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第17讲:函数的单调性3


函数的单调性

德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据
时间间隔
刚刚记忆完毕 20分钟之后 1小时之后 8-9小时之后 1天后 2天后 6天后 一个月后 …

记忆保持量
100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% …

1、艾宾浩斯遗忘曲线


保持量(百分数)
100 80 60

40
20 0 1 2 3 4 5 6

天数

2、某市一天24小时的气温变化图
θ/?C
10 8

y=f(x),x∈[0,24]

6
4 2 0 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

t/h

说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的?

问题1、 作出下列函数的图象,并指出图 象的变化趋势:

(1). y ? x ? 1 (2). y ? ?2x ? 2

1 2 (3). y ? ? x (4). y ? x

y

y

y ? x ?1

1

y ? ?2x ? 2

2
1

-1

O

x

O

x

y

y ? ?x
O

2

y

1 y? x
O

x

x

问题2、你能明确地说出“图象呈逐 渐上升趋势”的意思吗? 在某一区间内, 图象在该区间呈上升趋势 当x的值增大时,函数值y也增大 图象在该区间呈下降趋势 当x的值增大时,函数值y反而减小 函数的这种性质称为函数的单调性。

问题3、如何用数学语言表述一个函数 是增函数呢?

0

X

问题3、如何用数学语言表述一个函数 是增函数呢?
Y
f(X2) f(X1)

0

X1

X2

X

X不断增大,f(x)也不断增大

y

y=f(x)
f(x1) f(x2) x2 x

O

x1

一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,
区间I ? A. 如果对于区间I内的任意两个值
x1,x2,当 x 1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)

那么就说y= f(x)在区间I上是单调增函数.

问题4:

如何定义一个函数是单调减函数?

y

f(x1)

f(x2) x2

0 x1

x

一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,
区间I ? A. 如果对于区间I内的任意两个值 x1,x2,当 x 1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)

那么就说y= f(x)在区间I上是单调减函数.

单调区间
如果函数y=f(x)在区间I是单调增函 数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在 区间I上具有单调性. 单调增区间和单调减区间统称为单 调区间.

例1、根据图象说出函数的单调区间
θ/?C
10 8 6 4 2 0 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

y=f(x),x∈[0,24]

t/h

[0,4]

[4,14]

[14,24]

例2、画出下列函数图象,并写出单调区间:

(1) y ? ? x ? 2
2

y

2

单调增区间为? ??,0?

1
-2 -1
O

单调减区间为?0, ???

1

2

x

练习:填表
y ? kx+b(k ? 0)
函数
k y ? (k ? 0) x

k >0

k <0

k >0

k <0

单调区间 (??, ??) (??, ??) (??,0),(0, ??) (??,0),(0, ??) 单调性 增函数 减函数 减函数 增函数

1 例3、求证:函数 f ( x) ? ? ? 1 在区间 x

0 ? ??,? 上是单调增函数.

(1)怎样证明?
a (2) 若f ( x) ? ? ? 1(a ? 0)呢 ? x

练习2:填表(二)
y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0)
函数
a?0 a?0
b (??, ? ) 2a
(? b , ??) 2a

单调区间

( ??, ?

b ) (? b , ??) 2a 2a

单调性

减函数

增函数

增函数

减函数

回顾小结
本节课主要学习了以下内容: 1、单调函数的图象特征; 2、函数单调性的定义; 3、判断单调性的方法:图象、定义; 4、证明函数单调性的步骤.

布置作业
必做: P43 习题 2.1(3) 1、4、7

选做(1)判断函数

ax f ( x) ? 2 (a ? 0) x ?1

在区间 (?1,1)上的单调性。

并给出证明,试求出该函数的值域。

4 (2) 研究 y ? x ? x 的单调性,

证明:设 x1 , x 2 是(0,+∞)上的任意
两个实数,且 x1 ? x2 .
1 1 1 1 x1 ? x2 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (? ? 1) ? (? ? 1) ? ? ? x1 x2 x2 x1 x1 x2

? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 )
1 故 f ( x) ? ? ? 1在区间? 0, ? ? 上是单调增函数. ? x

七、小结回顾
1、函数单调性是对定义域的某个区间而言 的,反映的是在这一区间上函数值随自变量变 化的性质.
2、判断函数单调性的方法: (1)利用图象: 在单调区间上,增函数图象从左向右是 上升的,减函数图象是下降的. (2)利用定义: 用定义证明函数单调性的一般步骤:

任意取值→作差变形→判断符号→ 得出结论.

练习1:证明函数 f ( x) ? x ? 2x
2

在区间? ??,1?上是减函数.

证明:设x1, x2是区间? -?,1? 上任意两实数,且x1 ? x2 . 2 2 (设量) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? 2 x1 ) ? ( x2 ? 2 x2 )
? ( x1 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ? 2)
2 2

? x1 ? x2 ? 1, ? x1 ? x2 ? 0, x2 ? x1 ? 2 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 (定号) 即f ( x1 ) ? f ( x2 ) 故函数f ( x) ? x 2 ? 2x在区间?? ?,1?上是减函数 .

(比较)

(结论)

1、函数的单调性的定义
2、判断函数单调性(求单调区间)的方法:

(1)从定义入手 (2)从导数入手 (3)从图象入手 (4)从熟悉的函数入手 (5)从复合函数的单调性规律入手

注:先求函数的定义域

3、函数单调性的证明: 定义法;导数法

4、一般规律
(1)若f(x),g(x)均为增函数,则f(x)+g(x)仍为增函 数; (2)若f(x)为增函数,则-f(x)为减函数; (3)互为反函数的两个函数有相同的单调性; (4)设 y ? f ?g ?x?? 是定义在M上的函数,若f(x)与 g(x)的单调性相反,则 y ? f ?g ?x?? 在M上是减函数; 若f(x)与g(x)的单调性相同,则 y ? f ?g ?x?? 在M上是增 函数。

例1、求下列函数的单调区间,并确定每一单 调区间上的单调性。
?1? ?1? y ? ? ? ?3?
1 3 ?2? y ? x ? x 2 ? 3x ? 6 3
x2 ? x

练习(变式一)求下列函数的单调区间:

?1?y ?

x ? 2x ? 3
2

例2如果二次函数 f ?x? ? x 是增函数,求 f (2) 的取值范围。
2

?1 ? ? (a ? 1) x ? 5 在 ? 2 ,1? 上 ? ?

例4、是否存在实数a,使函数

f ?x ? ? log?ax ? x ?
2

a

在区间 ?2,4? 上是增函数?如果存在,说明a可取哪些
值;如果不存在,请说明理由。

练习:(变式一)函数 f ?x ? ? log 上是增函数,求a的取值范围。

a? ? ? x ?8? ? x? ? 9

在 ?1,???

0 (书)例5:定义在R上的函数y ? f ( x), f (0) ?,当x ? 0

时 f ( x) ? 1 且对任意的a,b? R 有 f (a ? b) ? f (a). f (b)
(1)求证:f ?0? ? 1 (2)求证: 对任意的x ? R,恒有f(x) 0 ?
f (3)求证: ?x ?是R上的增函数

f ?x?. f (2 x ? x 2 ) ? 1 (4) 解不等式 。

练习:(变式四)设f(x)的定义域为 ?0,??? ,且在
? x? ?0,???上为增函数,f ? ? ? f ?x? ? f ? y ? ? y? ? ?

(1)求证:f ?1? ? 0, f ?xy? ? f ?x? ? f ? y ?
? 1 ? (2)设 f ?2? ? 1 解不等式 f ?x ? ? f ? ? ? 2。 ? x ? 3?

三、小结 1.判断函数单调性(求单调区间)的方法 2、函数单调性的证明:定义法;导数法。 3、综合应用,特别与不等式联系。


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