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1.3参数方程


参数方程的概念
( 1)在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐 标x 、y都是某个变数 t 的函数,即 ? x ? f (t )

? ? y ? g (t )

并且对于 t 的每一个允许值,由上述方程组所确定的 点M(x,y)都在这条曲线上,那么上述方程组就叫做 这条曲线的参数方程 ,联系x、y之间关系的变数 t 叫 做参变数,简称参数。参数方程的参数可以是有物理、 几何意义的变数,也可以是没有明显意义的变数。

( 2 ) 相对于参数方程来说,前面学过的直接给出 曲线上点的坐标关系的方程,叫做曲线的普通方程。

? x ? 3t 例1、已知曲线C的参数方程? (t为参数 ) 2 ? y ? 2t ? 1 (1)判断点M 1 (0,1), M 2 (5,4)与曲线C的位置关系 (2)已知点M 3 (6, a )在曲线C上,求a的值。 解: (1)把点M 1的坐标(0,1)代入方程组,解得 t ?0 所以M 1在曲线C上。
?5 ? 3t 把点M 2 (5,4)代入方程组,得到 ? 2 4 ? 2 t ?1 ? 这个方程组无解,所以 点M 2 不在曲线C上。

(2)因为点M 3 (6, a)在曲线C上,所以 ?6 ? 3t 解得t ? 2, a ? 9 所以,a ? 9 ? 2 ?a ? 2t ? 1

? x ? 3t 例1、已知曲线C的参数方程? (t为参数 ) 2 ? y ? 2t ? 1 (1)判断点M 1 (0,1), M 2 (5,4)与曲线C的位置关系 (2)已知点M 3 (6, a )在曲线C上,求a的值。

除了上述方法外,还有其它的方法吗?
x 由x ? 3t , ? t ? , 3 x 2 把t ? 代入y ? 2t ? 1, 得 3 x 2 2 x2 y ? 2( ) ? 1,即y ? ? 1 这就是曲线C的普通方程 3 9 这种方法就是我们接下来学习的参数方程与普通方 法的互化。

例3、把下列参数方程化为 普通方程,并说明各 表示什么曲线? ? ?x ? t ? 1 ( 1 ) (t为参数) ? ? ? y ? 1? 2 t ? x ? sin ? ? cos? ( 2 ) (?为参数) ? ? y ? 1 ? sin 2?
解:( 1 )由x ? t ? 1

答案正 确吗?

得 t ? x ?1

代入y ? 1 ? 2 t 得到y ? ?2 x ? 3 ( x ? 1)

? x ? sin ? ? cos? ( 2 ) (?为参数) ? ? y ? 1 ? sin 2?
(2)把x ? sin ? ? cos? 平方得,x2 ? 1 ? sin 2?

把x ? 1 ? sin 2? 与y ? 1 ? sin 2? 相减得,
2

得到x ? y,
2

答案正确吗?
?

x ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ), 所以x ? [? 2, 2], 4 所以与参数方程等价的普通方程为x 2 ? y, x ? [? 2, 2]. 这是抛物线的一部分。 答案详见P25

参数方程化为普通方程的步骤: 步骤: 1、消掉参数(代入消元,三角变形,配方消元)
2、写出定义域(x的范围)

注意:
在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y 前后的取值范围保持一致。

练习P26、把下列参数方程化为普通方程,并说明
它们各表示什么曲线: ? x ? 3 ? 2t ? x ? cos ? (1) ? (t为参数)(2) ? (? 为参数) ? y ? ?1 ? 4t ? y ? cos 2? ? 1
1 ? x?t? ? ? x ? 5cos ? ? t (3) ? (t为参数)(4) ? (?为参数) ? y ? 3sin ? ?y ? t ?1 ? t ?

2 2 (1)2 x ? y ? 7 ? 0, 直线 (3) x ? y ? 4, 双曲线 2 2 2 x y (2) y ? 2 x , x ? [?1,1], (4) ? ? 1, 椭圆 以(?1, 2), (1, 2)为端点的一段抛物线弧 25 9

x y 例4、求椭圆 ? ? 1的参数方程 9 4 ( 1 )设x ? 3 cos? , ?为参数。 (2)设y ? 2t , t为参数

2

2

解:( 1 )把x ? 3 cos?代入椭圆方程,得到 9 cos ? y ? ? 1, 9 4 2 2 2 所以y ? 4(1 ? cos ? ) ? 4 sin ?即y ? ?2 sin ?
2 2

由参数?的任意性,可取 y ? 2 sin ? , x y 所以椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4 x ? 3 cos? { (?为参数) y ? 2 sin ?
2 2

x 4t (2)把y ? 2t代入椭圆方程,得 ? ?1 9 4 于是x ? 9(1 ? t ), x ? ?3 1 ? t
2 2 2 2 2

2

2

x y 所以,椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4 { x ? 3 1? t y ? 2t
2

(t为参数)和{

x ? ?3 1 ? t y ? 2t

2

由(1)化简可看出
x2 y 2 将原式化为( ) ? ( ) ? 1 3 2

由 cos ? ? sin ? ? 1,
2 2

x y 令 ? cos ? , ? sin ? 3 2

? x ? 3 cos ? ??为参数 ? ? ? y ? 2 sin ?

x y2 在椭圆 ? ? 1上求一点M ,使点M到直线x ? 2 y ? 10 ? 0 9 4 的距离最小, 并求出最小距离 。 x ? 3 cos ? 因为椭圆的参数方程为 ? ??为参数 ? ? ? y ? 2 sin ? 所以可设点M的坐标为(3cos? , 2sin?)
d? 3 cos ? ? 4 sin ? ? 10 5

P28例1 2

3 4? ? 5? cos ? ? ? sin ? ? ? ? 10 5 5? ? ? 5 1 ? 5 cos?? ? ? 0 ? ? 10 5

3 4 其中 cos ?0 ? , sin ?0 ? 5 5 当?-?0=0时,d取最小值?
9 3 cos ? ? 3 cos ? 0 ? , 5 8 2 sin ? ? 2 sin ? 0 ? . 5
?9 8? 当点M位于? , ?点M与直线x+2y-10=0的距离取小值? ?5 5?

练习
x y 点M在椭圆 ? ? 1上,求点M 到直线3 x ? 4 y ? 24 ? 0 16 9 的最大距离和最小距离.
2 2

思考1.圆的参数方程

?

(1)圆心在原点的圆参数方程

(2)圆心不在原点的圆的参数方程

即根据例4(1)分析求(1)x ? y ? r ,
2 2 2

(2)( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的参数方程。
2 2 2

? x ? r cos ? 1.圆心在原点的参数方程: ? ( ? 为参数) ? y ? r sin ?
2.圆心在(a,b)的参数方程: ? x ? a ? r cos ? ( ? 为参数) ?

? y ? b ? r sin ?

优点:用参数方程解决某些问题具有显著的优越 性: (1)有时建立曲线的普通方程较为困难或者不 可能,但是利用参数建立曲线的参数方程却很容 易; (2)有时参数方程的形式比普通方程简单; (3)有时利用参数方程解决问题较为容易。

? x ? ?2 cos ? 1.选择题:参数方程 ? (? 为参数)表示的曲线是 ? A ? ? y ? 2sin ? A.圆心在原点, 半径为2的圆 B.圆心不在原点, 但半径为2的圆 C.不是圆 D.以上都有可能
2、填空题 : ? 2 ? cos ? 表示圆心为 (2,-2) (1)参数方程 x y ? ?2 ? sin ?

?

半径为

1

的圆,化为标准方程为

?x ? 2? ? ? y ? 2?
2

2

?1

3、若x2 ? y 2 ? 4, 则x ? y的最大值是 _________

x ? 2cos ? 解:x ? y ? 4的参数方程为{ (?为 y ? 2sin ?
2 2

参数)
? x ? y ? 2 cos ? ? 2sin ? ? 2 2 cos(? ? ) 4 ? 最大值为2 2

?

练习1:求下列椭圆的参数方程:

x y (1) ? ?1 16 4

2

2

x2 y2 (2) ? ?1 8 12

? x ? 2cos? 练习2:已知椭圆的参数方程为 ? ( ? 是 ? y ? sin ?
参数) ,则此椭圆的长轴长为( 4 ),短轴长为

( 2 ),焦点坐标是((? 3 , 0)),离心率是 (

3 2

)。


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