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2012公安边防消防警卫部队院校招生统考数学模拟测试(四)


2012 年公安边防消防警卫部队院校招生统考 数 学 模 拟 测 试(四)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. S ? {x | x ? 2 ,n ? } ,T ? {x | x ? 4m, m ? Z } , 若 则集合 S 与 T 的关系为 ( n Z A. S ? T B.

T ? S C. S ? T ) . D. y ? ? x 2 ? 4 ) . D. S ? T ) .

2.下列函数中,在区间 (0,1) 上是增函数的是( A. y ? x B. y ? 3 ? x C. y ?

1 x

3.计算的 log2 25 ? log3 2 2 ? log5 9 结果为( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

4.数列 ?an ? , ?bn ? 都是等差数列,其中 a1 ? 25, b1 ? 75, a100 ? b100 ? 100 ,那么数列

?an ? bn ? 的前100 项的和是(
A. 0 B. 100

) . C. 1000 ) . D. (?3, 2) D. 10000

5.下列向量中,与 (3, 2) 垂直的向量是( A. (3, ?2) B. (2,3) C. (?4, 6)

6.由数字 1 、 2 、 3 、 4 、 5 组成没有重复数字的五位数,其中小于 50000 的偶数共有 ( ) A. 60 个 B. 48 个 C. 36 个 D. 24 个 7.设长方体的三条棱长分别为 a 、 b 、 c ,若长方体所有棱长度之和为 24 ,一条对角线 长度为 5 ,体积为 2 ,则 A.

4 11

1 1 1 ? ? 等于( ). a b c 11 11 2 B. C. D. 4 2 11

8.设 ?ABC 的一个顶点是 A(3, ?1), ?B, ?C 的平分线方程分别是 x ? 0, y ? x, 则直线

BC 的方程是(
A. y ? 2 x ? 5
1/9

) . B. y ? 2 x ? 3 C. y ? 3x ? 5 D. y ? ?

x 5 ? 2 2

9. sin

4? 25? 5? ? cos ? tan 的值是( 3 6 4
A. ?

).

3 4

B.

3 4

C. ?

3 4

D.

3 4

10

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已知 A 、 B 、 C 三点在曲线 y ? △ ABC 的面积最大时, m 等于( A
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x 上,其横坐标依次为 1, m, 4 (1 ? m ? 4) ,当
). C
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3

B

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9 4

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5 2
) .

D

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3 2

11.将参数方程 ?

? x ? 2 ? sin 2 ? ? (? 为参数) 化为普通方程为( 2 ? y ? sin ? ?
B. y ? x ? 2 D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

A. y ? x ? 2 C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3)

12.设 O 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点,以直线 CD 为轴旋转这个矩形所得圆柱的体积 为V , 其中以 OA 为母线的圆锥的体积为 A.

V 4

B.

V 9

V , 则以 OB 为母线的圆锥的体积等于 ( 4 V V C. D. 12 15

) .

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上. 13.若 f (n) ?

n 2 ? 1 ? n, g (n) ? n ? n 2 ? 1, ? (n) ?

1 (n ? N * ) ,用不等号从小到大 2n

连结起来为____________.

? x2 ? x ? 2 ? 0 ? 14. 若不等式组 ? 2 的整数解只有 ?2 , k 的取值范围是 则 ?2 x ? (5 ? 2k ) x ? 5k ? 0 ?



2/9

15.若 tan ? , tan ? 是方程 x ? 3x ? 3 ? 0 的两个实根,则
2

sin(? ? ? ) ? _____________. cos(? ? ? )

16.在 ( x ? y)n 的展开式中,若第七项系数最大,则 n 的值组成的集合为_____________. 17.双曲线 tx2 ? y 2 ? 1 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则这双曲线的 离心率为_____________. 18.四棱锥 V ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,其他四个侧面都是侧棱长 为 5 的等腰三角形,则二面角 V ? AB ? C 的平面角为_____________. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分,其中第 19,20 小题每题 10 分,第 21 小题 12 分第 22,23 题每小题 14 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 19. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中, 已知 sin( A ? B) ? sin( A ? B) ? 求A和B .

6 2 ,cos( A ? B) ? cos( A ? B) ? , 2 2

20. (本小题满分 10 分) 在等比数列 ?a n ? 中, a1a3 ? 36, a2 ? a4 ? 60, S n ? 400 求 n 的范围. ,

3/9

21. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? x2 ? (a ? 1) x ? b ,且 f (3) ? 3 ,又知 f ( x) ? x 恒成立,求 a , b 的值.

22. (本小题满分 14 分) 已知定点 A(?2, 3) , F 是椭圆 使 AM ? 2 MF 取得最小值.

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,在椭圆上求一点 M , 16 12

4/9

23. (本小题满分 14 分) 如图,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E、F 分别是 B B1、C D 的中点. 1 (1)证明 AD ? D1F ; (2)求 AE 与 D1F 所成的角; (3)证明面 AED ? 面 A FD1 ; 1 (4) 设AA ? 2,求三棱锥F ? A ED1 的体积 VF ? A1ED1 1 1

5/9

海南公安边防消防警卫院校招生统考模拟测试(4) 答案与解析: 1.B 令 n ? 2m, 2m ? 1(m ? Z ) ,则 x ? 2n ? ?

?4m (m ? Z ) ,故 T ? S . ?4m ? 2
1 在 (0, ??) 上递 x

2.A

? ?1 ? 0 ,所以一次函数 y ? ? x ? 3 在 R 上递减,反比例函数 y ?

减,二次函数 y ? ? x2 ? 4 在 (0, ??) 上递减.

3.D

3 lg 2 lg 25 lg 2 2 lg 9 2 lg 5 2 2 lg 3 ? ? ? ? ? ? 6. 原式 ? lg 2 lg 3 lg 5 lg 2 lg 3 lg 5
S100 ? 100 (a1 ? b1 ? a100 ? b100 ) ? 10000 . 2

4.D 5.C 6.C

3 ? (? 4 )? 2? 6? . 0
1 1 3 1 1 3 个位 A2 ,万位 A3 ,其余 A3 ,共计 A2 A3 A3 ? 36 .

?4(a ? b ? c) ? 24 ? 2 ? 2 2 7. 由题设,知 ? a ? b ? c ? 5 ?abc ? 2 ? ?
∵ (a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2(ab ? bc ? ca) ,

24 2 ) ? 25 ? 2(ab ? bc ? ca) , 4 11 1 1 1 ab ? bc ? ca 11 ? . ∴ ab ? bc ? ca ? ,从而 ? ? ? 2 a b c abc 4
∴(

, 8.A 点 A(3, ?1) 关于对角线 y ? x 对称的点 B(?1 3) 一定在直线 BC 上,代入检验得.
另解: A(3, ?1) 关于 x ? 0, y ? x 的对称点分别是 (?3, ?1) 和 (?1,3) ,且这两点都在直线

BC 上,由两点式求得直线 BC 方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 .
6/9

9.A

原式 ? sin(? ?

?

) ? cos(4 ? ? ) ? tan( ? ? ) 3 6 4

?

?

? ? sin
10 B
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?
3

? cos

?
6

? tan

?
4

??

3 3 3 ? ?1 ? ? . 2 2 4

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由题意知 A(1,1) , B(m, m ) , C (4, 2) ,直线 AC 所在方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,

点 B 到该直线的距离为 d ?

| m?3 m ? 2| , 10 | m?3 m ? 2| 1 ? | m?3 m ? 2| 2 10

S?ABC ? | AC | ?d ? ? 10 ?
? 1 3 1 | ( m ? )2 ? | , 2 2 4

1 2

1 2

∵m ? (1, 4) ,∴ 当 m? 11.C

9 3 时, S?ABC 有最大值,此时 m ? 4 2

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转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ? [2,3], y ?[0,1]

12.C

1 OD 3 1 3 ? ,即 OD ? CD ,得 OD : OC ? 3:1 ,即以 OB 为母线的圆锥的 4 CD 4 V 体积等于 . 12


13

f (n) ? ? (n) ? g (n)

f ( n )?

1 n ?1 ? n
2

g n ? , ( )
2

1 n ?1 ? n
2

? ,n (? )

1 n ?n
2



14.[?3, 2)

由 x ? x ? 2 ? 0 , x ? ?1 , x ? 2 ; 2x2 ?( ? ) x ? k ? 得 或 由 5 2 k 5 0 得x?? 当k ?



5 5 5 , x ? ? k ,当 ? k ?? ,即 k ? 时,?2 不在不等式的解集内; 或 2 2 2

5 时,则根据题意得 ?2 ? ?k ? 3 ,即 ?3 ? k ? 2 . 2

15. ?

3 2

t a n ? t a n? , tan ? tan ? ? ?3 , ? ? 3

7/9

sin(? ? ? ) sin ? cos ? ? cos ? sin ? tan ? ? tan ? 3 ? ? ?? . cos(? ? ? ) cos ? cos ? ? sin ? sin ? 1 ? tan ? tan ? 2
16.{11,12,13} 分三种情况: (1)若仅 T7 系数最大,则共有 13 项,n ? 12 ; (2)若 T7

与 T6 系数相等且最大,则共有 12 项, n ? 11 ; (3)若 T7 与 T8 系数相等且最大, 则共有 14 项, n ? 13 ,所以 n 的值可能等于 11,12,13 .

17.

5 2

渐近线为 y ? ? t x ,其中一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,

1 1 x2 5 得 t ? ,t ? , . ? y 2 ? 1, a ? 2, c ? 5, e ? 2 4 4 2
18. 60
?

容易算出斜高是 2 , cos ? ?

1 . 2

19.解:由 sin( A ? B) ? sin( A ? B) ?

6 6 ,得 2sin A cos B ? ; 2 2

由 cos( A ? B) ? cos( A ? B) ?

2 2 ,得 2cos A cos B ? , 2 2

得 tan A ? 3 , 0 ? A ? ? , A ? 而 即 所以 A ?

?
3



而 2cos

?
3

cos B ?

? 2 , B? , 得 4 2

?
3

,B ?

?
4



20.解: a1a3 ? a22 ? 36, a2 (1 ? q2 ) ? 60, a2 ? 0, a2 ? 6,1 ? q2 ? 10, q ? ?3,

2(1 ? 3n ) ? 400,3n ? 401, n ? 6, n ? N ; 当 q ? 3 时, a1 ? 2, Sn ? 1? 3
当 q ? ?3 时, a1 ? ?2, Sn ? ∴ n ? 8, 且n为偶数.
8/9

?2[1 ? (?3)n ] ? 400,(?3)n ? 801, n ? 8, n 为偶数; 1 ? (?3)

21.解:由 f (3) ? 3 得 3a ? b ? ?9 ,由 f ( x) ? x 得 x ? ax ? b ? 0 恒成立,
2

则△ ? a ? 4b ? 0 ,得 a2 ? 4(?9 ? 3a) ? 0 ,即 (a ? 6)2 ? 0 ,
2

而 (a ? 6)2 ? 0 ,所以 (a ? 6)2 ? 0 ,得 a ? ?6, b ? 9 .

22.解:显然椭圆

1 x2 y 2 ? ? 1 的 a ? 4, c ? 2, e ? ,记点 M 到右准线的距离为 MN 2 16 12



1 ? e ? , MN ? 2 MF ,即 AM ? 2 MF ? AM ? MN , MN 2

MF

当 A, M , N 同时在垂直于右准线的一条直线上时, AM ? 2 MF 取得最小值, 此时 M y ? Ay ? 3 ,代入到

x2 y 2 ? ? 1 得 M x ? ?2 3 , 16 12

而点 M 在第一象限,∴ M (2 3, 3) . 23.证明: (1)∵ AC1 是正方体,∴ AD ? 面 DC1 . 又 D1F ? 面DC1 , ∴ AD ? D1F . (2)取 AB 中点 G ,连结 AG , FG .因为 F 是 CD 的中点,所以 GF 、 AD 平 1 行且相等,又 A1D1 、 AD 平行且相等,所以 GF 、 A1D1 平行且相等,故 GFD1 A 1 是平行四边形, AG // D1F . 1 设 AG 与 AE 相交于点 H ,则 ?AHA1 是 AE 与 D1F 所成的角, 1 因为 E 是 BB1 的中点,所以 Rt ?A AG ≌ Rt ?ABE , ?GA A ? ?GAH , 1 1 从而 ?AHA ? 90? ,即直线 AE 与 D1F 所成角为直角. 1 (3)由(1)知 AD ? D1F ,由(Ⅱ)知 AE ? D1F ,又 AD ? AE ? A , 所以 D1F ⊥面 AED . 又因为 D1F ? 面A1FD1 ,所以面 AED ? 面 A1FD1 . (4)连结 GE , GD1 ,∵ FG // A1D1 ,∴ FG // 面A ED1 , 1 ∵ AA ? 2 ,面积 S ?A1GE ? S? ABB1 A1 ? 2 S ?A1 AG ? S ?GBE ? 1 又 VF ? A1ED1 ?

3 . 2

1 1 1 3 VE ? A1GFD1 ? VF ? A1GE ? S A1GE ? FG ,∴ VF ? A1ED1 ? ? ? 2 ? 1 . 2 3 3 2

9/9


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