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2010届高三数学复习资料专题教案5


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2011 届高三数学复习资料专题
专题五:概率与统计综合性题型分析及解题策略
【命题趋向】
概率与统计以其独特的研究对象和研究方法,在中学数学中是相对独立的,但是,概率 与统计试题的背景与日常生活最贴近,联系最为紧密,不管是从内容上,还是从思想方法上, 都体现着应用的观念

与意识,在展现分类讨论、化归思想与同时,培养学生解决问题的能力. 在高考的考查中,基本上都是 1 道小题以及 1 道解答题,其中小题较容易,解答题逐渐取代 了 90 年代兴起的应用题,其难度不大,但有一定的灵活性,对题目的背景和题意理解要求较 高,如 08 年重庆理 5 题(5 分)为容易题,考查正态分布的计算及密度曲线性质、08 年湖南文 12 题(12 分)为中档题,考查样本的识别与抽样、08 年安徽高考理科第 19 题(12 分)是中档题, 考查几种事件的交汇、08 年福建理 20 题(12 分)中等难度,考查概率的计算与离散随机变量的 分布列及期望,等等.预计在 09 年高考中解答题仍可能是文科题重点考查古典概率,互斥事 件的概率,独立事件的概率,独立重复事件的概率等,考查应用意识和实践能力;理科重点 考查随机变量的分布列与期望, 互斥事件有一个发生的概率, 相互独立事件同时发生的概率, 独立重复事件的概率等,穿插考查合情推理能力和有关优化决策能力,难度可能有所提升, 考生应有心理准备.文科一般两个问题都考查概率问题,而理科一般第 1 问考概率的计算,第 2 问考分布列、期望的计算.

【考试要求】
1.了解等可能性事件的概念的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件 的概率. 2.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事 件的概率乘法公式计算一些事件的概率.会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发 生 k 次的概率. 3.了解离散型随机变量的意义,会求出某些简单的离散型随机变量的分布列. 4.了解离散型随机变量的期望值、方差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出 期望值、方差. 5.会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本. 6.会用样本频率分布去估计总体分布,了解正态分布的意义与主要性质及线性回归的 方法和简单应用.

【考点透视】
主要考点: (1)等可能事件、互斥事件(对立事件)、相互独立事件及独立重复实验的基本知识及四 种概率计算公式的应用,考查基础知识和基本计算能力. (2)求简单随机变量的分布列、数学期望及方差,特别是二项分布,常以现实生活、社 会热点为载体. (3)抽样方法的确定与计算、总体分布的估计.
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【典例分析】
题型一 几类基本概型之间的综合 在高考解答题中,常常是将等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一 起进行考查,主要考查综合计算方法和能力.此类问题一般都同时涉及几类事件,它们相互交 织在一起,难度较大,因此在解答此类题时,在透彻理解各类事件的基础上,准确把题中所 涉及的事件进行分解,明确所求问题所包含的所属的事件类型.特别是要注意挖掘题目中的隐 含条件. 【例 1】 (08· 安徽高考)在某次普通话测试中,为测试汉字发音水平,设置了 10 张 卡片,每张卡片印有一个汉字的拼音,其中恰有 3 张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.(Ⅰ) 现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这 10 张卡片总随机抽取 1 张,测 试后放回,余下 2 位的测试,也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上, 拼音都带有后鼻音“g”的概率。 (Ⅱ)若某位被测试者从 10 张卡片中一次随机抽取 3 张, 求这三张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于 2 张的概率. 【分析】 【解】 第(Ⅰ)小题首先确定每位测试者抽到一张带“g”卡片的概率,再利用相互独 (Ⅰ)每次测试中,被测试者从 10 张卡片中随机抽取 1 张卡片上,拼音带有 立事件的概率公式计算;第(Ⅱ)利用等可能事件与互斥事件的概论公式计算. 3 后鼻音“g”的概率为10,因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的, 3 3 3 27 因而所求的概率为10×10×10=1000. (Ⅱ)设 Ai(i=1,2,3)表示所抽取的三张卡片中,恰有 i 张卡片带有后鼻音“g”的事件, 2 C1 C3 7 1 7 C3 3 且其相应的概率为 P(Ai),则 P(A2)= C 3 =40,P(A3)=C 3 =120, 10 10 7 1 11 因而所求概率为 P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)=40+120=60. 【点评】 本题主要考查等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率.解答题注意不要 混淆了互斥事件与相互独立事件,第(Ⅱ)的解答根据是“不少于”将事件分成了两个等 可能事件,同时也可以利用事件的对立事件进行计算. 【例 2】 (08· 福建高考)三人独立破译同一份密码,已知三人各自破译出密码的概率分 1 1 1 别为5, 且他们是否破译出密码互不影响。 (Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率; (Ⅱ)“密 4, 3, 码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大?说明理由. 【分析】 第(Ⅰ)小题可根据“恰有二人”将事件分为三个互斥的事件进行计算;第(Ⅱ) 小题利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算“密码未被破译”的概率,然后再利用 对立事件可计算“密码被破译”的概率,进而比较大小. 【解】记“第 i 个人破译出密码”为事件 Ai(i=1,2,3),依题意有 1 1 1 P(A1)=5,P(A2)=4,P(A3)=3,且 A1,A2,A3 相互独立. (Ⅰ)设“恰好二人破译出密码”为事件 B,则有 B=A1A2 ̄ A3 +A1 ̄ A2 A3+ ̄ A1 A2A3,且 A1A2 ̄ A3 、A1 ̄ A2 A3、 ̄ A1 A2A3 彼此互斥 1 1 2 1 3 1 4 1 1 3 于是 P(B)=P(A1A2 ̄ A3 )+P(A1 ̄ A2 A3)+P( ̄ A1 A2A3)=5×4×3+5×4×3+5×4×3=20.
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2 0 3 答:恰好二人破译出密码的概率为 0 20. 9 (Ⅱ)设“密码被破译”为事件 C,“密码未被破译 ”为事件 D. 4 3 2 2 0 D= ̄ A1 ·  ̄ A2 ·  ̄ A3 ,且 ̄ A1 、 ̄ A2 、 ̄ A3 相互独立,则 P(D)=P( ̄ A1 )· P( ̄ A2 )· P( ̄ A3 )=5×4×3=5. 3 3 1 而 P(C)=1-P(D)=5,故 P(C)>P(D). 8 答:密码被破译的概率比密码未被破译的概率大 .
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【点评】 本题主要考查互斥事件、对立事件、相互独立的概率的计算.第(Ⅰ)小题正 确解答的关键是将所求事件分解为三个互斥的事件,而第(Ⅱ)的解答则充分利用对立 事件进行的计算.一般情况下,如果正面计算概率情况比较复杂或过程较繁,则可以考虑 计算对立事件的概率来解答. 【例 3】 (08· 重庆高考)在每道单项选择题给出的 4 个备选答案中,只有一个是正确 的.若对 4 道选择题中的每一道都任意选定一个答案,求这 4 道题中:(Ⅰ)恰有两道题答 对的概率;(Ⅱ)至少答对一道题的概率. 【分析】 第(Ⅰ)小题事件为独立重复试验,因此可直接计算;第(Ⅱ)小题可以考虑利用 正确解答,也可以考虑其对立事件进行解答. 【解】 “选择每道题的答案”为一次试验,则这是 4 次独立重复试验,且每次试验中“选 1 择正确”这一事件发生的概率为4.由独立重复试验的概率计算公式得: 1 2 3 2 27 (Ⅰ)恰有两道题答对的概率为 P4(2)=C2 4(4) (4) =128. 1034 81 175 (Ⅱ)解法一:至少有一道题答对的概率为 1-P4(0)=1-C0 4(4) (4) =1-256=256. 解法二:至少有一道题答对的概率为分为 4 类情形: 1 1 3 3 108 27 12 2 1 2 3 2 3 1 3 3 1 4 1 4 3 0 P4(1)=C1 4(4) (4) =256,P4(2)=C4(4) (4) =128,P4(3)=C4(4) (4) =256,P4(4)=C4(4) (4) = 1 256. 108 54 12 1 175 所以至少答对一道的概率为 P4(1)+P4(2)+P4(3)+P4(4)=256+256+256+256=256. 【点评】 本题主要考查独立重复试验及对立事件、互斥事件的综合运算.从第(Ⅱ)小题 的两种解法可以看到,当正确解答分类情况较多时,还是计算其对立事件的概率来的快. 题型二 求离散型随机变量的分布列、期望与方差 此考点主要考查观察问题、分析问题和解决问题的实际综合应用能力以及考生收集处理 信息的能力.主要题型: (1)离散型随机变量分布列的判断; (2)求离散型随机变量的分 布列、期望与方差应用; (3)根据离散型随机变量的分布列求概率; (4)根离散型随机 变量分布列、期望与方差性质的求参数. 【例 4】 (08· 湖北理)袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号 的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ 表示所取球的标号.(Ⅰ)求 ξ 的分布列,期 望和方差;(Ⅱ)若 η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,试求 a,b 的值. 【分析】 第(Ⅰ)小题根据等可能事件的概率计算公式可求 ξ 取 0、1、2、3、4 时的概 率,从而得分布列;第(Ⅱ)小题根据离散型随机变量的期望与方差建立方程组可解决. 【解】 (Ⅰ)ξ 的分布列为: ξ 0 1 2 3 4

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P

1 2

1 20

1 10

3 20

1 5

1 1 1 3 1 ∴Eξ=0×2+1×20+2×10+3×20+4×5=1.5. 1 1 1 3 1 Dξ=(0-1.5)2×2+(1-1.5)2×20+(2-1.5)2×10+(3-1.5)2×20+(4-1.5)2×5=2.75.
? a ×2.75=11 ? a=2 ? a=-2 (Ⅱ)由 Dη=a Dξ,Eη=aEξ+b,得? ,解得? 或? . ? 1.5a+b=1 ? b=-2 ? b=4
2 2

【点评】 (1)求离散型随机变量的分布列有三个步骤:①明确随机变量 X 取哪些值;② 计算随机变量 X 取每一个值时的概率;③将结果用二维表格形式给出.计算概率时注意 结合排列与结合知识. (2)而解决与分布列、期望与方差及应用等问题,一般利用它们相关的性质就可以求解 或通过建立方程来解决来解决. 【例 5】 (08 全国Ⅱ高考)购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得 10000 元的赔偿金.假定在一年 度内有 10000 人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年 度内至少支付赔偿金 10000 元的概率为 1-0.999
10
4

.(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概

率 p;(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50000 元,为保证盈利的期 望不小于 0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元) . 【分析】 第(Ⅰ)小题利用对立事件,并通过比较系数即可求得投保人在一年度内出 险的概率 p;第(Ⅱ)小题首先求投保的 10000 人中出险的人数 ξ 的期望,再利用期望 的线性关系的性质求取盈利期望 Eη 的值. 【解】 各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是 p, 记投保的 10000 人中出险的人数为 ξ,则 ξ~B(104,p). (Ⅰ)记 A 表示事件:保险公司为该险种至少支付 10000 元赔偿金,则 ̄ A 发生当且仅当 ξ =0, P(A)=1-P( ̄ A )=1-P(ξ=0)=1-(1-p) 又 P(A)=1-0.999
10
4

10

4

,故 p=0.001.

(Ⅱ)该险种总收入为 10000a 元,支出是赔偿金总额与成本的和. 支出 10000ξ+50000, 盈利 η=10000a-(10000ξ+50000), 盈利的期望为 Eη=10000a-10000Eξ-50000, 3 由 ξ~B(104,10?3)知,Eξ=104×10?2 , 4 4 4 4 Eη=10 a-10 Eξ-5×10 =10 a-104×104×10?3-5×104. 0 Eη≥0?104a-104×104×10?3-5×104≥0?a≥15(元). 0 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元. 9 【点评】 本题主要考查二项分布的期望计算及性质的应用 .二项分布的期望与方差的计 0 算一般不利用求解离散型随机变量 X 的期望与方差的方法求解,因计算较为繁琐,而是 3 根据其自身的期望与方差的计算公式,常可使问题得到快速的解决 . 1 【例 6】 (08· 江西高考)因冰雪灾害,某柑桔基地果林严重受损,为此有关专家提出 8 两种拯救果林的方案,每种方案都需分两年实施;若实施方案一,预计当年可以使柑桔 产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4;第二年可以使柑 桔产量为上一年产量的 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.5、0.5.若实施方案二,预计当年 可以使柑桔产量达到灾前的 1.2 倍、1.0 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.3、0.5;第二年 可以使柑桔产量为上一年产量的 1.2 倍、1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6.实施每种方案,第
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二年与第一年相互独立。令 ξi(i=1,2)表示方案 i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的 倍数. (Ⅰ)写出 ξ1、ξ2 的分布列; (Ⅱ)实施哪种方案,两年后柑桔产量超过灾前产量 的概率更大?(Ⅲ)不管哪种方案,如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量,预计可 带来效益 10 万元;两年后柑桔产量恰好达到灾前产量,预计可带来效益 15 万元;柑桔 产量超过灾前产量,预计可带来效益 20 万元;问实施哪种方案所带来的平均效益更大? 【分析】 第(Ⅰ)小题将首先根据两年后增长倍数确定 ξ1、ξ2 的取值,同时由相应的概 率积可即可得分布列;第(Ⅱ)小题根据分布列将满足条件的数据相加即可比较得结果; 第(Ⅲ)小题根据第(Ⅰ)小题的分布列确定关于两个方案带来的效益 ηi(i=1、2)的分布列, 再通过计算期望进行比较.

【解】 (Ⅰ)ξ1 的所有取值为 0.8、0.9、1.0、1.125、1.25,ξ2 的所有取值为 0.8、0.96、 1.0、1.2、1.44.∴ξ1、ξ2 的分布列分别为: ξ1 P ξ2 P 0.8 0.2 0.8 0.3 0.9 0.15 0.96 0.2 1.0 0.35 1.0 0.18 1.125 0.15 1.2 0.24 1.25 0.15 1.44 0.08

(Ⅱ)令 A、B 分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件, P(A)=0.15+0.15=0.3,P(B)=0.24+0.08=0.32, 可见,方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大. (Ⅲ)令 η1 表示方案 i 所带来的效益,则 η1 P η2 P 10 0.35 10 0.5 15 0.35 15 0.18 20 0.3 20 0.32

所以 Eη1=10×0.35+15×0.35+20×0.3=14.75, Eη2=10×0.35+15×0.18+20×0.32=14.75, 可见,方案一所带来的平均效益更大. 【点评】 本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望,以及根据期望进行比较方案 优劣.此题比较有新意,表现在一个分布列的建立须根据前一个分布列的数据,解答此题 的易错之处:由于本题涉及到的数据较多,交叉性也较强,因此容易把对应的数据搞错. 题型三 抽样方法的识别与计算 此考点在高考中常常结合应用问题考查构照抽样模型,搜集数据,处理材料等研究性学 习的能力,主要考查题型:(1)根据所要解决的问题确定需要采用的何种抽样方法;(2) 根据各类抽象方法的具体特点求相关的数据. 【例 7】 (08· 陕西)某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵.为调查树苗的生长情 况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本,则样本中松树苗的数量为( ) A.30 B.25 C.20 D.15 【分析】 利用分层抽样的特点,按比较进行计算即可.

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【解】

150 x 设样本中松树苗的数量为 x ,则30000=4000,解得 x=20.

点评:确定抽样方法必须根据各种抽样方法的特点来判断:总体中的个体数较少时,宜 用简单随机抽样;总体由差异明显的几部分组成时,宜用分层抽样.而关于抽样方法的计 算主要集中在分层抽样上,一般按比例进行计算.

题型四 总体分布的估计 此考点在高考中常常是结合一些实际问题考查频率分布 表与频率分布直方图,同时考查识图、用图的能力.主要 题型: (1)根据表或图中数据求解限制条件下的个体频 数与频率、参数等相关的数据; (2)频率分布表与频率 分布表或直方图的完善. 【例 8】 (08· 广东)为了调查某厂工人生产某种产品的能力, 随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[45,55],[55,65], [65,75],[75,85],?85,95),由此得到频率分布直方图如图 3,则这 20 名工人中一天 生产该产品数量在?55,75),的人数是________. 【分析】 利用频率分布直方图的表示的概率意义及相关数据进行计算即可. 【解】 20×(0.040×10+0.025×10)=13. 点评:解答此类问题主要有三条途径:①利用所有分组对应的频率之和为 1;②利用公 式:频率=条形图的面积=纵坐标×横坐标,或利用公式频数=样本容量×频率;③利用 频率分布图中相关数据;④利用频率分布表绘制频率分布直方图.

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【专题训练】
一、选择题 1.在抽查某产品的尺寸过程中,将其中尺寸分成若干组,[a,b]是其中一组,抽查出的个体 数在该组上的频率为 m ,该组上的直方图的高为 h ,则|a-b|等于( ) h m A.hm B.m C. h D.与 m,n 无关 2.把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点数 为 b,向量→ m =(a,b),→ n =(1,-2) ,则向量→ m 与向量→ n 垂直的概率是( 1 A.6 1 B.12 1 C.9 1 D.18 )

3.中有 40 个小球,其中红色球 16 个、蓝色球 12 个,白色球 8 个,黄色球 4 个,从中随机 抽取 10 个球作成一个样本,则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为 2 3 4 2 1 3 4 1 1 4 1 3 4 2 C1 C4 C8C12C16 C2 C4 C8C12C16 4C8C12C16 4C8C12C16 A. C10 B. C10 C. C10 D. C10 40 40 40 40 4.某校有高级教师 26 人,中级教师 104 人,其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收 入情况,若按分层抽样从该校的所有教师中抽取 56 人进行调查,已知从其他教师中共抽 取了 16 人,则该校共有教师人为( ) A.81 B.152 C.182 D.202 5.设某种动物由出生算起活到 10 岁的概率为 0.9,活到 15 岁的概率为 0.6,现有一个 10 岁 的这种动物,它能活到 15 岁的概率是( ) 3 A.5 3 B.10 2 C.3 27 D.50

6.从 5 张 100 元,3 张 200 元,2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张,则所取 3 张中至少 有 2 张价格相同的概率为( ) 1 A.4 79 B.120 3 C.4 23 D.24

6.2009 年的 2 月有 28 天,1 月,3 月,5 月,7 月,8 月,10 月,12 月均有 31 天,其余月 均有 30 天,若从 12 个月中随机抽取 3 个月,恰有一个月有 30 天的概率是( ) A.

7 22

B.

28 55

C.

21 55

D.

1 2

7.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1、2、3、…、18 的 18 名火炬手.若从中任选 3 人,则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为( ) 1 1 1 1 A. 51 B.68 C.306 D.408 8.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已知这组数据的平 均数为 10,方差为 2,则|x-y|的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

9. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a, 得 2 分的概率为 b, 不得分的概率为 c (a, b。 , 2 1 c∈(0,1)) ,已知他投篮一次得分的期望为 2,则a+3b的最小值为( 32 A. 3 28 B. 3 14 C. 3 16 D. 3 信号源
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)

10.右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在
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同一个串联线路中时,就能接收到信号,否则就不能接收 到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三 组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把 所有六组中每组的两个接线点用导线连接,则这五个接 收器能同时接收到信号的概率是 4 A.45 4 C.15 11.已知随机变量 X 分布列如下表(n∈N*): X P 则表中 x 为( 1 A. n(n+1) ) 1 B. (n-1)(n-2) 1 C.n 1 D. n+1 1 1 1· 2 2 1 2· 3 … … n-1 1 (n-1)n n x 1 B.36 8 D.15

{2、3、4} 12. 已经一组函数 y=2sin(ωx+?)(ω>0, 0<?≤2π), 其中 ? 在集合 中任取一个数, 4? 5? ? ? 2? ?在集合{3,2, 3 ,π, 3 , 3 ,2π}中任取一个数.从这些函数中任意抽取两个,其图象
能经过相同的平移后得到函数 y=2sinωx 的图象的概率是 8 A.21 1 B.3 4 C.105 ( 1 D.30 )

二、填空题 13.已知数据 x1,x2,x3,…,xn 的平均数为 a,则数据 3x1+2,3x2+2,3x3+2,…,3xn+2 的平均数是_____.

14.某校高中研究性学习小组对本地区 2006 年至 2008 年快餐公司发展情况进行了调查,制 成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图 (如图) , 根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭________万盒.

15.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c(a、
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b、c∈(0,1)) ,已知他投篮一次得分的数学期望为 2(不计其它得分情况) ,则 ab 的最大 值为________. 16.在样本的频率分布直方图中,共有 4 个小长方形,这 4 个小长方形的面积由小到大构成 等差数列{an},已知 a 2 ? 2a1 ,且样本容量为 400,则小长方形面积最大的一组的频数为 ________. 三、解答题 17.某次有奖竞猜活动中,主持人准备了 A`、B 两个相互独立问题,并且宣布:观众答对问题 A 可获奖金 a 元,答对问题 B 可获奖金 2a 元,先答哪个问题由观众选择,只有第一个问 题答对才能再答第 2 个问题, 否则终止答题。 若你被选为幸运观众, 且假设你答对问题 A、 1 1 B 的概率分别为2,3.问你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望最大?说明理 由。

18.将两颗骰子先后各抛一次,a,b 表示抛甲、乙两颗骰子所得的点数.(Ⅰ)若点(a,b)落在不 等式组

? x>0 ? y>0 表示的平面区域内的事件记为 A,求事件 A 的概率;(Ⅱ)若点(a,b)落在直线 x+y ? x+y≤4
=m 上,且使此事件的概率最大,求 m 的值.

19.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有 2 人,会跳舞的有 5 人, 7 现从中选 2 人.设 ξ 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且 P(ξ>0)=10.(Ⅰ)求文娱 队的人数;(Ⅱ)写出 ξ 的概率分布列并计算 Eξ.

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20.某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有 A、B 两项技术指标需要检测,设各项技 5 术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为 12,至少一项技术指 11 标达标的概率为12.按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品. (Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率是多少? (Ⅱ)任意依次抽出 5 个零件进行检测,求其中至多 3 个零件是合格品的概率是多少? (Ⅲ)任意依次抽取该种零件 4 个,设 ξ 表示其中合格品的个数,求 Eξ 与 Dξ.

21.某工厂为了保障安全生产,每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、乙两名工人通过每次 4 3 测试的概率分别是5和4.假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲工人连续 3 个月参加技能测试至少 1 次未通过的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人各连续 3 个月参加技能测试,甲工人恰好通过 2 次且乙工人恰好通过 1 次的概率; (Ⅲ)工厂规定:工人连续 2 次没通过测试,则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加 4 次测 试后被撤销上岗资格的概率.

22.甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试 合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试 1 合格的概率都是2,且面试是否合格互不影响.求: (Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率; (Ⅱ) 签约人数 ? 的分布列和数学期望.

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【针对训练】参考答案 一、选择题
频率 m 1.C 【解析】频率分布的直方图中 =高度,∴|a-b|= h . 组距 → 2.B 【解析】掷骰子是独立事件,∵→ m· n =a-2b=0,所以 a=2b,a=2,4,6,b=1,2, 1 3,所求概率为12. 3.A 【解析】依题意,各层次数量之比为 4︰3︰2︰1,即红球抽 4 个,蓝球抽 3 个,白球 抽 2 个,黄球抽一个. 4.C 【解析】设总共有 x 人教师,由于抽样采用的是系统抽样,所以每一层次抽到的概率是 x-26-104 16 相等的,所以可得 =56,解得 x=182. x 5.C 【解析】设事件 A:从 0 到 10 岁,事件 B:10 岁到 15 岁,A 与 B 互斥,C:0 到 15 岁, 0.6 2 所以 P(C)=P(A)· P(B),∴P(B)=0.9=3. 6.C 【解析】可从对立面考虑,即三张价格均不相同,则所取 3 张中至少有 2 张价格相同 1 1 1 C5 C3C2 3 的概率为 P=1- C 3 =4. 10
2 1 1 1 1 C7 C4 ? C7 C4C1 28 ? . 3 C12 55

6.B 【解析】 3 个月中恰有 1 个月有 30 天的情况有两种:①两个月 31 天,1 个月 30 天; ②31 天,30 天,28 天,各有 1 个月,故所求概率 P ?

18×17×16 3 7.B 【解析】古典概型问题,基本事件总数为 C18 = 3×2×1 =17×16×3,能组成以 3 为公 12 差的等差数列有(1,4,7)、 (2,5,8) 、…、 (12,15,18)共 12 组,因此概率 P=17×16×3 1 =68. 8.D 【解析】由题意可得:x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解这个方程组需要用一些技 巧,因为不要直接求出 x、y,只要求出|x-y|,设 x=10+t,y=10-t,|x-y|=2|t| =4.
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2 2 1 3a+2b 2 1 1 9.D 解析:由题 3a+2b=2,其中 0<a<3,0<b<1,所以a+3b= 2 · (a+3b)=3+3+ 2b a 10 16 1 + ≥ + 2 = .( 当且仅当 a = 2b = a 2b 3 3 2时取等).

2 2 C2 6C4C2 10.D 【解析】将六个接线点随机地平均分成三组,共有 A3 =15 种结果,五个接收器能 3

同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中,有 8 时接收到信号的概率是15.

C1 · C1· C 1 =8 4 2 1

种结果,这五个接收器能同

1 1 11.C 【解析】根据分布列的性质:x=1-[P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=n-1)]=1-[1· + 2 2· 3 1 1 1 1 1 1 1 +…+ ]==1-[(1-2)+(2-3)+…+( -n)]=n. (n-1)n n-1 ∵n∈N*,∴表格中概率 P(X)均为非负,满足分布列的第一条性质:Pi≥0,i=1,2,…,n.
2 12.C 【解析】这一组函数共有 3×9=21 个,从中任意抽取个共有 C21 =210 种不同的方法,

? 其中从这些函数中任意抽取两个,向右平移6个单位得到函数 y=2sinωx 的图象有三种情 ? 形,则有 C2 3=3 种取法;向右平移3个单位得到函数 y=2sinωx 的图象也有三种情形,则 ? 2 有 C2 3=3 种取法;向右平移2 个单位得到函数 y=2sinωx 的图象有两种情形,则有 C2=1 2? 种取法; 向右平移 3 个单位得到函数 y=2sinωx 的图象也有两种情形, 则有 C2 2=1 种取法; 3+3+1+1 4 故所求概率是 =105. 210 二、填空题
n 1n 1n 1 n 1 n 1n 13.3a+2 【解析】∵n?xi=a,∴n?(3xi+2)=n[?(3xi)+?2]=n[3?xi+2n=3· ?xi+2=3a n i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

+2. 1 14.85 【解析】每年平均销售盒饭为3(30×1+45×2+90×1.5)=85(万盒). 1 1 1 3a+2b 1 15.6 【解析】由已知得 3a+2b+0×c=0,即 3a+2b=2,∴ab=6·3a·2b≤6( 2 )=6. 16.160 【解析】 :直方图中,所有矩形面积之和为 1,等差数列公差为 a1,等差数列各项和 为 10a1=1,所以 a1=0.1,最大的矩形为 0.4,频数为 400*0.4=160 三、解答题 17. 【解】设先答 A、B 所得奖金分别为 ξ 和 η,则 1 1 1 1 1 1 1 1 5 P(ξ=0)=1-2=2,P(ξ=a)=2(1-3)=3,P(ξ=3a)=2×3=6,∴Eξ=6a.

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1 2 1 1 1 1 1 1 5 P(η=0)=1-3=3,P(ξ=2a)=3(1-2)=6,P(ξ=3a)=3×2=6,∴Eη=6a. 由此知,先答哪题获奖金的期望一样大. 18. 【解】(Ⅰ)x+y=4 上有 3 个点,x+y=3 上有 2 个点,x+y=2 上有 1 个点,事件总数为 36, 6 1 故事件 A 的概率为36=6. (Ⅱ)当点 P(a,b)落在直线 x+y=m 上,所以 a+b=m, 当 a+b=2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 时,点 P(a,b)的个数分别为 1、2、3、 4、5、6、5、4、3、2、1, 1 所以当 a+b=7 时事件的概率最大为6,所以 m=7. 19. 【解】设既会唱歌又会跳舞的有 x 人,则文娱队中共有(7-x)人,那么只会一项的人数是(7 -2x)人. 7 (Ⅰ)∵P(ξ>0)=P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=10, C72?2x 3 (7-2x)(6-2x) 3 3 ∴P(ξ=0)=10,即 C2 =10,∴ = ,解得 x=2, (7-x)(6-x) 10 7?x 故文娱队共有 5 人. (Ⅱ) ? 的概率分布列为 ξ P 0 3 10 1 3 5 2 1 10

1 1 2 C2 C3 3 C2 1 P(ξ=1)= C2 =5,P(ξ=2)=C2=10, 5 5

3 3 1 4 ∴Eξ=0×10+1×5+2×10=5. 20. 【解】(Ⅰ)设 A、B 两项技术指标达标的概率分别为 P1、P2 (1-P2)+P2· (1-P1)=12 ? P1· 3 2 2 3 由题意得:? ,解得 P1=4,P2=3或 P1=3,P2=4, 11 ? 1-(1-P1)(1-P2)= 12 1 1 ∴P=P1P2=2,即一个零件经过检测为合格品的概率为2. 14 5 1 5 (Ⅱ)任意抽出 5 个零件进行检查,其中至多 3 个零件是合格品的概率为 1-C4 5(2) -C5(2) 13 =16 1 1 1 1 (Ⅲ)依题意知 ξ~B(4,2),Eξ=4×2=2,Dξ=4×2×2=1. 21. 【解】(Ⅰ)记“甲工人连续 3 个月参加技能测试,至少有 1 次未通过”为事件 A1, 4 61 P(A1)=1- ̄ A1 =1-(5)3=125.
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(Ⅱ)记“连续 3 个月参加技能测试,甲工人恰好通过 2 次”为事件 A2,“连续 3 个月参加技 能测试,乙工人恰好通过 1 次”为事件 B1,则 4 4 48 4 4 3 3 9 P(A2)=C2 ( )2(1-5)=125,P(B1)=C2 ( )2(1-5)=C1 ·· (1-4)2=64. 3 5 3 5 34 48 9 27 ∴P(A2B1)=P(A2)· P(B1)=125×64=500 27 两人各连续 3 月参加技能测试, 甲工人恰好 2 次通过且乙工人恰好 1 次通过的概率为500. (Ⅲ)记“乙恰好测试 4 次后,被撤销上网资格”为事件 A3, 3 12 13 12 3 P(A2)=(4)2· (4) +4· (4) =64. 4· 22. 【解】用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立, 1 且 P(A)=P(B)=P(C)=2. 1 7 (Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率是 1-P( ̄ A ̄ B ̄ C )=1-P( ̄ A )P( ̄ B )P( ̄ C )=1-(2)3=8. (Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3.

P(? ? 0) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)
= P( A) P( B) P(C) ? P( A) P( B) P(C) ? P( A) P( B) P(C) = ( ) ? ( ) ? ( ) ? .
3 2 3

1 2

1 2

1 2

3 8

P(? ? 1) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)
= P( A) P( B) P(C) ? P( A) P( B) P(C) ? P( A) P( B) P(C) = ( ) ? ( ) ? ( ) ? .
3 3 3

1 2

1 2

1 2

3 8

1 P(? ? 2) ? P( ABC ) ? P( A) P( B) P(C ) ? . 8 1 P(? ? 3) ? P( ABC ) ? P ( A) P( B) P(C ) ? . 8
所以, ξ 的分布列是 ξ P 0 3 8 1 3 8 2 1 8 3 1 8

ξ 的期望 E? ? 0 ?

3 3 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1. 8 8 8 8

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