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第二讲四边形的综合1


第二讲

以四边形为框架的综合问题(1)

例 1:最值问题: 已知,四边形 ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线 BD(不含 B 点)上任意 一点,连结 AM、CM. (1)当 M 点在何处时,AM+CM 的值最小; (2)当 M 点在何处时,AM+BM+CM 的值最小,并说明理由; (3)当 AM+BM+CM 的最小

值为 3 +1 时,求正方形的边长.

例 2:四边形中相似,一元二次方程与存在性问题

2、如图,点 O 为矩形 ABCD 的对称中心,AB=10cm,BC=12cm,点 E、F、G 分别从 A、B、C 三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点 E 的运动速度为 1cm/s,点 F 的运 动速度为 3cm/s,点 G 的运动速度为 1.5cm/s,当点 F 到达点 C(即点 F 与点 C 重合)时, 三个点随之停止运动. 在运动过程中, △EBF 关于直线 EF 的对称图形是△EB′F. 设点 E、 F、G 运动的时间为 t(单位:s) . (1)当 t= s 时,四边形 EBFB′为正方形; (2)若以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F,C,G 为顶点的三角形相似,求 t 的值; (3)是否存在实数 t,使得点 B′与点 O 重合?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说 明理由.

练习:1、在一个边长为 a(单位:cm)的正方形 ABCD 中,点 E、M 分别是线段 AC,CD 上

的动点,连结 DE 并延长交正方形的边于点 F,过点 M 作 MN⊥DF 于 H,交 AD 于 N. (1)如图 1,当点 M 与点 C 重合,求证:DF=MN; (2)如图 2,假设点 M 从点 C 出发,以 1cm/s 的速度沿 CD 向点 D 运动,点 E 同时从点 A 出发,以 2 cm/s 速度沿 AC 向点 C 运动,运动时间为 t(t>0) ; ①判断命题“当点 F 是边 AB 中点时,则点 M 是边 CD 的三等分点”的真假,并说明理由. ②连结 FM、FN,△MNF 能否为等腰三角形?若能,请写出 a,t 之间的关系;若不能,请 说明理由.

2、如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,AB=5.点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单 位长的速度向点 A 匀速运动,到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回;点 Q 从点 A 出发 沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动.伴随着 P、Q 的运动,DE 保持垂直平分 PQ,且交 PQ 于点 D,交折线 QB-BC-CP 于点 E.点 P、Q 同时出发,当点 Q 到达点 B 时停 止运动,点 P 也随之停止.设点 P、Q 运动的时间是 t 秒(t>0) . (1)当 t=2 时,AP= ,点 Q 到 AC 的距离是 ; (2)在点 P 从 C 向 A 运动的过程中,求△APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式; (不必写出 t 的取值范围) (3)在点 E 从 B 向 C 运动的过程中,四边形 QBED 能否成为直角梯形?若能,求 t 的值; 若不能,请说明理由; (4)当 DE 经过点 C 时,请直接写出 t 的值.


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