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第3讲:数学思想方法之建模思想探讨


【备战 2013 高考数学专题讲座】 第 3 讲:数学思想方法之建模思想探讨
江苏泰州锦元数学工作室 编辑
数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识,数学方法是数学思想的具体化形式,实际上两者 的本质是相同的,差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学思想有:建 模思想、归纳思想,分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。 模

型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径,也是体会和理解数学各部分之间 关系的基本途径。建立和求解模型的过程包括:从现实生活(具体情境)中抽象出数学问题,或一类数学 问题转换为另一类问题,用数学符号建立方程、不等式、函数、数列、图象等表示数学问题中的数量关系 和变化规律,求出结果、并讨论结果的意义。建立数学模型的思路如下图:

其中,一类数学问题转换为另一类问题的建模是化归思想的体现,我们将在《数学思想方法之化归思 想探讨》中阐述,本讲对从现实生活(具体情境)中抽象出数学问题的建模进行探讨。 建立数学模型的一般程序为 (1)读 (2)建
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阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这是基础。 将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型。 熟悉基本数学模型,

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正确进行建“模”是关键。 (3)解
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求解数学模型,得到数学结论。 求解时要充分注意数学模型中元素的实际意义,更要注意

巧思妙作,优化过程。 (4)答
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将数学结论还原给实际问题的结果。

结合 2012 年全国各地高考的实例,我们从下面五方面进行数学思想方法之建模思想的探讨: (1)“方 程模型”的建立; (2)“不等式模型”和“线性规划模型”的建立; (3)“函数模型”的建立; (4) “图形模型” 的建立; (5) “定积分模型”的建立。

一、“方程模型”的建立:对实际问题中的等量关系问题常需通过建立“方程模型”解决。
典型例题: 【版权归锦元数学工作室,不得转载】

例 1: (2012 年辽宁省理 5 分)已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的求面上,若 PA, PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为 【答案】 ▲ 。

3 。 3

【考点】组合体的线线,线面,面面位置关系,转化思想的应用。 【解析】∵在正三棱锥 P ? ABC 中,PA,PB,PC 两两互相垂直, ∴可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分, (如图所示) ,此 正方体内接于球,正方体的体对角线为球的直径 EP,球心为正方体对角线 的中点 O,且 EP⊥平面 ABC,EP 与平面 ABC 上的高相交于点 F。 ∴球 O 到截面 ABC 的距离 OF 为球的半径 OP 减去正三棱锥

P ? ABC 在面 ABC 上的高 FP。
∵球的半径为

3 ,设正方体的棱长为 x ,则由勾股定理得

x2 +

?

2x =

? ? 3? 。
2 2

解得正方体的棱长 x =2,每个面的对角线长 2 x=2 2 。 ∴截面 ABC 的高为 6 , PF ?

2 6。 3
2

?2 ? 2 6? = 3。 ∴在 Rt△BFP 中, 由勾股定理得, 正三棱锥 P ? ABC 在面 ABC 上的高 FP = 22 ? ? ?3 ? 3
∴所以球心到截面 ABC 的距离为 3 ?

2 3 3 。 ? 3 3

例 2: 2012 年江西省理 5 分) ( x1 , x2 ,? , xn ) ( 样本 的平均数为 x , ( y1 , y2 ,? ym ) 样本 的平均数为 y ( x ? y ) , 若样本( x1 , x2 ,? , xn , y1 , y2 ,? ym )的平均数 z ? ? x ? (1 ? ? ) y ,其中 0 ? ? ? 为【 】 B. n ? m C. n ? m D.不能确定

1 ,则 n, m 的大小关系 2

A. n ? m 【答案】A。

【考点】作差法比较大小以及整体思想,统计中的平均数。 【解析】由统计学知识,可得 x1 ? x2 ? ? ? xn ? nx, y1 ? y2 ? ? ? ym ? m y ,

x1 ? x2 ? ? ? xn ? y1 ? y2 ? ? ? ym ? ? m ? n ? z ? ? m ? n ? ?? x ? ?1 ? ? ? y ? ? ?

? ? m ? n ? ? x ? ? m ? n ??1 ? ? ? y ,
∴ nx ? m y ? ? m ? n ? ? x ? ? m ? n ??1 ? ? ? y 。∴ ?

?n ? ? m ? n ? ? ? 。 ?m ? ? m ? n ??1 ? ? ? ?

∴ n ? m ? (m ? n)[? ? (1 ? ? )] ? (m ? n)(2? ? 1) 。 ∵0 ?? ?

1 ,∴ 2? ?1 ? 0 。∴ n ? m ? 0 ,即 n ? m 。故选 A。 2

例 3: (2012 年湖南省理 12 分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了 在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次性购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/人) 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/人) 1至4件 x 1 1至4件 5至8件 30 1.5 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 y 2.5 13 至 16 件 17 件及以上 10 3 17 件及以上 10 3

x
1

y
2.5

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望;
[&%中国教育出~版 网*#]

(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等 候时间不超过 2.5 分钟的概率. ... (注:将频率视为概率)
[中%#国教*育^ 出版网 ~]

【答案】解: (Ⅰ)由已知,得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35, 解得 x ? 15, y ? 20 。 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的 100 位顾客一次购物 的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得

p( X ? 1) ?

15 3 30 3 25 1 ? , p( X ? 1.5) ? ? , p( X ? 2) ? ? , 100 20 100 10 100 4 20 1 10 1 p( X ? 2.5) ? ? , p( X ? 3) ? ? 。 100 5 100 10

∴ X 的分布为 X 1 1.5 2 2.5 3

P X 的数学期望为

3 20

3 10

1 4

1 5

1 10

E ( X ) ? 1?

3 3 1 1 1 ? 1.5 ? ? 2 ? ? 2.5 ? ? 3 ? ? 1.9 。 20 10 4 5 10

(Ⅱ) A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”,X i (i ? 1, 2) 为该顾客前面第 i 记 位顾客的结算时间,则

P( A) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1.5) ? P( X1 ? 1.5且X 2 ? 1) 。
由于顾客的结算相互独立,且 X 1 , X 2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以,

P( A) ? P( X 1 ? 1) ? P(X 2 ? 1) ? P( X 1 ? 1) ? P( X 2 ? 1.5) ? P( X 1 ? 1.5) ? P( X 2 ? 1)

?

3 3 3 3 3 3 9 。 ? ? ? ? ? ? 20 20 20 10 10 20 80 9 。 80

故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为 【考点】分布列及数学期望的计算,概率。

【解析】Ⅰ) ( 根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%知 25 ? y ? 10 ? 100 ? 55%,

x ? y ? 35, 从而解得 x, y ,计算每一个变量对应的概率,从而求得分布列和期望。
(Ⅱ)通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的 ... 概率。

? 1 ? 例 4: (2012 年全国大纲卷理 5 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,a5 =5,S5 =15 , 则数列 ? ?的 ? an an ?1 ?
前 100 项和为【 A. 】 B.

100 101

99 101

C.

99 100

D.

101 100

【答案】A。 【考点】等差数列的通项公式和前 n 项和公式的运用,裂项求和的综合运用。 【解析】通过已知 a5 =5,S5 =15 ,列式求解,得到公差与首项,从而得 ?an ? 的通项公式,进一步裂项求和: 设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则由 a5 =5,S5 =15 可得

?a1 ? 4d =5 ?a =1 ? ? ? 1 ? an =n 。 ? 5? 4 ?5a1 ? 2 d =15 ?d =1 ?



1 1 1 1 。 = = ? an an ?1 n ? n ? 1? n n ? 1

1 ? 1 100 ? 1? ?1 1? ? 1 ∴ S100 = ?1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 。故选 A。 ??? ? = ? =1 ? 101 101 ? 2? ? 2 3? ? 100 101 ?
例 5: (2012 年福建省理 5 分) 等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为【 A.1 【答案】B。 【考点】等差数列的通项。
? ?a1+a1+4d=10, 【解析】设等差数列{an}的公差为 d ,根据已知条件得:? ? ?a1+3d=7, ? ?2a1+4d=10, 即? ? ?a1+3d=7,



B.2

C.3

D.4

解得

2d=4,所以 d=2。故选 B。

1 例 6: (2012 年北京市理 5 分)已知 ?a n ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和。若 a1 = , S2 ? a 3 ,则 a 2 = 2
▲ ; Sn = ▲

1 1 【答案】1; n 2 ? n 。 4 4
【考点】等差数列

1 【解析】设等差数列的公差为 d ,根据等差数列通项公式和已知 a1 = , S2 ? a 3 得 2
1 ? ?a 2 =1 ?a 2 = 2 ? d ? ? ?? 1 。 ? ? 1 ? a =a ? d ?d= 2 ? 2 2 ?2 ? a ? a ? ? n ? 1? d 1 1 ∴ Sn = 1 1 ? n= n 2 ? n 。 2 4 4
例 7: (2012 年广东省理 5 分).已知递增的等差数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , a3 ? a2 ? 4 ,则 a n ?
2





【答案】 2n- 1 。 【考点】等差数列。 【解析】设递增的等差数列 ?a n ? 的公差为 d ( d > 0 ) ,由 a3 ? a2 ? 4 得 1 + 2d = (1 + d ) - 4 ,
2

2

解得 d =

2 ,舍去负值, d = 2 。

∴ an = 2n - 1。 例 8: (2012 年浙江省理 4 分)设公比为 q(q ? 0) 的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .若 S2 ? 3a2 ? 2 ,

S4 ? 3a4 ? 2 ,则 q ?
【答案】
3 。 2





【考点】等比数列的性质,待定系数法。 【解析】用待定系数法将 S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 两个式子全部转化成用 a1 ,q 表示的式子:
? a1 ? a1q ? 3a1q ? 2 , ? 2 3 3 ? a1 ? a1q ? a1q ? a1q ? 3a1q ? 2

两式作差得: a1q 2 ? a1q3 ? 3a1q(q 2 ? 1) ,即: 2q 2 ? q ? 3 ? 0 ,解之得: q ?

3 或 q ? ?1 (舍去)。 2

例 9: (2012 年湖北省理 12 分)已知等差数列 ?an ? 前三项的和为-3,前三项的积为 8. (Ⅰ)求等差数列 ?an ? 的通项公式; (II)若 a2 ,a3 ,a1 成等比数列,求数列 an 的前 n 项的和。 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 【答案】解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,
?3a ? 3d ? ?3, ? a ? 2, ? a ? ?4, 由题意得 ? 1 解得 ? 1 或? 1 ? d ? ?3, ? d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8.

? ?

∴由等差数列通项公式可得 an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 。 ∴等差数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 。 (Ⅱ)当 an ? ?3n ? 5 时, a2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件。
??3n ? 7, n ? 1, 2, ∴ | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3.

记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n , 当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时, Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ??? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? ? (3n ? 7)
?5? (n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 。 2 2 2

当 n ? 2 时,满足此式。
n ? 1, ?4, ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 ? 2 n ? 2 n ? 10, n ? 1. ?

【考点】等差等比数列的通项公式,和前 n 项和公式及基本运算。

【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,根据等差数列 ?an ? 前三项的和为-3,前三项的积为 8 列方程 组求解即可。 (II)对(Ⅰ)的结果验证符合 a2 ,a3 ,a1 成等比数列的数列,应用等差数列前 n 项和公式分 n ? 1 ,
n ? 2 , n ? 3 分别求解即可。

例 10: (2012 年陕西省理 12 分)设 ?an ? 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 S n ,且 a5 , a3 , a4 成等差 数列. (1)求数列 ?an ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列.

【答案】解: (1)设数列 ?an ? 的公比为 q ( q ? 0, q ? 1 ) , 由 a5 , a3 , a4 成等差数列,得 2a3 ? a5 ? a4 ,即 2a1q ? a1q ? a1q 。
2 4 3

由 a1 ? 0, q ? 0 得 q ? q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? ?2,
2

q2 ? 1 。

∵ ?an ? 的公比不为 1,∴ q2 ? 1 舍去。 ∴ q ? ?2 。 (2)证明:∵对任意 k ? N ? , 2 S k ?

2a1 (1 ? q k ) , 1? q

Sk ? 2 ? Sk ?1 ?

a1 (1 ? q k ? 2 ) a1 (1 ? q k ?1 ) a1 (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) ? ? , 1? q 1? q 1? q 2a1 (1 ? q k ) a1 (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) ? 1? q 1? q

∴ 2 S k ? ( S k ? 2 ? S k ?1 ) ?

?

a qk a1 [2(1 ? q k ) ? (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) ? 1 (q 2 ? q ? 2) ? 0 1? q 1? q
Sk , Sk ?1 成等差数列。

∴对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

【考点】等差等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质。 【解析】 (1)设数列 ?an ? 的公比为 q ( q ? 0, q ? 1 ) ,利用 a5 , a3 , a4 成等差数列结合通项公式,可得

2a1q 2 ? a1q 4 ? a1q 3 ,由此即可求得数列 ?an ? 的公比。

(2)对任意 k ? N ? ,可证得 2Sk ? ( Sk ? 2 ? Sk ?1 ) ? 0 ,从而得证。 另解:对任意 k ? N ? ,

Sk ? 2 ? Sk ?1 ? 2Sk ? ( Sk ? 2 ? Sk ) ? (Sk ?1 ? Sk ) ? ak ?1 ? ak ? 2 ? ak ?1 ? 2ak ?1 ? ak ?1 ? (?2) ? 0
所以,对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列。

例 11: (2012 年天津市理 13 分)已知{ an }是等差数列,其前 n 项和为 S n ,{ bn }是等比数列,且 a1 = b1 =2 ,

a4 +b4 =27 , S4 ? b4 =10 .
(Ⅰ)求数列{ an }与{ bn }的通项公式; (Ⅱ)记 Tn =anb1 +an ?1b2 + ? +a1bn , n ? N ,证明 Tn +12= ? 2an +10bn (n ? N ) .
+
+

【答案】解: (1)设等差数列的公差为 d ,等比数列的公比为 q , 由 a1 = b1 =2 ,得 a4 ? 2 ? 3d,b4 ? 2q ,s4 ? 8 ? 6d 。
3

由条件 a4 +b4 =27 , S 4 ? b4 =10 得方程组

?2 ? 3d ? 2q 3 ? 27 ?d ? 3 ? ,解得 ? 。 ? 3 ?8 ? 6d ? 2q ? 10 ?q ? 2 ?

, ∴ an ? 3n ? 1 bn ? 2 ,n ? N 。
n +

(Ⅱ)证明:由(1)得, Tn ? 2an ? 2 an ?1 ? 2 an ? 2 ??? 2 a1
2 3 n

①;

∴ 2Tn ? 2 an ? 2 an ?1 ? 2 an ? 2 ??? 2
2 3 4

n +1

a1

②;

由②-①得,

Tn ? ?2an +22 ? an ? an ?1 ? ? 23 ? an ?1 ? an ?2 ? ? 24 ? an ?2 ? an ?3 ? ?? +2n ? a2 ? a1 ? ? 2a1bn

? ?2an +22 ? 3 ? 23 ? 3 ? 24 ? 3 ?? +2n ? 3 ? 2 ? 2bn = ? 2an +4bn +3 ? ? 22 ? 23 ? 24 ?? +2 n ? = ? 2an +4bn +3 ? 4 ? ?1 ? 2n ?1 ? 1? 2

= ? 2an +4bn ? 12+6 ? 2 n = ? 2an +4bn +6bn ? 12

= ? 2an +10bn ? 12
∴ Tn +12= ? 2an +10bn (n ? N ) 。
+

【考点】等差数列与等比数列的综合;等差数列和等比数列的通项公式。

【分析】 (Ⅰ)直接设出首项和公差,根据条件求出首项和公差,即可求出通项。 (Ⅱ)写出 Tn 的表达式,借助于错位相减求和。 还可用数学归纳法证明其成立。 例 12: (2012 年湖北省文 5 分)一支田径运动队有男运动员 56 人,女运动员 42 人。现用分层抽样的方法 抽取若干人,若抽取的男运动员有 8 人,则抽取的女运动员有 【答案】6。 【考点】分层抽样的性质。 【解析】设抽取的女运动员的人数为 a ,则根据分层抽样的特性,有 动员为 6 人。 二、 “不等式模型”和“线性规划模型”的建立: 对实际问题中的“优选”“控制”等问题, 常需通过建立“不 等式模型”或“线性规划”问题解决。 典型例题: 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例 1: (2012 年四川省理 5 分)某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 ▲ 人。

a 8 ? ,解得 a ? 6 。故抽取的女运 42 56

B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克。每桶甲产品的利润是 300 元,每桶
乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A 、 B 原料都不超过 12 千克。 通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是【 A、1800 元 【答案】C。 【考点】线性规划的应用。 【解析】]设公司每天生产甲种产品 X 桶,乙种产品 Y 桶,公司共可获得 利润为 Z 元/天,则由已知,得 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元 】

? X ? 2Y ? 12 ?2 X ? Y ? 12 ? Z=300X+400Y,且 ? ?X ? 0 ?Y ? 0 ?
画可行域如图所示,目标函数 Z=300X+400Y 可变形为 Y= ?

3 z x? 4 400

这是随 Z 变化的一族平行直线,

解方程组 ?

?2x ? y ? 12 ? x ? 4 得? ,即 A(4,4) 。 ?x ? 2 y ? 12 ? y ? 4

∴ Z max ? 1200 ? 1600 ? 2800 。故选 C。 例 2: (2012 年江西省理 5 分)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 计,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入 ? 总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位: 亩)分别为【 A.50,0 【答案】B。 【考点】建模的思想方法,线性规划知识在实际问题中的应用。 【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,总利润为 z 万元,则目标函数为 】 B.30,20 C.20,30 D.0,50

z ? (0.55 ? 4 x ? 1.2 x) ? (0.3 ? 6 y ? 0.9 y) ? x ? 0.9 y .
? x ? y ? 50 ? x ? y ? 50 ?1.2 x ? 0.9 y ? 54 ? 4 x ? 3 y ? 180 ? ? 线性约束条件为 ? ,即 ? 。 x?0 x?0 ? ? ?y ? 0 ?y ? 0 ? ? ? x ? y ? 50 ? 4 x ? 3 y ? 180 ? 如图,作出不等式组 ? 表示的可行域,易求得点 ?x ? 0 ?y ? 0 ?
A ? 0, 50? , B ? 30, 20? , C ? 0, 45 。 ?
平移直线 x ? 0.9 y ? 0 ,可知当直线 z ? x ? 0.9 y 经过点 B ? 30, 20 ? ,即 x ? 30, y ? 20 时,z 取得最 大值,且 zmax ? 48 (万元) 。故选 B。 例 3: (2012 年山东省理 5 分)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号 为 1,2,……,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9。抽到的 32 人中,编号落入 区间[1,450]的人做问卷 A,编号落入区间[451,750]的人做问卷 B,其余的人做问卷 C。则抽到的人中, 做问卷 B 的人数为【 A 7 B 9 】 C 10 D 15

【答案】C。 【考点】系统抽样方法。 【解析】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人,将整体分成 32 组,每组 30 人。 第 k 组的号码为 (k ? 1)30 ? 9 , 令 451 ? (k ? 1)30 ? 9 ? 750 ,且 k ? z ,解得 16 ? k ? 25 。 ∵满足 16 ? k ? 25 的整数 k 有 10 个,∴编号落入区间[451,750]的人的 10 人。故选 C。 例 4: (2012 年辽宁省理 5 分)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,领边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积小于 32cm2 的概率为【 (A) 】

1 6

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

4 5

【答案】C。 【考点】函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算。 【解析】设线段 AC 的长为 x cm,则线段 CB 的长为( 12 ? x )cm。那么矩形的面积为 x(12 ? x) cm2。 由 x(12 ? x) ? 32 ,解得 x ? 4或x ? 8 。又 0 ? x ?12 ,所以该矩形面积小于 32cm2 的概率为 选 C。 例 5: (2012 年陕西省文 5 分)小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b ( a ? b ) ,其全程的平均时速为 v , 则【 】

4+4 2 = 。故 12 3

A. a ? v ? 【答案】A。

ab

B. v = ab

C.

ab < v <

a?b 2

D. v =

a?b 2

【考点】基本不等式及其应用。 【解析】设从甲地到乙地的路程为 S ,则 v=

2S S S ? a b

?

2 1 1 ? a b

?

2ab 2ab ? ? ab 。 a ? b 2 ab

又∵ a ? b ,∴ v ? ∴a ? v ?

2ab 2a 2 ? ?a。 a ? b 2a

ab 。故选 A。
2 2

例 6: (2012 年安徽省文 5 分)若直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ( x ? a) ? y ? 2 有公共点,则实数 a 取值范围是 【 】

( A) [? 3 ? 1 ] ,

( B) [?1,3]

(C ) [?3,1]

( D) (??, ?3] ? [1, ??)

【答案】 C 。 【考点】圆与直线的位置关系,点到直线的距离公式,解绝对值不等式。 【解析】设圆 ( x ? a) ? y ? 2 的圆心 O(a,0) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ,
2 2

则根据圆与直线的位置关系,得 d ? r ? ∴由点到直线的距离公式,得

2。

a ?1 2

? 2 ,解得 ?3 ? a ? 1 。故选 C 。

d ?r? 2?

a ?1 2

? 2 ? a ? 1 ? 2 ? ?3 ? a ? 1

三、“函数模型”的建立:对工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”,转化 为求函数的最值来解决。 典型例题: 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例 1: (2012 年北京市理 5 分) 某棵果树前 n 年的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看, 前 m 年的年平均产量最高。m 值为【 A.5 B.7 C.9 D.11 】

【答案】C。 【考点】直线斜率的几何意义。 【解析】 据图像识别看出变化趋势, 利用变化速度可以用导数 来解,但图像不连续,所以只能是广义上的。实际上,前 n 年的年平均产量就是前 n 年的总产量 S 与 n 的商: 图象上体现为这一点的纵坐标与横坐标之比。 因此, 要使前 m 年的年平均产量最高就是要这一点的 纵坐标与横坐标之比最大,即这一点与坐标原点连线的倾斜角最大。图中可见。当 n=9 时,倾斜角最大。 从而 m 值为 9。故选 C。

S? n ? n

,在

例 2: (2012 年湖南省理 13 分)某企业接到生产 3000 台某产品的 A,B,C三种部件的订单,每台产品需 要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件, 或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件, 生产B部件的人数与生产A部 件的人数成正比,比例系数为 k(k 为正整数). (Ⅰ)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间; (Ⅱ)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间 最短时具体的人数分组方案. 【答案】解: (Ⅰ)设完成 A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为 T1 ( x), T2 ( x), T3 ( x), 由题设有 T1 ( x) ?

2 ? 3000 1000 2000 1500 ? , T2 ( x) ? , T3 ( x) ? , 6x x kx 200 ? (1 ? k ) x

其中 x, kx, 200 ? (1 ? k ) x 均为 1 到 200 之间的正整数。 (Ⅱ)完成订单任务的时间为 f ( x) ? max ?T1 ( x), T2 ( x), T3 ( x)? , 其定义域为 ? x 0 ? x ?

? ?

200 ? , x? N?? 。 1? k ?

易知, T1 ( x), T2 ( x) 为减函数, T3 ( x ) 为增函数。 ∵ T2 ( x) ?

2 T1 ( x), 于是 k
?1000 1500 ? , ?, ? x 200 ? 3x ?

(1)当 k ? 2 时, T1 ( x) ? T2 ( x), 此时 f ( x) ? max ?T1 ( x), T3 ( x)? ? max ? 由函数 T1 ( x), T3 ( x) 的单调性知,

1000 1500 400 时 f ( x) 取得最小值,解得 x ? 。 ? 9 x 200 ? 3x 400 250 300 由于 44 ? ? 45, 而f (44) ? T1 (44) ? , f (45) ? T3 (45) ? , f (44) ? f (45) , 9 11 13 250 故当 x ? 44 时完成订单任务的时间最短,且最短时间为 f (44) ? 。 11
当 (2)当 k ? 2 时, T1 ( x) ? T2 ( x), 由于 k 为正整数,故 k ? 3 , 此时 T ( x) ?

375 , ? ( x) ? max ?T1 ( x), T ( x)? 。 50 ? x

易知 T ( x) 为增函数,则 f ( x) ? max ?T1 ( x), T3 ( x)? ? max ?T1 ( x), T ( x)?

?1000 375 ? ? ? ( x) ? max ? , ?。 ? x 50 ? x ?

由函数 T1 ( x), T ( x) 的单调性知,

1000 375 400 时 ? ( x) 取得最小值,解得 x ? 。 ? 11 x 50 ? x 400 250 250 375 250 由于 36 ? ? 37, 而? (36) ? T1 (36) ? ? , ? (37) ? T (37) ? ? , 11 9 11 13 11 250 此时完成订单任务的最短时间大于 。 11
当 (3)当 k ? 2 时, T1 ( x) ? T2 ( x), 由于 k 为正整数,故 k ? 1 , 此时 f ( x) ? max ?T2 ( x), T3 ( x)? ? max ? 由函数 T2 ( x), T3 ( x) 的单调性知,

? 2000 750 ? , ?。 ? x 100 ? x ?

2000 750 800 时 f ( x) 取得最小值,解得 x ? 。 ? 11 x 100 ? x 250 250 类似(2)的讨论,此时完成订单任务的最短时间为 ,大于 。 9 11
当 综上所述,当 k ? 2 时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数 分别为 44,88,68。 【考点】分段函数、函数单调性、最值,分类思想的应用。 【解析】 (Ⅰ)根据题意建立函数模型。 (Ⅱ)利用单调性与最值,分 k ? 2 、 k ? 2 和 k ? 2 三种情况讨论即可得出结论。 例 3: (2012 年陕西省理 5 分)下图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位 下降 1 米后,水面宽 ▲ 米.

【答案】 2 6 。 【考点】抛物线的应用。 【解析】建立如图所示的直角坐标系,设抛物线方程为 x = my , ∴∵当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米, ∴抛物线过点(2,-2, ).
2 代入 x = my 得, 2 = m (- 2) ,即 m = - 2 。
2

2

∴抛物线方程为 x = - 2 y 。 ∴当 y = - 3 时, x =

2

6 ,∴水位下降 1 米后,水面宽 2 6 米。

例 4: (2012 年上海市理 14 分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北 方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度) ,则救援船恰在失事船的正南方向 12 海里 A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线 y ?

12 2 x ;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往 49

救援;③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7 t . (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和 方向; 分) (6 (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8 分)

【答案】解:(1) t ? 0.5 时,P 的横坐标 xP ? 7t =
2

7 12 2 ,代入抛物线方程 y ? x 得 P 的纵坐标 yP ? 3 。 2 49

949 2 ?7? ∵A(0,12), ∴ AP = ? ? + ? 3+12 ? ? 。 2 ?2?
∴救援船速度的大小为 949 海里/时。

7 7 7 由 tan∠OAP= tan?OAP ? 2 ? ,得 ?OAP ? arctan , 30 3+12 30
∴救援船速度的方向为北偏东 arctan

7 弧度。 30
2

(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为 (7t , 12t ) 。 由 vt ? ∵ t2 ?
2

(7t ) 2 ? (12t 2 ? 12) 2 ,整理得 v 2 ? 144(t 2 ?
1 t2 ? 2 ,当且仅当 t =1 时等号成立,
2

1 t2

) ? 337 。

∴ v ? 144 ? 2 ? 337 ? 25 ,即 v ? 25 。 ∴救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船。

【考点】曲线与坐标,基本不等式的应用。 【解析】 (1)求出 A 点和 P 点坐标即可求出。 (2)求出时速 v 关于时间 t 的函数关系式求出极值。 例 5: (2012 年江苏省 14 分)如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位 长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ? 其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.

1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 表示的曲线上, 20

【答案】解: (1)在 y ? kx ?

1 1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 中,令 y ? 0 ,得 kx ? (1 ? k 2 ) x 2 =0 。 20 20

由实际意义和题设条件知 x > 0,k > 0 。 ∴ x=

20k 20 20 = ? =10 ,当且仅当 k =1 时取等号。 2 1 1? k ?k 2 k

∴炮的最大射程是 10 千米。 (2)∵ a > 0 ,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 ,使 ka ? 即关于 k 的方程 a2 k 2 ? 20ak ? a2 ? 64=0 有正根。 由 ? = ? ?20a ? ? 4a 2 a 2 ? 64 ? 0 得 a ? 6 。
2

1 (1 ? k 2 )a 2 =3.2 成立, 20

?

?

此时, k =

20a ?

? ?20a ?

2

? 4a 2 ? a 2 ? 64 ?

2a 2

> 0 (不考虑另一根) 。

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 【解析】 (1)求炮的最大射程即求 y ? kx ? 解。

1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 与 x 轴的横坐标,求出后应用基本不等式求 20

(2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解。 例 6: (2012 年全国课标卷理 12 分)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝

10 元的 价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。
(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位:枝, n ? N ) 的函数解析式。 (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频 数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列,数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由。 【答案】解: (1)当 n ? 16 时, y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80 ; 当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80 。 ∴y??

?10n ? 80( n ? 15) (n ? N ) 。 ( n ? 16) ? 80

(2) (i) X 可取 60 , 70 , 80 , P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2, P( X ? 80) ? 0.7 。

X 的分布列为:
X
P
60 0.1 70 0.2 80 0.7

EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76 。 DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44 。
(ii)购进 17 枝时,当天的利润为

y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ? 1? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76.4
∵ 76.4 ? 76 ,∴应购进 17 枝。 【考点】列函数关系式,概率,离散型随机变量及其分布列。 【解析】(1)根据题意,分 n ? 16 和 n ? 15 分别列式。 (2) X 取 60 , 70 , 80 ,求得概率,得到 X 的分布列,根据数学期望及方差公式求解;求出 购进 17 枝时,当天的利润与购进 16 枝时,当天的利润比较即可。

四、 “图形模型”的建立:对测量问题,可设计成“图形模型”,利用几何知识解决。 典型例题: 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例 1: (2012 年四川省理 5 分)如图,半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 ? 内,过点 O 作平面 ? 的垂 线交半球面于点 A , 过圆 O 的直径 CD 作平面 ? 成 45 角的平面与半球面相交, 所得交线上到平面 ? 的距
?

离最大的点为 B ,该交线上的一点 P 满足 ?BOP ? 60 ,则 A 、 P 两点间的球面距离为【
?



A B D P α C O

A、 R arccos 【答案】A。

2 4

B、

?R
4

C、 R arccos

3 3

D、

?R
3

【考点】球面距离及相关计算,向量和反三角函数的运用。 【解析】要求 A 、 P 两点间的球面距离,由于 OA ? OP ? R ,故只要求得 ?AOP 即可。从而可求出 AP 即 可求(比较繁)或用向量求解: 如图,以 O 为原点,分别以 OB 在平面 ? 上的射影、 OC、OA 所在直线为 x、y、z 轴。 过点 P 作 OB(即面 OBx ) 的垂线 PE , 分别过点 B, E 作 x 轴 的垂线 BH , EF 。 ∵ ?BOP ? 60 ,∴ PE ?
?

3 1 R, OE ? R 。 2 2
? ?

∵面 CDB 与平面 ? 的角为 45 ,即 ?BOx ? 45 , ∴ OH ? BH ?

2 2 R 。∴ OF ? EF ? R。 2 4

∴ A ? 0, 0, R ? , P ?

???? ??? ? AO ? PO 2 2 2 ∴ COS ?AOP ? 。∴ ?AOP ? arccos 。∴ ? ? R ? arccos 。故选 A。 ? AP 2 R 4 4 4

? 2 3 ? 4 R, 2 R, ?

2 ? R?。 4 ? ?

五、“定积分模型”的建立:对面积问题,可设计成“定积分模型”,利用定积分知识解决。
典型例题: 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例 1:2012 年湖北省理 5 分) ( 已知二次函数 y =f ? x ? 的图像如图所示 , 则它与 x 轴所围图形的面积为 【 】

A.

2? 5

B.

4 3

C.

3 2

D.

? 2

【答案】B。 【考点】待定系数法求函数解析式,定积分在求面积中的应用。 【解析】先根据函数的图象用待定系数法求出函数的解析式,然后利用定积分表示所求面积,最后根据定 积分运算法则求出所求: 根据函数的图象可知二次函数 y =f ? x ? 图象过点(-1,0)(1,0)(0,1) , , ,用待定系数法可求 得二次函数解析式为 f ? x ? =1 ? x 。
2

设二次函数 y =f ? x ? 的图像与 x 轴所围图形的面积为 S ,

? 1 31? 4 则 S = ? ?1-x ?dx =2 ? ?1-x ?dx =2 ? x- x ? = 。故选 B。 -1 0 ? 3 0? 3 ? ?
1 2 1 2

例 2: (2012 年山东省理 4 分)设 a>0.若曲线 y= x 与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a,则 a= ▲ 【答案】 。

9 。 4

【考点】定积分的应用。 【解析】 S ? ?
a

0

2 x dx ? x 2 3

3 a 0

2 9 ? a 2 ? a ,解得 a ? 。 3 4

3

例 3: (2012 年福建省理 5 分)如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴 影部分的概率为【 】

1 A. 4 【答案】C。

1 B. 5

1 C. 6

1 D. 7

【考点】定积分的计算,几何概型的计算。 【解析】∵ S阴影 = ?
1

0

?

?2 3 1 ? 2 1 1 x ? x dx ? ? x 2 ? x 2 ? 1 ? ? ? , 0 2 ? 3 2 6 ?3

?

∴利用几何概型公式得: P =

S阴影 S正方形

1 1 ? 6 ? 。故选 C。 1 6

f ? 例 4: (2012 年湖南省理 5 分)函数 (x) sin ?? x ? ? ? 的导函数 y ? f ?( x) 的部分图像如图所示,其中,
P 为图像与 y 轴的交点,A,C 为图像与 x 轴的两个交点,B 为图像的最低点. (1)若 ? ?

?
6

,点 P 的坐标为 ? 0,

? ? ?

3 3? ? ,则 ? ? 2 ? ?



;

ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为 (2)若在曲线段 ?



.

【答案】 (1)3; (2)

? 。 4

【考点】三角函数的图像与性质,定积分,几何概率。 【解析】 (1) y ? f ?( x) ? ? cos(? x ? ? ) ,当 ? ? ∴? ? 3。

?
6

,点 P 的坐标为 ? 0,

? ? ?

3 3? ? 3 3 , ? 时, ? cos ? ? 2 ? 6 2

2? 1 ? T ? (2)由图知 AC ? ? ? ? , S?ABC ? AC ? ? ? 。 2 2 2 2 ?
ABC 与 x 轴所围成的区域面积为 ∵ y ? f ?( x) ? ? cos(? x ? ? ) ,∴曲线段 ?

?? ??
2 ?

3? ?? 2

[? f ? ? x ?]dx = ? f ? x ? | ? ? ? ?sin
2 ??

3? ?? 2

3? ? ? ? sin ) 2 。 ( ? 2 2

?

?

由几何概率知该点在△ABC 内的概率为 P ?

S?ABC 2 ? ? ? 。 S 2 4

?


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