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2017卓越学案高考总复习·数学文(新课标)第12章选修4-5第2讲


第十二章 选考部分 第2讲 不等式的证明 第十二章 选考部分 1.基本不等式 定理 1:设 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等 号成立. a+b 定理 2:如果 a,b 为正数,则 ≥ ab,当且仅当 a=b 时, 2 等号成立. 栏目 导引 第十二章 选考部分 a+b+c 3 ≥ abc 定理 3:如果 a,b,c 为正数,则 3 仅

当 a=b=c 时,等号成立. ,当且 定理 4: (一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1, a2, ?, n a1+a2+?+an a1a2?an an 为 n 个正数,则 ≥ n 当 a1=a2=?=an 时,等号成立. ,当且仅 2.不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、 放缩法等. 栏目 导引 第十二章 选考部分 1.比较法是证明不等式的最基本的方法,具体有作差比较和 作商比较两种,其基本思想是把难以比较的式子变成其差与 0 比较大小或其商与 1 比较大小.当欲证的不等式两端是多 项式(或分式)结构时,常用作差比较;当欲证的不等式两端 是乘积形式(或幂指数式)时,常用作商比较. 作差法的理论依据是:a-b>0?a>b,a-b<0?a<b,a-b= 0?a=b; a a 作商法的理论依据是:若 a、b∈R+,则b>1?a>b,b=1?a a =b,b<1?a<b. 栏目 导引 第十二章 选考部分 2.利用基本不等式证明不等式时 ①注意字母的取值范围与“=”成立的条件. ②对不符合基本不等式结构特征的要构造成符合特征的形式 便于应用基本不等式. 栏目 导引 第十二章 选考部分 1 1.(选修 4-5 P35 例 3 改编)已知 a,b∈R+,a+b=2,则a+ 1 B ) b的最小值为( A.1 B.2 C.4 解析:∵a,b∈R+,且 a+b=2, ?1 1? b a ? ? ∴(a+b) a+b =2+a+b≥2+2 ? ? D. 8 ba a· b=4, 1 1 4 1 1 ∴a+b≥ =2,即a+b的最小值为 2,(当且仅当 a=b=1 a+b 时,“=”成立).故选 B. 栏目 导引 第十二章 选考部分 2.(选修 4-5 P21 例 2 改编)若 a,b,m∈R+,且 a>b,则下 列不等式一定成立的是( B ) b+m b A. ≥ a+m a b+m b C. ≤ a+m a b+m b B. > a+m a b+m b D. < a+m a 解析:∵a,b,m∈R+,且 a>b. b+m b m?a-b? b+ m b ∴ - = >0,即 > ,故选 B. a+m a a?a+m? a+ m a 栏目 导引 第十二章 选考部分 3.(选修 4-5 P25 习题 T1 改编)已知 a>0,b>0,c>0. a2 b2 c2 求证: b + c + a ≥a+b+c. 证明:∵a>0,b>0,c>0, a2 ∴ b + b≥ 2 成立). b2 c2 同理 c +c≥2b, a +a≥2c, a2 b2 c2 ∴ b + c + a +(a+b+c)≥2(a+b+c), a2 b2 c2 ∴ b + c + a ≥a+b+c. 栏目 导引 a2 a2 b=2a(当且仅当 b =b,即 a=b 时,“=” b· 第十二章 选考部分 比较法证明不等式 求证:当 x∈R 时,1+2x4≥2x3+x2. [证明] 法一:(1+2x4)-(2x3+x2) =

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