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江苏省南通市天星湖中学2017届高三数学寒假课堂练习专题3


专题 3-3 函数综合复习(3) :函数、导数、不等式交汇题型
【学习目标】 1.用导数研究函数的单调性和极值,会用列表的方法确定极大与极小值和单调区间,涉及 的多项式函数的次数一般不超过三次; 2.建模、构造目标函数,利用导数解决利润最大、用料最省等最值问题,体会导数在解决 实际问题中的作用. 【知识链接】 1.已知 f ( x) 为奇函数, g ( x) ? f ( x) ? 9,g (?2) ? 3 ,则 f (2) ? ________. 2.周长为 12cm 的矩形围成圆柱(无底) ,当圆柱的体积最大时,圆柱的底面周长与圆柱高 的比为________. 3.已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是 ________.

y

y ? g ?( x)

y y=f(x) y=g(x)

y y=f(x) y=g(x)

y ? f ?( x)

O

x0

x

O A y

x0

x

O

x0 B y

x

y=g(x) y=f(x)

y=g(x) y=f(x) x0

O

x0

x

O

x

D C x2 , 4. 【2015 四川】已知函数 f ( x) ? 2 x , g ( x) ? x2 ? ax (其中 a ? R ) .对于不相等的实数 x1, 设 m?
f ( x1 ) ? f ( x2 ) g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,n ? .现有如下命题: x1 ? x2 x1 ? x2

x2 ,都有 m ? 0 ; (1)对于任意不相等的实数 x1, x2 ,都有 n ? 0 ; (2)对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1, x2 ,使得 m ? n ; (3)对于任意的 a,存在不相等的实数 x1, x2 ,使得 m ? ?n . (4)对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,
1

其中的真命题有________(写出所有真命题的序号) . 【知识建构】 【探究点一 】函数图像的公切线问题 【例 1】已知曲线 s : f ( x) ? ax ? b sin x, 在x?
b 的值; (1)求 a,

? ? 处的切线方程为 y ? ? 3 . 3 3

(2)设 g ( x) ? x ? 2 ,直线 l : y1 ? g ( x),曲线 s : y2 ? f ( x), 证明:直线 l 与曲线 s 同时满 足下列两个条件: ①直线 l 与曲线 s 相切且至少有两个切点; ②对 ?x ? R , 都有 g ( x) ≥ f ( x) .

【探究点二】超越不等式的证明问题 【例 2】已知
f ( x) ? ax ? ln x , x ? ? 0, e? , g ( x) ?

ln x , a?R . x

(1)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的极小值; (2)在(1)的条件下证明: f ( x) ? g ( x) ?

1 ; 2

(3)是否存在实数 a 使 f ( x) 的最小值是 3?

2

【探究点三】不式恒成立问题 【例 3】设函数 f ( x) ?

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1 ,其中 a 为实数. 3 2

(1)已知函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值;
? ?) 都成立,求实数 x 的取值范围. (2)已知不等式 f ?( x) ? x2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0,

【探究点四】函数式中参数取值范围问题 【例 4】已知函数 f ( x) ? x3 ? (k 2 ? k ? 1) x2 ? 5x ? 2 , g ( x) ? k 2 x2 ? kx ? 1 ,其中 k ? R .设函
3) 上不单调 数 p( x) ? f ( x) ? g ( x) .若 p( x) 在区间 (0, ,求 k 的取值范围. ...

? g ( x),x ≥ 0, 【变式】设函数 q( x) ? ? 是否存在实数 k ,对任意给定的非零实数 x1 ,存在惟 ? f ( x), x ? 0.

一的非零实数 x 2 ( x2 ? x1 ) ,使得 q?( x2 ) ? q?( x1 ) 成立?若存在,求 k 的值;若不存在,请说 明理由.

3

【探究点五】函数图像交点个数、函数零点问题 【例 5】已知函数 f ( x) ? ? x2 ? 8x, g ( x) ? 6ln x ? m. 是否存在实数 m ,使得 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点?若存 在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

探究点六 以高等数学知识为背景的问题 【例 6】阅读以下两个定义:①若函数 f ( x) 在区间 D 上可导,即 f' ( x) 存在,且导函数 f' ( x) 在区间 D 上也可导, 则称函数 f ( x) 在区间 D 上存在二阶导数, 记作 f'' ( x ) , 即 f'' ( x ) = ( f' ( x))' ; ②若函数 f ( x) 在区间 D 上的二阶导数恒为正,即 f'' ( x) ? 0 恒为正,则称函数 f ( x) 在区间 D 上为下凸函数. 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? b 在 x ? 1 处取得极值.

1 (1)试判断 f ( x) ? x3 ? ax2 ? b 在 ( , ? ?) 上是否为下凸函数,说明理由; 2
x ?x 1 1 (2)求证:对于任意的 x1, x2 ? ( , ? ?) ,都有 f ( 1 2 ) ≤ ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? 成立. 2 2 2

4

【学习诊断】 1.设 a ? b ,函数 y ? ( x ? a)2 ( x ? b) 的图像可能是________.

y

y

y

y

O

a

b

x

O

a

b

x

O

a

b

x

O

a

b

x

( A)

( B)

( C)

(D)

2.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是________. 3.将 10 ? 16 的矩形的四个角各截去一个大小相同的小正方形,再将四边折起制成一个无盖 的长方体盒子, 则该盒最大体积是________. 【巩固练习】 1 .已知若存在 a ??1 , 3? ,使得不等式 ax2 ? (a ? 2) x ? 2 ? 0 成立,则实数 x 的取值范围是 ________.
?2 x ≥ 2, ? , 2.函数 f ( x) ? ? x 若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根,则实数 k 的取 ?( x ? 1)3,x ? 2. ?

值范围是________.

1 3.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx, 且 f' (?1) ? 0 . 3
(1)试用 a 表示 b ; (2)求 f ( x) 的单调区间;
x2 ( x1 ? x2 ) 处取得极值, f ( x1 )), N ( x2, f ( x2 )) , (3) 令 a ? ?1 , 设函数 f ( x) 在 x1, 记点 M ( x1,
N 的公共点. 证明:线段 MN 与曲线 f ( x) 存在异于 M,

4.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1 (a ? R ) . x

1 1 (1)当 a ≤ 时,讨论 f ( x) 的单调性; (2)设 g ( x) ? x 2 ? 2bx ? 4 ,当 a ? 时, 2 4
2) ,存在 x2 ? ?1 , 2? ,使 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围; ①若对任意 x1 ? (0,

5

x2 ? (1 , 2] ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ ? ②若对于任意 x1,

1 1 ,求 ? 的取值范围. ? x1 x2

6


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