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福建省四地六校2013-2014学年高一下学期第二次月考数学


“华安、连城、永安、漳平一中,龙海二中,泉港一中”六校联考

2013-2014 学年下学期第二次月考高一数学试题
(考试时间:120分钟
柱体体积公式 V ? Sh 台体体积公式 V ?

1 4 球的表面积、体积公式 S ? 4?R 2 , V ? ?R 3 h S ? SS ' ? S ' 3 3 其中 S 为底面面积, h 为高 , R 为球的半径
一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分,每小题只有一个答案是正确的) 1、以下几何体是由哪个平面图形旋转得到的 ( )

?

?

总分:150分) 1 锥体体积公式 V ? Sh 3

A

B

C

D ( ( D. a ?
2

a ,则 c 与 b 的位置关系是 2.若 a , b 是 异面直线,直线 c ∥
A. 相交 B. 异面 C.异面或相交 3.设 a>1>b>-1,则下列不等式恒成立的是
1 1 A. ? a b 1 1 B. ? a b



D. 平行
1 b2

C. a>b

2

4、在数列{an}中, a1=3,an+1=an+2n-1,求 an= A.3n B. n 2 ? 2 n ? 4

( D.



2n ? 1 n 5.等比数列{an}中,若 a3 ? a4 ? 3, a5 ? a6 ? 6 ,求 a9 ? a10 ?
C. n 2 ? n ? 2

(

)

A.12 B.24 C.48 D.9 6.把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成的三棱锥 A ? BCD 的正视图与俯视图如图所示, ( ) 则其侧视图的面积为

1 A. 4
2 C. 4
A. 9 3

1 B. 2
2 2

D. 7.三棱锥的底面是边长为 12 的等边三角形,侧棱都相等,高为 2,则这个三棱锥的全面积为( ) B.106 C.12( 3 + 6 ) D. 36(2 ? 3) ) B.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ? ? D.若 l ? n, m ? n ,则 l // m )

8、若 l 、m、n是互不相同的空间直线,α 、β 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( A.若 ? // ? , l ? ? , n ? ? ,则 l // n C. 若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ?

9.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tan B= 3ac,则角B的值为( π π π 5π A. B. C. 或 6 3 6 6 10.如图,已知正方体 EM / /CD , A. 30
0

π 2π D. 或 3 3
A1

D1 B1

C1

O 是底 ? 对角线的交点.则异面直线 AD1 与 OC1 所成角(
B. 45
0

)

C. 60

0

D. 90

0

D O A B

C

11. 若正 ? ABC 的直观图的面积为 6 ,则 ? ABC 的内切圆的面积( A.



4? 3

B. 4?

C.

16? 3

D. 2 6?

12. 若一个圆锥的底面圆的半径为 3,母线长为 5,其内有一个内接圆柱(下底面在圆锥的底面上,上底面 的圆在圆锥的侧面上) ,则当这个圆柱的侧面积最大时,其高为 ( ) D. 3 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,计 16 分) A.1 B.2 C.3 13.不等式 2 x 2 ? 3 x ? 1 ? 0 解集为 14.正方体的棱长为 2,则这个正方体的内切球体积为
1 3 15、若 a>0,b>0, + =2, 则 a+2b 的最小值为 a b

(用 ? 表示)

16. 有下列命题: (m,n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是不同平面) 1 若 m// ? ,n// ? ,则 m//n ○
2 若 m//n ,n// ? ,则 m// ? ○

3 若 m,n 是两条异面直线, m ? ? , m// ? , n ? ? , n// ? ,则 ? // ? ○ 4 若 m 垂直于 ? 内无数直线,则 m⊥ ? ○ ⑤若 ? ? ? ? l ,且 ? ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? 以上正确的命题有 (填命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , an ?1 ? an ? 1 , n ? N * ,数列 {an } 的前 n 项和为 S n (1)求数列 {an } 的通项公式; (2 求数列 {an } 的前 n 项和为 S n (3)若数列 {cn } 满足 S n ? cn ? 2 ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . 18. (本小题满分 12 分) 设△ABC 的三个内角 A,B,C 对边分别是 a,b,c,若 ?A ? 450 , a ? 2, b ? (1) )求∠B 的值; (2)求边 c 的值; 19.(本小题满分 12 分) 在一节泥工课中,一同学用橡皮泥做了一个四棱柱,后用一个平面截去一部分,所剩几何体的三视图如图 所示。 (1)求这个所剩几何体的体积; (2) 若该同学又把这个所剩几何体制做成半径为 1 的圆锥 (橡皮泥的用量保持不变) , 求这个圆锥的侧面积。

2。

20. (本小题满分 12 分) 某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 50 元.乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工 出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 60 元.甲、乙两车间每天共能完成至多 80 箱原料的加工,每天甲、 乙车间耗费工时总和不得超过 600 小时。 (1)若安排甲、乙两车间每天分别加工 20 箱和 40 箱原料,则甲、乙两车间每天共获利多少元? (2)问应如何安排生产,才能使甲、乙两车间每天获利的总和最大?

21. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是直角梯形 ABCD,其中 AD⊥ AB,CD∥ AB,AB=4,CD=2,侧面 PAD 与底面 ABCD 垂直,E 为 PA 的中点. (1)求证: CD ? PA (2)求证:DE∥ 平面 PBC;

22. (本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=8,BC=6,AB=2,E、F 分别在 BC、AD 上,EF∥ AB.现将四边形 ABE F 沿 EF 折起,使得平面 ABEF ? 平面 EFDC. (Ⅰ) 当 BE ? 2 ,是否在折叠后的 AD 上存在一点 P ,且 AP ? ? PD ,使得 CP∥平面 ABEF?若存在,求 出 ? 的值;若不存在,说明理由; (Ⅱ) 设 BE=x,问当 x 为何值时,三棱锥 A ? CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.
A

F

D

A B F

E
B

D

C

E

C

“华安、连城、永安、漳平一中,龙海二中,泉港一中”六校联考

2013-2014 学年下学期第三次月考 高一数学答案
命题人:泉港一中 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 B 李爱辉 5 B 6 A
[来 源:Zxxk.Com]

审题人:泉港一中 7 D 8 C 9 D 10 A 11 A

易灯元 12 B

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分,每小题只有一个答案是正确的)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,计 16 分) 13、 ? x x ?

? ?

1 ? , x ? 1? 2 ?

14、

4 V? ? 3

15、

7 ? 6 2

16、

③⑤

三、解答题:本大题共 6 小题.共 76 分
17 解:(1)由已知可知数列 {an } 为等差数列,且首项为 1,公差为 1. ∴ 数列 {an } 的通项公式为 an ? n ( n ? N * ) (2)由等差数列的前 n 项和公式,得: S n ? (3)由已知得: cn ? ∴ Tn ? 4(1 ? ????? 3 分

n(n ? 1) ( n ? N * ) ????? 6 分 2
????? 9 分

2 4 1 1 ? ? 4( ? ) S n n(n ? 1) n n ?1
? 1 1 4n ? )? n n ?1 n ?1
(n? N *)

1 1 1 ? ? ? 2 2 3

????? 12 分

18 解:在△ABC 中由正弦定理,得: sin B ? ∵b ? a ∴ B ? 300

b 1 ? sin A ? a 2 ∴B ? A

????? 3 分 ????? 4 分 ????? 6 分 ????? 7 分

(2)在△ABC 中,得: C ? 1800 ? A ? B ? 1050

cos1050 ? ? cos 750 ? ? cos(450 ? 300 ) ? ?
在△ABC 中由余弦定理,得:

6? 2 4

????? 8 分

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 6 ? 4 2 ? cos1050 ? 6 ? 4 2

6? 2 ? 4 ? 2 3 ? 11 分 4
????? 12 分

c? ∴

3 ?1

(用正弦定理解同等给分)

19 解: (1)由三视图知,这是一个长方体截去一个三棱锥后所剩的几何体 ∴ 体积 V ? 2 ? 2 ? 3 ? 1 =11 ?????6 分 (2)由题意知:圆锥的体积等于这个所剩几何体的体积 设圆锥的高为 h ,则: ? ? 1 ? h ? 11
2

1 3

∴ h?

33

?

?????10 分

∴ 圆锥的母线长 l= ∴ 圆锥的侧面积S=

1089 ? ? 2

?
1089 ? ? 2
?????12 分

20(1)解:设获利的总和为Z,则 Z ? 350 ? 20 ? 240 ? 60 =21400 元 ∴甲、乙两车间每天各加工 40 箱原料时,甲、乙两车间每天共获利 21400 元???4 分 (2)解:设应安排甲车间每天加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱,

? x ? y ? 80 ? 则 ?10 x ? 6 y ? 600 ? x, y ? N ?
画出可行域如图

y ?????6 分
10

?????8 分

8 0

0

(30,50)

目标函数 z=350x+240y ?????9 分 结合图象可得:当 x=30,y=50 时 z 最大为 22500 元 本题也可以将答案逐项代入检验. 答:安排甲车间加工原料 30 箱,乙车间加工原料 50 箱时, 甲、乙两车间每天获利的总和最大,为 22500 元。?????12 分 21、证明: (1)∵AD⊥ AB,CD∥ AB, ∴ CD ? AD 又∵侧面 PAD 与底面 ABCD 垂直且交线为AD, ∴CD垂直侧面 PAD 又∵PA ? 平面PAD ∴ CD ? PA ?????4 分 ?????6 分 ?????2 分 0 6 0 8 0 x

(2)如图,取 AB 的中点 F,连接 DF,EF. 在直角梯形 ABCD 中,CD∥ AB,且 AB=4,CD=2,所以 BF //CD , 所以四边形 BCDF 为平行四边形,所以 DF∥ BC?????8 分 又∵BC ? 平面PBC,DF ? 平面PBC ∴DF∥ 平面 PBC. 在△ PAB 中,PE=EA,AF=FB, 所以 EF//PB.?????9 分 又∵PB ? 平面PBC,EF ? 平面PBC

∴EF∥ 平面 PBC. 又因为 DF ? EF=F, 所以平面 DEF∥ 平面 PBC. 因为 DE ? 平面 DEF,所以 DE∥ 平面 PBC. 证法二:取PB的中点M,边CM,EM 在△ PAB 中,PE=EA,PM=MB, 所以 EM//AB,EM= 在直角梯形 ABCD 中,CD∥ AB,且 AB=4,CD=2,所以CD= 所以 EM / /CD 所以四边形CDEM为平行四边形,所以DE∥ CM. 又因为CM ? 平面PBC,DE ? 平面PBC 所以 DE∥ 平面 PBC
A F D

?????11 分 ?????12 分

1 AB????8 分 2

1 AB,CD∥ AB 2
?????9 分 ?????10 分

?????12 分 A B F E C

D

B

E

C

21【解析】 (Ⅰ)假设存在 P 使得满足条件 CP∥平面 ABEF

在平面EFDC内过点C作CM∥EF交DF于M,在平面ADF内作直线MP∥AF 交AD于点 P,连PC
????? 2 分

∵CM∥EF,EF ? 平面AB EF,CM ? 平 面ABEF
∴CM∥ 平面ABEF ????? 3 分

∵PM∥AF,AF ? 平面ABE F,PM ? 平面ABEF
∴PM∥ 平面ABEF ????? 4 分

又∵CM ? PM=M
∴平面ABEF∥ 平面 PCM ?????5 分

又∵PC ? 平面PCM ∴PC∥ 平面ABEF,故点P就是所求的点 又∵FM=4,MD=2
?????6 分

∴? ?

AP ?2 PD

?????? 7 分 平面 EFDC=EF,又 AF ? EF, ????? 9 分 ( 0 ? x ? 6 ),则 FD=8 ? x. ?????11 分

(Ⅱ)因为平面 ABEF ? 平面 EFDC,平面 ABEF 所以 AF⊥平面 EFDC 由已知 BE=x,所以 AF=x ∴ VA?CDF ? 故 VA?CDF

1 1 ? ? 2 ? (8 ? x) ? x 3 2 1 1 1 8 ? x ? x 2 16 ? ? ? 2 ? (8 ? x) ? x ? ( ) ? 3 2 3 2 3 16 3

当且仅当 8 ? x ? x ,即 x=4 时,等号成立 所以,当 x=4 时, VA?CDF 有最大值,最大值为 解法二:

?????13 分 ?????14 分

1 1 1 1 1 16 ? ? 2 ? (8 ? x) ? x ? (8 x ? x 2 ) ? [?( x ? 4) 2 ? 16] ? ? ( x ? 4) 2 ? 3 2 3 3 3 3 16 所以,当 x=4 时, VA?CDF 有最大值,最大值为 ?????14 分 3
故 VA?CDF ?


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