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上海市长宁区2013—2014学年第一学期高三教学质量检测数学试卷(文科)


上海市长宁区 2013—2014 学年第一学期高三教学质量检测 数学试卷(文科)
考生注意:本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.解答必须写在答题纸上 的规定区域,写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸的相应编号的空格内填 写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分.<

br />1、设 f ?x ? 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ?x? ? 2 x 2 ? x ,则 f ?1? ? 2、已知复数 z ? 2 ? 4i , w ? 3、已知函数 f ( x) ?

z ?1 ,则 w ? ( z ? 1)2



x ?5 的图像关于直线 y ? x 对称,则 m ? 2x ? m x ?1 |? 1 ,命题 q : x 2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实 4、已知命题 p :| 1 ? 2
数 m 的范围是 5、数列 ?an ? 满足 .

1 1 1 a1 ? 2 a 2 ? ... ? n a n ? 2n ? 5, n ? N * ,则 an ? 2 2 2

.

6 、 一 平 面 截 一 球 得 到 直 径 是 6cm 的 圆 面 , 球 心 到 这 个 平 面 的 距 离 是 4cm , 则 该 球 的 体 积 是 . 7、设ω >0,若函数 f(x)=2sinω x 在[-

? ?

, ]上单调递增,则ω 的取值范围是_________. 3 4
. .

8、不透明的袋子中装有除颜色不同其它完全一样的黑、白小球共 10 只,从中任意摸出一只小球得到是黑 球的概率为 9、若 ( x ?

2 .则从中任意摸出 2 只小球,至少得到一只白球的概率为 5

2 n ) 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是 x2

2 2 10、 函数 f(x)=- x ? ax ? b ? b ? 1(a, b ? R) 对任意实数 x 有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成立, 若当 x ? [?1,1] 时

f ( x) ? 0 恒成立,则 b 的取值范围是_________.
11、在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a ,b,c.若 a ? b ? 3bc ,sin C ? 2 3 sin B ,则角 A
2 2

. = _________
12、已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7, a , b ,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数

. 为 10.5,若要使该总体的方差最小,则 ab ? _______
13、已知数列 ?an ?, ?bn ?都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 ,b1 ,且 a1 ? b1 ? 5,

a1 , b1 ? N , 设

cn ? abn (n ? N ), 则数列 ?cn ? 的前 10 项和等于______.
14、设 a 为非零实数,偶函数 f ( x) ? x ? a | x ? m | ?1 (x?R)在区间(2,3)上存在唯一零点,则实数 a 的取
2

值范围是

.

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得 5 分,否则一律得零分.
15、下列命题中,错误的是 .. A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交 B.平行于同一平面的两个不同平面平行 ( )

C.如果平面 ? 不垂直平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ?

x ? 3 ? 1 的解集为 P ,且 ?2 ? P ,则 a 的取值范围是 ( ) x?a A . a ? ?3 B . ?3 ? a ? 2 D . a ? 2 或 a ? ?3 C . a ? 2 或 a ? ?3 ??? ??? ? ? ??? ??? ???? ? ? ??? ? 3 17、 已知△ABC 为等边三角形, AB =2 ,设点 P,Q 满足 AP=? AB , AQ=(1 ? ? ) AC , ? ? R ,若 BQ ? CP = ? , 2 则?= ( )
16、已知 a ? R ,不等式 A.

D.若直线 l 不平行平面 ? ,则在平面 ? 内不存在与 l 平行的直线

1 2
x

B.

1? 2 2

C.

1 ? 10 2

D.

?3 ? 2 2 2

18、函数 y ? 2 的定义域为 [ a, b] ,值域为 [1,16] , a 变动时,方程 b ? g (a) 表示的图形可 以是 b 4 -4 O a -4 O 4 a -4 O b 4 a -4 O b b 4 a ( )

A.

B.

C.

D.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的相应编号规 定区域内写出必须的步骤. 19.(本题满分 12 分,其中(1)小题满分 6 分, (2)小题满分 6 分) 如图, 正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长都相等, E 分别是 AB M、
和 AB1 的中点,点 F 在 BC 上且满足 BF∶FC=1∶3. (1)求证:BB1∥平面 EFM; (2)求四面体 M ? BEF 的体积。

20.(本题满分 14 分,其中(1)小题满分 6 分, (2)小题满 分 8 分)
在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 tan A ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

1 ,求 tan C 的值。 2

21.(本题满分 14 分,其中(1)小题满分 7 分, (2)小题满分 7 分) 上海某化学试剂厂以 x 千克/小时的速度生产某种产品 (生产条件要求 1 ? x ? 10 ) 为了保证产品的质 , 3 量,需要一边生产一边运输,这样按照目前的市场价格,每小时可获得利润是 100(5 x ? 1 ? ) 元. x
(1)要使生产运输该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产运输 900 千克该产品获得的利润最大,问:该工厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.

22、 (本题满分 16 分,其中(1)小题满分 4 分, (2)小题满分 6 分, (3)小题满分 6 分) 1 a?x 已知函数 f ( x) ? ? log 2 为奇函数. x 1? x (1)求常数 a 的值;
(2)判断函数的单调性,并说明理由; (3)函数 g (x) 的图象由函数 f (x) 的图象先向右平移 2 个单位,再向上平移 2 个单位得到,写出 g (x) 的 一个对称中心,若 g (b) ? 1 ,求 g (4 ? b) 的值。

23、 (本题满分 18 分,其中(1)小题满分 4 分, (2)小题满分 6 分, (3)小题满分 8 分)
设二次函数 f ( x) ? (k ? 4) x ? kx
2

(k ? R) ,对任意实数 x ,有 f ( x) ? 6 x ? 2 恒成立;数列 {an } 满

足 an?1 ? f (an ) . (1)求函数 f (x) 的解析式和值域; (2)证明:当 a n ? (0, ) 时,数列 {an } 在该区间上是递增数列; (3)已知 a1 ?

1 2

1 ? ,是否存在非零整数 ? ,使得对任意 n ? N ,都有 3 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? n ?1 n 求 log3 ? ?1? 1??1 n ? n 2 ? 1 ? ? log3 ? 1 ? ? ??? ? log3 ? 1 ? ? ?? 1 ? (?2) ?2?log3log3 2 恒成立,若存在, 1 ? ? a1 ? ? ? a2 ? ? ? an ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

之;若不存在,说明理由.

上海市长宁区 2013—2014 第一学期高三数学期终抽测试卷答案
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分)
1、 ? 3 2、

5 17 13 15
2

3、 ? 1

4、 (2,??)

5、 ?

? 14, n ? 1 n ?1 ?2 , n ? 2.

6、

500? (cm ) 3 3

7、 (0, ] 11、

? 6

3 2

8、

9、 180 13、 85

10、 (??,?1) ? (2,??) 14、 ( ?

12、 10.5

10 5 ,? ) 3 2

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分)
15、D 16、D 17、A 18、B

三、解答题
19、解析:(1)证明:连结 EM、MF,∵M、E 分别是正三棱柱的棱 AB 和 AB1 的中点, ∴BB1∥ME, 又BB1 ? 平面EFM,∴BB1∥平面EFM. …………3分 …………6分

(2)正三棱柱中 B1 B ? 底面ABC ,由(1) BB1 // ME ,所以 ME ? 平面MBF , …………8 分 根据条件得出 BF ? 1, BM ? 2, ?MBF ? 600 ,所以 S ?BMF ?

3 ,…………10 分 2

又 EM ? 2 ,因此 VM ? BEF ? VE ? MBF ?

1 3 。 …………12 分 S ?BMF ? EM ? 3 3

20、(1)∵ AB ? AC ? 3BA? BC ,∴ AB ?AC ?cos A=3BA?BC ?cos B , 即 AC ?cos A=3BC ?cos B . 由正弦定理,得 …………2 分

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

AC BC cos ,∴ sin B?cos A=3sin A? B . …………4 分 = sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A > 0,cos B > 0 .∴ 即 tan B ? 3tan A . =3? cos B cos A
…………6 分

? tan A ?
(2) 因此

1 3 tan B ? 2 ,由(1)得 2 ,…………8 分

tanC ? tan[ ? ( A ? B)] ? ? t a nA ? B) …………10 分 ? (

1 3 ? tan A ? tan B 2 2 ? ?8 ? ?? 1 3 1 ? tan A tan B 1? ? 2 2 = …………14 分

21、解:(1)根据题意,

…………4分 3 3 200(5 x ? 1 ? ) ? 3000 ? 5 x ? 14 ? ? 0 x x …………6分 …………7分

又 1 ? x ? 10 ,可解得 3 ? x ? 10 因此,所求 x 的取值范围是 [3,10]. (2)设利润为 y 元,则

y?

900 3 1 1 61 …………11分 ?100(5 x ? 1 ? ) ? 9 ?104 [?3( ? ) 2 ? ] x x x 6 12
…………13分

故 x ? 6 时, y

max

? 457500 元.

因此该工厂应该以每小时 6 千克的速度生产才能获得最大利润,最大利润为 457500 元。 …………14 分 22、解: (1)因为函数为奇函数,所以定义域关于原点对称,由

a?x ? 0 ,得 1? x

( x ? 1)(x ? a) ? 0 ,所以 a ? 1 。
这时

…………2分

f ( x) ?

1 1 ? x 满足 f (? x) ? ? f ( x) ,函数为奇函数,因此 a ? 1. ? log 2 x 1? x
…………4分

(2)函数为单调递减函数. f ( x) ? 法一:用单调性定义证明;

1 2 ? log 2 (?1 ? ) x x ?1

法二:利用已有函数的单调性加以说明。

? ?1 ?

2 2 1 ) 单调递增,又 在 (?1,0) 及 (0,1) 上单调递 在 x ? (?1,1) 上单调递增,因此 log 2 ( ?1 ? x ?1 x ?1 x

减,因此函数 f (x) 在 (?1,0) 及 (0,1) 上单调递减; 法三: 函数定义域为 (?1,0) ? (0,1) , 说明函数在 (0,1) 上单调递减, 因为函数为奇函数, 因此函数在 (?1,0) 上也是单调递减,因此函数 f (x) 在 (?1,0) 及 (0,1) 上单调递减。 …………10分 (本题根据具体情况对照给分) (3)因为函数 f (x) 为奇函数,因此其图像关于坐标原点(0,0)对称,根据条件得到函数 g (x) 的一个对 称中心为 ( 2,2) , …………13分

因此有 g (4 ? x) ? g ( x) ? 4 ,因为 g (b) ? 1 ,因此 g (4 ? b) ? 3. …………16分

23、解:解析: (1)由 f ( x) ? 6 x ? 2 恒成立等价于 (k ? 4) x 2 ? (k ? 6) x ? 2 ? 0 恒成立, 从而得: ?

?k ? 4 ? 0 ?(k ? 6) ? 8(k ? 4) ? 0
2

,化简得 ?

?k ? 4
2 ?(k ? 2) ? 0

,从而得 k ? 2 ,所以 f ( x) ? ?2 x 2 ? 2 x , …………3分

其值域为

1 . (?? , ] 2

…………4分

(2)解:

1 1 2 a n ?1 ? a n ? f (a n ) ? a n ? ?2a n ? 2a n ? a n ? ?2(a n ? ) 2 ? 4 8
…………6 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a n ? (0, ) ? ? ? a n ? ? ? (a n ? ) 2 ? ? ?2(a n ? ) 2 ? ? ? ?2(a n ? ) 2 ? ? 0 2 4 4 4 4 16 4 8 4 8
…………8 分 从而得 a
n?1



? an ? 0 ,即 an?1 ? an ,所以数列 {an } 在区间

1 上是递增数列. (0, ) 2
…………10分

(3)由(2)知 a n ? (0, ) ,从而

1 ? a n ?1 2

1 1 ? a n ? (0, ) ; 2 2 1 1 1 1 1 2 2 ? ? (?2a n ? 2a n ) ? 2a n ? 2a n ? ? 2(a n ? ) 2 ,即 ? a n ?1 ? 2( ? a n ) 2 ; 2 2 2 2 2
…………12分

1 2



bn ?

,则有 2 1 bn?1 ? 2bn 且 b ? (0, 1 ) ; ? an n 2 2

从 而 有 lg bn?1 ? 2 lg bn ? lg 2 , 可 得 lg bn?1 ? lg 2 ? 2(lg bn ? lg 2) , 所 以 数 列 {lg bn ? lg 2} 是

1 lg b1 ? lg 2 ? lg 为首项,公比为 2 的等比数列, 3
从而得

1 ?1? lg bn ? lg 2 ? lg ? 2 n ?1 ? lg? ? 3 ? 3?
2 n ?1

2 n ?1 ,即

?1? ? ? 3 lg bn ? lg ? ? 2

2 n ?1



所以

?1? ? ? 3 bn ? ? ? 2

?

1 ?1? ? ? 2 ? 3?

2 n ?1



? ? ? 1 ? n ?1 n ?1 1 ? ? log3 (2 ? 32 ) ? log3 2 ? 2 n?1 , 所以 ? ? 2 ? 32 ,所以 log3 ? 1 bn ? 1 ?a ? ? an ? n ? ?2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? log3 ? ? ? ? ? ? ? log3 ? ? 所以, log3 ? ? 1 ?a ? ? 1 ?a ? ? 1 ?a ? ? ? ? 1? 2 ? n ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

1

? n log3 2 ?
即 n

. 1 ? 2n ? 2n ? n log3 2 ? 1 1? 2
n ?1

n 2 2 (log 3 2)n ? 1 ? ? ?1? ? ? n log3 2

? 1 ,所以, 2n ?1 ? ? ?1?n ?1 ? 恒成立。 2? ? n log3 22? 1 3
…………15分

(1) 当 n 为奇数时,即 ? ? 2

n ?1

恒成立,当且仅当 n ? 1 时, 2

n?1

有最小值 1 为。? ? ? 1

…………16分 (2) 当 n 为偶数时,即 ? ? ?2
n ?1

恒成立,当且仅当 n ? 2 时,有最大值 ?2 为。? ? ? ?2 …………17分

? 所以,对任意 n ? N ,有 ?2 ? ? ? 1 。又 ? 非零整数,? ? ? ?1

…………18分


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