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2014年北京高考理科数学试题及答案(Word版)


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2014 年北京高考数学(理科)试题
一.选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1.已知集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 0}, B ? {0,1, 2}

,则 A

B?(

)

B. { 0 , 1} C. { 0 , 2 } D. { 0 , 1 , 2 } 2.下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是( )

A.{0}

D. y? l o 0 g. 5 x (? 1 ) B. y? ( x ? 12) C. y ? 2? x A. y ? x ? 1 ? x ? ?1 ? cos ? 3.曲线 ? ( ? 为参数)的对称中心( ) y ? 2 ? sin ? ? A. 在直线 y ? 2 x 上 B. 在直线 y ? ?2 x 上 C. 在直线 y ? x ? 1 上 D. 在直线 y ? x ? 1 上 4.当 m ? 7, n ? 3 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( ) A.7 B. 4 2 C.210 D. 8 4 0

5.设 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 " q ? 1" 是 "{an }" 为递增数列的(



A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ? x? y?2?0 ? 6.若 x , y 满足 ?kx ? y ? 2 ? 0 且 z ? y ? x 的最小值为-4,则 k 的值为( ? y?0 ? 1 1 A.2 B. ? 2 C. D. ? 2 2



7.在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A? 2,0,0? , B ? 2, 2,0? , C ? 0, 2,0? , D 1,1, 2 ,若

?

?

S1 , S2 , S3 分别表示三棱锥 D ? ABC 在 xOy , yOz , zOx 坐标平面上的正投影图形的
面积,则( ) (A) S1 ? S2 ? S3 (C) S1 ? S3 且 S3 ? S2 (B) S1 ? S2 且 S3 ? S1 (D) S2 ? S3 且 S1 ? S3

8.有语文、数学两学科,成绩评定为“优秀” “合格” “不合格”三种.若 A 同学每科成绩不 低于 B 同学,且至少有一科成绩比 B 高,则称“ A 同学比 B 同学成绩好.”现有若干同学, 他们之间没有一个人比另一个成绩好,学科 网且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样

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的.问满足条件的最多有多少学生( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
2

(D) 5

? 1? i ? 9.复数 ? ? ? ________. ? 1? i ? 10.已知向量 a 、 b 满足 a ? 1 , b ? ? 2,1? ,且 ? a ? b ? 0 ? ? ? R ? ,则 ? ? ________.
11.设双曲线 C 经过点 ? 2, 2 ? ,且与 渐近线方程为________. 12.若等差数列 ?an ? 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0 , a7 ? a10 ? 0 ,则当 n ? ________时 ?an ? 的前 n 项和最大. 13. 把 5 件不同产品摆成一排,若产品 A 与产品 C 不相邻,则不同的摆法有_______种. 14. 设函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) , A ? 0, ? ? 0 ,若 f ( x) 在区间 [

y2 ? x 2 ? 1 具有相同渐近线,则 C 的方程为________; 4

? ?

, ] 上具有单调性,且 6 2

?? ? f? ?? ?2?

? 2? f? ? 3

? ?? ? ? ? ? f ? ? ,则 f ( x) 的最小正周期为________. ? ?6?

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试题分析:对等比数列 {an } ,若 q ? 1 ,则当 a1 ,0 时数列 {an } 是递减数列;若数列 {an } 是递增数列, 则

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二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请将答案天灾答题卡对应题号的 位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
9.【答案】 ? 1 【解析】

1? i 2 2 1? i (1 ? i) 2 2i ) ? i ? ?1. 试题分析: ? ? ? i ,所以 ( 1? i 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2
10.【答案】 5 【解析】

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三.解答题(共 6 题,满分 80 分)

?B ? 15.(本小题 13 分) 如图, 在 ?ABC 中,
(1)求 sin ?BAD (2)求 BD, AC 的长

?
3

, AB ? 8 , 点 D 在 BC 边上, 且 CD ? 2, cos ?ADC ?

1 7

16. (本小题 13 分). 李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立) :

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(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0 .6 的概率. (2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 0 .6 ,一 场不超过 0 .6 的概率. (3)记 x 是表中 10 个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明 在这比赛中的命中次数,比较 E ( X ) 与 x 的大小(只需写出结论)

17.(本小题 14 分) 如图,正方形 AMDE 的边长为 2, B, C 分别为 AM , MD 的中点,在五棱锥 P ? ABCDE 中, F 为棱 PE 的中点,平面 ABF 与棱 PD, PC 分别交于点 G , H . (1)求证: AB // FG ; (2)若 PA ? 底面 ABCDE ,且 AF ? PE ,求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小,并 求线段 PH 的长.

18.(本小题 13 分) 已知函数

f ( x) ? x cos x ? sin x, x ? [0, ] , 2 (1)求证: f ( x) ? 0 ; sin x ? ? b 在 (0, ) 上恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值. (2)若 a ? 2 x

?

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19.(本小题 14 分) 已知椭圆 C : x
2

? 2 y2 ? 4 ,
y ? 2 上,且 OA ? OB ,求直线 AB 与圆

(1)求椭圆 C 的离心率. (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线

x ? y ? 2 的位置关系,并证明你的结论.
2 2

20.(本小题 13 分) 对于数对序列 P(a1 , b1 ),(a2 , b2 ),

,(an , bn ) ,记 T1 ( P) ? a1 ? b1 , Tk ( P) ? bk ? max{Tk ?1 ( P), a1 ? a2 ? ? ak }(2 ? k ? n) ,其中 max{Tk ?1 ( P), a1 ? a2 ? ? ak }表示 Tk ?1 ( P) 和 a1 ? a2 ? ? ak 两个数中最大的数, (1)对于数对序列 P(2,5), P(4,1) ,求 T1 ( P), T2 ( P) 的值. (2)记 m 为 a, b, c, d 四 个 数 中 最 小 值 , 对 于 由 两 个 数 对 (a, b),(c, d ) 组 成 的 数 对 序 列 P(a, b),(c, d ) 和 P '(a, b),(c, d ) ,试分别对 m ? a 和 m ? d 的两种情况比较 T2 ( P) 和 T2 ( P ') 的大
小. (3) 在由 5 个数对 (11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6) 组成的所有数对序列中, 写出一个数对序列 P 使 T5 ( P) 最小,并写出 T5 ( P) 的值.(只需写出结论).

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