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2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题


2005 年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题
一. 选择题 1.设 1 + x + x (A) 3
n

(

2 n

)

= a0 + a1 x + L + a2 n x 2 n ,求 a2 + a4 + L + a2 n 的值为
n

(B)

3 ? 2

(C)

2.若 sin x + sin y = 1 ,则 cos x + cos y 的取值范围是 (A) [?2, 2] (B) [?1, 1] (C)

3n ? 1 2

(D)

3n + 1 2

答: 【 C 】

[? 3 , 3 ] 答: 【 D 】 x 3.设 f1 ( x ) = 2 , f 2 ( x ) = sin x + cos 2 x , f 3 ( x ) = sin + cos 2 x , f 4 ( x) = sin x 2 ,上述函数中, 2 [0, 3 ]
(D) 周期函数的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 4.正方体的截平面不可能是 不可能 ... (D) 4 (4) 正五边形 (D) (3)(4)(5) 答: 【 B 】 (5) 正六边形 答: B 】 【

(1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 下述选项正确的是: (A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4)

5.已知 a , b 是两个相互垂直的单位向量,而 | c |= 13 , c ? a = 3 , c ? b = 4 。则对于任意实数 t1 ,t 2 ,

| c ? t1 a ? t2 b | 的最小值是
(A) 5 (B) 7 (C) 12 (D) 13 答: 【 C 】 6.设函数 y = f (x ) 满足 f ( x + 1) = f ( x ) + 1 ,则方程 f ( x ) = x 根的个数可能是 (A) 无穷多 (B) 没有或者有限个 (C) 有限个 (D) 没有或者无穷多 二.填空题

答: D 】 【

? x?2 x?3 ? x?6 x?5 3 2 ? 5 6 ? + = + + = + ? , N = ?x ?, 2 x ? 2 x ? 3? 6 x ? 6 x ? 5? ? 3 ? 5 求 M I N = {0} . 8. 已知数列 xn ,满足 ( n + 1) xn +1 = xn + n , 且 x1 = 2 , 则 x2005 = 2005 。
7. 设 M = ? x

5 1 3x3 ? x 2 + 4 x + 3 2 9. 设函数 2 f ( x ) + x f ( ) = ,则 f ( x ) = x ? 3 x + 6 ? 。 x x +1 x +1
2

10. 设命题 P: c < c 和命题 Q: 对任何 x ∈ R ,x + 4cx + 1 > 0 有且仅有一个成立, 则实数 c 的取值范围是
2 2

? 1 ? ?1 ? ? ? , 0 ? ∪ ? , 1? 。 ? 2 ? ?2 ?
从左向右依次取点列 11. 在 x 轴的正方向上,

{A }, j = 1,2,L ,以及在第一象限内的抛物线 y
j

2

=

向右依次取点列 {Bk }, k = 1,2,L ,使 ?Ak ?1 Bk Ak ( k = 1,2,L )都是等边三角形,其中 A0 是坐标原点,则第 2005 个等边三角形的边长是 2005。 12. 根据指令,机器人在平面上能完成下列动作:先从 原点 O 沿正东偏北 α ( 0 ≤ α ≤ y

3 x 上从左 2

π
2

)方向行走一段时

P(x,y)

间后,再向正北方向行走一段时间,但何时改变方向不 定。假定机器人行走速度为 10 米/分钟,则机器人行走 2 分钟时的可能落点区域的面积是 100π ? 200 。

α
O

A x

三. 解答题 y 13.(20 分)设双曲线 x ? y = 1 的左、右焦点分别
2 2

P K H B AG x

若 为 F1 ,F2 , ?PF1 F2 的顶点 P 在第一象限的双曲线 O 上移动, 求 ?PF1 F2 的内切圆的圆心轨迹以及该内切 圆在边 PF2 上的切点轨迹。

【解】 如图,记双曲线在 x 轴上的两顶点为 A(1, 0), B(-1, 0),G 为 ?PF1 F2 的内切圆在边 F1 F2 上的切点, H 为 ?PF1 F2 的内切圆在边 PF2 上的切点,K 为 ?PF1 F2 的内切圆在边 PF1 上的切点。则有

GF1 ? GF2 = KF1 ? HF2 = ( KF1 + KP ) ? ( HF2 + HP ) = PF1 ? PF2
--------------------------------5分

由双曲线的定义知,G 必在双曲线上,于是 G 与 A(1, 0)重合,是定点。 而 F2 G = F2 A =

2 ? 1 。根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等,所以 ?PF1F2 的内切圆在边 PF2 上的

切点的轨迹是以 F2 ( 2 , 0) 为圆心, 2 ? 1 为半径的圆弧。------- 10 分 因为 P ( x, y ) 是在 x 2 ? y 2 = 1 第一象限的曲线上移动,当 PF2 沿双曲线趋于无穷时,与 x 轴正向的交 角 θ 的正切的极限是

x → +∞

lim tan θ = lim

x2 ?1 x? 2

x → +∞

=1

即 θ →

π
4

。 故点 H 的轨迹方程为 (极坐标形式)

? x ? 2 = ( 2 ? 1) cos θ , ? y = ( 2 ? 1) sin θ ?
也可以用直角坐标形式。



π
4

<θ <π )

--------------------------------- 15 分

由于 G 与 A(1, 0)重合,是定点,故该内切圆圆心的轨迹是直线段,方程为

x = 1 ( 0 < y < 1) 。

-------------------------------- 20 分

? n ?1 1 ? ? , 14.(20 分)设 x1 , x2 ,L xn ∈ R ,定义 S n = ∑ ? xi + 2 ? n xi ? i =1 ? ?
+

n

2

1)求 S n 的最小值; 2)在 x1 + x2 + L + xn = 1 条件下,求 S n 的最小值;
2 2 2

3)在 x1 + x2 + L + xn = 1 条件下,求 S n 的最小值, 并加以证明。 【 解 】
n ? n ?1 ? n ?1 n ?1 ? = 4∑ 2 = 4 1) S n ≥ ∑ ? 2 2 ? ? n n ? i =1 ? i =1 n n
2

----------------------------------- 5 分

(当 xi =
n

n ?1 时,取到最小值) n

? 2 n ? 1 (n ? 1) 2 1 ? ? xi + 2 2 + ? 2) S n = ∑ ? n n 4 xi2 ? i =1 ? ?
= 1+ 2 n ? 1 (n ? 1) 2 + n n4

∑x
i =1

n

1
2 i

≥ 1+ 2

n ? 1 (n ? 1) 2 n ?1 2 + = (1 + ) 2 n n n 1 n
时,取到最小值 (1 +

---------------------------10 分

(当 x1 = x 2 = L = x n = 3) 因为

n ?1 2 ) ) n

?n ? n ?1 1 ?∑ 1 ? ? x i + 2 ? n xi ? i =1 ?
所以
2

?? n ?1 1 ? n ? n ? ? ? ≤ ? ∑ 12 ? ? ∑ ? x i + 2 ? ? n xi ? i =1 ? i =1 ? ??
2

2

? ? ? ?

2

2 ? 1? n ? n ? 1 1 ?? n ?1 1 ? 1 ? n ?1 2 ? ?? ≥ ?1 + 2 ? n ? = n . ---------15 分 ? ≥ ?∑ ? xi + 2 S n = ∑ ? xi + 2 ? n xi ? n ? i =1 ? n? n n xi ?? ? i =1 ? ? ? ? 1 (当 x1 = x 2 = L = x n = 时,取到最小值 n ) n

n

每小题指出什么时候取到。

(5 分) 满分 20 分

15.(20 分)在一次实战军事演习中,红方的一条直线防线上设有 20 个岗位。为了试验 5 种不同新式武器, 打算安排 5 个岗位配备这些新式武器,要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器,且每相邻 5 个岗位至少 有一个岗位配备新式武器,相邻两个岗位不同时配备新式武器,问共有多少种配备新式武器的方案? 【解】 设 20 个岗位按先后排序为 1,2, : ,… ,20,且设第 k 种新式武器设置的序号为 a k (k = 1,2,3,4,5) 。 令 x1 = a1 , x 2 = a 2 ? a1 , x3 = a 3 ? a 2 , x 4 = a 4 ? a 3 , x5 = a 5 ? a 4 ,

x6 = 20 ? a 5 ,则有 x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 + x6 = 20
其中 2 ≤ x k ≤ 5 (k = 1,2,3,4,5) , 1 ≤ x 6 ≤ 4 。 -------------------------------------- 5 分 (*)

作代换 y k = x k ? 1 (k = 1,2,3,4,5) , y 6 = x 6 ,从而有

y1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 = 15
其中 1 ≤ y k ≤ 4 ( k = 1,2,3,4,5,6) 。 ---------------------------------------------------------- 10 分

(**)

现求解问题( ) 现求解问题(**): 方法一: 方法一:
全体。则 设 I 为 y1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 = 15 的正整数解的全体, Ak 为 I 中 y k 满足 y k > 4 的解的

I Ak = I ?
k =1

6

U Ak = I ? ∑ Ak + ∑ A j Ak
k =1 k =1 j <k

6

6

上式成立的原因是 Ai A j Ak = φ ,因为没有同时满足 y i > 4 , y j > 4 , y k > 4 的 所以
6

∑y
k =1

6

k

= 15 的正整数组。

IA
k =1

k

5 5 2 5 = C14 ? 6C10 + C 6 C 6 = 2002 ? 1512 + 90 = 580 .

-------------- 15 分

方法二


: 问题(**)的解数等于 ( x + x + x + x ) 展开式中 x 的系数。
2 3 4 6
15

( x + x 2 + x 3 + x 4 ) 6 = x 6 (1 + x + x 2 + x 3 ) 6 = x 6 (1 + x) 6 (1 + x 2 ) 6 ,

故只须求 (1 + x) (1 + x ) 展开式中 x 的系数。
6 2 6
9

(1 + x) 6 (1 + x 2 ) 6 = (1 + 6 x + 15x 2 + 20 x 3 + 15 x 4 + 6 x 5 + x 6 ) × (1 + 6 x 2 + 15 x 4 + 20 x 6 + 15 x 8 + 6 x 10 + x 12 )
因此 x 9 的系数为 6×15+20×20+6×15 = 580。 ----------------------------------------- 15 分

因为 5 种新式武器各不相同,互换位置得到不同的排列数,所以配备新式武器的方案数等于 580 × 5!= 69600 。 ------------------------------------------ 20 分


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