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广东省东莞市南开实验学校2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


2015-2016 学年广东省东莞市南开实验学校高二(上)期中数学试卷(理科)

一.选择题(在每个小题提供的四个选项中,有且仅有一个正确答案.每题 5 分,满分 60 分) 1.已知椭圆 ( A.2 ) B.3 C.5 D.7 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一个焦点的距离

2.下列命题中正确的是(

)

A.若 a,b,c 是等差数列,则 log2a,log2b,log2c 是等比数列 B.若 a,b,c 是等比数列,则 log2a,log2b,log2c 是等差数列 C.若 a,b,c 是等差数列,则 2 ,2 ,2 是等比数列 D.若 a,b,c 是等比数列,则 2a,2b,2c 是等差数列
a b c

3.若 a,b,c 成等比数列,m 是 a,b 的等差中项,n 是 b,c 的等差中项,则 A.4 B.3 C.2 D.1

=(

)

4.若命题“¬p”与命题“p∨q”都是真命题,那么( A.命题 p 与命题 q 的真值相同 B.命题 p 一定是真命题 C.命题 q 不一定是真命题 D.命题 q 一定是真命题

)

5.过点(﹣3,2)且与

=1 有相同焦点的椭圆的方程是(

)

A.

=1 B.

=1

C.

=1 D.

=1

6.下列函数中,最小值为 2 A. C.y=e +2e
x ﹣x

的是(

)

B. D. y=log2x+2logx2

7.在△ABC 中,“A>60°”是“sinA> A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

”的(

)

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8.若不等式 ax2+bx+2>0 的解集是{x|﹣ <x< },则 a+b 的值为( A.﹣10 B.﹣14 C.10 D.14

)

9.椭圆

+

=1(a>b>0)的半焦距为 c,若直线 y=2x 与椭圆一个交点的横坐标恰为 c, ) C. ﹣1 D. ﹣1

则椭圆的离心率为( A. B.

10.直线 y=kx+1 的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是( A.k<0 B.k<﹣1 C.k<1 D.k>﹣2

)

11.已知方程(x2﹣2x+m) (x2﹣2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则|m﹣n| 等于( A.1 ) B. C. D.

12.给出平面区域如图所示,若使目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个, 则 a 的值为( )

A.

B.

C.4

D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.命题“x∈R,x≤1 或 x2>4”的否定是 __________.

14.不等式

<1 的解集为__________.

15.椭圆

+y =1 上的点 P 与点 Q(0,﹣2)的距离的最大值为__________.

2

16.在△ABC 中,∠C=60°,BC>1,AC=AB+ ,则 AC 的最小值是__________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共 70 分). 17.已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a,b,c 成等比数列, (Ⅰ)求 (Ⅱ)设 的值; 的值. .

18. (选修 4﹣5:不等式选讲) 已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集;

(Ⅱ)设 a>﹣1,且当

时,f(x)≤g(x) ,求 a 的取值范围.

19.某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱 1 吨需耗一级子棉 2 吨、二级子棉 1 吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉 1 吨、二级子棉 2 吨,每 1 吨甲种棉纱的利润是 600 元,每 1 吨乙种棉纱的利润是 900 元,工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过 300 吨、二级子棉不超过 250 吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少,能使利润总额最大?

20.在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增的等比数列,将这 n+2 个数 的乘积计作 Tn,再令 an=lgTn,n≥1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=tanan?tanan+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

21.已知中心是原点、焦点在 y 轴上的椭圆 C 长轴长为 4,且椭圆 C 过点 P(1, (1)求此椭圆的方程;

) ,

(2)过点 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB,分别交椭圆 C 于 A、B 两点.求直线 AB 的斜率.

22.已知曲线 C:xy=1,过 C 上一点 An(xn,yn)作一斜率为

的直线交曲线 C 于 .

另一点 An+1(xn+1,yn+1) ,点列 An(n=1,2,3,?)的横坐标构成数列{xn},其中 (1)求 xn 与 xn+1 的关系式; (2)求证:{ }是等比数列;

(3)求证: (﹣1)x1+(﹣1)2x2+(﹣1)3x3+?+(﹣1)nxn<1(n∈N,n≥1) .

2015-2016 学年广东省东莞市南开实验学校高二(上)期中数学试卷(理科)

一.选择题(在每个小题提供的四个选项中,有且仅有一个正确答案.每题 5 分,满分 60 分) 1.已知椭圆 ( A.2 ) B.3 C.5 D.7 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一个焦点的距离

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先根据条件求出 a=5;再根据椭圆定义得到关于所求距离 d 的等式即可得到结论. 【解答】解:设所求距离为 d,由题得:a=5. 根据椭圆的定义得:2a=3+d? d=2a﹣3=7. 故选 D. 【点评】本题主要考查椭圆的定义.在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题 中,圆锥曲线的定义往往是解题的突破口.

2.下列命题中正确的是(

)

A.若 a,b,c 是等差数列,则 log2a,log2b,log2c 是等比数列 B.若 a,b,c 是等比数列,则 log2a,log2b,log2c 是等差数列 C.若 a,b,c 是等差数列,则 2 ,2 ,2 是等比数列 D.若 a,b,c 是等比数列,则 2a,2b,2c 是等差数列 【考点】等比关系的确定. 【专题】计算题;等差数列与等比数列. 【分析】结论不成立,列举反例,C 利用等差数列、等比数列的定义进行证明. 【解答】解:对于 A,a=b=c=0,结论不成立; 对于 B,a=﹣1,b=1,c=﹣1,结论不成立; 对于 C,若 a,b,c 是等差数列,则 2b=a+c,所以 2a,2b,2c 是等比数列,成立; 对于 D,a=﹣1,b=1,c=﹣1,则 2a,2b,2c 是等差数列不成立.
a b c

故选:C. 【点评】本题考查等比关系的确定,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.

3.若 a,b,c 成等比数列,m 是 a,b 的等差中项,n 是 b,c 的等差中项,则 A.4 B.3 C.2 D.1

=(

)

【考点】数列的应用. 【专题】计算题. 【分析】由题意可知 【解答】解:由题意可知 ∴ = = = , , ,所以 , . = = .

故选 C. 【点评】本题考查数列的性质应用,难度不大,解题时要多一份细心.

4.若命题“¬p”与命题“p∨q”都是真命题,那么( A.命题 p 与命题 q 的真值相同 B.命题 p 一定是真命题 C.命题 q 不一定是真命题 D.命题 q 一定是真命题 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】阅读型.

)

【分析】根据命题和其否定真假性相反,判定出 p 的真假,结合“或”命题真假确定 q 的真 假.对照选项即可. 【解答】解:命题¬p 是真命题,则 p 是假命题. 又命题 pvq 是真命题,所以必有 q 是真命题. 故选 D. 【点评】本题考查复合命题真假性的判定及应用.复合命题真假一般转化成基本命题的真假.

5.过点(﹣3,2)且与

=1 有相同焦点的椭圆的方程是(

)

A.

=1 B.

=1

C.

=1 D.

=1

【考点】椭圆的标准方程. 【专题】计算题. 【分析】求出椭圆的焦点坐标,利用椭圆的定义,求出 a,c,然后求出 b,即可得到结果 【解答】解:由题意 =1 的焦点坐标( ) ,

所以 2a= 所以 a= .

=2



所以 b2=15﹣5=10 所以所求椭圆的方程为: 故选 A. 【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法,椭圆的定义的应用,考查计算能力. =1.

6.下列函数中,最小值为 2 A. B.

的是(

)

C.y=ex+2e﹣x D.y=log2x+2logx2 【考点】基本不等式. 【专题】计算题. 【分析】A:当 x<0 时不能运用基本不等式. B: sinx= 不成立. 当 sinx= 时取到最小值 2 ,由三角函数的性质可得

C:此函数解析式满足:一正,二定,三相等,所以 C 正确. D:当 log2x<0 时不能运用基本不等式. 【解答】解:A:由 可得:当 x<0 时不能运用基本不等式,所以 A 错误.

B: 可得 sinx=
x

≥2 不成立,所以 B 错误.
x ﹣x

,当且仅当 sinx=

时取等号,由三角函数的性质

C:因为 e >0,所以 y=e +2e = 正,二定,三相等,所以 C 正确.

≥2

,当且仅当 e =

x

时取等号,此函数满足:一

D:由 y=log2x+2logx2 可得:当 log2x<0 时不能运用基本不等式,所以 D 错误. 故选 C. 【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值,以及三角函数、指数函数、对数函数的有关 性质,在利用基本不等式求最值时要满足:一正,二定,三相等,此题属于基础题.

7.在△ABC 中,“A>60°”是“sinA> A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

”的(

)

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的定义和性质进行判断即可. 【解答】解:在△ABC 中,若 sinA> ,则 60°<A<120°,即 A>60°成立, 不成立,

当 A=150°时,满足 A>60°但 sinA= ,则 sinA> 故“A>60°”是“sinA> 故选:B ”的必要不充分条件,

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据三角函数的性质和取值范围是解决 本题的关键.

8.若不等式 ax +bx+2>0 的解集是{x|﹣ <x< },则 a+b 的值为( A.﹣10 B.﹣14 C.10 D.14

2

)

【考点】一元二次不等式的应用. 【专题】计算题.

【分析】将不等式解集转化为对应方程的根,然后根据韦达定理求出方程中的参数 a,b,从 而求出所求. 【解答】解:∵不等式 ax2+bx+2>0 的解集为(﹣ , ) ∴﹣ , 为方程 ax +bx+2=0 的两个根 ∴根据韦达定理: ﹣ + =﹣ ﹣ × = 由①②解得: ① ②
2

∴a+b=﹣14 故选:B. 【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用,以及韦达定理的运用和一元二次不等式解 集与所对应一元二次方程根的关系,属于中档题.

9.椭圆

+

=1(a>b>0)的半焦距为 c,若直线 y=2x 与椭圆一个交点的横坐标恰为 c, ) C. ﹣1 D. ﹣1

则椭圆的离心率为( A. B.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;函数思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由已知可得:椭圆 + =1 与直线 y=2x 交于(c,2c)点,代入可得离心率的值.

【解答】解:由已知可得:椭圆

+

=1 与直线 y=2x 交于(c,2c)点,



+

=1,



+

=1,

即 a4﹣6a2c2+c4=0, 即 1﹣6e2+e4=0, 解得:e =3﹣2 ∴e=
2

,或 e =3+2

2

(舍去) ,

﹣1,或 e=1﹣

(舍去) ,

故选:D 【点评】本题考查的知识点是椭圆的简单性质,根据已知构造关于 a,c 的方程,是解答的关 键.

10.直线 y=kx+1 的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是( A.k<0 B.k<﹣1 C.k<1 D.k>﹣2

)

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线的倾斜角. 【专题】证明题. 【分析】直线 y=kx+1 的倾斜角为钝角则可得出其斜率小于 0,再有必要非充分条件的定义从 四个选项中选出正确答案即可 【解答】解:由题意,y=kx+1 的倾斜角为钝角故 k<0 考察四个选项,A 是充要条件,B 是其充分条件,C 是其必要不充分条件,D 是它的即不充分 也不必要条件 故选 C 【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,求解的关键是正确理解充分条件 必要条件的定义,本题属于考查基本概念的题.

11.已知方程(x ﹣2x+m) (x ﹣2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则|m﹣n| 等于( A.1 ) B. C. D.

2

2

【考点】等差数列的性质;一元二次不等式的解法. 【专题】计算题.

【分析】设 4 个根分别为 x1、x2、x3、x4,进而可知 x1+x2 和 x3+x4 的值,进而根据等差数列的 性质,当 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq.设 x1 为第一项,x2 必为第 4 项,可得数列,进而求得 m 和 n,则答案可得. 【解答】解:设 4 个根分别为 x1、x2、x3、x4, 则 x1+x2=2,x3+x4=2, 由等差数列的性质,当 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq. 设 x1 为第一项,x2 必为第 4 项,可得数列为 , , , , ∴m= ,n= .

∴|m﹣n|= . 故选 C 【点评】本题主要考查了等差数列的性质.解题的关键是运用了等差数列当 m+n=p+q 时, am+an=ap+aq 的性质.

12.给出平面区域如图所示,若使目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个, 则 a 的值为( )

A.

B.

C.4

D.

【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】由题设条件,目标函数 z=ax+y (a>0) ,取得最大值的最优解有无数个知取得最优 解必在边界上而不是在顶点上,目标函数中两个系数皆为正,故最大值应在左上方边界 AC 上 取到,即 ax+y=0 应与直线 AC 平行,进而计算可得答案. 【解答】解:由题意,最优解应在线段 AC 上取到, 故 ax+y=0 应与直线 AC 平行

∵kAC=

=﹣ ,

∴﹣a=﹣ , ∴a= , 故选:B 【点评】本题考查线性规划最优解的判定,属于该知识的逆用题型,知最优解的特征,判断 出最优解的位置求参数.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.命题“x∈R,x≤1 或 x2>4”的否定是 ? x∈R,x>1 且 x ≤4.
2

【考点】命题的否定. 【专题】阅读型. 【分析】存在性命题”的否定一定是“全称命题”.? 的否定为? ,x≤1 或 x >4 的否定为 x
2

>1 且 x2≤4 【解答】解:析已知命题为存在性命题,故其否定应是全称命题、 答案? x∈R,x>1 且 x ≤4
2

【点评】本题考查了命题的否定,属于基础题

14.不等式

<1 的解集为{x|x<2 或 x> }.

【考点】其他不等式的解法. 【专题】计算题;转化思想;综合法;不等式的解法及应用. 【分析】由已知条件先移项再通分,由此能求出不等式 【解答】解:∵ ∴ ﹣1= <1, <0, <1 的解集.







解得 x<2 或 x> , ∴不等式 <1 的解集为{x|x<2 或 x> }.

故答案为:{x|x<2 或 x> }. 【点评】本题考查不等式的解法,是基础题,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理 运用.

15.椭圆

+y2=1 上的点 P 与点 Q(0,﹣2)的距离的最大值为



【考点】椭圆的简单性质. 【专题】转化思想;数形结合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由椭圆 +y2=1,设点 P(2cosθ ,sinθ ) (θ ∈.

【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,函数的单调性的应用,体 现了数形结合以及转化的数学思想,属于中档题.

19.某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱 1 吨需耗一级子棉 2 吨、二级子棉 1 吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉 1 吨、二级子棉 2 吨,每 1 吨甲种棉纱的利润是 600 元,每 1 吨乙种棉纱的利润是 900 元,工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过 300 吨、二级子棉不超过 250 吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少,能使利润总额最大? 【考点】简单线性规划的应用. 【专题】数形结合;不等式的解法及应用. 【分析】 利用线性规划知识求解, 建立约束条件, 作出可行域,再根据目标函数 z=600x+900y, 利用截距模型,平移直线找到最优解,即可.

【解答】解:设生产甲、乙两种棉纱分别为 x 吨、y 吨,利润总额为 z 元,则

目标函数为 z=600x+900y. 作出以上不等式组所表示的平面区域(如图) ,即可行域. 作直线 l:600x+900y=0,即直线 l:2x+3y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经 过可行域上的点 M,且与原点距离最大,此时 z=600x+900y 取最大值. 解方程组 因此,当 x= ,y= ,解得 M 的坐标为( ) +900× =130000.

时,z 取得最大值.此时 zmax=600× 吨,乙种棉纱

答:应生产甲种棉纱 万元.

吨,能使利润总额达到最大,最大利润总额为 13

【点评】本题考查用线性规划解决实际问题中的最值问题,解题的关键是确定约束条件,作 出可行域,利用目标函数的类型,找到最优解,属中档题.

20.在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增的等比数列,将这 n+2 个数 的乘积计作 Tn,再令 an=lgTn,n≥1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=tanan?tanan+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 【考点】等比数列的通项公式;数列与三角函数的综合. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】 (I)根据在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增的等比数列, 我们易得这 n+2 项的几何平均数为 10,故 Tn=10n+2,进而根据对数的运算性质我们易计算出数 列{an}的通项公式;

(II)根据(I)的结论,利用两角差的正切公式,我们易将数列{bn}的每一项拆成 的形式,进而得到结论. 【解答】解: (I)∵在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增的等比数列, 又∵这 n+2 个数的乘积计作 Tn, ∴Tn=10n+2 又∵an=lgTn, ∴an=lg10n+2=n+2,n≥1. (II)∵bn=tanan?tanan+1=tan(n+2)?tan(n+3)= ∴Sn=b1+b2+?+bn=++?+ = 【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合,其中根据已知 求出这 n+2 项的几何平均数为 10,是解答本题的关键. ,

21.已知中心是原点、焦点在 y 轴上的椭圆 C 长轴长为 4,且椭圆 C 过点 P(1, (1)求此椭圆的方程;

) ,

(2)过点 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB,分别交椭圆 C 于 A、B 两点.求直线 AB 的斜率. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】转化思想;数形结合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】 (1)由题意设椭圆的标准方程为:

=1(a>b>0) ,可得

,解出

即可得出; (2) 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 设 PA 的方程为 y﹣ x2﹣2k x+ ﹣2=0, =k (x﹣1) , 代入椭圆方程化简得: (k2+2)

显然 1 与 x1 是这个方程的两解,可得 x1,y1,用﹣k 代替 x1,y1 中的 k,得 x2,y2.再利用斜 率计算公式即可得出.

【解答】解: (1)由题意设椭圆的标准方程为:

=1(a>b>0) ,可得



解得 a=2,b =2=c . 设此椭圆的方程为: . =k (x﹣1) , 代入椭圆方程化简得: (k2+2)

2

2

(2) 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 设 PA 的方程为 y﹣ x ﹣2k
2

x+

﹣2=0,

显然 1 与 x1 是这个方程的两解, ∴x1= ,y1= ,

用﹣k 代替 x1,y1 中的 k,得 x2=







=



【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题.

22.已知曲线 C:xy=1,过 C 上一点 An(xn,yn)作一斜率为

的直线交曲线 C 于 .

另一点 An+1(xn+1,yn+1) ,点列 An(n=1,2,3,?)的横坐标构成数列{xn},其中 (1)求 xn 与 xn+1 的关系式; (2)求证:{ }是等比数列;
2 3 n

(3)求证: (﹣1)x1+(﹣1) x2+(﹣1) x3+?+(﹣1) xn<1(n∈N,n≥1) . 【考点】数列递推式;等比关系的确定;不等式的证明. 【专题】综合题;压轴题. 【分析】 (1)根据点 An 的坐标表示出斜率 kn,代入 得 xn 与 xn+1 的关系式; 求得 xnxn+1=xn+2 整理后即可求

(2) )记

,把(1)中求得 xn 与 xn+1 的关系式代入可求得 an+1=﹣2an 推断数列{an}

即:{

}是等比数列;

(3)由(2)可求得

的表达式,进而求得 xn,进而看 n 为偶数时,求得(﹣1)n﹣1xn

﹣1

+(﹣1)nxn=



,进而可证(﹣1)x1+(﹣1)2x2+(﹣

1)3x3+?+(﹣1)nxn<1;再看 n 为奇数时, 前 n﹣1 项为偶数项,则可证出: (﹣1)x1+(﹣1)2x2++(﹣1)n﹣1xn﹣1+(﹣1)nxn< <1,最后综合原式可证. 【解答】解: (1)过 C: 上一点 An(xn,yn)作斜率为 kn 的直线交 C 于另一点 An+1,





于是有:xnxn+1=xn+2 即: .

(2)记







因为



因此数列{

}是等比数列.

(3)由(2)知:



. ①当 n 为偶数时有: (﹣1) = 于是在 n 为偶数时有: . 1 在 n 为奇数时,前 n﹣1 项为偶数项, 于是有: (﹣1)x1+(﹣1)2x2++(﹣1)n﹣1xn﹣1+(﹣1)
n n﹣1

xn﹣1+(﹣1) xn= ,

n

xn



综合①②可知原不等式得证. 【点评】本题主要考查了数列的递推式.考查了学生推理能力和基本的运算能力.


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