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2013年全国高中数学联赛一试(试题word版,有答案)


2013 年全国高中数学联合竞赛一试试题
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.设集合 A ? {2, 0,1,3} ,集合 B ? {x ? x ? A, 2 ? x ? A} .则集合 B 中所有元素的和为
2

__________. 2.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A, B 在抛物线 y ? 4 x 上,满足 OA ? OB ? ?4 . F 是抛物线
2

??? ??? ? ?

的焦点,则 S?OFA ? S?OFB ? ______________. 3.在 ?ABC 中, 已知 sin A ? 10sin B sin C,cos A ? 10cos B cos C , a A 的值为_______. 则t n 4.已知正三棱锥 P ? ABC 的底面边长为 1,高为 2 ,则其内切球半径为__________. 5.设 a, b 为实数,函数 f ( x) ? ax ? b 满足:对任意 x ? [0,1] ,有 f ( x) ? 1 .则 ab 的最大值 为_________. 6.从 1,2,…,20 中任取 5 个不同的数,其中至少有两个是相邻数的概率为_________. 7.若实数 x, y 满足 x ? 4 y ? 2 x ? y ,则 x 的取值范围是____________________. 8.已知数列 {an } 共有 9 项, 其中 a1 ? a9 ? 1 , 且对每个 i ?{1, 2,?,8} , 均有

ai ?1 1 ? {2,1, ? } , ai 2

则这样的数列的个数为_________. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.(本题满分 16 分)给定正数数列 { xn } 满足 Sn ? 2Sn ?1 , n ? 2,3,? .这里 Sn ? x1 ? ? ? xn . 证明:存在常数 C ? 0 ,使得 xn ? C ? 2 , n ? 1, 2,?
n

x2 y 2 10.(本题满分 20 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , a b
A1 , A2 分别为椭圆的左、右顶点, F1 , F2 分别为椭圆的左、右焦点. P 为椭圆上不同于 A1 , A2 的任意一点.若平面中两个点 Q, R 满足 QA1 ? PA1 , QA2 ? PA2 , RF1 ? PF1 ,

RF2 ? PF2 , 试确定线段 QR 的长度与 b 的大小关系,并给出证明.
11.(本题满分 20 分)设函数 f ( x) ? ax ? b ,求所有的正实数对 (a, b) ,使得对任意实数
2

x, y ,有 f ( xy) ? f ( x ? y) ? f ( x) f ( y)


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