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平面分空间


绍兴县鲁迅中学

郑建峰

引入:学生的问题:

4个平面最多可以把空间分成几个部分?

回到1,2,3个平面分空间:
1个平面把空间分成几部分? 2个平面把空间分成几部分?最多几部分? 3个平面把空间分成几部分?最多几部分?

1个平面分空间:

结论:1个平面把空间分成2个部分。

2个平面分空间有两种情况:
(1)两平面没有公共点时
(2)两平面有公共点时

结论:2个平面把空间分成3或4个部分。

3个平面 3个平面把空间分成4,6,7或8个部分。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

平面分空间最多部分列表,归纳如下: 分割元素的平面个数n 空间被平面分成部分an

1
2 3 4

2
4 8 ?

问题分析:1个平面增加到2个平面时 (1)其位置关系如何呢?
1)1个平面; 2)2个平面

位置关系:
2个平面相交。

问题分析:1个平面增加到2个平面时 (2) 1到2时增加了1个平面
1)1个平面; 2)2个平面

问题分析:2个平面增加到3个平面时 (1)其位置关系如何呢?
1)2个平面; 2)3个平面

位置关系:
2个平面相交。

位置关系:
任何3个平面, 不相交于同一条直线,

交线也不能相互平行。

问题分析:2个平面增加到3个平面时 (2) 2到3时增加了1个平面
1)2个平面; 2)3个平面

问题解决:3个平面增加到4个平面时 (1)其位置关系如何呢?

位置关系:
任何3个平面, 不相交于同一条直线, 交线也不能相互平行。

位置关系:
4个平面两两相交; 4个平面不共点; 4个平面的交线任两条都不平行。

问题解决:3个平面到4个平面时
(2) 3到4时增加了1个平面

问题一般化:n-1到n时
分割元素的平 面个数n
1 2

空间被平面分 成部分an
2 4 8 15 26 … an-1 an

平面被直线分 成部分bn
2 4 7 11 …
bn-1

3
4 5 … n-1 n

问题类比:2012初三加试第二题:
2.一个圆的直径两端标有1,
第一步:在两边每条弧的中点处标上两端之和,标数和记为S1 第二步:再在每条弧的中点处标上两端之和,标数和记为S2 如此继续……到第n步。 (1)求S2 , S3

(2)求Sn

3 1 3

2 3 1 3 2

问题拓展: 1.圆周上的n个点,最多可把圆周分成多少段弧? 答:n段弧。 2.平面上的n个圆,最多可把平面分成几部分? 答:n2-n+2. 3.球面上的n个圆,最多可把球面分成几部分? 答:n2-n+2.

空间想象(4个平面分空间): 有一部分有限。 无限部分是: 与四面体共一面的有四部分; 与四面体共一边的有六部分; 与四面体共一顶点的有四部分. 总的分割数是1+4+6+4=15,a4=15 。


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