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函数的奇偶性.ppt


y

0

x

请在不同坐标系上画出以下图象, 并根据对称性进行分类.

(1) f ? x ? ? x (3) f ? x ? ? x
2

(2) f ? x ? ?| x | 1 (4) f ? x ? ? x

y

/>f(x)=x2

y

f(x)=|x|

o

x

o

x

观察下图,思考并讨论以下问题:

(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗?
(2) 从解析式上如何体现上述特征?
y f(x)=x2 y f(x)=|x|

o

x

o

x

图象:关于y轴对称 f 解析式: (-x)=f (x)

x

-3

-2
4

-1
1
y

0
0

1
1
f(x)=x2

2
4

3
9

f ( x) ? x2 9

o

x

对于f(x)内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x)

f (? x) ? (? x) ? x ? f ( x)
2 2

x

-3 -2 -1 0 0

1 1

2 2

3 3

f ( x) ? x 3 2 1
y

f(x)=|x|

o

x

对于f(x)内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x)

f (?x) ? ?x ? x ? f ( x)

一.偶函数的定义:
f ( ?2) ? 4; f ( 2) ? 4 f ( ?1) ? 1; f (1) ? 1 ..... .....
Y
A(-2,4) B(-2,4)

对定义域内的任意x, 都有
2

-2

0

f (? x) ? (? x) ? f ( x)

2 f(x)=X2

X

1定义:如果对于函数f(x)定义域内任意
一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)

就叫做偶函数。
如:f(x)=x4+3; 图像间的关系: g(x)=|x|
A(-2,4)

Y

B(-2,4)

关于y轴对称
-2
0

2

X

f(x)=X2

2偶函数图像的对称性:
偶函数图像间的关系: 关y于轴对称

证明以下函数是偶函数

f ( x) ? x ? 1
2

2 f ( x) ? 2 x ? 11

观察函数f(x)=x和f(x)= 1/x的图象(下图),你 能发现两个函数图象有什么共同特征吗?

图象:关于原点对称 f 解析式式: (-x)=-f (x)

2.奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内的任意 一个x,都有f(-x)= - f(x),那么f(x)就 叫做奇函数.
奇函数的特征:

1.解析式的基本特征: f (-x)=-f (x) 2.奇函数的图像关于原点对称
如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数, 那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.

1奇函数的定义:如果对于函数f(x)的定
义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)



那么函数f(x)就叫做奇函数。

k 如: f ( x ) ? ( k ? 0); f ( x ) ? 3 x. x
若函数是奇函数或偶函数,则称f(x) 函数具有奇偶性。

图像特征:

关于原点对称。 二.奇函数的定义

2奇函数图像的对称 性:关于原点对称

y

o

x

K y ? ( k ? 0) x

奇函数图像的对称性:
关于原点对称
y

(a, f(a) -a o (-a, f(-a) a

x

思 考 ?
1.函数奇偶性对定义域有什么要求吗?
定义域关于原点对称

2.一个函数不是奇函数就是偶函数吗?
奇函数 既奇 又偶 偶函数

非奇非偶

思 考 ?
1.请列举一个既不是奇函数又不是偶 函数的函数?

2.请列举一个既是奇函数又是偶函数的 函数?

判断下列函数的奇偶性:

(1) f ( x) ? x

4

(2) f ( x) ? x

3

(3) f ( x) ? x , x ?[?1, 2]
2

定义域关于原点对称是函数为偶函数或奇 函数的前提条件。

用定义判断函数奇偶性的步骤:
(1) 先求定义域,看是否关于原点对称; (2)再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立. (3)根据定义,作出结论

例1、判断下列函数是否具有奇偶性:

(1)f(x)=x3+2x;
2

(2)f(x)=2x4+3x2

(3) f ( x ) ? x ( x ? 0) ( 4) f ( x ) ? 0( x ? R )
解:(1)f(-x)=(-x)3+2(-x)
= 即: -x3-2x =-(x3+2x),

f(-x)=-f(x). f(x)=x3+2x是奇函数

(2)f(-x)=2(-x)4+3(-x)2
=2x4+3x2

即:f(-x)=f(x)
f(x)=2x4+3x2是偶函数

例2、已知函数y=f(x)在R上是奇函数,而且 在(0,+∞)上是增函数,证明 y=f(x)在 (-∞,0)上也是增函数。 证明:设x1,x2∈(-∞,0)而且-x1<-x2.

∵f(x)是奇函数,
∴f(-x1)=-f(x1),

f(-x2) =-f(x2).

由假设可知 -x1>0,-x2>0,即
-x1,-x2∈(0,+∞),而且-x1>-x2 已知f(x)在(0,+∞)上是增函数,于是有

f(-x1)>f(-x2)
得: -f(x1)>-f(x2),



f(x1)<f(x2)

? f ( x)在(??,0)上是增函数。

例3

已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴右

边的图象如图所示,画出函数y=f(x)在轴左 边的图象。

作业:1判断下列函数是否具有奇偶性

1 f ( x) ? 5x ? 3 3 f ( x) ? x ? x
?3

2 f ( x) ? x ? x
?2

4

2 已知函数f ( x )是偶函数,且在(0, ?) ?

是减函数; 判断f ( x )在(- ?, 0 )的单调性。

抽象函数
例1 已知函数f(x)是定义在(0, ?) ? 的减函数,且满足 : 1 f(xy) f(x) f(y),f( ) 1; ? ? ? 3 ()求f()的值。 1 1 (2 )若f(x) f(2 ? x) 2,求x的范围。 ? ?

练习:函数f(x)是定义在(0, ?)的 ? 增函数,f(2 ? 1且f(xy) f(x) f(y) ) ? ? ()求f()的值。 1 1 (2 )若f(x) f(x ? 3 ? 2,求x的范围。 ? )

例2设函数f(x)对任意的 x,y ? R 都有f(x ? y) f(x) f(y), ? ? 且f(x)在(? ?, ?)上单调递减, ? 1 1 2 若 f(x ) f(x) ? ? f(bx) f(b) ? 2 2 求x的范围。

练习:函数 f(x)对任何正数 x,y 都有:f(xy) f(x)f(y), ? 1 且x ? 1, f ( x ) ? 1; f ( 2) ? . 9 (1)求证:f(x) 0 ? ( 2)若f ( m) ? 9,求m的值。 ()求证: f(x)在( , ?)是减函数 3 0 ?

注:
函数的单调性是函数的局部性质. 而函数的奇偶性是函数的整体性质;

课堂练习:

判断下列函数的奇偶性:
2

?x ?1 (1) f ( x) ? x

(2) f ( x) ? x ? 2 x
3

(3) f ( x) ? x ? 1

(4) f ( x) ? 5

(5) f ( x) ? 0
2

(6) f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 2 |
2

(7) f ( x) ? x ?1 ? 1 ? x

小结: 1、两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x, f(x)为奇函数 ? 如果都有f(-x)=f(x) ? f(x)为偶函数 如果都有f(-x)=-f(x) 2、两个性质: 一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称 ? 它的图象关于y轴对称 ?

本课小结

一个函数为偶函数

3. 判断函数的奇偶性时,要注 意定义域是否关于原点对称。


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