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1.3空间几何体的表面积和体积


1.3 简单几何体的表面积和体积

1、表面积:几何体表面的面积 2、体积:几何体所占空间的大小。

表面积、全面积和侧面积
表面积: 立体图形的所能触摸到的面积之和叫做它 的表面积。(每个面的面积相加 ) 全面积 全面积是立体几何里的概念,相对于截面 积(“截面积”即切面的面积)来说的,就是表面 积总和 侧面积 指立体图形的

各个侧面的面积之和(除去 底面)

12/12/2016 11:11:01 AM

云在漫步

棱柱、棱锥、棱台的侧面积
侧面积所指的对象分别如下: 棱柱----直棱柱。 棱锥----正棱锥。 棱台----正棱台

12/12/2016 11:11:01 AM

云在漫步

回忆复习有关概念 1、直棱柱: 侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱

2、正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱
底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心 3、正棱锥: 的棱锥

被平行于底面的平面所截, 4、正棱台: 正棱锥 截面和底面之间的部分叫正棱台

斜高的概念
作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个,找出 斜高
A1 C1 B1
P

A1 A

C1 B1 D1 C O B D

C A

C

B O A D

B

2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台,并找出旋转轴 A

A

B
A B

C

D

B

C C

D

分别经过旋转轴作一个平面,观察得到的轴截面是 什么形状的图形.

矩 形

等腰三角形

等腰梯形

把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开,得到什么图形? 侧面积怎么求?

h

c
a

b

h

h
b

a

c

S直棱拄侧 =(a ? b ? c) ? h ? ch

棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

h

S表面积 ? S侧 ? 2S底

正棱柱的侧面展开图

思考:把圆柱侧面沿着一条母线展开得到什么图形? 展开的图形与原图有什么关系?

r

l

长方形
长= 2?r

宽= l

S圆柱侧 ? S长方形 =2?rl

r O?
l
O
2? r

S表面积 ? S侧 ? 2S底
S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r (r ? l )
2

圆柱的侧面展开图是矩形

例1:一个正三棱柱的底面是边长为5的 正三角形,侧棱长为4,则其侧面积为 ______;
答:60

例4(2010年广东省惠州市高三调研)如图,已 知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,D,E是 CC1,BC的中点,AE=DE. (1)求此正三棱柱的侧棱长; (2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.

【思路点拨】 (1)证明△AED为直 角三角形,然后求侧棱长;(2)分别求出 侧面积与底面积.

【解】 (1)设正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长 为 x. ∵△ABC 是正三角形, ∴AE⊥BC. 又底面 ABC⊥侧面 BB1C1C,且交线为 BC, ∴AE⊥侧面 BB1C1C, x2 在 Rt△AED 中, 由 AE=DE, 得 1+ = 3 , 4 解得 x=2 2.即正三棱柱的侧棱长为 2 2.

(2)S=S 侧+S 底, S 侧=3×2×2 2=12 2, 1 S 底=2× 3×2×2=2 3, ∴S=S 侧+S 底=12 2+2 3.
【点评】 求表面积应分别求各部分面的面积,所以应弄 清图形的形状,利用相应的公式求面积,规则的图形可直 接求,不规则的图形往往要再进行转化,常分割成几部分 来求.

知识点一:柱、锥、台、球的表面积与侧面积
(1)柱体的侧面积
①直棱柱:设棱柱的高为h,底面多边形的周长为c, 则

S直棱柱侧= ch .(类比矩形的面积)
②圆柱:如果圆柱的底面半径为r,母线长为l,那么 S圆柱侧= 2πrl .(类比矩形的面积)

把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开,得到什么图形? 侧面积怎么求?

h'
h'

1 S正 棱 锥 侧 = ch' 2

棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

正三棱锥的侧面展开图

h

/

h

/

侧面展开

h'

h'
正五棱锥的侧面展开图

S表面积 ? S侧 ? S底

思考:把圆锥侧面沿着一条母线展开得到什么图形? 展开的图形与原图有什么关系?

R扇=l
扇形

l扇=2?r

l

r

1 S圆锥侧=S扇= ? l扇l ? ?rl 2

2? r

l

r

圆锥的侧面展开图是扇形

O

S ? ? r ? ? rl ? ? r (r ? l )
2

(2)锥体的侧面积

①正棱锥:设正棱锥底面正多边形的周长为c,斜 高为h′,则

′ S正棱锥侧= 1∕2ch .(类比三角形的面积)
②圆锥:如果圆锥的底面半径为r,母线长为l,那 么 S圆锥侧= .(类比三角形的面积) πrl

典型例题
例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积 .
解:先求 ?SBC的面积,过点S作 SD ? BC S 交BC于点D. 因为 BC ? a 2 3 ?a? 2 2 2 SD ? SB ? BD ? a ? ? ? ? a 2 ?2? 所以:S?SBC D C
1 1 3 3 2 ? BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4

A B

因此,四面体S-ABC 的表面积.

12/12/2016

3 2 S ? 4 ? a ? 3a 2 4

把正三棱台侧面沿一条侧棱展开,得到什么图形? 侧面积怎么求?(类比梯形的面积)

h'

h'

1 S正 棱 台 侧 = (c ? c' )h' 2

棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

侧面展开

h'

S表面积 ? S侧 ? S上底 ? S下底

正四棱台的侧面展开图

h'

例:一个正三棱台的上、下底面边长分 别是3cm和6cm,高是3/2cm,求三棱台 的侧面积. A1 O1 C1 D1 B1 分析:关键是 C 求出斜高,注 A 意图中的直角 O E D 梯形 B

参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的 侧面展开图是什么 .

r 'O’
l

2?r '

2? r

r

O

圆台的侧面展开图是扇环

思考:把圆台的侧面沿着一条母线展开得到 什么图形?展开的图形与原图有什么关系?

扇环

r1

r2

l

S ? ? ( r ? r 2 ? r ' l ? rl )

'2

r' x ? r x?l

r 'O’
l

x

2?r '

2? r

rx ? r ' x ? r ' l

r

O

S侧 ? ? r(l ? x) ? ? r ' x ? ? (rl ? rx ? r ' x)
? ? (r ' l ? rl )

典型例题

S圆台表面积

2 2 ? ? ? (r ? r ? r?l ? rl )

例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆 底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( ? 取 3.14,结果精确到1 cm2 )? 20cm 解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:
2 ?? 15 ? 2 15 ? 20 ? 1.5 ? S ? ? ?? ? ? ?15 ? ?15? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? ?? 2 ? ?

15 cm
15 cm

? 999(cm2 )
2 cm 答:花盆的表面积约是999 .

12/12/2016

例:圆台的上、下底面半径分别为2和 4,高为 2 3 ,求其侧面展开图扇环所 对的圆心角 答:1800 分析:抓住相似三角形中的相似比是解 题的关键 小结:1、抓住侧面展开图的形状,用好 相应的计算公式,注意逆向用公式;

2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆 锥中解决圆台问题,注意相似比.

(3)台体的侧面积

①正棱台:设正n棱台的上底面、下底面周 长分别为c′、c,斜高为h′,则正n棱台的侧面积公 式:S正棱台侧= . ′)h′ 1∕2(c+c ②圆台:如果圆台的上、下底面半径分别为 r′、r,母线长为l,则S圆台侧= .

πl(r′+r)

注:表面积=侧面积+底面积.

圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?

l

r

O?

r 'O’
l
l

r

O

r
'2

O

O

S ? ? r 2 ? ? rl ? ? r (r ? l )

S ? ? ( r ? r 2 ? r ' l ? rl )

S ? 2? r 2 ? 2? rl ? 2? r (r ? l )

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体, 它们的侧面展开图还是平面图形,

计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积 之和

小结:1、弄清楚柱、锥、台的侧面展 开图的形状是关键; 2、对应的面积公式
1 S三 棱 锥 = ch' 2
C’=0

S圆锥侧= πrl r1=0

1 S正 棱 台 = (c+c' )h' 2
C’=C

S圆台侧=π(r1+r2)l r1=r2
S圆柱侧= 2πrl

S直棱柱 =ch' ? ch

思考:怎样求斜棱柱的侧面积?

1)侧面展开图是——
平行四边形 2)S斜棱柱侧=直截面周长×侧棱长

3) S侧=所有侧面面积之和

几何体的表面积问题小结 1.高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中, 借以考查空间想象能力和运算能力,只要正确把握几何体 的结构,准确应用面积公式,就可以顺利解决. 2.多面体的表面积是各个面的面积之和.圆柱、 圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个 曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆 的面积之和. 3.几何体的表面积应注意重合部分的处理.

一、体积的概念与公理:
几何体占有空间部分的大小叫做它的体积

公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积 。

V长方体= abc

推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积 。

V长方体= sh
推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。

V正方体= a3

公理2、夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行 于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截 面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等。

?
P
Q

?
祖暅(gè ng)原理

二:柱体的体积

定理1: 柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它 的底面积 s 和高 h 的积。

V柱体= sh
推论 : 底面半径为r,高为h圆柱的体积是

V圆柱= ? r2h

三:锥体体积
例2 如图:三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h. : 问:(1)从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥?
D1
A C1 D1 D1 A A C1

A D B
答:可分成棱锥A-D1DC, 棱锥A-D1C1C, 棱锥A-BCD.

C

D

C

C

D B

C

问题:锥体(棱锥、圆锥)的体积

锥体(棱锥、圆锥)的体积
(底面积S,高h)
V三棱锥 1 ? sh 3

注意:三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换,四 面体的每一个面都可以作为底面,可以用来求点到 面的距离

定理︰如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面 积是S,高是h,那么它的体积是:

V锥体=

推论:如果圆锥的底面半径是r,高是h, 那么它的体积是: 1 V圆锥= 3 πr2h
h h

1 Sh 3

S

S

S

四.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h,则

1 V台体= h(s + ss' + s') 3
x s/

s/ s

h
s

推论:如果圆台的上,下底面半径是r1.r2,高是 h,那么它的体积是:
1 V圆台= 3 πh

(r ? r r ? r ) 1 2 2

2 1

2

五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

V ? Sh

S? ? S

S? ? 0 1 1 V ? Sh V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 3
S为底面面积, h为柱体高

S为底面面积, S分别为上、下底面 面积,h 为台体高 h为锥体高

知识点二.柱、锥、台、球的体积
(1)长方体的体积 V长方体=abc= Sh. (其中a、b、c为长、宽、高,S为底面 积,h为高) (2)柱体(圆柱和棱柱)的体积 V柱体=Sh. 其中,V圆柱=πr2h(其中r为底面半径).

(3)锥体(圆锥和棱锥)的体积 V锥体=1/3Sh. 其中V圆锥= 1∕3πr2h, r为底面半径.

(4)台体的体积公式 V台=1/3h(S++S′). 注:h为台体的高,S′和S分别为上下 两个底面的面积.
其中V圆台=
2) 1∕3πh(r2+rr′+r′ .

注:h为台体的高,r′、r分别为上、 下两底的半径. (5)球的体积 V球=
3 4∕3πR .

典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8g / cm3 )六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边 形,边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm, 问这堆螺帽大约有多少个( ? 取3.14)? 解:六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差,即: 3 10 2 2 V? ?12 ? 6 ?10 ? 3.14? ( ) ?10 4 2 ? 2956 (mm3 )
? 2.956(cm3 )

所以螺帽的个数为 5.8 ?1000? (7.8 ? 2.956) ? 252 (个)
答:这堆螺帽大约有252个.
12/12/2016

例 从一个正方体中,如图那样截去4个三棱锥后,得 到一个正三棱锥A-BCD,求它的体积是正方体体积的 几分之几?

几何体的体积小结 1.求空间几何体的体积除利用公式法外,还 常用分割法、补体法、转化法等,它们是解决一 些不规则几何体体积计算问题的常用方法. 2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据 条件找出相应的底面面积和高,要充分利用多面体 的截面及旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面 问题.

探究

球的体积:

一个半径和高都等于R的圆柱,挖去一个 以上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥 后,所得的几何体的体积与一个半径为R的 半球的体积相等。

R
O

R
R R O

1 1 2 2 3 2 V球 = πR ? R - πR ? R = πR 2 3 3

4 3 V球 = πR 3

R
O

R
R R O

知识点三、球的表面积和体积


第一步:分割

球面被分割成n个网格, 表面积分别为:

?S1,?S 2,?S3 ...?S n
O 则球的表面积:

S ? ?S1 ? ?S2 ? ?S3 ? ... ? ?Sn

?S i
O

?Vi

?Vi 设“小锥体”的体积为: 则球的体积为: V ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ... ? ?Vn

第二步:求近似和

?S i
?hi
O O

?Vi

1 ?Vi ? ?S i ?hi 3
由第一步得: V ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ... ? ?Vn

1 1 1 1 V ? ?S1?h1 ? ?S 2 ?h2 ? ?S3?h3 ? ... ? ?S n ?hn 3 3 3 3

第三步:转化为球的表面积

?hi

?S i

如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。

R
O

?hi 的值就趋向于球的半径R ?Vi 1 ? ?Vi ? ?S i R 3 1 1 1 1 ?S i V ? ?Si R ? ?S2 R ? ?S3 R ? ... ? ?Sn R 3 3 3 3 1 1 ? R( ?S i ? ?S 2 ? ?S3 ? ... ? ?S n ) ? RS 3 3 ?Vi 4 3 ② 球的体积: V ? ?R 3 由①② 得:



S ? 4πR

2

例1 如图,圆柱的底面直径与高都等 于球的直径,求证: (1)球的体积等于圆柱体积的 ; (2)球的表面积等于圆柱的侧面积.

例2:
(2)若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的—倍。 (3)若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是——— 1 : 2 2。
3 (4)若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是——— 1 : 4。

2倍。 (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—

4

例1.(2009年高考上海卷)若球O1、O2表面 积之比=4,则它们的半径之比=______.

R1 解析:S 球=4πR ,故 = R2
2

S1 = 4=2. S2

答案:2

例3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个 顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。
分析:正方体内接于球,则由球和正方体都是中心对称图形可 知,它们中心重合,则正方体对角线与球的直径相等。

D A O D1 A1 B1 B

C A

D B O D1 A1 B1

C

略解:
Rt?B1 D1 D中 : B1 D ? 2 R,B1 D ? 2a 3 a 2

C1

C1

(2 R ) 2 ? a 2 ? ( 2a ) 2 , 得:R ? ? S ? 4?R 2 ? 3?a 2

? a2 变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切,则有S=——。
2 2 ? a。 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切,则有S=——

关键: 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系

例4、有三个球,一球切于正方体的各面,一 球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的 各顶点,求这三个球的体积之比. 作轴截面

例5、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的 体积,表面积. 解:如图,设球O半径为R, 截面⊙O′的半径为r,

O A
O?

? O ?O ?

R , ?ABC是 正 三 角 形 , 2

C

O?A ?

B

2 3 2 3 ? AB ? ?r 3 2 3

规律方法总结
1.直棱柱的侧面展开图是一些矩形,正棱锥的侧面展开图 是一些全等的等腰三角形,正棱台的侧面展开图是一些全等的 等腰梯形. 2.斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条 侧棱都相交的截面)的周长与侧棱长的乘积. 3.如果直棱柱的底面周长是c,高是h,那么它的侧面 积是S直棱柱侧=ch. 4.应注意各个公式的推导过程,不要死记硬背公式本 身,要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的 直角梯形等特征图形在公式推导中的作用.

规律方法总结
5.如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台,在求其侧面积或 全面积时,应对每一个侧面的面积分别求解后再相加. 6.求球的体积和表面积的关键是求出球的半径.反之, 若已知球的表面积或体积,那么就可以得出其半径的大小. 7.计算组合体的体积时,首先要弄清楚它是由哪些基本 几何体构成,然后再通过轴截面分析和解决问题. 8.计算圆柱、圆锥、圆台的体积时,关键是根据条件找 出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面和旋 转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解.

题型分类 深度剖析
题型一 几何体的展开与折叠
【例1】 有一根长为3π cm,底面半径为1 cm的 圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并

使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,

则铁丝的最短长度为多少?
思维启迪

把圆柱沿这条母线展开,将问题转

化为平面上两点间的最短距离.



把圆柱侧面及缠绕其上

的铁丝展开,在平面上得到 矩形ABCD(如图所示), 由题意知BC=3π cm,

AB=4π cm,点A与点C分别是铁丝的起、止位
置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.

AC ? AB 2 ? BC 2 ? 5 π cm, 故铁丝的最短长度为5π cm.

探究提高

求立体图形表面上两点的最短距离

问题,是立体几何中的一个重要题型.这类题目的
特点是:立体图形的性质和数量关系分散在立体 图形的几个平面上或旋转体的侧面上.为了便于发 现它们图形间性质与数量上的相互关系,必须将 图中的某些平面旋转到同一平面上,或者将曲面 展开为平面,使问题得到解决.其基本步骤是:展 开(有时全部展开,有时部分展开)为平面图形, 找出表示最短距离的线段,再计算此线段的长.

题型二

旋转体的表面积及其体积

【例2】 如图所示,半径为R的半圆内的 阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋
转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.
思维启迪 先分析阴影部分旋转后形成几何体的

形状,再求表面积.



如图所示,

过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得
∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R, ∴AC= 3R ,BC=R,CO ? 3 R, 1 2 2 ∴S球=4π R ,

3 3 S圆锥AO1侧 ? π? R ? 3R ? π R 2 , 2 2 3 3 S圆锥BO1侧 ? π? R? R ? π R2 , 2 2 ? S几何体表 ? S球 ? S圆锥AO1侧 ? S圆锥BO1侧 3 3 11 ? 3 2 2 ? 4π R ? π R ? πR ? π R2 , 2 2 2
2

11 ? 3 ? 旋转所得到的几何体的 表面积为 π R2. 2

4 1 1 又V球 ? π R 3 ,V圆锥AO1 ? ? AO1 ? π CO 2 ? π R 2 ? AO1 1 3 3 4 1 1 2 V圆锥BO1 ? BO1 ? π CO 1 ? π R 2 ? BO1 3 4 ?V几何体 ? V球 ? (V圆锥AO1 ? V圆锥BO1 ) 4 3 1 3 5 3 ? πR ? πR ? πR . 3 2 6

探究提高 解决这类题的关键是弄清楚旋转后所

形成的图形的形状,再将图形进行合理的分割,

然后利用有关公式进行计算.

知能迁移2

已知球的半径为R,在球内作一个内

接圆柱,这个圆柱底面半径与高为何值时,它
的侧面积最大?侧面积的最大值是多少? 解 如图为轴截面. 设圆柱的高为h,底面半径为r, h 侧面积为S,则 ( ) 2 ? r 2 ? R 2 , 2
即h ? 2 R 2 ? r 2 . ? S ? 2 π rh ? 4 π r R 2 ? r 2 1 2 2 1 4 ? 4 π r ( R ? r ) ? 4 π ? (r ? R ) ? R . 2 4 1 2 2 2 ?当且仅当 r ? R ,即r ? R, h ? 2R时,圆柱侧面积 2 2 1 4 最大, 最大值是 4 π R ? 2 π R2. 4
2 2 2 2

知能迁移2

已知球的半径为R,在球内作一个内

接圆柱,这个圆柱底面半径与高为何值时,它
的侧面积最大?侧面积的最大值是多少? 解 如图为轴截面. 设圆柱的高为h,底面半径为r, h 侧面积为S,则 ( ) 2 ? r 2 ? R 2 , 2
即h ? 2 R 2 ? r 2 . ? S ? 2 π rh ? 4 π r R 2 ? r 2 1 2 2 1 4 ? 4 π r ( R ? r ) ? 4 π ? (r ? R ) ? R . 2 4 1 2 2 2 ?当且仅当 r ? R ,即r ? R, h ? 2R时,圆柱侧面积 2 2 1 4 最大, 最大值是 4 π R ? 2 π R2. 4
2 2 2 2

题型三

多面体的表面积及其体积

【例3】 一个正三棱锥的底面边长为6,侧棱长 为 15,求这个三棱锥的体积.
思维启迪

本题为求棱锥的体积问题.已知底面

边长和侧棱长,可先求出三棱锥的底面面积
和高,再根据体积公式求出其体积. 解 如图所示, 正三棱锥S—ABC. 设H为正△ABC的中心,

连接SH,
则SH的长即为该正三棱锥的高.

连接AH并延长交BC于E, 则E为BC的中点,且AH⊥BC.
? AE ? ∵△ABC是边长为6的正三角形,
? AH ?

3 ? 6 ? 3 3, 2

2 AE ? 2 3. 3 1 1 在?ABC 中, S ?ABC ? BC ? AE ? ? 6 ? 3 3 ? 9 3. 2 2 在 Rt ?SHA中, SA ? 15,AH ? 2 3,

? SH ? SA2 ? AH 2 ? 15 ? 12 ? 3, 1 1 ?V正三棱锥 ? S ?ABC ? SH ? ? 9 3 ? 3 ? 9. 3 3

探究提高 求锥体的体积,要选择适当的底面和 高,然后应用公式 V ? 1 Sh 进行计算即可.常用方 3 法:割补法和等积变换法.

(1)割补法:求一个几何体的体积可以将这个几

何体分割成几个柱体、锥体,分别求出锥体和柱
体的体积,从而得出几何体的体积. (2)等积变换法:利用三棱锥的任一个面可作为 三棱锥的底面.①求体积时,可选择容易计算的方 式来计算;②利用“等积性”可求“点到面的

距离”.

题型四

组合体的表面积及其体积

【例4】 (12分)如图所示,在等腰梯形ABCD中,
AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点, 将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,

使A、B重合,求形成的三棱锥的外接球的体积.
思维启迪 易知折叠成的几何体是棱长为1的正

四面体,要求外接球的体积只要求出外接球的 半径即可. 解 由已知条件知,平面图形中 2分

AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.
∴折叠后得到一个正四面体.

方法一

作AF⊥平面DEC,垂足为F,

F即为△DEC的中心. 取EC的中点G,连接DG、AG, 过球心O作OH⊥平面AEC.

则垂足H为△AEC的中心.
∴外接球半径可利用△OHA∽△GFA求得.
3 3 2 6 ? AG ? , AF ? 1 ? ( ) ? , 2 3 3

4分
6分

在△AFG和△AHO中,根据三角形相似可知,
3 3 ? 3 AG ? AH AH ? .? OA ? ? 2 3 ? 6 3 AF 3 4 4 6 6 ? 外接球体积为 π? OA3 ? ? π? 3 ? 3 3 4 6 . 4 6 π. 8

10分

12分

方法二

如图所示,把正四面体放在正
3分

方体中.显然,正四面体的外接球就 是正方体的外接球. ∵正四面体的棱长为1, ∴正方体的棱长为 2 , 2
2 ? 外接球直径 2 R ? 3 ? , 2 6 ?R ? , 4 4 6 6 ? 体积为 π? ( )3 ? π. 3 4 8 ? 该三棱锥外接球的体积 为 6 π. 8

6分

9分

12分

思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱 锥、棱台与球的表面积的问题,要结合它们的

结构特点与平面几何知识来解决.
2.要注意将空间问题转化为平面问题. 3.当给出的几何体比较复杂,有关的计算公式无 法运用,或者虽然几何体并不复杂,但条件中 的已知元素彼此离散时,我们可采用“割”、 “补”的技巧,化复杂几何体为简单几何体 (柱、锥、台),或化离散为集中,给解题提供 便利.

(1)几何体的“分割” 几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要 求,分割成若干个易求体积的几何体,进而求之. (2)几何体的“补形”

与分割一样,有时为了计算方便,可将几何体补
成易求体积的几何体,如长方体、正方体等.另外 补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法, 由台体的定义,我们在有些情况下,可以将台体 补成锥体研究体积. (3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算, 应以公式为基础,充分利用几何体中的直角三角 形、直角梯形求有关的几何元素.

失误与防范
1.将几何体展开为平面图形时,要注意在何处剪 开,多面体要选择一条棱剪开,旋转体要沿一

条母线剪开. 2.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是 外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点 的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出 合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正 方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直 径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面 上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与 旋转体的组合,通常作它们的轴截面进行解题, 球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和 球心,或“切点”、“接点”作出截面图.


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