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辽宁省大连市2015届高三第二次模拟考试数学(理)试题


大连市 2015 年高三第二次模拟考试

数学(理科)能力测试
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第 22 题~第 24 题为选考题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无 效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷
一.选择题:(本大题共

12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)
(1)已知集合 A ? (A){2}

?2,3? , B ? ? x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0? ,则 A
(B){3} (C){1}

B 等于(



(D){1,3}

z =( (2)已知复数 z 的共轭复数为 z ,若| z |=4,则 z ·
(A)4 (B)2 (C)16 (D)± 2

)

(3)对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,?,10),得散点图 1;对变量 u,v 有观测 数据(ui,vi)(i=1,2,?,10),得散点图 2.由这两个散点图可以判断( )

第 3 题图

(A )变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正 相关 (B)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 (C)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 (D)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 (4)有 4 名男医生、3 名女医生 ,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组, 则不同的选法共有( (A) A4 A3
2 1

)21 世纪教育网版权所有
2 1

(B) C4 C3

(C) C7 ? C4 C3 (D) A7 ? A4 A3
3 2 1 3 2

1

(5)在△ ABC 中, D 为 BC 边的中点,若 BC ? (2,0) , AC ? (1, 4) ,则 AD ? ( (A) (?2, ?4) (B) (0, ?4) (C) (2, 4)



(D)

(0, 4)

(6) 如图为一个观览车示意图, 该观览车圆半径为 4.8m , 圆上最低点与地面距离为 0.8m , 图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始 边,逆时针转动 ? (? ? 0) 角到 OB ,设 B 点与地面距离 为 h ,则 h 与 ? 的关系式为( (A) h ? 5.6 ? 4.8sin ? (C) h ? 5.6 ? 4.8cos(? ? ) (B) h ? 5.6 ? 4.8cos ?

?
2

)

(D) h ? 5.6 ? 4.8sin(? ? )

?
2

)
第 6 题图

(7)如图所示的流程图,最后输出 n 的值是( (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

(8)设 F 为抛物线 C : y ? 2 px 的焦点,过 F 且倾斜角为 60 0
2

的直线交曲线 C 于 A, B 两点( B 点在第一象限, A 点在 第四象限) , O 为坐标原点,过 A 作 C 的准线的垂线,垂足 为 M , 则 | OB | 与 | OM | 的比为( (A) ) 3 (D) 4
第 7 题图

3

(B)

2

(C)

(9) 用一个平面去截正四面体,使它成为形状,大小都相同的两个几何体,则这样的平 面的个数有( ) (A)6 个 (B)7 个 (C)10 个 (D)无数个 (10)已知某几何体的三视图如图所示,三视图是边长为 1 的等腰直角三角形和边长为 1 的正方形,则该几何体的体积为( )

1 6 1 (C) 2
(A)

(B)

1 3 2 (D) 3

1

(11)定义[ X ]表示不超过 X 的最大整数.设 n ? N ,且
*

第 10 题图

M ? (n ? 1) 2 ? n ? [ (n ? 1) 2 ? n ? 1] 2
(A) M ? 2
2 n ?1



则下列不等式恒成立的是(
M



(B)当 n ? 2 时, 2 (D)当 n ? 3 时, 2

? 4n ? 2 ? 2n ? 2

(C) M ? 2n ? 1
2

M

( 12 )对 ?x ? (0,

?
2

) ,下列四个命题:① sin x ? tan x ? 2 x ;② sin x ? tan x ? x 2 ;③

sin x ? tan x ?

8 x ;④ sin x tan x ? 2 x2 ,则正确命题的序号是( 3
(C)③、④ (D)②、④



(A)①、② (B)① 、 ③

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选 考题,考生根据要求做答. 二.填空题:(本大题共 4 小 题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) (13) 如图,设抛物线 y ? ? x2 ? 1的 顶点为 A ,与 x 轴正半轴的交点为 B ,设抛物线与两坐标轴正半轴围成 的区域为 M ,随机往 M 内投一点,则点 P 落在 △ AOB 内的概率是 . (14)若 (1 ? 3x) 2015 ? a0 ? a1x ? a2 x 2 ? 则

? a2015 x 2015


第 13 题图

a1 a2 ? ? 3 32

?

a2015 的值为 32015

(15) 设点 P 在曲线 y ? x 2 ? 1( x ? 0) 上,点 Q 在曲线 y ? 最小值为 (16)已知双曲线 C : .

x ? 1( x ? 1) 上,则 | PQ | 的

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左右顶点为 A1 , A2 ,左右焦点为 F1 , F2 , P a 2 b2

为双曲线 C 上异于顶点的一动点,直线 PA 2 斜率为 k 2 ,且 1 斜率为 k 1 ,直线 PA

k1k 2 ? 1 ,又 ?PF1 F2 内切圆与 x 轴切于点 (1,0) ,则双曲线方程为
三. 解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本小题满分 12 分) 已 知 两 个 数 列 ?an ? , ?bn ? , 其 中 ?an ? 是 等 比 数 列 , 且 a2 ?



1 1 , a5 ? ? , 4 32

1 bn ? (1 ? an ) . 3
(Ⅰ)求 ?bn ? 的通 项公式; (Ⅱ)设 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求证: S n ?

n 1 ? . 3 12

(18)(本小题满分 12 分) 某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在(29.94,30.06) 的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出 500 件,量其内径尺寸,结果如下表: 甲厂:
分组 频数 [29.86,29.90) 15 [29.90,29.94) 30 [29.94,29.98) 125 [29.98,30.02) 198 [30.02,30.06) 77 [30.06,30.10) 35 [30.10,30.14) 20

乙厂:
分组 频数 [29.86,29.90) 40 [29.90,29.94) 70 [29.94,29.98) 79 [29.98,30.02) 162 [30.02,30.06) 59 [30.06,30.10) 55 [30.10,30.14) 35

(Ⅰ)由以上统计数据填下面 2 ? 2 列联表,并问是否有 99.9%的把握认为“生产的零件是 否为优质品与不同的分厂有关”. 甲 厂 优质品 非优质品 乙 厂 合计

合计 附: ? 2 ?

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828

P( ? 2 ? ? )
?
w.w. w. zxx k.c.o.m

(Ⅱ)现用分层抽样方法(按优质品和非优质品分二层)从两厂中各抽取五件零件,然后

从每个厂的五件产品中各抽取两件,将这四件产品中的优质品数记为 X ,求 X 的分布列.

(19)(本小题满分 12 分)

?ABC 是正三角形,AC 与 BD 的交点 M 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,
恰好是 AC 中点, 又 PA ? AB ? 4 ,?CDA ? 120 , 点 N 在线段 PB 上, 且 PN ? 2 .

P

(Ⅰ)求证: BD ? PC ; (Ⅱ)求证: MN / / 平面 PDC ; (Ⅲ)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值.

N

B

第 19 题图

A M

D C

(20) (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆 C 中心在原点,焦点在 x 轴上, F1 , F2 分别为左右焦点,椭圆的短轴长为
2 2, 过 F2 的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点, 三角形 F 1BF 2 面积的最大值为 a ? 1(a ? 1) .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程(用 a 表示) ; (Ⅱ)求三角形 F1 AB 面积的最大值.

第 20 题图

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ex ? ax2 ? (a ? e ? 1) x ?1 , ( e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数, a为 常数). (Ⅰ) 当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 g ? x ? ? f ? x ? ?

1 x ? f ? ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上单调递减,求 a 的范围 2

(Ⅲ)当 a ? (e ? 2,1) 时,函数 f ( x) ? ex ? ax2 ? (a ? e ? 1) x ?1 在区间(0,1)上是否有零 点?并说明理由.

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙O 内切于△ABC 的边于 D,E,F,AB=AC,连接 AD 交⊙O 于点 H,直线 HF 交 BC 的延长线于点 G. (Ⅰ)求证:圆心 O 在直线 AD 上; H (Ⅱ)求证:点 C 是线段 GD 的中点.

第 22 题图

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2 cos? ( ? 为参数) ,曲线 C2 的参 ? y ? 2 sin ?

数方程为 ?

? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) ,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ? y ? 2 ? 2 sin ?

(Ⅰ)求 C 1 和 C 2 的极坐标方程; (Ⅱ)已知射线 l1 : ? ? ? (0 ? ? ?

?
2

) ,将 l1 逆时针旋转

? ? 得到 l2 : ? ? ? ? ,且 l1 与 C1 交 6 6

于 O, P 两点, l 2 与 C 2 交于 O, Q 两点,求 | OP | ? | OQ | 取最大值时点 P 的极坐标. (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a 和 b 是任意非零实数. (Ⅰ)求 | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值.
|a|

(Ⅱ) 若不等式 | 2a ? b | ? | 2a ? b |?| a | (| 2 ? x | ? | 2 ? x |) 恒成立, 求实数 x 的取值范围.

大连市 2015 年高三第二次模拟考试参考答案

数学(理科)
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答 右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.

一.选择题
(1)B;(2)C;(3)C;(4)B ;(5)D ;(6) D;(7)C ;(8)C;(9)D;(10)A ;

(11) D ; (12)A. 二.填空题

(13)

3 3 2 ; (14) ?1 ; (15) ; (16) x 2 ? y 2 ? 1 . 4 4

三. 解答题 (17)

综上:

综上: (18) 解: (Ⅰ)列联表如下 甲 厂 优质品 非优质品 合计 400 100 500 300 200 500 乙 厂 合计 700 300 1000

?2 ?

n(ad ? bc)2 1000 ? (400 ? 200 ? 300 ?100) 2 ? ? 47.619 ? 10.828 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 500 ? 500 ? 700 ? 300

所以有 99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”. 6 分 (Ⅱ)甲厂有 4 件优质品,1 件非优质品,乙厂有 3 件优质品,2 件非优质品. 从两个厂各抽取 2 件产品,优质品数 X 的取值为 1, 2,3, 4
1 1 1 2 2 1 2 C4 C2C3 ? C4 C2 C4 C2 1 3 P( X ? 1) ? 2 2 ? ; P( X ? 2) ? ? ; 2 2 C5 C5 25 C5 C5 10 2 2 1 3 9 12 C4 C3 9 ? ,所以 P( X ? 3) ? 1 ? ? ? ? 2 2 25 10 50 25 C5 C5 50

P( X ? 4) ?

10 分

所以 X 的分布列为

X

1

2

3

4

P
12 分

1 25

3 10

12 25

9 50

(19)解: 18. (Ⅰ)证明:∵ PA ? 面 ABCD , BD ? 面 ABCD ,∴ PA ? BD , ∵ M 是 AC 的中点,△ ABC 是等边三角形,∴ AC ? BD . ∵ PA AC ? A , PA ? 面 PAC , AC ? 面 PAC ,∴ BD ? 面 PAC ,

PC ? 面 PAC ,∴ BD ? PC .??????????????4 分
(Ⅱ)由已知,可得 BP ? 4 2 而 PN ?

2?

BN 3 2 3 ? ? . BP 4 2 4
z P

在四边形 ABCD 中, BM ? 4 ?

3 ?2 3. 2

MD ?

2 3 BM 2 3 3 ? ? ? . 3 BD 2 3 ? 2 3 4 3

N

?

BN BM ? . PN BD

A D M y

? ? PD ? 平面PDC ? ? MN∥平面PDC . ? ? ? ? MN ? 平面PDC ? ? MN∥PD
?????????8 分 (Ⅲ)如图建立空间直角坐标系,

B x

C

? 4 3 ? A ? 0, 0, 0 ?,P ? 0, 0, 4 ?,C 2, 2 3, 0 ,B ? 4, 0, 0 ?,D ? 0? ? 0, 3 , ?, ? ?

?

?

由(1)可知,BD 为平面 PAC 的法向量, BD ? ? ?4,

? ? ?

4 3 ? ,0? ? 3 ?

2 3, ?4 设平 面 PBC 的一个法向量为 n ? ? x,y, z ? , PB ? ? 4, 0, ?4? , PC ? 2,
则?

?

?

? PB ? n ? 0 ?

?4 x ? 4 z ? 0 ? ?? ? ?2 x ? 2 3 y ? 4 z ? 0 ? PC ? n ? 0 ?

令 z ? 3 ,则 x ? 3, y ? 1,故平面 PBC 的一个法向量为 n ? 设二面角 A ? PC ? B 为 ? ,有图可知 ? 为锐角,

?

3, 1, 3

?

则 cos ? ? cos BD, n ?

BD ? n BD ? n

?

?4 3 ?

4 3 3

1 42 ? 42 ? ? 3 ? 3 ? 1 3

?

7 .???12 分 7

(20)

(21) (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? e x ? (?e ? 1) x , f ?( x) ? e x ? (?e ? 1)

f ( x) 的单调增区间为 ? ln(e ?1), ??? ; f ( x) 的单调减区间为 ? ??,ln(e ?1) ? .??????????????3 分
(Ⅱ) g ? x ? ? (1 ? )e ?
x

x 2

1 1 1 (a ? e ? 1) x ? 1 , g ? ? x ? ? (1 ? x)e x ? (a ? e ? 1) 2 2 2

1 ? g ?? ? x ? ? ? xe x ? 0 ,∴ g? ? x ? 在 x ? [1, ??) 单调递增, 2 1 g ? ? x ? ? g ? ?1? ? (a ? e ? 1) ? 0 , a ? e ? 1 .??????????????6 分 2
(Ⅲ)假设函数 g ? x ? ? e ? ax ? ? a ? e ? 1? x ?1在区间 ? 0,1? 上有零点,
x 2

即存在 x ? ? 0,1? ,使得 e ? ax ? ? a ? e ? 1? x ?1 ? 0
x 2

e x ? ex ? x ? 1 e x ? ex ? x ? 1 即a ? ,记 h ? x ? ? , x2 ? x x2 ? x
①若 h ? x ? ?

e x ? ex ? x ? 1 e x ? ex ? x ? 1 e x ? x 2 ? ex ? 2 x ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 0 ?0 即 x2 ? x x2 ? x x2 ? x

2 由于 x ? ? 0,1? ,有 x ? x ? 0 ,
x 2 即证 e ? x ? ex ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? ? 0,1? 恒成立

令 H ? x ? ? e ? x ? ex ? 2x ?1 , x ? ? 0,1?
x 2

H ? ? x ? ? ex ? 2x ? e ? 2 , H ?? ? x ? ? ex ? 2
当 x ? ? 0,ln 2? , H ?? ? x ? ? e ? 2 ? 0 ,当 x ? ? ln 2,1? , H ?? ? x ? ? e ? 2 ? 0 ,
x x

所以当 x ? ? 0,ln 2? , H ? ? x ? 单调递减,当 x ? ? ln 2,1? , H ? ? x ? 单调递增, 而 H ? ? 0? ? 1 ? 0 ? e ? 2 ? 0 , H ? ?1? ? e ? 2 ? e ? 2 ? 0 ,

H ? ? ln 2? ? eln2 ? e ? 2ln? 2 ? 4 ? e ? 2ln 2 ? 0
故在 ? 0,ln 2? 上存在唯一的实数 x0 使得 H ? ? x0 ? ? 0 所以,在 ? 0, x0 ? 上 H ? x ? 单调递增,在 ? x0 ,1? 上 H ? x ? 单调递减.

而 H ? 0? ? 1 ? 0 ? 0 ? 0 ?1 ? 0 , H ?1? ? e ?1 ? e ? 2 ?1 ? 0 故 H ? x ? ? 0 在 ? 0,1? 成立, 即 h ? x? ?

e x ? ex ? x ? 1 ? 1 成立. ??????????????9 分 x2 ? x

e x ? ex ? x ? 1 e x ? ex ? x ? 1 ?e?2? ? ? e ? 2? ? 0 即 ②若 h ? x ? ? x2 ? x x2 ? x

e x ? ex ? x ? 1 ? ? e ? 2 ? ? x 2 ? x ? e x ? ex ? x ? 1 h ? x? ? ? e?2? ?0 x2 ? x x2 ? x
2 由于 x ? ? 0,1? ,有 x ? x ? 0 ,
x 2 即证 e ? ex ? x ? 1 ? ? e ? 2 ? x ? x ? 0 在 x ? ? 0,1? 恒成立 x 2 x 2 令 H ? x ? ? e ? ex ? x ? 1 ? ? e ? 2 ? x ? x ? e ? ? e ? 2 ? x ? x ? 1

?

?

?

?

H ? ? x ? ? ex ? 2 ? e ? 2? x ?1, H ?? ? x ? ? ex ? 2 ? e ? 2?
当 x ? 0,ln 2 ? e ? 2? , H ?? ? x ? ? 0 ,当 x ? ln 2 ? e ? 2? ,1 , H ?? ? x ? ? 0 , 所以当 x ? 0,ln 2 ? e ? 2? , H ? ? x ? 单调递减,当 x ? ln 2 ? e ? 2? ,1 , H ? ? x ? 单调递增, 而 H ? ? 0? ? 0, H ? ?1? ? 3 ? e ? 0 在 ln 2 ? e ? 2? ,1 上存在唯一的实数 x0 使得 H ? ? x0 ? ? 0 所以,在 ? 0, x0 ? 上 H ? x ? 单调递减,在 ? x0 ,1? 上 H ? x ? 单调递增. 又 H ? 0? ? 0 , H ?1? ? 0 , 故 H ? x ? ? 0 在 ? 0,1? 成立,即 h ? x ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

e x ? ex ? x ? 1 ? e ? 2 成立. x2 ? x

由①②,可得, a ? ? e ? 2,1? ,即存在零点. ??????????12 分 (22)解: (Ⅰ)

AB ? AC, AF ? AE ,? CF ? BE 。 又 CF ? CD, BD ? BE ,? CD ? BD 又 ?ABC是等腰三角形,

? AD是?CAB的角分线
∴圆心 O 在直线 AD 上.5 分

(II) 连接 DF, 由 (I) 知, DH 是⊙O 的直径, ??DFH ? 90 ,??FDH ? ?FHD ? 90 ,

??FDH ? ?G , ?G ? ?FHD ? 90 ,
∴点 C 是线段 GD 的中点. 10 分

O与AC相切于点F ,

??AFH ? ?GFC ? ?FDH ,??GFC ? ?G ,? CG ? CF ? CD ,

(23)解: (1) 曲线 C1 的直角坐标方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 , 所以 C1 极坐标方程为 ? ? 4cos ? 曲线 C2 的直角坐标方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,所以 C2 极坐标方程为 ? ? 4sin ? (2)设点 P 极点坐标 ( ?1 , 4cos ? ) ,即 ?1 ? 4cos ? 点 Q 极坐标为 ( ? 2 , 4sin(? ? 4分

?
6

))

即 ? 2 ? 4sin(? ?

?
6

)

则 | OP | ? | OQ |? ?1 ? 2 ? 4 cos ? ? 4sin(? ?

?
6

) = 16cos ? ? (

3 1 sin ? ? cos ? ) 2 2

? 8sin(2? ? ) ? 4 6 2

?

8分

? ? ? 7? ? ? (0, ) ,? 2? ? ? ( , ) ,

当 2? ?

) .10 分 2 6 6 (24)解: (I)? | 2a ? b | ? | 2a ? b |?| 2a ? b ? 2a ? b |? 4 | a | 对于任意非零实数 a 和 b 恒成 6
立, 当且仅当 (2a ? b)(2a ? b) ? 0 时取等号,
? | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值等于 4. |a|

?

?

?

, 即? ?

?

6

6

6

时 | OP | ? | OQ | 取最大值,此时 P 极点坐标 (2 3,

?

5分

( II )

?| 2 ? x | ? | 2 ? x |?

| 2 a ? b | ? | 2a ? b | 恒成立,故 | 2? x| ?| 2? x| 不大于 |a|

| 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值,由(I)可知 | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值等于 4. |a| |a|

实数 x 的取值范围即为不等式 | 2 ? x | ? | 2 ? x |? 4 的解. 解不等式得 ? 2 ? x ? 2. 10 分


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