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指数函数图像及其性质


指数函数图像及其性质
【知识要点】 一、指数函数的概念、图象和性质 定义
x 函数 y ? a (a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做指数函数.

指数 函数 图象

分类

a?1
图象关于原点和 y 轴都不对称

0?a?1

向 x 轴、y 轴正

半轴方向无限延伸 指数 函数 图象 特征 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看,图象逐渐上升 在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 图象上升趋势是越来越陡 自左向右看,图象逐渐下降 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 图象下降趋势是越来越缓 函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 ? 0, ?? ? 指数 函数 性质 在定义域上是增函数 在定义域上是减函数

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1
函数值开始增长较慢, 到了某一值后增 长速度极快;

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1
函数值开始减小极快, 到了某一值后 减小速度较慢;

【典型例题】 例 1.下列以 x 为自变量的函数中,是指数函数的是 A . y ? (?4) D. y ? a
x?2
x



) C .

B

y ??x

y ? ?4x

,(a ? 0且a ? 1)

例 2.若指数函数 y ? (a ? 2) x 是单调递减函数,则 a 的取值范围是( A. a ? ?0, 1? 例 3.若 ( ) B. a ? ?1,



? ??

C. a ? ?2,

3?

D. a ? ?3,

? ??

1 4

m

? 2 ,则 m 的取值范围是

例 4.指数函数

f ( x) ? a x 图像过点 ( 2,

1 ) ,令 g ( x) ? a x ,求 g ( x)的 定义域和值域 16

例 5、若 f ( x) ? a x , (0 ? a ? 1) ,写出下列函数的图像所经过的定点的坐标。 ⑴ f 1 ( x) ? a
x ?1

__________; ⑵ f 2 ( x) ? a

x ?1

⑶ f 3 ( x) ? a ? x?1 __________。 ? 1 __________;

例 6、求下列函数的定义域和值域 (1) y ? 2
1 ?1 x ?4

(2) y ? ( )

1 2

2 x? x2

例 7、求函数 y ? ( )

1 2

x2 ?2 x?2

的单调区间、定义域和值域.

例 8、解关于 x 的不等式 5

2 x 2 ? 2 x ?1

1 ? ( )1?3 x 5

例 9、已知函数 f ( x) ? (

1 1 ? )x3 , 2 ?1 2
x

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断函数的奇偶性;

【经典练习】 1.下列命题中,正确命题的个数为 ( (1)函数 y ? )

1 , (a ? 0且a ? 1) 不是指数函数。 (2)指数函数不具有奇偶性。 ax
B. 1 C. 2 D. 3

(3)指数函数在其定义域上是单调函数。 A. 0

2、计算机成本不断降低,若每隔 3 年计算机价格降低 年后的价格为( A.2400 元 ). B.900 元

1 ,现在价格为 8100 元的计算机,则 9 3

C.300 元 的取值范围是__________.

D.3600 元

3、当 x ? 1 时, a x?1 ? 1(a ? 0, a ? 1) ,则

4.如果函数 f ( x) ? (a ? 1) x 在 R 上是减函数,那么实数 的取值范围是 ___________________.

5. 函数 y ? 0.25x

2

?5x ?6

的值域为_________________.

6. 若 函 数 y ? 2 x ? m 的 图 像 不 经 过 第 二 象 限 , 则 m 的 取 值 范 围 是 ____________________. 7、 利用指数函数的性质判断 5
2 x 2 ?1

与5

x2 ?2

的大小;

8、求函数

y?2

1 x ?1

的定义域和值域.并求出当 y ?

1 时所对应的 x 的取值范围 8

9、判断函数 f ( x) ?

10x ? 10? x 的奇偶性 10? x ? 10x

【课后作业】 1、函数 f ( x) ? (a 2 ? 1) x 是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是( A. a ? 1
B.1 ? a ? 2 C. a ? 2

)
2

D.a ?

2、 函数 y ? a x ?a ? 0, a ? 1?对于任意实数 x , y 都有 A. f ?xy? ? f ?x ? f ? y ? C. f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? 3、y= 0.3
x ?1





B. f ?xy? ? f ?x ? ? f ? y ? D. f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ) ,值域为 ( )

的定义域为(

A.?? ?,0?

B.?1,???
x

C.?0,1?

D.?? ?,1?


4、当 x ? ?? 1,1? 时函数 f ( x) ? 3 ? 2 的值域是(

? 5 ? A.?? ,1? ? 3 ?

B.?? 1,1?

? 5? C.?1, ? ? 3?

D.?0,1?
)

x 5、函数 y ? a (a ? 1) 在 ?0,1? 上的最大值与最小值的和为 3 ,则 a =(

A. 8

B. 2

C. 4

D.

3 2

6、函数 f ( x) ? a x?1 ? 1?a ? 0且a ? 1? 的图象一定通过点 7、求函数 y ? 2 x
2

?2 x

的值域和单调区间

?1 ?x ,x ? 0 1 8、 已知函数 f ( x) = ? ,求关于 x 的不等式 f ( x ) ? 的解集. ? 3 ?( 1 ) x , x ? 0 ? ? 3

ex a ? 在 R 上是偶函数. 9、设 a ? 0 , f ( x) = a ex
(1)求 a 的值. (2)证明: f ( x) 在 ?0,??? 上是增函数.


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