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人教A版选修【2-2】1.7.3《定积分(习题课)》ppt课件


第一章

导数及其应用

1.7 定积分的简单应用 1.7.3 定积分(习题课)

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利用定积分的基本思想、定积分的概念、微积分基 本定理解决积分中的基本问题.
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基 础 梳 理

r />1.右图阴影部分的面积用定积分表示是 1 2 ? 0( x-x )dx ____________ .
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2.物体以速度 v=v(t)(v(t)≥0)做变速直线运动, 在 时 间 段 t∈[a , b] 上 行 驶 的 路 程 用 积 分 表 示 是
b ? s = v(t)d t a ________ .

自 测 自 评

1.一物体在变力 F(x)=1+2x 的作用下做直线运动, 物体由 x = 1 运动到 x = 2 时,变力 F(x) 所做的功是 ________.
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答案:4

自 测 自 评

2 2 ? 2.比较大小: ? 2 4 - x d x ____ 0 02dx.

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答案:<

自 测 自 评
3.用定积分表示曲线 y=x2 与 y=4-x2 所围成的图形的面积.

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答案:S= 或 S=

(4-x2-x2)dx=

(4-2x2)dx

(4-2x2)dx

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题型1

定积分在几何中的应用

2 ? ?x +1,0≤x≤1, 例1 曲线方程为 f(x)=? 求曲线及两坐标轴所 ? ?-x+3,x>1,

围成的图形的面积.

解析:作出图形(如右图),可知 S=S 曲边梯形+S 三角形 =? 10 1 2 3 . 0(x +1)dx+ ? 1(3-x)dx= 3

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点评:(1)求曲边形的面积、变速运动的路程、 力所做的功等均可用定积分来完成.
b (2)用定积分 ? a f(x)dx 计算时,关键是要找到满

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足 F′(x)=f(x)的函数 F(x),通常用求导公式和导 数的四则运算法则从反方向求出 F(x).

跟 踪 训 练

1. 抛物线 y=-x2+4x-3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的 切线所围成图形的面积为________.
解析:由 y′=-2x+4 得在点 A、B 处切线的斜率分别为 2 和-2,则两直线方程分别为 y=2x-2 和 y=-2x+6,
? ?y=2x-2, 由? 得两直线交点坐标为 C(2,2), ? ?y=-2x+6,

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所以 S=S△ABC- 1 = ×2×2- 2 2 答案: 3

(-x2+4x-3)dx

? 1 3 ?? 3 4 2 ?- x +2x2-3x??1 =2- = . 3 3 ? 3 ??

题型2

定积分在物理中的应用

例2 一列火车在平直的轨道上行驶,由于特殊情况,火车
55 以速度 v(t)=5-t+ (单位:m/s)紧急刹车至停止.求 1+t 紧急刹车后火车运行的路程.
55 解析:由 v(t)=5-t+ =0 得 t=10 或 t=-6(舍去). 1+t ∴s= ?
10 0 ?5-t+

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? ?

55 ? ? 1+t?dx

? ? 10 12 ? ?│0 =55ln 11(m). 5 t - t + 55ln ? 1 + t ? = 2 ? ?

跟 踪 训 练
2.物体 A 以速度 v=2t+1 在一直线上运动,在此直线上与 物体 A 出发的同时, 物体 B 在物体 A 的正前方 6 m 处以 v=6 m/s 的均匀速度与 A 同向运动,问两物体何时相遇?相遇时物体 A 走过的路程是多少(时间单位为 s,速度单位为 m/s)?
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解析: 设 A 追上 B 时, 所用的时间为 t0, 依题意有 sA=sB+6, 即
2 (2t+1)dx+6.整理得 t2 0+t0=6t0+6,即 t0-5t0-6=0.

解得 t0=6(s),所以 sA=t2 0+t0=42(m).

题型3

定积分在函数中的应用

例3 在曲线 y=x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以
1 及 x 轴所围成的面积为 ,试求:切点 A 的坐标以及在切点 A 12 处的切线方程.

解析:如图,设切点 A(x0,y0),

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由 y′=2x,过点 A 的切线方程为 y-y0 =2x0(x-x0),即 y=2x0x-x2 0),令 y=0,得
?x0 ? x0 x= ,即 C? 2 ,0?, 2 ? ?
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设由曲线和过点 A 的切线与 x 轴围成图 形的面积为 S,则 S=S 曲边△AOB-S△ABC,

因为 S 曲边△AOB=

x dx=

2

1 3 = x0, S△ABC 3
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x0? 2 1 3 1 1? = |BC|· |AB|= ?x0- 2 ?x0= x0. 2 2? 4 ? 1 3 1 3 1 3 1 所以 S= x0- x0= x0= .所以 x0=1, 3 4 12 12 从而切点为 A(1,1),切线方程为 2x-y-1=0.

跟 踪 训 练
3.抛物线 y=ax2+bx 在第一象限内与直线 x+y=4 相 切.此抛物线与 x 轴所围成的图形的面积记为 S.求使 S 达到 最大值的 a,b 值,并求 Smax.
解析:依题设可知抛物线为凸形,它与 x 轴的交点的横 b 坐标分别为 x1=0,x2=-a,所以 S= 1 3 (ax +bx)dx= 2b .① 6a
2

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又直线 x+y=4 与抛物线 y=ax2+bx 相切,即它们有 唯一的公共点,

跟 踪 训 练
? ?x+y=4, 由方程组? 得 2 ? ?y=ax +bx

ax2+(b+1)x-4=0,其判别式为 0,即 (b+1) +16a=0. 1 于是 a=- (b+1)2,代入①式得: 16 128b2?3-b? 256b3 S(b)= (b>0),S′(b)= . 6?b+1?4 3?b+1?5
2

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跟 踪 训 练

令 S′(b)=0,当 b>0 时得唯一极值点 b=3,且当 0<b<3 时,S′(b)>0;当 b>3 时,S′(b)<0.故 当 b=3 时,S(b)取得极大值,也是最大值,即 a=-1, 9 b=3 时,S 取得最大值,且 Smax= . 2
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