当前位置:首页 >> 数学 >> 必修1 第三章函数的应用经典例题讲解

必修1 第三章函数的应用经典例题讲解


第三章 函数的应用 1:函数的零点
【典例精析】
例题 1 求下列函数的零点。
2 2

(1)y= x 2 ? 2 x ? 3 ; (2)y=( x -2) ( x -3x+2) 。 思路导航:判断函数零点与相应的方程根的关系,就是求与函数相对应的方程的根。 答案: (1)①当 x≥0 时,y=x2+2x-3,x2+2x-3=0

得 x=+1 或 x=-3(舍) ②当 x<0 时,y=x2-2x-3,x2-2x-3=0 得 x=-1 或 x=3(舍) ∴函数 y=x2+2|x|-3 的零点是-1,1。 (2)由( x -2) ( x -3x+2)=0,得(x+ 2) (x- 2) (x-1) (x-2)=0, ∴x1=- 2,x2= 2,x3=1,x4=2。 ∴函数 y=(x2-2) (x2-3x+2)的零点为- 2, 2,1,2。 点评:函数的零点是一个实数,不是函数的图象与 x 轴的交点,而是交点的横坐标。 例题 2 方程|x2-2x|=a2+1 (a∈R+)的解的个数是______________。 思路导航:根据 a 为正数,得到 a2+1>1,然后作出 y=|x2-2x|的图象如图所示,根据 图象得到 y=a2+1 的图象与 y=|x2-2x|的图象总有两个交点,得到方程有两解。
2 2

∵a∈R+ ∴a2+1>1。而 y=|x2-2x|的图象如图, ∴y=|x2-2x|的图象与 y=a2+1 的图象总有两个交点。 ∴方程有两解。 答案:2 个 点评: 考查学生灵活运用函数的图象与性质解决实际问题, 会根据图象的交点的个数判 断方程解的个数。做题时注意利用数形结合的思想方法。 例题 3 若函数 f(x)=ax+b 有一个零点为 2,则 g(x)=bx2-ax 的零点是( 1 1 1 A. 0,2 B. 0, C. 0,- D. 2,- 2 2 2 )

思路导航:由 f(2)=2a+b=0,得 b=-2a,∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1) 。 1 令 g(x)=0,得 x1=0,x2=- ,故选 C。 2 答案:C 【总结提升】 1. 函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的根,因此,求函数的零点问题通常可转化为 求相应的方程的根的问题。 2. 函数与方程二者密不可分,二者可以相互转化,如函数解析式 y=f(x)可以看作方程 y-f(x)=0,函数有意义则方程有解,方程有解,则函数有意义,函数与方程体现了动与 静、变量与常量的辩证统一。

函数零点的求法: (1)解方程 f(x)=0,所得实数根就是 f(x)的零点; (2)画出函 数 y=f(x)的图象,图象与 x 轴交点的横坐标即为函数 f(x)的零点。 3. 函数零点与方程的根的关系 根据函数零点的定义可知:函数 f(x)的零点,就是方程 f(x)=0 的根,因此判断一 个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程 f(x)=0 是否有实数根,有几个实数根。 4. 函数 y=f(x)的零点是函数图象与 x 轴交点的横坐标,如果一个函数能通过变换化为 两个函数之差的形式, 则函数的零点就是这两个图象交点的横坐标, 可以通过画出这两个函 数的图象,观察图象的交点情况,对函数的零点作出判断,这种方法就是数形结合法。

2:二分法
【考点精讲】
1. 函数零点的存在性判断——二分法 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,并且有 f(a)· f(b)<0, 那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 x0∈(a,b) ,使 f(x0)=0,这个 x0 也就是方程 f(x)=0 的根。 2. 逆定理:如果函数 y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的曲线,且 x0 是函数在这个 区间上的一个零点,却不一定有 f(a)· f(b)<0。如 f(x)=x2,在区间[-1,1]上有零点 x=0,但 f(-1)· f(1)>0。 3. 用二分法求函数零点的步骤: 已知函数 y=f(x)定义在区间 D 上,求它在 D 上的一个变号零点 x0 的近似值 x,使它 与零点的误差不超过正数 ε,即使得|x-x0|≤ε。 (1)在 D 内取一个闭区间[a,b] ? D,使 f(a)与 f(b)异号,即 f(a)· f(b)<0。 令 a0=a,b0=b。 (2) 取区间 [a0, b0] 的中点, 则此中点对应的横坐标为 x0=a0+ (b0-a0) = (a0+b0) 。 计算 f(x0)和 f(a0) 。 判断:①如果 f(x0)=0,则 x0 就是 f(x)的零点,计算终止; ②如果 f(a0)· f(x0)<0,则零点位于区间[a0,x0]内,令 a1=a0,b1=x0; ③如果 f(a0)· f(x0)>0,则零点位于区间[x0,b0]内,令 a1=x0,b1=b0。 (3)取区间[a1,b1]的中点,则此中点对应的横坐标为

1 2

1 2

1 1 (b1-a1)= (a1+b1) 。 2 2 计算 f(x1)和 f(a1) 。 判断:①如果 f(x1)=0,则 x1 就是 f(x)的零点,计算终止; ②如果 f(a1)· f(x1)<0,则零点位于区间[a1,x1]上,令 a2=a1,b2=x1。 ③如果 f(a1)· f(x1)>0,则零点位于区间[x1,b1]上,令 a2=x1,b2=b1。 …… 实施上述步骤,函数的零点总位于区间[an,bn]上,当|an-bn|<2ε 时,区间[an,bn] 1 的中点 xn= (an+bn)就是函数 y=f(x)的近似零点,计算终止。这时函数 y=f(x)的近似 2 零点与真正零点的误差不超过 ε。
x1=a1+

【典例精析】

例题 1 对于函数 f(x)=x2+mx+n,若 f(a)>0,f(b)>0,则函数 f(x)在区间 (a,b)内( ) B. 一定没有零点 D. 至多有一个零点 A. 一定有零点 C. 可能有两个零点

思路导航:若函数 f(x)的图象及给定的区间(a,b) ,如图(1) 、图(2)所示,可知 A 错;若如图(3)所示,可知 B 错、D 错。故 C 对。

答案:C 点评:结合二次函数的图象来判断给定区间根的情况。 例题 2 用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,经第一次计算得 f(0)<0,

f ( 0.5 ) > 0 , 可 得 其 中 一 个 零 点 x0∈______ ,第 二 次 应 计 算 ________ , 这 时 可 判 断 x0 ∈________。 思路导航:由题意知 x0∈(0,0.5) ,第二次计算应取 x1=0.25,这时 f(0.25)=0.253 +3× 0.25-1<0,故 x0∈(0.25,0.5) 。 答案: (0,0.5) 例题 3 f(0.25) (0.25,0.5)

是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在区间[-1,

3]上与 x 轴恒有一个零点,且只有一个零点。若存在,求出范围,若不存在,说明理由。 思路导航:运用二分法可以求出 a 的范围,但是要注意检验。 8?2 8 答案:∵Δ=(3a-2)2-4(4-1)=9a2-16a+8=9? ?a-9? +9>0,∴若实数 a 满足 条件,则只需使 f(-1)· f(3)≤0 即可。 f(-1)· f(3)=(1-3a+2+a-1)· (9+9a-6+a-1) 1 =4(1-a) (5a+1)≤0。所以 a≤- 或 a≥1。 5 检验: (1)当 f(-1)=0 时,a=1。所以 f(x)=x2+x。 令 f(x)=0,即 x2+x=0,得 x=0 或 x=-1。 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠1。 1 13 6 (2)当 f(3)=0 时,a=- ,此时 f(x)=x2- x- 。 5 5 5 6 2 2 13 令 f(x)=0,即 x - x- =0,解之得 x=- 或 x=3。 5 5 5 1 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠- 。 5 1 综上所述,a<- 或 a>1。 5

【总结提升】

本部分内容是高中数学的重难点, 也是高考考查的重点, 对于本部分内容的备考需注意 以下两个方面: 一是准确理解函数零点的概念及其存在性定理, 能通过特殊值的函数值判断函数零点所 在的区间;二是熟记常见函数的图象,牢记图象的基本特征,灵活运用函数图象解决相关问 题。高中阶段,研究函数零点的主要方法有:零点定理法、数形结合法。 使用二分法求方程的近似解要注意: (i)要使第一步中的区间[a,b]长度尽量小; (ii)区间[a,b]的长度与一分为二的次数满足关系式 ( ) | a ? b | 。
n

1 2

3:函数零点的应用
【考点精讲】
二次函数零点分布:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, (a ? 0) 以下研究 a>0 的情况,a<0 分析方法同理 ( a ) 二 次 方 程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的 两 个 根 x1 , x 2 满 足 x1 ? r ? x2 ? 函 数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c, (a ? 0) 两个零点为 x1 , x 2 满足 x1 ? r ? x2 ? f (r ) ? 0

( b ) 方 程 ax ? bx ? c ? 0, (a ? 0) 的 两 个 根 x1 , x 2 满 足 x2 ? x1 ? r ? 二 次 函 数
2

f ( x) ? ax2 ? bx ? c, (a ? 0) 两个零点 x1 , x 2 满足 x2 ? x1 ? r
?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? b ? ?? ?r ? 2a ? ? f (r ) ? 0

( c ) 方 程 ax ? bx ? c ? 0, (a ? 0) 的 两 个 根 x1 , x 2 满 足 p ? x1 ? x2 ? q 时 ,
2

?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? b ? ?q ?p ? ?? 2a ? f ( p) ? 0 ? ? ? f (q) ? 0

( d ) 二 次 方 程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的 两 个 根 满 足 x1 ? p ? x2 ? q ? 函 数

? f ( p) ? 0 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的零点满足 x1 ? p ? x2 ? q ? ? ? f (q) ? 0

(e)二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个根有且只有一个根在(p,q)内 ? 函数
2

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的两个零点有且只有一个在区间(p,q)内 ? f ( p) f (q) ? 0 或
检验 f(p)=0,f(q)=0 并检验另一根在(p,q)内。

【典例精析】
例题 1 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0。 (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m

的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围。 思路导航: 设出二次方程对应的函数, 可画出相应的示意图, 然后用函数性质加以限制。 答案: (1)由条件,抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1, 0)和(1,2)内,如图(1)所示,得

1 ? m?? , ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? 2 ? m ? R, ? f (?1) ? 2 ? 0, ? ? 1 ?? ? m?? , ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ? 2 ? ? 5 f ( 2 ) ? 6 m ? 5 ? 0 ? ?m ? ? . 6 ?
5 1 即- <m<- 。 6 2 (2)抛物线与 x 轴交点均落在区间(0,1)内,如图(2)所示,

? f (0) ? 0, ? f (1) ? 0, ? 列不等式组 ? ? ? ? ? 0, ? ?0 ? ? m ? 1
1 即- <m≤1- 2。 2

? ?m>-1, ? 2 m≥1+ 2或m≤1- ? ?-1<m<0.

1 m>- , 2

2,

例题 2

? ?a,a-b≤1, × ”:a○ × b=? 对实数 a 和 b,定义运算“○ 设函数 f(x)=(x2-2) ?b,a-b>1. ?

× (x-1) ○ ,x∈R。若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范

围是(

) B. (-2,-1]∪(1,2] D. [-2,-1]

A. (-1,1]∪(2,+∞) C. (-∞,-2)∪(1,2] 思路导航:当(x -2)-(x-1)≤1 时, 2 ? ?x -2,-1≤x≤2, ? -1≤x≤2,所以 f(x)= ? ?x-1,x<-1或x>2,
2

f(x)的图象如图所示。

y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,即方程 f(x)=c 恰有两个解,由图象可 知当 c∈(-2,-1]∪(1,2]时满足条件。 答案:B 点评:转化为两个函数交点个数问题,利用数形结合法求解。 例题 3 已知关于 x 的函数 y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1 恒有零点. (1)求 m 的范围; (2)若函数有两个不同零点,且其倒数之和为-4,求 m 的值. 思路导航:(1)当 m+6=0 时,即 m=-6 时,满足条件.当 m+6≠0 时,由≥0 求得 m≤ 且 m≠-6.综合可得 m 的范围. (2)设 x1,x2 是函数的两个零点,由条件并利用一元二次方程根与系数的关系求得 m 的值. 答案::(1)当 m+6=0 时,m=-6,函数为 y=-14x-5 显然有零点. 当 m+6≠0 时,m≠-6,由△=4(m-1)2-4(m+6)(m+1)=-36m-20≥0,得 m≤ ∴当 m≤ -

5 9

5 . 9

5 9 5 5 ,即 m 的范围为(-∞, - ]. 9 9 m ?1 2 (m ? 1) ,x1x2= . m?6 m?6

且 m≠-6 时,二次函数有零点. 综上可得,m≤ -

(2)设 x1,x2 是函数的两个零点,则有 x1+x2= ?



x ? x2 1 1 =-4,即 1 =-4, ? x1 x 2 x1 x2
2 (m ? 1) =-4,解得 m=-3. m ?1

∴?

且当 m=-3 时,m+6≠0,△>0,符合题意,

∴m 的值为-3


更多相关文档:

必修1 第三章函数的应用经典例题讲解

必修1 第三章函数的应用经典例题讲解_数学_高中教育_教育专区。第三章 函数的应用 1:函数的零点【典例精析】例题 1 求下列函数的零点。 2 2 (1)y= x 2...

高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结

高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结_数学_...12、解决应用题的一般程序: ① 审题:弄清题意,分...1 ) 利用待定系数法求出各解析式,并对各模型进行...

高一数学必修1第三章_函数的应用经典试题

高一数学必修1第三章_函数的应用经典试题_数学_高中教育_教育专区。启航辅导中心...第三章 函数的应用参考答案一、选择题 1.B 解析:令 f(x)=6x2-5x-1=0,...

高一数学必修1第三章函数的应用测试题

高一数学必修1第三章函数的应用测试题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修Ⅰ第三章《函数的应用》测试题一、选择题 1.下列函数有 2 个零点的是 A...

高中数学必修1第三章(函数的应用)检测题

高中数学必修1第三章(函数的应用)检测题_数学_高中教育_教育专区。七星关区燕子...(1)分别写出三种上网方式中所用资费与时间的函数解析式; (2)在同一坐标系中...

高一数学必修1第三章函数的应用练习题

高一数学必修1第三章函数的应用练习题_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修Ⅰ第三章《函数的应用》练习题一、选择题 1.下列函数有 2 个零点的是 A、 y ? ...

新课标高中数学(必修1)第三章:函数的应用(综合训练)解析

新课标高中数学(必修1)第三章:函数的应用(综合训练)解析_数学_高中教育_教育专区。新课标高中数学(必修 1)第三章:函数的 应用(综合训练)解析. 一、选择题 1...

必修1第三章函数的应用的复习

必修1第三章函数的应用的复习_数学_高中教育_教育专区...f ( 点评:此题主要考查偶函数的性质,不要忽略...(x)的解析式为( A. 1-x 2 B. 2-2x 2 4....

新课标高中数学(必修1)第三章:函数的应用(基础训练)解析

新课标高中数学(必修1)第三章:函数的应用(基础训练)解析_数学_高中教育_教育专区。新课标高中数学(必修 1)第三章:函数的 应用(基础训练)解析. 一、选择题 1...
更多相关标签:
双曲线经典例题讲解 | 数学必修一经典例题 | 初一数学经典例题讲解 | 数学必修二经典例题 | 线性代数经典例题讲解 | 物理必修一经典例题 | 高中数学必修经典例题 | 生物必修一经典例题 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com