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湖北省沙市中学学高二数学下学期第六次半月考试题理-精


2015—2016 学年下学期高二年级 第六次半月考理数试卷
考试时间:2016 年 6 月 17 日 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 。 1.已知 i 是虚数单位,则复数 (1 ? i)2 ? ( A. ? 2 B. 2 ) D. 2i

C. ? 2i

2 .甲命题:若随机变量 ? ~N (

3, ? 2 ) ,若 P(? ? 2) ? 0.3 ,则 P(? ? 4) ? 0.7. 乙命题:随机变量

? ~B(n, p) ,且 E? ? 300 , D? ? 200 ,则 p ? ,则正确的是( )
A.甲正确乙错误 C.甲错误乙也错误 B.甲错误乙正确 D.甲正确乙也正确 )

1 3

3.命题 "?x ? R, f ? x ? g ? x ? ? 0" 的否定是( A. ?x ? R, f ? x ? ? 0 且 g ? x ? ? 0 C. ?x0 ? R, f ? x0 ? ? 0 且 g ? x0 ? ? 0

B. ?x ? R, f ? x ? ? 0 或 g ? x ? ? 0 D. ?x0 ? R, f ? x0 ? ? 0 或 g ? x0 ? ? 0

2 4. 已知命题 p : ?x ??1,2? , x ? a ? 0 ,命题 q : ?x ? R, x2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ,若命题“ p ? q ” 是真命

题,则实数 a 的取值范围是( A. (??, ?2] ? {1}

) C. [1, ??) D. [?2,1]

B. (??, ?2] ? [1, 2]

5.某社区有 800 户家庭,其中高收入家庭 200 户,中等收入家庭 480 户,低收入家庭 120 户,为了调 查社会购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为 100 户的样本,记作①;某学校高一年级有 12 名音乐特长生,要从中选出 3 名调查学习训练情况,记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样 方法是( ) A.①用简单随机抽样 ②用系统抽样 B.①用分层抽样 ②用简单随机抽样 C.①用系统抽样 ②用分层抽样 D.①用分层抽样 ②用系统抽样 6 .如图,矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(0, ?1) , B(? , ?1) , C (? ,1) , D(0,1) ,正弦曲线

f ( x) ? sin x 和余弦曲线 g ( x) ? cos x 在矩形 ABCD 内交于点 F,向矩形 ABCD 区域内随机投掷一点,
则该点落在阴影区域内的概率是 A. ( C. )

1? 2

?

B.

1? 2 2?

1

?

D.

1 2?

1

7.若圆 C : ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 关于直线 2ax ? by ? 2 ? 0 对称,则由点 ( a, b) 向圆 C 所作切线长的最 小值为( ) A.1 B. 2 C. 5 D. 7 8. 书架上原来并排放着 5 本不同的书,现要再插入 3 本不同的书,那么不同的插入方法共有( ) A.336 种 B.120 种 C. 24 种 D. 18 种 9.已知函数 y ? f ( x)( x ? R) 的图象如图所示,则不等式 xf '( x) ? 0 的解集为( )

1 1 )∪( ,2) 2 2 1 1 C.(-∞, ∪( ,+∞) 2 2
A.(-∞,

B.(-∞,0)∪( D.(-∞,

1 ,2) 2

1 )∪(2,+∞) 2


?x ? y ? 0 ? 10. 已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则 z ? ?2 x ? y 的最大值为( ? y ?1 ?
A. ? 1 B. ?2 C. ?5 D. 1

11. 抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F , 已知点 A, B 为抛物线上的两个动点, 且满足 ?AFB ? 120? . 过 弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为 N ,则

AB 的最小值为( ) MN

A.

3 3

B.

2 3 3

C. 1

D. 3 )

12.已知函数 f ( x) ? A. a ? 1

a ( x ? 1) ? ln x 在 [1, ??) 上是减函数,则实数 a 的取值范围为( x ?1 B. a ? 2 C. a ? 2 D. a ? 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 。 13. 样本容量为 1000 的频率分布直方图如图所示,则样本数据落 在[6,14)内的频数为________. 14. 若 a ? 顺序为 15. 1 ? x ? x

?

2

0

x2 dx, b ? ? x3dx, c ? ? sin xdx ,则 a, b, c 从小到大 的 ....
0 0

2

2

.
2

?

? ?1 ? x ?

n

的展开式的各项系数和为 64 ,则展开式中 x 项的系数等于

5



16. 执行如下图所示的程序框图,则输出的结果是________.

2

三、解答题(共 70 分) 。 17. (10 分)某小学对五年级的学生进行体质测试.已知五年级一班共有学 生 30 人,测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下: (单位: cm ) :

男生成绩在 175 cm 以上(包括 175 cm )定义为“合格”,成绩在 175 cm 以下(不包含 175 cm )定 义为“不合格”.女生成绩在 165 cm 以上(包括 165 cm )定义为“合格”,成绩在 165 cm 以下(不包 含 165 cm )定义为“不合格”. (1)在五年级一班的男生中任意选取 3 人,求至少有 2 人的成绩是合格的概率; (2)若从五年级一班成绩“合格”的学生中选取 2 人参加复试.用 X 表示其中男生的人数,写出 X 的 分布列,并求 X 的数学期望.

18.(12 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? (a ? 1) x ? a (1 ? ln x) (a ? 0) . 2

(1)求曲线 y ? f ( x) 在 (2, f (2)) 处与直线 y ? ? x ? 1 垂直的切线方程。 (2)求函数 f ( x ) 的极值。

19.(12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,

PA ? 底面 ABCD , PA ? AB ? 2 ,点 E 是棱 PB 的中点.
(1)证明: AE ? 平面 PBC ; (2)若 AD ? 1 ,求二面角 B ? EC ? D 的余弦值.

3

20. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(?3, 4) , B(9, 0) , C , D 分别为线段 OA , OB 上的 动点,且满足 AC ? BD . (1)若 AC ? 4 ,求直线 CD 的方程; (2)证明: ?OCD 的外接圆恒过定点(异于原点 O ) 。

21.(12 分) 设 f ( x) ?

a ? x ln x, g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 , x

(1)如果存在 x1 , x2 ??0, 2? 使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整数 M 。 (2)如果对于任意的 s, t ? ? , 2 ? ,都有 f (s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围。 2

?1 ?

? ?

2 2 2 F : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? ? 4 ? r ? (0 ? r ? 4) 的公共点的轨迹 22. (12 分)已知圆 F 1 : ( x ? 1) ? y ? r 与圆 2
2

为曲线 E , 且曲线 E 与 y 轴的正半轴相交于点 M . 若曲线 E 上相异两点 A, B 满足直线 MA, MB 的

斜率之积为

1 . 4

(1)求 E 的方程; (2)证明直线 AB 恒过定点,并求定点的坐标。

4

6.17.答案(理数) 1.D 2.D 3.D 4.A 5.B 6.B 7.D 8.A 9.B 10. A 11.D 12.C 13. 680 14. c ? a ? b 15.11 16. 32 17. (1)设 “仅有两人的成绩合格”为事件 A , “有三人的成绩合格”为事件 B , 至少有两人的成绩是合格的概率为 P ,则 P ? P( A) ? P( B) ,又男生共 12 人,
1 3 42 C4 ? C82 C8 其中有 8 人合格,从而 P(A) ? , P( B) ? , 所以 P ? . 3 3 55 C 12 C 12

(2)因为女生共有 18 人,其中有 10 人合格,依题意, X 的取值为 0,1,2. 则 P( X ? 0) ?
2 1 1 0 C80C10 C8 C10 80 C82C10 5 28 , , , ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? 2 2 2 C18 17 C18 153 C18 153

因此, X 的分布列如下:

∴ E( X ) ? 0 ?

5 80 28 136 8 ? 1? ? 2? ? ? (人) . 17 153 153 153 9

18.(1) a ? 0, x ? y ? 2 ? 0 (2) f '( x) ? x ? a ? 1 ?

a ( x ? 1)( x ? a ) ? ( x ? 0) x x

∴ 0 ? a ? 1 时,函数在 (a,1) 上单调递减,在 (0, a),(1, ??) 上单调递增,故 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值

?

1 1 2 ,在 x ? a 处取得极大值 ? a ? a ln a 2 2

a ? 1 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,此时函数无极值 a ? 1 时,函数在 (1, a) 上单调递减,在 (0,1),(a, ??) 上单调递增,故 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 ?
在 x ? a 处取得极小值 ?

1 , 2

1 2 a ? a ln a 2

19. (1)证明(方法一):由 PA ⊥ 底面 ABCD ,得 PA ⊥ AB . 又 PA ? AB ,故 △PAB 为等腰直角三角形,而点 E 是棱 PB 的中点,所以 AE ⊥ PB . 由题意知 BC ? AB ,又 AB 是 PB 在底面 ABCD 内的射影,由三垂线定理得 BC ? PB , 从而 BC ? 平面 PAB ,故 BC ? AE .因 AE ⊥ PB , AE ? BC .所以 AE ⊥ 平面 PBC . (1)证明(方法二) :以 A 为坐标原点,射线 AB、AD、AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正半轴,建立空间 直角坐标系 A ? xyz .设 D(0,a, 0) ,则 B( 2, 0,, 0) C( 2,a, 0) ,
5

P(0, 0,2),E (

??? ? ??? ? ??? ? 2 2 2 2 , 0, ) .则 AE ? ( ,0, ) , BC ? (0, a,0) , PC ? ( 2, a, ? 2) 2 2 2 2

故 AE ? BC ? 0, AE ? PC ? 0 ,因而, AE ? BC ,所以 AE ? 平面 PBC.

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

2 2? 设 , 0, ? ?. 2 2 ? ? ???? ??? ? ???? 平 面 D E C的 法 向 量 n2 ? ( x2,y2,z2 ) , 则 n2 ? DC ? 0,n2 ? DE ? 0 . 由 | AD ? , 得 | 1
AE ⊥ 平面 BEC , (2) 解: 设平面 BEC 的法向量为 n1 , 由 (Ⅰ) 知, 故可取 n1 ? EA ? ? ?

??? ?

? ? ?

D( 0 , ,, 1 0C )

,1 0 ) , (, 2

? x2 ? 0, ???? ???? 2 2 ? 从而 DC ? ( 2, 0,, 0) DE ? ( , ? 1, ) ,故 ? 2 2 2 2 x2 ? y2 ? z2 ? 0. ? ? 2 2
所以 x2 ? 0,z2 ? 2 y2 ,可取 y 2 ? 1 ,则 n2 ? (01 , ,2) . 从而 cos ? n1,n2 ??

3 n1 ? n1 3 .故二面角 B ? EC ? D 的余弦值为 ? . ?? 3 | n1 | ? | n2 | 3

20.(1)若 AC ? 4 ,则 BD ? 4 ,因为 B(9,0) 故 D(5, 0) ,由于 A(?3, 4) ,故 AB ? 5 ,则 OC ? 1 , 直 线 O A: y ? ?

1 4 x, 设 点 C ( 3a ,? 4a )? ( 1 ? a ? 0) , 则 OC ? 5 a ? ?5a ? 1 , 解 得 a ? ? , 则 5 3

3 4 C (? , ) ,故 CD : x ? 7 y ? 5 ? 0 5 5
(2)设 C (3a, ?4a)( ?1 ? a ? 0) ,则 AC ? 5 a ?1 ? 5(a ?1) ,于是 D(4 ? 5a, 0) 设 ?OCD 外接圆的一般方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则圆的方程满足:

?F ? 0 ?F ? 0 ? ? 2 2 ?9a ? 16a ? 3aD ? 4aE ? F ? 0 ,即 ? D ? 5a ? 4 ? E ? 10 a ? 3 ?(4 ? 5a) 2 ? (4 ? 5a) D ? F ? 0 ? ?
则圆的方程为: x ? y ? (5a ? 4) x ? (10a ? 3) y ? 0 ,即 x ? y ? 4x ? 3 y ? 5a( x ? 2 y) ? 0
2 2 2 2

? x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y ? 0 ?x ? 0 ?x ? 2 故? ,解得 ? 或? ,即 ?OCD 的外接圆恒过点 (2, ?1) y ? 0 y ? ? 1 x ? 2 y ? 0 ? ? ?
6

21.(1)存在 x1 , x2 ??0, 2? 使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,等价于 ? g ( x1 ) ? g ( x2 )?max ? M 由 g ( x) ? x3 ? x2 ? 3 ,得 g '( x ) ? 3 x ? 2 x ? 3 x( x ? ) ,故 g ( x) 在 ?0, ? 单调递减,在 ?
2

2 3

? 2? ? 3?

?2 ? , 2 ? 单调 ?3 ?

递增,所以 g ( x) min ? g ( ) ? ? 故 ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ?max

85 , g ( x)max ? g (2) ? 1 27 112 ? g ( x) max ? g ( x) min ? ? M ,则满足条件的最大整数 M ? 4 27

2 3

(2)依题有,在 ? , 2 ? 上函数 f ( x)min ? g ( x)max 2 由(1)可知,在 ? , 2 ? 上, g ( x)max ? g (2) ? 1 2
2 在 ? , 2 ? 上, f ( x) ? ? x ln x ? 1 恒成立等价于 a ? x ? x ln x 恒成立。 x ?2 ?

?1 ? ?1 ?

? ? ? ?

?1

?

a

设 h( x) ? x ? x2 ln x, h '( x) ? 1 ? 2x ln x ? x 可知, h '( x ) 在 ? , 2 ? 上是减函数,又 h '(1) ? 0 , 2 所以当 1 ? x ? 2 时, h '( x) ? 0 ,当
2

?1 ?

? ?

1 ? x ? 1 时, h '( x) ? 0 2

即函数 h( x) ? x ? x ln x 在 ? ,1? 上单调递增, 在 ?1, 2? 上单调递减, 所以 h( x)max ? h(1) ? 1 , 即实数 a 的取值范围为 ?1, ?? ? 22. ( 1 ) 设 ⊙ F1 , ⊙ F2 的 公 共 点 为 Q , 由 已 知 得 , F1 F2 ? 2, QF 1 ? r, QF 2 ? 4?r ,故

?1 ? ?2 ?

E 是长轴长 2a ? 4 ,焦距 2c ? 2 的椭圆, QF 1 ? QF 2 ?4 ? F 1 F 2,因此曲线
所以曲线 E :

x2 y 2 ? ?1; 4 3

(2)由曲线 E 的方程得,上顶点 M (0, 3) ,记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 ? 0, x2 ? 0) ,若直线 AB 的斜
2 2 率 不 存 在 , 则 直 线 AB 的 方 程 为 x ? x1 , 故 y1 ? ? y2 , 且 y1 ? y2 ? 3(1 ?

x12 ) ,因此 4
7

kMA ? kMB ?

y1 ? 3 y2 ? 3 y2 ? 3 3 ? ? ? 1 2 ? , 与 已 知 不 符 , 因 此 直 线 AB 的 斜 率 存 在 , 设 直 线 x1 x2 x1 4
x2 y 2 ? ? 1 : (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4(m2 ? 3) ? 0 ① 4 3

AB : y ? kx ? m ,代入椭圆 E :

因为直线 AB 与曲线 E 有公共点 A, B ,所以方程①有两个非零不等实根 x1 , x2 ,

8km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 3 ? 4k 2 故? , 2 4( m ? 3) ?x x ? ? 1 2 3 ? 4k 2 ?
又 k AM ?

y1 ? 3 kx1 ? m ? 3 , ? x1 x1

kBM ?

1 y2 ? 3 kx2 ? m ? 3 , 由 k AM ? k BM ? , 得 ? 4 x2 x2

( 4 kx1 ? m ? 3) (kx2 ? m ? 3) ? x1x2 ,
即 (4k 2 ? 1 )x1x2 ? 4k (m ? 3)(x1 ? x2 ) ? 4(m ? 3)2 ? 0, 所以 ( 4 m2 ? 3) (4k 2 ? 1) ? 4k (m ? 3)(?8km) ? 4(m ? 3)2 (3 ? 4k 2 ) ? 0, 化简得: m ? 3 3m+6=0 ,故 m ? 3 或 m ? 2 3 ,结合 x1 x2 ? 0 知 m ? 2 3 ,
2

即直线 AB 恒过定点 N (0, 2 3) .

8


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