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10.5总体样本和抽样方法


10.5 总体、样本和抽样方法

?我们如何知道灯管的使用寿命?

?我们如何知道我国初一年级全体学生的身高
和体重?

?我们如何估计湖中有多少条鱼?

电灯泡厂要检查一批灯泡的使用期限,其方法是给 灯泡连续通电,直到灯泡不亮为止。显然,工厂不能这 样一一检查每个灯泡,而只能从中抽取一部分灯泡(比 如80个)进行检查,然后用这部分灯泡的使用期限,去 估计这批灯泡的使用期限。

我们把这批灯泡中每个灯泡的使用期 限的全体看成是总体。 其中每一个灯泡的使用期限就是个体;

被抽取进行检查的80个灯泡的每个灯泡 的使用期限的集体,就叫做总体的一个样 本。

一、总体和样本
要考察的对象的某一项指标值的全体叫做总体; 构成总体的每一个指标值叫做个体;

从总体中被抽取的若干个体的集体叫做总体的一个 样本;
样本中个体的数目叫做样本容量。 总体和样本是相对而言的. 样本的特性反映了总体的相应特性。

例1 要了解某城市12岁男孩的身高状况,从这个城市
中随机选取了120名12岁男孩测量出他们的身高。请 指出其中的总体、个体、样本和样本容量。
解: 总体是

该城市所以12岁男孩的身高



每个12岁男孩的身高 是个体; 从中抽取的 120名12岁男孩的身高的集体 是总体的一个 样本, 样本容量是 120 。
表述方法: 总体:要考察对象的某一项指标值的全体; 个体:每一个考察对象的某一项指标值; 样本:抽取的考察对象的某一项指标值的集体; 样本容量:抽取的考察对象的某一项指标值的个数 。

想一想:为什么需要用样本的特性去估计总体的相 应特性? 答:因为在工农业生产和科学研究等领域里,将

研究对象全体进行鉴定是不可能的。
第一,在许多情况下,总体包含的个体数很多; 第二,有时从总体中抽取个体是破坏性的试验。 在这种情况下,不允许逐个抽取,并且抽取 的数量不可能太多,而样本是总体的一部分,它 的特性在某种程度上能反映总体的特性,所以需 要用样本的特性去估计总体的相应特性。

1、什么叫普查?
为一特定目的而对所有调查对象所作的全面调查叫普查。 普查一般是调查属于一定时点上的社会经济现象的总量,但 也可以调查某些时期现象的总量,乃至调查一些并非总量的 指标。如一个国家或者一个地区为详细调查某项重要的国情、 国力,专门组织的一次性大规模的全面调查,其主要用来调 查不能够或不适宜用定期全面的调查报表来收集的资料,来 搞清重要的国情、国力。

2、什么叫抽样调查?
按照一定的方法从调查对象中抽取一部分,进行调查或 观测,获取数据,并以此对调查对象的某项指标做出推断, 这种调查方式称为抽样调查。

“普查”与“抽样”的优劣对比
方式
优点 得到的信息全 面、系统 迅速;及时; 节约人力、物力、 财力

缺点
工作量大,时间长, 耗人力、物力、财力

普查

抽样

获得的信息不够全面、 系统

议一议

同学们觉得在什么时候用普查方式较好?什么 时候用抽样调查方式较好呢? (1)当调查的对象个数较少,调查容易进行时,我们一般采
用普查的方式进行。
(2)当调查的结果对调查对象具有破坏性时,或者会产生一 定的危害性时,或不大经济可行我们通常采用抽样调查的方式

进行调查。
(3)当调查对象的个数较多,调查不易进行时,我们常采用 抽样调查的方式进行调查。

联系生活

在高考阅卷过程中,为了统计每一道试题 的得分情况,如平均得分、得分分布情况等, 如果将所有考生的每题的得分情况都统计出 来,再进行计算,结果是非常准确的,但也 是十分烦琐的,那么如何了解各题的得分情 况呢?
通常,在考生有这么多的情况下,我们只从中抽 取部分考生 (比如说1000名) ,统计他们的得分情况, 用他们的得分情况去估计所有考生的得分情况。

估计 首要问题:样本一定能准确地反应总体吗? 样本 总体

在1936年美国总统选举前,一份颇有名气的杂志 的工作人员做了一次民意测验,调查兰顿 和罗斯福中 谁将当选下一届总统。为了了解公众意向,调查者通 过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了调查 表(在1936年电话和汽车只有少数富人拥有),通过 分析收回的调查表,显示兰顿非常受欢迎。于是此杂 志预测兰顿将在选举中获胜。 实际选举结果正好相反,最后罗斯福在选举中获胜。 其数据如下:

候选人 Landon
Roosevelt

预测结果 (%) 57
43

选举结果 (%) 38
62

思 考
问题一:对一个确定的总体其样本唯一吗? 问题二:如何科学地抽取样本?怎样使抽取 的样本充分地反映总体的情况?

合理、公平

二、简单随机抽样
设一个总体含有N个个体 ,从中逐个不放 回地抽取n个个体作为样本 (n≤N),如果每次抽 取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 这种抽样方法叫做简单随机抽样。 1、抽签法(抓阄法) 2、随机数法
注意以下四点: (1)总体的个体数有限;

(2)样本的抽取是逐个进行的,每次只抽取一个个体;
(3)抽取的样本不放回,样本中无重复个体;

(4)每个个体被抽到的机会都相等,抽样具有公平性.

例3 为了了解我们班50名同学的视力情况,从 中抽取10名同学进行视力检查。

抽签决定

开始 50名同学从1到50编号

抽 签 法

制作1到50个号签 将50个号签搅拌均匀

从中每次随机抽出1个签,连续抽10次
对号码一致的学生检查

结束

抽签法的一般步骤:
(总体个数N,样本容量n)
(1)将总体中的N个个体编号;
(2)将这N个号码写在形状、 大小相 同的号签上; (3)将号签放在同一箱中,并 搅拌均匀; (4)从箱中每次抽出1个号签, 连续抽出n次; (5)将总体中与抽到的号签编 号一致的n个个体取出。 开始 开始

编号 50名同学从 1到50编号
制签 制作1到 50个号签 搅匀 将50个号签搅拌均匀

抽签 10个签 随机从中抽出
取出个体 对对应号码的学生检查

结束 结束

思考:抽签法所产生的样本为何是具有代表性的? 摇匀使得每一个体被抽到的机会是相等的 思考:你认为抽签法有哪些优点和缺点? 优点:简单易行,当总体个数不多的时候搅拌均匀很 容易,个体有均等的机会被抽中,从而能保证样本的 代表性.

缺点:当总体个数较多时很难搅拌均匀,产生的样本 代表性差的可能性很大.

随机数表:
从0,1,2,?,9十个数中每次 随机抽取一个数,依次排列成一 个数表称为随机数表,每个数每 次被抽取的概率是多少?

随 机 数 表 法

1 10

随 机 数 表

例4 假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是 否达标,现从800袋牛奶中抽取10袋进行检验,利用随 机数表抽取样本时应如何操作? 解: 1、将800袋牛奶编号,000,001,?,799 2、在随机数表中任选一个数作为起始数(例如 选出第7行第8列的数8为起始数). 3、从8开始往右读(方向随意),得到第一个三位 数823>编号799,舍弃;继续向右读,得到989>编 号799,舍弃;继续向右读,得到335<编号799,取 出;如此继续下去,直至抽出10个号:
335,088,699,297,629,334,631,452,325,207

能从本例体会下,从000开始编号的好处吗?

思考:如果从100个个体中抽取一个容量为10的样本,你 认为应该对这100个个体怎样进行编号?
00,?,99 思考:一般地,利用随机数表法从含有N个个体的总体中 抽取一个容量为n的样本,其抽样步骤如何? 第一步,将总体中的所有个体编号. 第二步,在随机数表中任选一个数作为起始数. 第三步,从选定的数开始依次向右(向左、向上、向 下)读,将编号范围内的数取出,编号范围外的数去 掉,直到取满n个号码为止。 第四步,在总体中抽取与上述号码对应的n个个体.

步 骤: 编号、选数、取号、抽取.

练习
1.中央电视台要从春节联欢晚会的60名热心 观众中随机抽出4名幸运观众,试用抽签法为 其设计产生这4名幸运观众的过程. 2.欲从本班43名学生中随机抽取8名学生参 加金牛湖龙舟比赛,试用随机表法确定这8名学生. 评点:抽签法—编号、制签、搅拌、抽取,关键 是“搅拌”后的随机性; 随机数表法—编号、选数、取号、抽取,其中取 号位置与方向具有任意性.

1.“从20个零件中一次性抽取3个进行质量检测” 是不是采用了简单随机抽样? 提示:不是简单随机抽样,因为一次性抽取3个不 是逐个抽取,不符合简单随机抽样的概念.

2.“从大连、青岛、上海、广东近海分别取一杯海水,
检测海水污染情况”,这是用简单随机抽样抽取样本 吗?

提示:不是简单随机抽样,因为海水可看作是一个无
限的总体,不符合简单随机抽样的概念.

3.当总体个数为1 000个,则用随机数表法抽样时,
如何编号? 提示:编号为000,001,?,999,保证数字编号位 数相同,以利于快捷、方便选取样本.

4.有同学认为:“随机数表只有一张,并且读数时只能
按照从左向右的顺序读取,否则产生的随机样本就不同 了,对总体的估计就不准确了”,你认为正确吗? 提示:不正确.随机数表的产生是随机的,读数的顺序也 是随机的,可以按“从左到右”的顺序,也可以按“向

左,再向上,向右, 再向右,向下?”的随机顺序,虽
得到不同的样本,但不同的样本对总体的估计相差不大.

小结
1.简单随机抽样的概念
一般地,设一个总体的个体数为N,如果通过逐个抽 取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽 到的机会都相等,就称这样的抽样为简单随机抽样。 样本中个体的个数n称为样本容量

2.简单随机抽样操作办法: 抽签法 随机数表法

注:随机抽样并不是随意或随便抽取,因为随意或随便
抽取都会带有主观或客观的影响因素.

用抽签法抽取样本的步骤:
简记为:编号;制签;搅匀;抽签;取个体。

用随机数表法抽取样本的步骤:

简记为:编号;选数;读数;取个体。

知识回顾
抽签法 和____________. 随机数表法 1、简单随机抽样包括________ 2、在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性是 ( C )。 A.与第几次抽样有关,第一次抽的可能性最大 B.与第几次抽样有关,第一次抽的可能性最小 C.与第几次抽样无关,每次抽到的可能性相等 D.与第几次抽样无关,与抽取几个样本无关

三、系统抽样、分层抽样
思考1:某中学高一年级有12个班,每班50人, 为了了解高一年级学生对老师教学的意见,教务 处打算从年级600名学生中抽取60名进行问卷调 查,那么年级每个同学被抽到的概率是多少? 思考2:你能用简单随机抽样对上述问题进行抽样 吗?具体如何操作?抽取的样本会出现什么现象?

系统抽样:
当总体的个体数较多时,采用简单随机抽样太麻

烦,这时将总体平均分成几个部分,然后按照预先定
出的规则,从每个部分中抽取一个个体,得到所需的

样本,这样的抽样方法称为系统抽样(机械抽样或等
距抽样)。

第一步,将这600件产品编号为1,2,3,?,600.

第二步,将总体平均分成60部分,每一部分含10个个体 .
第三步,在第1部分中用简单随机抽样抽取一个号码 (如8号). 第四步,从该号码起,每隔10个号码取一个号码,就得 到一个容量为60的样本. (如8,18,28,?,598)

系统抽样的特点:
(1)用系统抽样抽取样本时,每个个体被抽到 n 的可能性是相等的, 个体被抽取的概率等于 N (2)系统抽样适用于总体中个体数较多,抽取 样本容量也较大时; (3)系统抽样是不放回抽样。

系统抽样的操作步骤 思考1:用系统抽样从总体中抽取样本时,首先要做的 工作是什么? 将总体中的所有个体编号.

思考2:如果用系统抽样从605件产品中抽取60件进行
质量检查,由于605件产品不能均衡分成60部分,对此 应如何处理? 先从总体中随机剔除5个个体,再均衡分成60部分.

思考3:用系统抽样从含有N个个体的总体中抽取一个 容量为n的样本,要平均分成多少段,每段各有多少 个号码? 思考4:如果N不能被n整除怎么办? 从总体中随机剔除N除以n的余数r个个体后再分段. 思考5:将含有N个个体的总体平均分成n段,每段 的号码个数称为分段间隔,那么分段间隔k的值如 何确定? 总体中的个体数N除以样本容量n所得的商.

N ?r k? n

思考6:用系统抽样抽取样本时,每段各取一个号码, 其中第1段的个体编号怎样抽取?以后各段的个体编号 怎样抽取? 用简单随机抽样抽取第1段的个体编号.在抽取第1

段的号码之前,自定义规则确定以后各段的个体编号,
通常是将第1段抽取的号码依次累加间隔k.

系统抽样的步骤:
(1)编号:将总体的N个个体编号;
(2)分段:将整个编号按顺序平均分成段, 当N除以n的余数为r时,从总体中剔除r个个体,将 剩下的N-r个个体重新编号。 (3)定规:第一段中随机确定起始的个体编号m;然 后按照逐次加k的原则确定后续要抽的编号。 N 当N被n整除时,取 k ? ; n N ?r 当N除以n的余数为r时,取 k ? 。 n (4)抽样:将编号为 m, m ? k , m ? 2k ,..., m ? (n ? 1)k 的 个体抽出。

例5 某中学有高一学生402名,为了了解学生的身体状 况,要抽取一个容量为40的样本,用系统抽样法如何抽 样? 解: 第一步,随机剔除2名学生,把余下的402名学生 编号为1,2,3,?400. 第二步,把总体分成40段.

第三步,在第1段10个编号中用抽签法确定起始编号 m.确定k的值,k=400/40=10.
第四步,从该号码起,每间隔10个号码抽取1个号码, 就可得到一个容量为40的样本. m,m+10,m+20,m+30, … ,m+390

练习:

1、某工厂生产产品,用传送带将产品送放下一道工序, 质检人员每隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验, 则这种抽样方法是( )。 C A.抽签法 B.随机数表法

C.系统抽样

D.其他

2、采用系统抽样的方法,从个体数为1003的总体中抽 取一个容量50的样本,则在抽样过程中,被剔除的个 体数为( ),抽样间隔为( )。 3 20

3、用系统抽样的方法从个体数为1003的总体中抽取一个容 量为50的样本,在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性 为( ) A、1/1000 B、1/1003 C、50/1003 D、50/1000

C

4、从N个编号中抽取n个号码入样,用系统的方法抽样,则 抽样的间隔为( ) A、N/n B、n C、[N/n] D、[N/n]+1 说明:[N/n]表示N/n的整数部分。

C

5、从已编号为1-50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随 机抽取5枚来进行发射实验,若采用每部分选取的号码间隔 一样的系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编号可能为( ) A、5,10,15,20,25 B、3,13,23,33,43 C、1,2,3,4,5 D、2,4,6,16,32

B

小结

1.系统抽样也是等概率抽样,即每个 个体被抽到的概率是相等的,从而保 证了抽样的公平性. 2.系统抽样适合于总体的个体数较多的 情形,操作上分四个步骤进行,除了剔 除余数个体和确定起始号需要随机抽样 外,其余样本号码由事先定下的规则自 动生成,从而使得系统抽样操作简单、 方便.

两种抽样方法比较
抽签法

抽样 简单随 方法 机抽样 随机数表法

系统抽样

共同 (1)抽样过程中每个个体被抽到的概率相等; 点 (2)都要先编号 各自 从总体中逐一抽取 先均分,再按事先确定的 特点 规则在各部分抽取 相互 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 联系 适用 总体中的个体数较少 总体中的个体数较多 范围

分层抽样
当已知总体由差异明显的几部分组成时, 为了使样本更客观地反映总体的情况,常将总 体分成几个部分,然后按照各部分所占的比例 进行抽样,这种抽样叫做“分层抽样”,其中 所分成的各部分叫做“层”。

例6 某单位500名职工中,血型为O,A,B,AB型 的人分别为200,125,125,50.为了研究职工健康教 育的内容,要抽取一个容量为40的样本进行访谈, 应如何抽样? 解 第一步 分层。按血型将总体分层4个部分。 第二步 计算各层的个体数与总体个数的比。 第三步 计算各层应抽取的样本数量。

4.三种抽样方法的比较

练习题:
1. 一批灯泡400只,其中20 W、40 W、60 W的数目之

比为4∶3∶1,现用分层抽样的方法产生一个容量为
20、15、5 40的样本,三种灯泡依次抽取的个数为____________.

2.从总体为.的一批零件中用分层抽样抽取一个容量为
30的样本,若每个零件被抽取的机率为0.25,则N等 于(

C)
B.200 C.120 D.100

A.150

3.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品数

量之比依次为2:3:5,现用分层抽样的方法抽出一个
容量为n的样本,样本中A种型号产品有16件,那么此 样本的容量n= 80 。

4.某校有老师200人,男学生1200人,女学生1000人,现 用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样 本,已知从女学生中抽取的人数为80人,则n= 192 .

5. 在下列问题中,各采用什么抽样方法抽取样本 较合适?

(1)从20台电脑中抽取4台进行质量检测;

简单抽样
(2)从2004名同学中,抽取一个容量为20的样本

系统抽样
(3)某中学有180名教工,其中业务人员136名, 管理人员20名,后勤人员24名,从中抽取一个 容量为15的样本。

分层抽样


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