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湖北省沙市中学学高二数学下学期第五次半月考试题文-精


2015—2016 学年下学期高二年级 第五次半月考文数试卷

考试时间:2016 年 5 月 27 日 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.若复数 z 满足 iz ? 1 ? i ,则 z 的虚部为 ( ) A.1 B. i C. ? 1 D.- i 2.已知直线 ax

? y ? 2 ? 0 的倾斜角为

3 ? ,则该直线的纵截距等于( 4



A. 1 B.﹣1 C.2 D.﹣2 3.某企业有职工 150 人,其中高级职称 15 人,中级职称 45 人,一般职员 90 人,现用分层抽样的方法 抽取一个容量为 30 的样本,则各职称抽取的人数分别为( ) A.5,15,5 B.3,9,18 C.3,10,17 D.5,9,16 4.下列有关命题的说法正确的是( )
2 2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”.

B.线性回归直线方程 y ? bx ? a 恒过样本中心 ( x, y ) ,且至少经过一个样本点.
2 2 C.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”.

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 5.已知双曲线 C : 为( ) A. 4 x ? 3 y ? 0

x2 y 2 ? ? 1? b ? 0? 的右焦点与抛物线 y 2 ? 20 x 的焦点重合,则双曲线 C 的渐近线方程 16 b2
B. 3x ? 4 y ? 0 C. 16 x ? 9 y ? 0 D. 9 x ? 16 y ? 0 )

6.已知变量 x,y 之间具有线性相关关系,其散点图如图所示,则其回归方程可能为( A. ? y ? 1.5x ? 2 C. ? y ? 1.5x ? 2 B. ? y ? ?1.5x ? 2 D. ? y ? ?1.5x ? 2
2

7.直线 x ? y ? 1 ? 0 被圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 3 截得的弦长等于( A. 2 B. 4 C. 2 2

) D. 2

1

8.一只小蜜蜂在一个棱长为 4 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个面的 距离均大于 1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.

9 64
2

B.

1 2

C.

1 64

D.

1 8

9.若函数 f(x)=2x -lnx 在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不 是单调函数,则实数 k 的取值 . 范围是( ) B. ?1, ?

A.[1,+∞)

? 3? ? 2?

C.[1,2)

D. ? , 2 ?

?3 ?2

? ?

10.如图所示是一个算法程序框图,在集合 A ? ?x | ?10 ? x ? 10, x ? R? 中随机抽取一个数值作为 x 输入,则输出的 y 值落在区间( ? 5 ,3) 内的概率为( A.0.8 ) B.0.6
2 2

C.0.5

D.0.4

11.已知过双曲线 C :

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点且倾斜角为 45 ? 2 a b

的直线与双曲线的右支有两个交点,则双曲线的离心率 e 的取值范围 是( ) B. (1, 3] C. (1, 2 ] D. (1, 2 )

A. (1, 3)

' ' 12 .定义域为 R 的可导函数 y ? f ?x ? 的导函数为 f ? x ? ,满足 f ?x ? ? f ?x ? ,且 f ?0? ? 1, 则不等式

f ?x ? ? 1 的解集为( ex
A. ?? ?,0?

) B. ?0,??? C. ?? ?,2? D. ?2,???

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.若 (1 ? 2ai )i ? 1 ? bi ,其中 a、b∈R,i 是虚数单位,则 | a ? bi | = ________. 14.若曲线 f(x)=x·sinx+1 在 x=

? 处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂直,则实数 a 等于_______. 2

? x-2?0 ? 15 .若实数 x, y 满足不等式组 ? y -1 ? 0 的目标函数 t ? x ? 2 y 的最大值为 2 ,则实数 a 的值是 ?x ? 2 y - a ? 0 ?

_______.

2

16.已知 x ? (0, ??) ,观察下列各式:

1 ?2 x 4 x x 4 x? 2 ? ? ? 2 ?3 x 2 2 x 27 x x x 27 x? 3 ? ? ? ? 3 ? 4 x 3 3 3 x x?
? 类比得: x ?

a ? n ? 1(n ? N * ) ,则 a ? n x

.

三、解答题(本小题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明或演算步骤) 17. (10 分)某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生,将他 们的期中考试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段:[40,50) ,[50,60) ,?,[90,100] 后得到如图的频率分布直方图. (1)求图中实数 a 的值; (2)若该校高一年级共有学生 1000 人,试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于 60 分的人数. (3)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段 内的学生中随机选取 2 名学生, 试用列举法求这 2 名学生 的数学成绩之差的绝对值大于 10 的概率.

18. (12 分)已知圆 C : x2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 4 ? 0 ,点 P (6,0) . (1)求过点 P 且与圆 C 相切的直线方程 l ; (2)若圆 M 与圆 C 外切,且与 x 轴切于点 P ,求圆 M 的方程.

19. (12 分) (1)求与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 有共同焦点且过点 (3, 2) 的双曲线的标准方程; 9 5

(2)已知抛物线的焦点在 x 轴上,抛物线上的点 M(﹣3,m)到焦点的距离等于 5,求抛物线的标准方 程和 m 的值.

3

20. (12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 (a ? 0) 在 x=1 处有极值 10. (1)求 a、b 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)求 f ( x) 在[0,4]上的最大值与最小值.

21. (12 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (2, 0) , M 为椭圆的上顶点, O 为坐标原 a 2 b2

点,且△ MOF 是等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程;

MB 交椭圆于 A , B 两点, (2) 过点 M 分别作直线 MA , 设两直线的斜率分别为 k1 , 且 k1 ? k2 ? 8 , k2 ,
证明:直线 AB 过定点 (? , ? 2) .

1 2

22. (12 分)已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x2 ? ax ? 3 . (1)对一切 x ? (0, ??), 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. e x ex

4

参考答案 一、单项选择 1、C. 2、D 7、D 8、D 二、填空题 13、 3、B 9、B 4、D 10、A 5、B 11、D 6、B 12、B

5 14、2 2

15、 2

16、 nn

三、解答题 17、 【答案】 (1)a=0.03.(2)850(人) . (3) .

解: (1)由频率分布直方图,得: 0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1, 解得 a=0.03. (2)数学成绩不低于 60 分的概率为:0.2+0.3+0.25+0.1=0.85, ∴数学成绩不低于 60 分的人数为: 1000×0.85=850(人) . (3)数学成绩在[40,50)的学生为 40×0.05=2(人) ,数学成绩在[90,100]的学生人数为 40×0.1=4 (人) , 设数学成绩在[40,50)的学生为 A,B,数学成绩在[90,100]的学生为 a,b,c,d, 从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取 2 名学生, 基本事件有:{AB},{Aa},{Ab},{Ac},{Ad},{Ba},{Bb},{Bc},{Bd},{ab},{ac},{ad},{bc}, {bd},{c,d}, 其中两名学生的数学成绩之差的绝对值大于 10 的情况有: {Aa},{Ab},{Ac},{Ad},{Ba},{Bb},{Bc},{Bd},共 8 种, ∴这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值大于 10 的槪率为 .

2 2 18、 【答案】 (1) 5x ? 12 y ? 30 ? 0 或 x ? 6 (2) ( x ? 6) ? ( y ? ) ?

2 5

4 2 2 或 ( x ? 6) ? ( y ? 2) ? 4 25

解法 1:圆 C 化为标准方程是 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 9
2 2

故圆心坐标为 C(3,2)半径 r ? 3 .设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? 6) , 即 kx ? y ? 6k ? 0 由点到直线的距离公式得 所以 y ?

| ?3k ? 2 | k ?1
2

? 3 解得 k ?

5 12

5 ( x ? 6) 即 5x ? 12 y ? 30 ? 0 12

又 x ? 6 也是切线方程 所以切线 l 的方程为 5x ? 12 y ? 30 ? 0 或 x ? 6

19、 【答案】 (1)

(2)

解: (1)椭圆

的焦点为(2,0) , (﹣2,0) ,

设双曲线的标准方程为: 解得 a =3,b =1, ∴所求双曲线的标准方程为
2 2 2

=1(a,b>0) ,则 a +b =4,

2

2

=1,

. ,准线方程为 , ,∴p=4,

(2)设抛物线方程为 y =﹣2px(p>0) ,则焦点

根据抛物线的定义,点 M 到焦点的距离等于 5,也就是点 M 到准线的距离为 5,则 因此,抛物线方程为 y =﹣8x, 2 又点 M(﹣3,m)在抛物线上,于是 m =24,∴ 20、 【答案】 (1) a ? 4, b ? ?11 ; (2)在 ( ??, ? 最大值为 100,最小值为 10. 解: (1)由 f ?(1) ? 3 ? 2a ? b ? 0, f (1) ? 1 ? a ? b ? a2 ? 10 ,得 a=4 或 a=-3
2



11 11 ), (1, ??) 上单调递增, ( ? ,1) 上单调递减; ( 3) 3 3

? a ? 0,? a ? 4, b ? ?11 (经检验符合)
(2) f ( x) ? x3 ? 4x2 ?11x ? 16, f ?( x) ? 3x2 ? 8x ?11 , 由 f ?( x) ? 0 得 x1 ? ? 列表如下:

11 , x2 ? 1 3 ( ??, ?
+ ↗

x
f '( x) f ( x)

11 ) 3

?
0

11 3

(?
- ↘

11 ,1) 3

1 0 极小值

(1, ??)
+ ↖

极大值

f(x)在 ( ??, ?

11 11 ), (1, ??) 上单调递增, ( ? ,1) 上单调递减. 3 3

(3)由(2)知:f(x)在(0,1)上单调递减, (1,4)上单调递增, 又因为 f(0)=16,f(1)=10,f(4)=100,所以 f(x)的最大值为 100,最小值为 10.

x2 y 2 ? ? 1 (Ⅱ)详见解析 21、 【答案】 (Ⅰ) 8 4
解: (1)由△ MOF 是等腰直角三角形,得 c = b =4,a =8
2 2 2

故椭圆方程为

x2 y 2 ? ? ?1 8 4

(2)①若直线 AB 的斜率存在,设 AB 方程为 y ? kx ? m ,依题意 m ? ?2 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

? x2 y2 ? ? ? 1, 得 1 ? 2k 2 x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 8 ? 0 . 由? 8 ? ? 4 ? ? y ? kx ? m,
则 x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 8 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

由已知 k1 ? k 2 ? 8 ,可得

y1 ? 2 y 2 ? 2 kx ? m ? 2 kx2 ? m ? 2 ? ? 8 ,所以 1 ? ?8 x1 x2 x1 x2

即 2k ? (m ? 2) 所以 k ?

x1 ? x2 ?8。 x1 x2

mk 1 ? 4 ,整理得 m ? k ? 2 m?2 2 1 1 故直线 AB 的方程为 y ? kx ? k ? 2, 即y ? k ( x ? ) ? 2 2 2 1 所以直线 AB 过定点 ( ? ,?2) 2
若直线 AB 的斜率不存在,设 AB 方程为 x ? x0 ,设 A( x0 , y0 ), B( x0 ,? y0 ) 由已知

y0 ? 2 ? y0 ? 2 1 1 1 ? ? 8 ,得 x 0 ? ? ,此时 AB 方程为 x ? ? ,显然过点 ( ? ,?2) 。 2 2 2 x0 x0
1 , ?2) 2

综上所述,直线 AB 过定点 ( ?

22、 【答案】 (1) a ? 4, (2)详见解析

解:解(1) 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3 ,则
2

a ? 2 ln x ? x ?

3 x,

h( x) ? 2 ln x ? x ?


3 ( x ? 3)( x ? 1) ( x ? 0) h?( x) ? x x2 ,则 ,

x ? (0,1), h?( x) ? 0, h( x) 单调递减,② x ? (1, ??), h?( x) ? 0, h( x) 单调递增,
所以

h( x)min ? h(1) ? 4 ,对一切 x ? (0, ??), 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,所以 a ? h( x)min ? 4 ;
x ln x ? x 2 ? ( x ? (0, ??)) ex e ,

(2)问题等价于证明

1 1 ? x? f ( x ) ? x ln x ( x ? (0, ?? )) e 时取到, 由(1)可知 的最小值是 e ,当且仅当 m( x ) ?


x 2 1? x ? ( x ? (0, ??)) m?( x) ? x x e e e ,易知 ,则 1 e ,当且仅当 x ? 1 时取到, ln x ? 1 2 ? e x e x 成立.

m( x) max ? m(1) ? ?

从而对一切 x ? (0, ??) ,都有


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