3 cos 2 ? x ?

3 1 cos 2?x ? 1 3 ? sin 2?x ? 3 ? 2 2 2 2

1 3 ? ? sin 2?x ? cos 2?x ? sin( 2?x ? ) ???????????? 4 分 2 2 3
(1) 直线 x ? x1 ,x ? x 2 是 y ? f (x) 图象的任意两条对称轴, | x1 ? x 2 | 的最小值为 且 ?

?
4



?

y ? f (x) 的最小正周期 T ?

? f ( x) ? sin(4 x ?

?
3

2? ? ? ,? ? ? 2. 2? 2

??????????7 分

). ????????????????????????8 分

( 2 ) 将 函 数 f ( x) 的 图 象 向 右 平 移

?
8

个 单 位 后 得 函 数 解 析 式 为

y ? sin[ 4( x ?

?
8

)?

?
3

] ? sin( 4 x ?

?
6

) ????????????????????9 分

再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数

y ? g ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ,?????????????????????????10 分 1 ? k ? [?1, ] .????????12 分 2

? ?? ? x ? ?0, ? ? 2?

1 ? g ( x) ? ?k ? [? ,1] , 2

18.解: (1)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 77.5 ????2 分 这 40 辆小型车辆的平均车速为:

2 ? 62.5 ? 4 ? 67.5 ? 8 ? 72.5 ? 12 ? 77.5 ? 10 ? 82.5 ? 4 ? 87.5 ? 77 ( km / t )??5 分 40
(2)从图中可知,车速在 [60, 65) 的车辆数为: m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆)????6 分 车速在 [65, 70) 的车辆数为: m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (辆)??????????7 分
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设车速在 [60, 65) 的车辆设为 a, b ,车速在

[65, 70) 的车辆设为 c, d , e, f ,则所有基本事件有:

(a, b), (a, c), (a, d ), (a, e), ( a, f ) (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ) (c, d ), (c, e), (c, f ) (d , e), (d , f ) (e, f )
分 其中车速在 [65, 70) 的车辆至少有一辆的事件有: 共 15 种????9

(a, c), (a, d ), (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ) (c, d ), (c, e), (c, f ), (d , e), (d , f ), (e, f )
所以,车速在 [65, 70) 的车辆至少有一辆的概率为 P ?

共 14 种 ???????11 分

14 . ???????????12 分 15 19. 解: (1)∵平面 ACE ? 平面 ABCD ,且平面 ACE ? 平面 ABCD ? AC ? BC ? AC BC ? 平面 BCEF ? BC ? 平面 AEC . ???????????2 分 ? BC ? AE ,??????????????????????3 分 AE ? 平面 AEC
又 AC ?

2 , AE ? EC ? 1

? AC 2 ? AE 2 ? CE 2

? AE ? EC

??????????????????4 分

且 BC ? EC ? C ,? AE ? 平面 ECBF.????????????????????6 分 ? EG ? AC ?????????7 (2)设 AC 的中点为 G ,连接 EG ,? AE ? CE 分 ∵平面 ACE ? 平面 ABCD ,且平面 ACE ? 平面 ABCD ? AC ,? EG ? 平面 ABCD ?8 分 ? BC ? EG ,?????? (法二:由(1)可知 BC ? 平面 AEC ,? EG ? 平面 AEC 7分 ? EG ? 平面 ABCD . ????????????????8 分 又 AC ? BC ? C ? EF // BC ,EF ? 平面 ABCD , 所以点 F 到平面 ABCD 的距离就等于点 E 到平面 ABCD ? 的 距 离 , 即 点 F 到 平 面 ABCD 长 ???????????????????9 分 的 距 离 为

EG



1 ?VD ? ACF ? VF ? ACD ? VE ? ACD ? S ?ACD ? EG 3

? S ?ACD ?

1 1 AC ? AD ? ? 2 ? 2 ? 1 2 2

EG ?

1 2 AC ? 2 2

????????11 分

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1 2 2 ? VD ? ACF ? ?1? ? 2 6 3

即三棱锥 D ? ACF 的体积为

2 . ??????12 分 6

20、解: (1)? 点 Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? x ? 2 x 的图像上,? S n ? n 2 ? 2n(n ? N * ) ,
2

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2n ? 1. 当n=1 时, a1 ? S1 ? 3 满足上式,所以数列 {a n } 的通项公式为 an ? 2n ? 1. ????5 分 (2)由 f ( x) ? x ? 2 x 求导可得 f ( x) ? 2 x ? 2
2


? 过点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n ,? kn ? 2n ? 2 .

? bn ? 2kn an=4 ? (2n ? 1) ? 4n . ? Tn ? 4 ? 3 ? 41 ? 4 ? 5 ? 42 ? 4 ? 7 ? 43 ? ? ? ?+4 ? 2n ? 1) ? 4 n ① (
由①×4,得 4Tn ? 4 ? 3 ? 42 ? 4 ? 5 ? 43 ? 4 ? 7 ? 4 4 ? ? ? ?+4 ? 2n ? 1) ? 4 n ?1 ② ( ①-②得: ?3Tn ? 4 ?3 ? 4 ? 2 ? 4 ? 4 ? ? ? ?+4

?

?

2

3

n

? -(2n ? 1) ? 4

n ?1

? ?

2 ? ? 4( ? 4 n ?1) 1 ? 4 ?3 ? 4 ? 2 ? -(2n ? 1) ? 4n ?1 ? 1? 4 ? ?

6n ? 1 n ? 2 16 ? 4 ? ?????????????????????????12 分 9 9 c 1 21、解: (1)由题意, e ? ? , a 2 ? Tn ?
? 3? ?? ? 2 3 (?1) 2 椭圆 C 经过点 A (?1,? ) ,? 2 ? ? 2 ? ? 1 , 2 a b
又 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 b 2 ? 3 , a 2 ? 4
2

所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 . ???????????????????????4 分 4 3 x2 y2 1 ?1 x ? m ,代入 ? 2 4 3

(2)设直线 EF 的方程为: y ?

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得 x 2 ? mx ? m 2 ? 3 ? 0 .????????????????????????5 分

? x1 ? x2 ? ?m ;????????????????8 分 ? ? m 2 ? 4(m 2 ? 3) ? 0 且 ? 2 ? x1 x2 ? m ? 3
设 A( x0 , y0 ) ,由题意, k AE ?

y ? y0 y1 ? y0 , k AF ? 2 ;??????????9 分 x1 ? x0 x2 ? x0

? k AE ? k AF ?
分子为: t 又 y1 ?

y1 ? x0 y2 ? x0 ( y1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y2 ? x0 )( x1 ? x0 ) ? ? x1 ? x0 x2 ? x0 ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 )

? y1 x2 ? y2 x1 ? x0 ( y1 ? y2 ) ? y0 ( x1 ? x2 ) ? 2 x0 y0

1 1 x1 ? m , y2 ? x2 ? m , 2 2

? t ? ( x1 ? x2 )( y1 ? y2 ) ? x1 y1 ? x2 y2 ? x0 ( y1 ? y2 ) ? y0 ( x1 ? x2 ) ? 2 x0 y0

? (m ? 2)( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? 2m ? 3
? (m ? 2)(?m) ? m 2 ? 3 ? 2m ? 3 ? 0

? k AE ? k AF ? 0 .???????????????????????????12 分
即,直线 AE、AF 的斜率之和是为定值 0 .?????????????????13 分 22、解:(1)? f / ( x) ? x ? a ?

a ?1 2 ,直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的斜率为 ? , x 3 3 所以,曲线 f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线斜率为 ,???????2 分 2 a ?1 3 即: f / (2) ? 2 ? a ? ? , ? a ? 2. ??????????4 分 2 2
/

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 (2)? f ( x) ? x ? a ? ? ( x ? 0) x x
由题意可知, f ( x) ? 0 在区间 (0,??) 上恒成立,
/

即 x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 在区间 (0,??) 上恒成立.??????????5 分

对于函数 g ( x) ? x ? ax ? a ? 1 ,对称轴为 x ?
2

a . 2

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?a ?a ? ?0 ?2 ? ?0 所以 ? 2 或? ,可解的: ? 1 ? a ? 0 或 0 ? a ? 2 ? 2 2 . a ? g (0) ? 0 ? g ( ) ? 0 ? ? 2 ?
所以 a 的取值范围为: [?1,2 ? 2 2 ] .????????????????????8 分 (3)构造函数 G ( x) ? f ( x) ? x ? 则 G ( x) ? x ? (a ? 1) ?
/

1 2 x ? (a ? 1) x ? (a ? 1) ln x , 2

a ? 1 x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 1 ????????????9 分 ? x x

对于函数 h( x) ? x ? (a ? 1) x ? a ? 1 ,
2

? ? (a ? 1) 2 ? 4(a ? 1) ? (a ? 1)(a ? 3) , ? G / ( x) ? 0 恒成立

? ? 1 ? a ? 3 , ? ? ? 0 恒成立,

? G (x) 在 (0,??) 单调递增,????????????????????11 分
从而对任意 x1 , x 2 ? ?0,?? ? , x1 ? x2 , 有 G ( x1 ) ? G ( x2 ) ,即 f ( x1 ) ? x1 ? f ( x2 ) ? x2 , 故

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?1; x1 ? x2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?1, x1 ? x2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 1 成立.?????13 分 x1 ? x2

同理,对任意 x1 , x 2 ? ?0,?? ? , x1 ? x2 , 也有 综上,对任意 x1 , x 2 ? ?0,?? ? , x1 ? x2 , 都有

【另解】原题等价于函数 f (x) 任意两点确定的割线斜率 k ? 1 ,即在任意一点处的切线斜率

k ?1
即证当 ? 1 ? a ? 3 时, f ( x) ? 1 , x ? (0,??) ,
/

f / ( x) ? x ? a ?
2

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ? ? 1 , ( x ? 0) x x

即: x ? (a ? 1) x ? a ? 1 ? 0

( x ? 0) ,????????????????11 分
2

因为 ? 1 ? a ? 3 ,所以函数 h( x) ? x ? (a ? 1) x ? a ? 1 的对称轴为 x ?

h( x) min ? (

a ?1 2 a ?1 ? (a ? 3)(a ? 1) ) ? (a ? 1) ? a ?1 ? ? 0 ????????13 分 2 2 4

a ?1 ? (0,2) , 2

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