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河北省唐山市2016届高三上学期期末期末考试理科数学试题 PDF版含答案


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唐山市 2015—2016 学年度高三年级第一学期期末考试

理科数学参考答案
一、选择题: A 卷:CAACD BBCDD AB 二、填空题: x2 y2 1 (13)64 (14) - =1 (15) (16) 3 5 20 3 三、解答题: (17)解: (Ⅰ)∵AD 为 BC 边上的中线,∴S△ACD=S△ABD, 1 1 ∴ AC·AD sin α= AB·AD sin β, 2 2 ∴sin α∶sin β=AB∶AC=2∶1. (Ⅱ)∵tan α=sin ∠BAC=sin (α+β), ∴sin α=sin (α+β) cos α, ∴2sin β=sin (α+β) cos α, ∴2sin [(α+β)-α]=sin (α+β)cos α, ∴sin(α+β) cos α=2cos(α+β)sin α, ∴sin(α+β)=2cos(α+β)tan α, 又∵tan α=sin ∠BAC=sin(α+β)≠0, 1 ∴cos(α+β)=cos∠BAC= , 2 在△ABC 中由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos∠BAC=3, ∴BC= 3. (18)解: 300(160×24-96×20)2 (Ⅰ)∵K2= 180×120×256×44 …2 分 …12 分 …5 分

…2 分

…7 分

…9 分

≈4.545>3.841, …4 分 ∴有 95%的把握认为该网站会员给汽车加油时进行的型号选择与汽车排量有关. …5 分 8 1 (Ⅱ)由题意可知,小排量汽车加 92 号汽油的概率为 ,加 95 号汽油的概率为 ,大排量汽车 9 9 4 1 加 92 号汽油的概率为 ,加 95 号汽油的概率为 , …7 分 5 5 随机变量 X 可取 0,1,2,3,4, P(X=0)=( 8 2 4 2 1024 ) ×( 5 ) =2025, 9

1 8 4 2 1 4 8 2 768 1 P(X=1)=C1 , 2× × ×( ) +C2× × ×( ) = 9 9 5 5 5 9 2025
高三理科数学参考答案第 1 页 共 5 页

P(X=2)=( P(X=3)=( P(X=4)=(

1 2 4 2 1 2 8 2 1 8 1 4 208 1 ) ×( 5 ) +( 5 ) ×( 9 ) +C1 , 2× × ×C2× × = 9 9 9 5 5 2025 1 2 1 4 1 2 1 8 24 1 ) ×C1 , 2× × +( ) ×C2× × = 9 5 5 5 9 9 2025 1 2 1 2 1 ) ×( ) = , 9 5 2025 X P 0 1024 2025 1 768 2025 2 208 2025 3 24 2025 4 1 2025 …12 分

∴X 的分布列为:

1024 768 208 24 1 28 E(X)=0× +1× +2× +3× +4× = . 2025 2025 2025 2025 2025 45 (19)解: (Ⅰ)连接 BD 交 AC 于点 F,连接 EF, ∵底面 ABCD 为矩形, ∴F 为 BD 中点, 又∵E 为 PD 中点, PB; …4 分 又∵PB? / 平面 AEC,EF?平面 AEC, ∴PB∥平面 AEC. …5 分
A x z P

E

∴ EF ∥
D O F B M y C

(Ⅱ)取 AD 中点 O,连接 PO,则 PO⊥AD, 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PO?平面 PAD, ∴PO⊥平面 ABCD, …7 分 ∴取 BC 中点 M,则 OM⊥AD, 以 O 为坐标原点,以 OA,OM,OP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 O- xyz,不妨设 OA=1,AB=m(m>0) ,则 O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,m,0),C (-1,m,0),D(-1,0,0), 1 3 P(0,0, 3),E(- ,0, ), 2 2 ∴→ PB =(1,m,- 3),→ AC =(-2,m,0), ∵PB⊥AC,∴→ PB ·→ AC =-2+m2=0 ∴m= 2, 平面 ABC 的一个法向量 m=(0,0,1),
高三理科数学参考答案第 2 页 共 5 页

…9 分

设平面 ACE 的法向量 n=(x,y,z), 3 3 ∵→ AC =(-2, 2,0),→ AE =(- ,0, ), 2 2 由→ AC ·n=0,→ AE ·n=0 得:

? ?-2x+ 2y=0, ? 3 令 x=1,得 n=(1, 2, 3), 3 - x+ z=0, ? 2 2 ?
m·n 2 ∴ cos?m,n?= = , |m|×|n| 2 ∵二面角 B-AC-E 为钝二面角, ∴所求二面角的大小为 135° . (20)解: (Ⅰ)由已知得圆心为 C(2,0),半径 r= 3.设 P(x,y),依题意可得 | x+1 |= (x-2)2+y2-3,整理得 y2=6x. 故曲线 E 的方程为 y2=6x. (Ⅱ)设直线 AB 的方程为 my=x-2, 则直线 CQ 的方程为 y=-m(x-2),可得 Q(-1,3m). 将 my=x-2 代入 y2=6x 并整理可得 y2-6my-12=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=6m,y1y2=-12,D(3m2+2,3m),|QD|=3m2+3. |AB|=2 3 (1+m2)(3m2+4), |QD| 2 3m2+3 1 1 3 1 所以( ) = = (1- 2 )∈[ , ), |AB| 4(3m2+4) 4 3m +4 16 4 故 |QD| 3 1 ∈[ , ). 4 2 |AB| …4 分 …12 分

…9 分

…12 分

(21)解: (Ⅰ)x≥1 时,f ?(x)=
-1

1 -1≤0,f (x)在[1,+∞)上单调递减,f (x)≤f (1)=0; x

x<1 时,f ?(x)=ex -1<0,f (x)在(-∞,1)上单调递减,且此时 f (x)>0. 所以 y=f (x)在 R 上单调递减. …4 分 (Ⅱ)若 x≥a,则 f ?(x)= 1 1 -a≤ -a<0(a>1) , x a

所以此时 f (x)单调递减,令 g (a)=f (a)=ln a -a2+1, 则 g?(a)= 1 -2a<0,所以 f (a)=g (a)<g (1)=0, a 1 -1<0,h (a)<h (1)=0. ) a
共 5 页

(另解:f (a)=ln a -a2+1<ln a -a+1<0, 事实上,令 h (a)=ln a -a+1,h?(a)=

高三理科数学参考答案第 3 页

即 f (x)≤f (a)<0,故 f (x)在[a,+∞)内无零点. - x<a 时,f ?(x)=ex 1+a-2, (ⅰ)a>2 时,f ?(x)>0,f (x)单调递增, 又 f (0)=e >0,f
-1

…8 分

1 1 (2- ) <0,所以此时 f (x)在( ,0)内有一个零点. a 2- a


(ⅱ)a=2 时,f (x)=ex 1,此时 f (x)在(-∞,2)上没有零点. (ⅲ)1<a<2 时,f ?(x0)=0,解得 x0=ln (2-a)+1<1<a, 所以 f (x)在(-∞,x0)上递减,在(x0,a)上递增. f (x0)=ex0 1+(a-2)x0=ex0 1(1-x0)>0, 所以此时 f (x)没有零点. 综上,1<a≤2 时,f (x)没有零点;a>2 时,f (x)有一个零点.
- -

…12 分 (22)解: (Ⅰ)连 AE,因为∠AFE=90°, 所以 AE 为圆 O 的直径,连 OF, 则 FG⊥OF,且 OF∥CE,故 FG⊥CE. …4 分 1 1 (Ⅱ)由 BD·BA=BE·BF 得 BA·BA= BF·BF, 4 3 3 1 即 3BA =4BF ,BF= BA,则∠BAF=60°,AF= BA. 2 2
2 2 A

D B E

O F G C

设 BE=t,则 EF=2t,AF=CF= 3t, 故 FG EF·CF EF·CF 2 3 = = 2 = . CE CE2 7 EF +CF2 …10 分

(23)解: 3 x=1+ t, x2 2 2 (Ⅰ)C2: +y =1,l: (t 为参数) 2 1 y = t. 2 3 x=1+ t, x2 2 (Ⅱ)将 代入 +y2=1,整理得 5t2+4 3t-4=0. 2 1 y = t. 2

? ? ?

…4 分

? ? ?

4 3 设点 C,D 对应的参数分别为 t1,t2,则 t1+t2=- , 5 且|AC|=t1,|AD|=-t2.又|AB|=2|OA|cos30°= 3,故 |AC|-|BD|=|AC|-(|AD|-|AB|) =|AC|-|AD|+|AB|=t1+t2+ 3= 3 . 5 …10 分

(24)解: (Ⅰ)由(a+d)2>(b+c)2,4ad=4bc, 得(a-d)2>(b-c)2,即|a-d|>|b-c|.
高三理科数学参考答案第 4 页 共 5 页

…4 分

(Ⅱ)因为(a2+b2)(c2+d 2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 =a2c2+2abcd+b2d2=(ac+bd)2,所以 t· a2+b2 c2+d 2=t(ac+bd). 由于 a4+c4≥ 2ac, b4+d 4≥ 2bd, 又已知 t· a2+b2 c2+d 2= a4+c4+ b4+d 4, 则 t(ac+bd)≥ 2(ac+bd),故 t≥ 2,当 a=c,b=d 时取等号. …10 分

高三理科数学参考答案第 5 页

共 5 页


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