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1.2.3应用举例


1.2应用举例

第3课时

一、自主检测
(1)在?ABC中,已知a ? 3, b ? 4, c ? 6, 则 (2)在?ABC中,若A= 120 ,AB=5,BC=7, 则 25 3 ?ABC的面积S= 4 (3)在?ABC中,AB=3,BC= 13, AC ? 4, 则
?

61 bc cos A ? ca cos B ? ab cos C的值为 2

AC边上的高为 ? B? 3 ( A) 2 2 3 ( B) 3 2 3 (C ) 2 ( D) 3 3

二、精讲精析

在?ABC中,边BC,CA,AB上的高 分别记为ha , hb , hc , 那么容易证明: ha=b sin C ? c sin B, hb=c sin A ? a sin C , hc=a sin B ? b sin A,

1 根据三角形的面积公式,S= ah, 应用 2 以上高的公式ha=b sin C,可得 1 S= ab sin C 2 同理: 1 S= ab sin C 2 1 S= ab sin C 2

例7:在?ABC中,根据以下条件,求三 角形面积S
? ? ?

(1)已知a ? 14, c ? 23, B= 120 ;

(2)已知B=60 ,C=45 , b ? 4 3;

(3)已知a ? 2 3, b ? 6 ? 2, c ? 2 2.

161 (1) 3(2)4 3 ? 3 (3)3 ? 3 2

?

?

例8:P17图1.2-8,在某市进行城市环境 建设中,要把一个三角形的区域改造成市 内公园,经过测量得到这个三角形区域的 三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域 的面积是多少(精确到0.1m )
2

例9:在?ABC中,求证: a ?b sin A ? sin B (1) 2 ? ; 2 c sin C 2 2 2 (2)a ? b ? c
2 2 2 2

? 2 ? bc cos A ? ca cos B ? ab cos C ?

三、随堂练习
?

1、?ABC的三条边分别为2,5,19则S? ABC= 2、在?ABC中,已知B=30 ,AB=2 3,AC=2 试求S? ABC
2、(1)当C=60 ,A=90 ,S=2 3 (2)当C=120 ,A=30 ,S= 3
? ? ? ?

5 3 1、 2

三、随堂练习

3、在?ABC中,求证: a ? b cos C ? c cos B b ? c cos A ? a cos C c ? a cos B ? b cos A

四、能力提升
1、甲船以30 2nmile/h的速度向正北方向 航行,乙船按固定方向匀速航行,当甲船位 于A1时,乙船位于甲船的北偏西105 方向的B1 处,此时两船相距20nmile,当甲船航行20分 钟后到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的B2处,此时两船相距10 2nmile, 问乙船的速度是多少?
? ?

20 解:由已知A 2 B2= 10 2, A1A 2=30 2 ? ? 10 2 60 ? A1A 2=A 2 B2,又?A1A 2 B2= 180? ? 120?=60? 在?A1 B2 B1中,已知A1 B1=20,?B1A1 B2= 105? ? 60?=45?

? ?A1A 2 B2为等边三角形, ? A1 B2=A1A 2= 10 2

2 2 由余弦定理得B1 B2 =A1 B12 +A1 B2 ? 2A1 B1 ? A1 B2 ? cos 45? 2

2 =20 ? 10 2 ? 2 ? 20 ? 10 2 ? =200 2 10 2 ? B1 B2= 10 2,乙船的速度为 ? 60=30 2 20
2

?

?

答:乙船的速度为30 2nmile / h

五、课堂小结
1、三角形面积公式的利用;
2、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的 证明题.

课后延续
P20 A组 13 B组 1


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