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2013届高中数学竞赛教案讲义(7)解三角形


解三角形
一、基础知识 在本章中约定用 A,B,C 分别表示△ABC 的三个内角,a, b, c 分别表示它们所对的各边 长, p ?

a?b?c 为半周长。 2 a b c ? ? 1.正弦定理: =2R(R 为△ABC 外接圆半径) 。 sin A sin B sin C 1 1 1 推论 1:△ABC 的面积为 S△ABC= ab sin C

? bc sin A ? ca sin B. 2 2 2
推论 2:在△ABC 中,有 bcosC+ccosB=a. 推论 3:在△ABC 中,A+B= ? ,解 a 满足

a b ,则 a=A. ? sin a sin(? ? a)

证 推 论

3 , 由 正 弦 定 理

a b s ia n s i? n? ( a) ? ? , 所 以 , 即 sin A sin B s iA n s i? n? ( A) 1 [cos( ? -A+a)-cos( ? -A-a)]= 2

sinasin( ? -A)=sin( ? -a)sinA , 等 价 于 ?

1 [cos( ? -a+A)-cos( ? -a-A)] ,等价于 cos( ? -A+a)=cos( ? -a+A) ,因为 0< ? -A+a , 2 ? -a+A< ? . 所以只有 ? -A+a= ? -a+A,所以 a=A,得证。 ?
2.余弦定理:a =b +c -2bccosA ? cos A ?
2 2 2

b2 ? c2 ? a2 , 2bc

下面用余弦定理证明几个常用的结论。 ( 1 ) 斯 特 瓦 特 定 理 : 在 △ABC 中 , D 是 BC 边 上 任 意 一 点 , BD=p , DC=q , 则 AD =
2

b2 p ? c2q ? pq. p?q
2 2

(1)
2 2

【证明】 因为 c =AB =AD +BD -2AD·BDcos ? ADB , 2 2 2 所以 c =AD +p -2AD·pcos ?ADB . ① 2 2 2 同理 b =AD +q -2AD·qcos ?ADC , ② 因为 ? ADB+ ? ADC= ? , 所以 cos ? ADB+cos ? ADC=0, 所以 q×①+p×②得 qc +pb =(p+q)AD +pq(p+q),即 AD =
2 2 2 2

b2 p ? c2q ? pq. p?q 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 . 2
1 2 2 bc 4

注:在(1)式中,若 p=q,则为中线长公式 AD ? ( 2 ) 海 伦 公 式 : 因 为 S ?ABC ?
? 2

1 2 2 2 1 2 2 2 b c sin A= b c (1-cos A)= 4 4

-1-

? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) 2 ? 1 2 2 2 2 ?1 ? ? ? [(b+c) -a ][a -(b-c) ]=p(p-a)(p-b)(p-c). 2 2 16 4 b c ? ?
这里 p ?

a?b?c . 2

所以 S△ABC=

p( p ? a)( p ? b)( p ? c).

二、方法与例题 1.面积法。 例 1 (共线关系的张角公式)如图所示,从 O 点发出的三条射线满足

?POQ ? ? , ?QOR ? ? ,另外 OP,OQ,OR 的长分别为 u, w, v,这里 α ,β ,α +β ∈(0,

? ),则 P,Q,R 的共线的充要条件是 sin ? sin ? sin(? ? ? )
u ? v ? w

.

2.正弦定理的应用。 例 2 △ABC 内有一点 P,使得 ? BPC- ? BAC= ? CPA- ? CBA= ? APB- ? ACB。 求证:AP·BC=BP·CA=CP·AB。

例 3 △ABC 的各边分别与两圆⊙O1,⊙O2 相切,直线 GF 与 DE 交于 P,求证:PA ? BC。

3.一个常用的代换:在△ABC 中,记点 A,B,C 到内切圆的切线长分别为 x, y, z,则 a=y+z, b=z+x, c=x+y. 2 2 2 例 4 在△ABC 中,求证:a (b+c-a)+b (c+a-b)+c (a+b-c) ≤3abc. 4.三角换元。
+ 例 5 设 a, b, c∈R ,且 abc+a+c=b,试求 P ?

2 2 3 ? 2 ? 2 的最大值。 a ?1 b ?1 c ?1
2

-2-

例 6 在△ABC 中,若 a+b+c=1,求证: a +b +c +4abc< .
2 2 2

1 2

三、基础训练题 1. 在△ABC 中, 边 AB 为最长边, 且 sinAsinB=

2? 3 , 则 cosAcosB 的最大值为__________. 4

2.在△ABC 中,若 AB=1,BC=2,则 ?C 的取值范围是__________. 3 . 在 △ABC 中 , a=4, b+c=5, tanC+tanB+

3 ? 3 tanCtanB , 则 △ABC 的 面 积 为

__________. 4.在△ABC 中,3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1,则 ?C =__________. 5.在△ABC 中, “a>b”是“sinA>sinB”的__________条件. 6.在△ABC 中,sinA+cosA>0, tanA-sinA<0,则角 A 的取值范围是__________.

3 5 ,cosB= ,则 cosC=__________. 5 13 A C 1 ? ”的__________条件. 8.在△ABC 中, “三边 a, b, c 成等差数列”是“tan ? tan 2 2 3
7.在△ABC 中,sinA= 9.在△ABC 中,若 sinC=2cosAsinB,则三角形形状是__________. 10.在△ABC 中,tanA·tanB>1,则△ABC 为__________角三角形. 0 11.三角形有一个角是 60 ,夹这个角的两边之比是 8:5,内切圆的面积是 12 ? ,求这 个三角形的面积。 12.已知锐角△ABC 的外心为 D,过 A,B,D 三点作圆,分别与 AC,BC 相交于 M,N 两点。 求证:△MNC 的外接圆半径等于△ABD 的外接圆半径。 13.已知△ABC 中,sinC= 四、高考水平训练题 1.在△ABC 中,若 tanA=

sin A ? sin B ,试判断其形状。 cos A ? cos B 1 1 , tanB= ,且最长边长为 1,则最短边长为__________. 2 3

2.已知 n∈N+,则以 3,5,n 为三边长的钝角三角形有________个. + 2 2 2 3.已知 p, q∈R , p+q=1,比较大小:psin A+qsin B__________pqsin C. 4.在△ABC 中,若 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC,则△ABC 为__________角三角 形. 5.若 A 为△ABC 的内角,比较大小: cot

A ? cot A __________3. 8

6.若△ABC 满足 acosA=bcosB,则△ABC 的形状为__________. 7.满足 A=60 ,a= 6 , b=4 的三角形有__________个.
0

-3-

8.设 ? 为三角形最小内角,且 acos

2

? 2? 2? 2? +sin -cos -asin =a+1,则 a 的取值范围是 2 2 2 2

__________. 0 9.A,B,C 是一段笔直公路上的三点,分别在塔 D 的西南方向,正西方向,西偏北 30 方向,且 AB=BC=1km,求塔与公路 AC 段的最近距离。 10.求方程 x y ? 1 ? y x ? 1 ? xy 的实数解。 11.求证:

1 7 ? sin 20 0 ? . 3 20

五、联赛一试水平训练题 2 1.在△ABC 中,b =ac,则 sinB+cosB 的取值范围是____________.

sin B cos A ? 2 cos C ? ,则△ABC 的形状为____________. sin C cos A ? 2 cos B A B C 3.对任意的△ABC, T ? cot ? cot ? cot -(cotA+cotB+cotC),则 T 的最大值为 2 2 2
2.在△ABC 中,若 ____________. 4.在△ABC 中, sin

A sin B sin C 的最大值为____________. 2

5 .平面上有四个点 A , B , C , D ,其中 A , B 为定点, |AB|= 3 , C , D 为动点,且 |AD|=|DC|=|BC|=1。记 S△ABD=S,S△BCD=T,则 S +T 的取值范围是____________. 6.在△ABC 中,AC=BC, ?ACB ? 80 ,O 为△ABC 的一点, ?OAB ? 10 , ? ABO=30 ,
0 0
0 2 2

则 ? ACO=____________. 7.在△ABC 中,A≥B≥C≥ 小值为__________.

? A B C ,则乘积 cos sin cos 的最大值为____________,最 2 2 2 6
C?A A?C ? cos =____________. 2 2

8.在△ABC 中,若 c-a 等于 AC 边上的高 h,则 sin

9.如图所示,M,N 分别是△ABC 外接圆的弧 AB ,AC 中点,P 为 BC 上的动点,PM 交 AB 于 Q,PN 交 AC 于 R,△ABC 的内心为 I,求证:Q,I,R 三点共线。 10.如图所示,P,Q,R 分别是△ABC 的边 BC,CA,AB 上一点,且 AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。 求证:AB+BC+CA≤2(PQ+QR+RP) 。 11 .在△ABC 外作三个等腰三角形△BFC ,△ADC ,△AEB ,使 BF=FC , CD=DA, AE=EB , ? ADC=2 ? BAC, ? AEB=2 ? ABC, ? BFC=2 ? ACB,并且 AF,BD,CE 交于一点,试判断△ABC 的形状。 六、联赛二试水平训练题 1.已知等腰△ABC,AB=AC,一半圆以 BC 的中点为圆心,且与两腰 AB 和 AC 分别相切于 点 D 和 G,EF 与半圆相切,交 AB 于点 E,交 AC 于点 F,过 E 作 AB 的垂线,过 F 作 AC 的垂线, 两垂线相交于 P,作 PQ ? BC,Q 为垂足。求证: PQ ?

EF ,此处 ? = ? B。 2 sin ?

2.设四边形 ABCD 的对角线交于点 O,点 M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点,点 H1,H2(不重 合)分别是△AOB 与△COD 的垂心,求证:H1H2 ? MN。
-4-

3 .已知△ABC ,其中 BC 上有一点 M ,且△ABM 与△ACM 的内切圆大小相等,求证:

AM ? P( P ? a) ,此处 P ?

1 (a+b+c), a, b, c 分别为△ABC 对应三边之长。 2
0

4.已知凸五边形 ABCDE,其中 ? ABC= ? AED=90 , ? BAC= ? EAD,BD 与 CE 交于点 O,求 证:AO ? BE。 5.已知等腰梯形 ABCD,G 是对角线 BD 与 AC 的交点,过点 G 作 EF 与上、下底平行,点 E 0 和 F 分别在 AB 和 CD 上,求证: ? AFB=90 的充要条件是 AD+BC=CD。 6.AP,AQ,AR,AS 是同一个圆中的四条弦,已知 ? PAQ= ? QAR= ? RAS,求证:AR(AP+AR) =AQ(AQ+AS) 。 2 2 2 2 2 7.已知一凸四边形的边长依次为 a, b, c, d,外接圆半径为 R,如果 a +b +c +d =8R , 试问对此四边形有何要求? 8.设四边形 ABCD 内接于圆,BA 和 CD 延长后交于点 R,AD 和 BC 延长后交于点 P, ? A,

? B, ? C 指的都是△ABC 的内角,求证:若 AC 与 BD 交于点 Q,则

cos A cosC cos B ? ? . AP CR BQ

9.设 P 是△ABC 内一点,点 P 至 BC,CA,AB 的垂线分别为 PD,PE,PF(D,E,F 是垂足) , 求证:PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD),并讨论等号成立之条件。

-5-


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