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第二讲、第三讲、第四讲三角形五心定理及证明


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第二讲、第三讲、第四讲

三角形“五心”定理及证明

L/O/G/O

三角形的“五心”定理
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2 3 内心:内切圆的圆心,即三条角平分线的交点。 外心:外切圆的圆心,即三条中垂线的交点。 旁心:旁切圆的圆心,即三条角平分线的交点。 垂心:三条高的交点。

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重心:三条中线的交点。

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内心:三条角平分线的交点
? 证明:过点O作三边的垂 线,垂足分别为D、E、F。 ? 由角平分线定理(角平分线 上一点到两边的距离相等) 得: ? OD=OF,OF=OE ? ∴ OD=OE ? ∴AO为角BAC的平分线

注:红线为所要证明的线,绿线为辅助线。
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外心:三条中垂线的交点
? 证:连结OA、OB、OC,并 过O点作OF⊥BC于点F。 ? 由线段中垂线定理(线段中垂 线上一点到 ? 两端点的距离相等),得: ? OA=OB,OA=OC. ? ∴OB=OC ? ∴点O在线段BC的中垂线上 ? ∴OF为线段BC的中垂线

注:红线为所要证明的线,绿线为辅助线。
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旁心
? 证:过点O作三边的垂线, 垂足分别为D、E、F。 ? 由角平分线定理(角平分线 上一点到两边的 ? 距离相等)得: ? OD=OF,OD=OE ? ∴ OF=OE ? ∴BO为角ABC的平分线

注:红线为所要证明的线,绿线为辅助线。
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垂心:三条高的交点
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 证:连结DE,连结AO交BC于F点。 ∵角BDC=角BEC=90° ∴B、D、E、C四点共圆(以BC为直径的圆)。 ∴角FBO=角CDE ···① ··· (同弦(弧)所对圆周角相等) 又∵角ODA=角AEO=90° ∴O、D、A、E四点共圆(以AO为直径的圆)。 ∴角AOE=角ADE (同弦(弧)所对圆周角相等) 且 角AOE=角BOF ∴角ADE=角BOF ···② ··· 由①②可知,角OFB=角ODA=90° ∴AF为BC边上的高。
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重心:三条中线的交点
? ? ? ? 方法一: 证:连结AO交BC于点F。 ∵D为AB的中点 ∴S△ACD=S△BCD (S△表 示三角形的面积) ? (底相等(AD=BD),高相同( 都为点C到AB的距离)) ? S△AOD=S△BOD ? ∴S△AOC=S△BOC ···① ···

注:红线为所要证明的线,绿线为辅助线。
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重心:三条中线的交点
? 同理可得: ? S△BOC=S△AOB ···② ··· ? 由①②得,S△AOC=S△AOB ? 又∵△AOC与△AOB底都为AO ? ∴它们高相等,即:点B和点C到AF的距离 相等。 ? 对于△AFB和△AFC,底相同(为AF),高 相等(分别为点B和点C到AF的距离)。 ? ∴S△AFB=S△AFC ? 又对于△AFB和△AFC,高相同(为点A到BC 的距离)。 ? ∴它们底相等,即:BF=CF ? ∴AF为三角形的中线。
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重心:三条中线的交点
? 方法二: ? 证:连AO交BC于点F,连DE交AF 于点N, ? G,H分别为OB、OC的中点,连 DG,EH。 ? 连GH交AF于点M。 ? ∵DE为△ABC的中位线 ? ∴DE#1/2BC (#表示平行且等 于) ? 同理,可得:GH#1/2BC ? ∴DE#GH 即:四边形DEHG为平行 四边形。
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重心:三条中线的交点
? ? ? ? ? ? 易证,△ODN≌△OHM,得HM=DN ∵DG为△ABO的中位线 ∴DG∥NM,即四边形DGMN为平行四边形 ∴DN=GM ∴HM=GM,再由三角形中位线定理得,BF=CF。 ∴AF为三角形的中线。

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