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关于高中数学恒成立问题的解析及练习


2013 届高考数学快速提升成绩题型训练——恒成立问题
1. (1)若关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? a ? 0 的解集为 (??,??) ,求实数 a 的取值范围; (2)若关于 x 的 不等式 x 2 ? ax ? a ? ?3 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 三个同学对问题“关于 x 的不等式 x 2

? 25 ? x 3 ? 5 x 2 ? ax 在 ?1,12? 上恒成立,求实数 a 的取值范 围”提出各自的解题思路. 甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”. 乙说:“把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值”. 丙说:“把不等式两边看成关于 x 的函数,作出函数图像”. 参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,求 a 的取值范围. ? ? ? ? 3. 已知向量 a ? ( x2 , x ? 1), b ? (1 ? x, t ), 若函数 f ?x? ? a ? b 在区间 ? ?1,1? 上是增函数, t 的取值范围. 求 4. 已知函数 f ? x ? ? x3 ? 3ax ?1, g ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ? 5 ,其中 f ' ? x ? 是 f ? x ? 的导函数. (1)对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 ,求实数 x 的取值范围; (2) a ? ?m2 , 设 当实数 m 在什么范围内变化时, 函数 y ? f ? x ? 的 线 y ? 3 只有一个公共点. 5. 求与抛物线 E : y ? ax 2 相切于坐标原点的最大圆 C 的方程. 6. 设 a ? R ,二次函数 f ( x) ? ax2 ? 2x ? 2a. 若 f ( x) ? 0 的解集为
A

图象与直



B ? ?x |1 ? x ? 3?, A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.
7. 已知函数 f ?x? ? ln x , g ? x ? ?
1 2 ax ? bx , a ? 0 . 2

若 b ? 2 ,且 h?x? ? f ?x? ? g ?x? 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; 8. 设 x ? 3 是函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? b)e3? x ( x ?R) 的一个极值点. (Ⅰ)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)设 a ? 0 , g ( x) ? (a 2 ? 9. 已知函数 f ( x) ?
25 x )e ,若存在 ?1 , ?2 ?[0, 4] 使得 f (?1 ) ? g (?2 ) ? 1成立,求 a 的取值范围. 4

4x 2 ? 7 , x ? [0,1]. 2? x

(1)求 f (x) 的单调区间和值域; ( 2 ) 设 a ? 1 , 函 数 g ?x? ? x 3 ? 3a 2 x ? 2a, x ? ?0,1? , 若 对 于 任 意 x1 ? ?0,1? , 总 存 在 x0 ? ?0,1? 使 得

g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范围.

? ?? 10. 求 实 数 a 的 取 值 范 围 , 使 得 对 任 意 实 数 x 和 任 意 ? ? ?0, ? , 恒 有 : ? 2?

?x ? 3 ? 2 s i ?nc o ?s?2 ? ?x ? a s i ?n ? a c o ?s?2 ? 1 。
8

11. 已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx3 ? 3(m ? 1) x2 ? nx ? 1的一个极值点, 其中 m, n ? R, m ? 0 。 (I) m 与 求 (II)求 f ( x) 的单调区间; (III)当 x???1,1? 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线 n 的关系式; 斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围. 12. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,a2=6,a3=11,且 其中 A,B 为常数. (5n ? 8)Sn?1 ? (5n ? 2)Sn ? An ? B, n ? 1, 2,3,?, (Ⅰ)求 A 与 B 的值; (Ⅱ)证明数列{an}为等差数列; (Ⅲ)证明不等式 5amn ? am an ? 1 对任何正整数 m、n 都成立. 13. 对于满足|a| ? 2 的所有实数 a,求使不等式 x2+ax+1>2a+x 恒成立的 x 的取值范围。 14. 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 ??1, 1 上 的 奇 函 数 , 且 f (1) ? 1 , 若 a, b??? 1, ? , a ? b ? 0 , 有 1 ?
f ( a )? f ( b ) ? 0, (1)证明 f ( x) 在 ??1,1? 上的单调性; (2)若 f (x) ?m 2 ? 2am ?1 对所有 a???1,1? 恒成立, a?b 求 m 的取值范围。

15. 若函数 y ? mx 2 ? 6mx ? m ? 8 在 R 上恒成立,求 m 的取值范围。 16. 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 3 ? a ,⑴在 R 上 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。 ⑵若 x ?? ?2,2? 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。 ⑶若 x ?? ?2,2? 时, f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围。 ⒘ 若对任意的实数 x , sin 2 x ? 2k cos x ? 2k ? 2 ? 0 恒成立,求 k 的取值范围。 分析:这是有关三角函数的二次问题,运用到三角函数的有界性。 ⒙已知函数 f ( x) ? lg(a x ? bx ) ,常数 a ? 1 ? b ? 0 ,求(1)函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)当 a、 b 满足什么条件时 f ( x) 在区间 ?1,?? ? 上恒取正。

答案: 1.(1)设 f ?x? ? x 2 ? ax ? a .则关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? a ? 0 的解集为 (??,??) ? f ?x ? ? 0 在

?? ?,??? 上恒成立 ?

f min ?x ? ? 0 ,即 f min ?x ? ? ?

4a ? a 2 ? 0, 解得 ? 4 ? a ? 0 4

( 2 ) 设 f ?x? ? x 2 ? ax ? a . 则 关 于 x 的 不 等 式 x 2 ? ax ? a ? ?3 的 解 集 不 是 空 集 ? f ?x ? ? ?3 在

?? ?,??? 上能成立 ?

f min ?x ? ? ?3 ,即 f min ?x ? ? ?

4a ? a 2 ? ?3, 解得 a ? ?6 或 a ? 2 . 4

2. 关键在于对甲,乙,丙的解题思路进行思辨,这一思辨实际上是函数思想的反映. 设 f ? x ? ? x 2 ? 25 ? x 3 ? 5 x 2 , g ? x ? ? ax . 甲的解题思路,实际上是针对两个函数的,即把已知不等式的两边看作两个函数, 设 f ? x ? ? x 2 ? 25 ? x 3 ? 5 x 2 , g ? x ? ? ax 其解法相当于解下面的问题: 对于 x1 ??1,12? , x2 ??1,12? ,若 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 恒成立,求 a 的取值范围. 所以,甲的解题思路与题目 x??1,12? , f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求 a 的取值范围的要求不一致.因而, 甲 的解题思路不能解决本题. 按照丙的解题思路需作出函数 f ? x ? ? x 2 ? 25 ? x 3 ? 5 x 2 的图象和

g ? x ? ? ax 的图象,然而,函数 f ? x ? 的图象并不容易作出.
由乙的解题思路,本题化为
f ? x? ? a 在 x??1,12? 上恒成立,等价于 x??1,12? 时, x
? f ? x? ? ? ? ?a 成 ? x ? min

立.由

f ? x? 25 ? x ? ? x x ? 5 在 x ? 5 ??1,12? 时,有最小值 10 ,于是, a ? 10 . x x

3. 依定义 f ( x) ? x 2 (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x 3 ? x 2 ? tx ? t , 则f ?( x) ? ?3x 2 ? 2x ? t.

f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上是增函数等价于 f ??x? ? 0 在区间 ?? 1,1? 上恒成立;
而 f ??x? ? 0 在区间 ?? 1,1? 上恒成立又等价于 t ? 3x 2 ? 2 x 在区间 ?? 1,1? 上恒成立; 设 g ?x? ? 3x 2 ? 2x, x ? ?? 1,1? 进而 t ? g ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上恒成立等价于 t ? g max ?x ?, x ? ?? 1,1?
1? ? ?1 ? 考虑到 g ?x? ? 3x 2 ? 2x, x ? ?? 1,1? 在 ? ? 1, ? 上是减函数,在 ? ,1? 上是增函数, 3? ? ?3 ?

则 g max ?x? ? g ?? 1? ? 5 .

于是, t 的取值范围是 t ? 5 .

4. 解法 1.由题意 g ? x? ? 3 x2 ? ax?3 a?5,这一问表面上是一个给出参数 a 的范围,解不等式

g ? x ? ? 0 的问题,实际上,把以 x 为变量的函数 g ? x ? ,改为以 a 为变量的函数,就转化为不等式的恒成
立的问题,即 令 ? ? a ? ? ?3 ? x ? a ? 3x2 ? 5, ? ?1 ? a ? 1? ,则对 ?1 ? a ? 1 ,恒有 g ? x ? ? 0 ,即 ? ? a ? ? 0 ,从而转化为 对 ?1 ? a ? 1 ,? ? a ? ? 0 恒成立,又由 ? ? a ? 是 a 的一次函数,因而是一个单调函数,它的最值在定义域的 端点得到.为此
? ? ?1? ? 0 ? 只需 ? ?? ? ?1? ? 0 ?

?3 x 2 ? x ? 2 ? 0, 2 即? 2 解得 ? ? x ? 1. 3 ? 3x ? x ? 8 ? 0.

? 2 ? 故 x ? ? ? ,1? 时,对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 . ? 3 ?

解法 2.考虑不等式 g ? x ? ? 3x2 ? ax ? 3a ? 5 ? 0 . 由 ?1 ? a ? 1 知, ? ? a 2 ? 36a ? 60 ? 0 ,于是,不等式的解为

a ? a 2 ? 36a ? 60 a ? a 2 ? 36a ? 60 . ?x? 6 6
但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑 a 的条件,还应进一步完善. 为此,设 g ? a ? ?

a ? a 2 ? 36a ? 60 a ? a 2 ? 36a ? 60 . , h ?a? ? 6 6

不等式化为 g ? a ? ? x ? h ? a ? , ?1 ? a ? 1 恒成立,即 g ? a ?max ? x ? h ? a ?min , ?1 ? a ? 1 . 由于 g ? a ? ?
2 a ? a 2 ? 36a ? 60 在 ?1 ? a ? 1 上是增函数,则 g ? a ?max ? g ?1? ? ? , 3 6

2 a ? a 2 ? 36a ? 60 在 ?1 ? a ? 1 上是减函数,则 h ? a ?min ? h ?1? ? 1. 所以, ? ? x ? 1 . h ?a? ? 3 6

? 2 ? 故 x ? ? ? ,1? 时,对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 . ? 3 ?

5. 因为圆 C 与抛物线 E : y ? ax 2 相切于坐标原点,所以,可设 C : x 2 ? ? y ? r ? ? r 2 .
2

由题意, 抛物线 E 上的点 P ? x, y ? 除坐标原点 ? 0, 0 ? 之外,都在圆 C 的外边.设 P 和圆心 C ? 0, r ? 的距离 为 d ,则本题等价于
d ? x2 ? ? y ? r ? ? r
2

①在 y ? 0 的条件下,恒成立.
1 a

整理①式得

y ? 2r ?


1 , a

于是,本题又等价于②式在 y ? 0 的条件下,恒成立.即 ymin ? 2r ?

由 ymin ? 0 得

0 ? 2r ?

1 1 ,即 r ? . a 2a

所以,符合条件的最大圆的半径是 r ? 6.解法一:由题设, a ? 0 .

1 1 ? ? 1 ? ? ,最大圆 C 的方程为 x2 ? ? y ? ? ? ? ? 2a 2a ? ? 2a ? ?

2

2

f ? x ? ? 0 的两个根为 x1 ?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 , x2 ? ? 2 ? 2 , 显然, x1 ? 0, x2 ? 0 . a a a a

(1) 当 a ? 0 时, A ? ? x x1 ? x ? x2 ? ,

A ? B ? ? ? x2 ? 1 ?

1 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? a ? ?2. a a
6 1 1 ? 2? 2 ? 3? a ? . 7 a a

(2) 当 a ? 0 时, A ? ? x x ? x1? ? ? x x ? x2 ? ,
?6 ? 于是,实数 a 的取值范围是 ? ??, ?2 ? ? ? , ?? ? . ?7 ?

A ? B ? ? ? x2 ? 3 ?

解法二: (1) 当 a ? 0 时 , 因 为 f ? x ? 的 图 象 的 对 称 轴
1 ? 0 , 则 对 x ? ?1 , ?3 , f ?1? 最 大 , a

fm

a x

? x ? ?f1? ?

? a2 ? a ? . ? a ? 2 . ? 2 0 ?

(2) 当 a ? 0 时, fmax ? x ? , x? ?1,3? 在 f ?1? 或 f ? 3? 实现, 由 f ?1? ? ?2 ? a ? 0, f ?3? ? 7a ? 6 ,则 f ? 3? ? 7 a ? 6 ? 0 ? a ?
?6 ? 于是,实数 a 的取值范围是 ? ??, ?2 ? ? ? , ?? ? . ?7 ?
6 7

这个解法的关键是用函数思想指导,学会用函数和变量来思考. 1 7. 只研究第(I)问. b ? 2时, h( x) ? ln x ? ax 2 ? 2 x , 2 则 h?( x) ?
1 ax2 ? 2 x ? 1 ? ax ? 2 ? ? . x x

因为函数 h ? x ? 存在单调递减区间,所以 h?( x) ? 0 有解. 由题设可知, h?x ? 的定义域是 ?0,??? , 而 h??x ? ? 0 在 ?0,??? 上有解,就等价于 h??x ? ? 0 在区间 ?0,??? 能成立, 即a ?
1 2 1 2 ? , x ? ?0,???成立, 进而等价于 a ? umin ?x? 成立,其中 u ? x ? ? 2 ? . 2 x x x x
2

1 2 ?1 ? 由 u ? x ? ? 2 ? ? ? ? 1? ? 1 得, u min ?x ? ? ?1 .于是, a ? ?1 , x ?x ? x

由题设 a ? 0 ,所以a的取值范围是 ?? 1,0? ? ?0,???

8. 本题的第(Ⅱ) “若存在 ?1 , ?2 ?[0, 4] 使得 f (?1 ) ? g (?2 ) ? 1成立,求 a 的取值范围.”如何理解这 一 设 问 呢 ? 如 果 函 数 f ? x ? 在 x ??0, 4? 的 值 域 与 g ? x ? 在 x ??0, 4? 的 值 域 的 交 集 非 空 , 则 一 定 存 在

?1 , ?2 ?[0, 4] 使得 f (?1 ) ? g (?2 ) ? 1成立,如果函数 f ? x ? 在 x ??0, 4? 的值域与 g ? x ? 在 x ??0, 4? 的值域的交
集是空集,只要这两个值域的距离的最小值小于 1 即可. 由(Ⅰ)可得,函数 f ? x ? 在 x ??0, 4? 的值域为 ? ? ? 2a ? 3? e3 , a ? 6 ? , ? ?

? 25 ? 25 ? ? 又 g ? x ? 在 x ??0, 4? 的值域为 ?a 2 ? , ? a 2 ? ? e4 ? , 4 ? 4? ? ?
存在 ?1 , ?2 ?[0, 4] 使得 f (?1 ) ? g (?2 ) ? 1成立,等价于 f max ? x ? ? g min ? x ? ? 1 或 g max ? x ? ? f min ? x ? ? 1 ,容

?? 2 25 ? 25 3 ? a ? ? ? ? a ? 6 ? ? 1, ? a ? 6 于是, ?? 易证明, a ? ?0?a? . 4 ? ? 4 2 ? a ? 0. ?
2
2 x 9. (1)对函数 f (x) 求导,得 f ?( x) ? ? 4 x ? 162 ? 7 ? ? (2 x ? 1)(2 x2? 7)

( 2 ? x)

( 2 ? x)

令 f ?( x) ? 0 解得 x ? 1 或x ? 7 .
2 2

1 1 可以求得,当 x ? (0, ) 时, f (x) 是减函数;当 x ? ( ,1) 时, f (x) 是增函数. 2 2

当 x ? [0,1] 时, f (x) 的值域为 ??4, ?3? . (2)对函数 g (x) 求导,得 g ?( x) ? 3( x 2 ? a 2 ).因为 a ? 1 ,当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 3(1 ? a 2 ) ? 0. 因此当 x ? (0,1) 时, g (x) 为减函数,从而当 x ? [0,1] 时有 g ( x) ? [ g (1), g (0)]. 又 g (1) ? 1 ? 2a ? 3a 2 , g (0) ? ?2a, 即 x ? [0,1] 时有 g ( x) 的值域为是 [1 ? 2a ? 3a2 , ?2a]. 如何理解“任给 x1 ? [0,1] , f ( x1 ) ? [?4,?3] ,存在 x0 ?[0,1] 使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) ” , 实际上,这等价于 f (x) 值域是 g ( x) 值域的子集,即 [1 ? 2a ? 3a2 , ?2a] ? [?4, ?3]. 这就变成一个恒成 立问题, f (x) 的最小值不小于 g ( x) 的最小值, f (x) 的最大值不大于 g ( x) 的最大值

?1 ? 2a ? 3a 2 ? ?4, 即? ?? 2a ? ?3.
解①式得

① ②

5 3 3 a ? 1或a ? ? ;解②式得 a ? . 又 a ? 1 ,故 a 的取值范围为 1 ? a ? . 3 2 2 1 7 2 10. 提示:原不等式 ? ?3 ? 2 sin ? cos ? ? a sin ? ? a cos ? ? ? 答案: a ? 6 或 a ? 4 2 11. 分析一:前面两小题运用常规方法很快可以得到,(I) n ? 3m ? 6 (II)当 2 2? ? m ? 0 时, f ( x) 在 ? ??,1 ? ? 单调递减, (1 ? ,1) 单调递增, (1, ??) 上单调递减. 3 在 在 (III) f ?(x) ? m 为 m m? ?

对 x???1,1? 恒成立,即 3 m ( x -1)[ x -(1+ ∵ m <0,∴( x -1)[ x -(1+

2 )]>3 m m

2 )]<1(*) m 1° x =1 时,(*)化为 0<1 恒成立,∴ m <0 2° x ≠1 时,∵ x ? [-1,1] ,∴-2≤ x -1<0 2 1 1 运用函数思想将(*)式化为 <( x -1)- ,令 t = x -1,则 t ? [-2,0] ,记 g (t ) ? t ? ,则 g (t ) x ?1 t m 1 3 ?? 在区间[-2,0]是单调增函数;∴ g (t ) min ? g (?2) ? ?2 ? ?2 2 2 3 4 4 由(*)式恒成立,必有 ? ? ? ? ? m ,又 m <0,则 ? ? m ? 0 m 2 3 3 4 综合 1°、2 °得 ? ? m ? 0 3

分析二: (III)中的 f ?( x) ? 3m ,即 mx2 ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0 对 x???1,1? 恒成立,
2 2 2 2 (m ? 1) x ? ? 0 即 x 2 ? (m ? 1) x ? ? 0, x ? ? ?1,1? ① m m m m 1 2 运用函数思想将不等式转化为函数值大于 0,设 g ( x) ? x 2 ? 2(1 ? ) x ? ,再运用数形结合思想,可 m m 得其函数开口向上,由题意知①式恒成立,

∵ m ? 0 ∴ x2 ?

2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 4 4 ∴? 解之得 ? ? m 又 m ? 0 所以 ? ? m ? 0 ?? m m 3 3 ? g (1) ? 0 ??1 ? 0 ?
4 即 m 的取值范围为 (? , 0) 。 3 通过上述的等价转化,使恒成立的解决得到简化,其中也包含着函数思想和数形结合思想的综 合运用。 12. 分析: 本题是一道数列综合运用题, 第一问由 a1、 2、 3 求出 s1、 2、 3 代入关系式, a a s s 即求出 A=-20、

B=-8;第二问利用 an ? sn ? sn?1 (n ? 1) 公式,推导得证数列{an}为等差数列.由于 an=1+5(n-1)=5n-4,故 第三问即是证明 5(5mn ? 4) ? (5m ? 4)(5n ? 4) ? 1对任何正整数 m、n 恒成立.对此复杂的恒成立问题, 我们可以用分析法将此恒成立问题进行等价转化, 由于要等价转化故需要先移项再两边平方, 整理得:
2 (5m ? 4)(5n ? 4) ? 20(m ? n) ? 37 ,而基本不等式得到:2 (5m ? 4)(5n ? 4) ? 5(m ? n) ? 8 ,因此要证明原不

等式恒成立,只要证 5(m+n)-8<20(m+n)-37,将其等价变形即为 15(m+n)>29,而此式对任何正整数 m、 n 都能成立。 通过等价转化,将原来恒成立不等式得到大大简化,从而将复杂问题简单化。 13. 分析:在不等式中出现了两个字母:x 及 a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常 数。显然可将 a 视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于 a 的一次函数大于 0 恒成立的问 题。 解:原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0, 设 f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则 f(a)在[-2,2]上恒大于 0,故有:
2 ? x ? 3或x ? 1 ? f (?2) ? 0 ? x ? 4 x ? 3 ? 0 ? 即? 2 解得: ? ∴x<-1 或 x>3. ? ?x ? 1 ? 0 ? x ? 1或x ? ?1 ? f (2) ? ?

14. 分析:第一问是利用定义来证明函数的单调性,第二问中出现了 3 个字母,最终求的是 m 的范

围,所以根据上式将 m 当作变量, a 作为常量,而 x 则根据函数的单调性求出 f ( x) 的最大值即可。 (1) 简证:任取 x1, x2 ???1,1? 且 x1 ? x2 ,则 ? x2 ???1,1?
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

?? x1 ? x2 ?? f ( x1) ? f (?x2 ) ? ? 0

又? f ( x) 是奇函数

?? x1 ? x2 ?? f ( x1) ? f ( x2 ) ? ? 0

? f ( x) 在 ??1,1? 上单调递增。

(2) 解:? f ( x) ? m2 ? 2am ? 1 对所有 x???1,1? , a???1,1? 恒成立,即

m2 ? 2am ? 1 ? fmax ,? fmax ? f (1) ? 1

?m2 ? 2am ? 1 ? 1

? m2 ? 2am ? 0

1 ? ?a ? ? 2 ? g (?1) ? 1 ? 2a ? 0 1 1 ? ?? ? a ? 。 ?? 即 g (a) ? ?2am ? m2 ? 0 在 ??1,1? 上恒成立。? ? 2 2 ? g (1) ? 1 ? 2a ? 0 ?a ? 1 ? ? 2

15. 分析:该题就转化为被开方数 mx2 ? 6mx ? m ? 8 ? 0 在 R 上恒成立问题,并且注意对二次项系数的讨 论。 略解:要使 y ? mx 2 ? 6mx ? m ? 8 在 R 上恒成立,即 mx2 ? 6mx ? m ? 8 ? 0 在 R 上 恒成立 1? m ? 0 时, 8 ? 0 ? m ? 0 成立
?m ? 0 ? 2? m ? 0 时, ? ,? 0 ? m ? 1 由 1? , 2? 可知, 0 ? m ? 1 2 ?? ? 36m ? 4 ? m ? 8 ? ? 32m ? m ? 1? ? 0 ?

16.⑴ 分析: y ? f ( x) 的函数图像都在 X 轴上方,即与 X 轴没有交点。 略解: ? ? a2 ? 4 ?3 ? a ? ? a2 ? 4a ?12 ? 0 ??6 ? a ? 2

a ? a2 ? ⑵ f ( x) ? ? x ? ? ? ? a ? 3 ,令 f ( x) 在 ? ?2,2? 上的最小值为 g (a) 。 2? 4 ?
⑴当 ?
a 7 ? ?2 ,即 a ? 4 时, g (a) ? f (?2) ? 7 ? 3a ? 0 ? a ? 又? a ? 4 ? a 不存在。 2 3 a a a2 ? 2 , 即 ?4 ? a ? 4 时 , g (a )? f ( ?)? ? a ? ? 3 2 2 4
?? 0 6?a?2

2

⑵ 当 ?2 ? ?

又 ? ?4 ? a ? 4

??4 ? a ? 2 a ⑶当 ? ? 2 ,即 a ? ?4 时, g (a) ? f (2) ? 7 ? a ? 0 ? a ? ?7 又? a ? ?4 ??7 ? a ? ?4 2 总上所述, ?7 ? a ? 2 。

⑶解法一:分析:题目中要证明 f ( x) ? a 在 ? ?2,2? 上恒成立,若把 a 移到等号的左边,则把原题转化成 左边二次函数在区间 ? ?2,2? 时恒大于等于 0 的问题。 略解: f ( x) ? x2 ? ax ? 3 ? a ? 2 ? 0 ,即 f ( x) ? x2 ? ax ? 1 ? a ? 0 在 ? ?2,2? 上成立。

⑴ ? ? a2 ? 4 ?1? a ? ? 0 ??2 ? 2 2 ? a ? ?2 ? 2 2

?? ? a 2 ? 4(1 ? a) ? 0 ? ? f (2) ? 0 ? ⑵ ? f (?2) ? 0 ? ?5 ? a ? ?2 2 ? 2 ? ?? a ? 2或 ? a ? ?2 ? 2 ? 2
综上所述, ? 5 ? a ? 2 2 ? 2 。

—2

2

解法二: (利用根的分布情况知识) a 5 ⑴当 ? ? ?2 ,即 a ? 4 时, g (a) ? f (?2) ? 7 ? 3a ? 2 ? a ? ? ? 4, ?? ? 2 3 ⑵ 当
?2 ? ? a ?2 2

? a 不存在。
g (a ? f) a a2 ? ? ( ? a ?) ? 2 4





?4 ? a ? 4







3

-2 2 ? 2 ? a ? 2 2 ? 2 ? ?4 ? a ? 2 2 ? 2
⑶当 ?
a ? 2 ,即 a ? ?4 时, g (a) ? f (2) ? 7 ? a ? 2 ,? a ? ?5 2
??5 ? a ? ?4

综上所述 ? 5 ? a ? 2 2 ? 2 。 此题属于含参数二次函数,求最值时,轴变区间定的情形,还有与其相反的,轴动区间定。 ⒘解法一:原不等式化为 cos2 x ? 2k cos x ? 2k ? 1 ? 0 令 t ? cos x ,则 t ? 1 ,即 f (t ) ? t 2 ? 2kt ? 2k ? 1 ? ? t ? k ? ? k 2 ? 2k ? 1 在 t ? ? ?1,1? 上恒大于 0。
2

⑴若 k ? ?1 ,要使 f (t ) ? 0 ,即 f (?1) ? 0 , k ? ?

1 ? k 不存在 2

⑵若 ?1 ? k ? 1 ,若使 f (t ) ? 0 ,即 f (k ) ? ?k 2 ? 2k ? 1 ? 0 ?1 ? 2 ? k ? 1 ? 2 ?1 ? 2 ? k ? 1 ⑶若 k ? 1 ,要使 f (t ) ? 0 ,即 f (1) ? 0 , k ? 1 由⑴,⑵,⑶可知,? k ? 1 ? 2 。解法二: f (t ) ? t 2 ? 2kt ? 2k ? 1 ? 0 ,在 ??1,1? 上恒成立。
? ? ? k 2 ? 2k ? 1 ? 0 ? ? f (1) ? 0 ? k ? 1 ? 2 由⑴,⑵可知, k ? 1 ? 2 。 ?1 ? 2 ? k ? 1 ? 2 ⑵ ? ? f ( ?1) ? 0 ? k ? 1或k ? ?1 ?

⑴ ? ? k 2 ? 2k ?1 ? 0

⒙ 解: (1)? f ( x) ? lg(a x ? bx ) ? a x ? b x ? 0 定义域 ?x | x ? 0? (2)? f ( x) ? lg(a x ? bx )
? f ( x) 在 ? 0,??? 上单调递增

又? a ? 1 ? b ? 0

?x ? 0

? f ?( x) ?

a x ln a ? b x ln b ax ? bx

? f ?( x) ? 0

? f ( x) 在 ?1,?? ? 上单调递增,? f ( x) ? f (1)

要使 f ( x) 在 ?1,?? ? 上恒正,只须 f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 lg(a ? b) ? 0 ? lg1 ? a ? b ? 1 且 a ? 1 ? b ? 0 。
w.w.w.k.s.5.u.c.


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