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优质课:离散型随机变量的均值


人教A版普通高中课程标准实验教课书(选修2-3)

离散型随机变量的均值(数学期望)

学习目标

? 1.理解离散型随机变量均值的概念,能计算简单
离散型随机变量的均值.

? 2.理解离散型随机变量均值的性质.
? 3.会利用离散型随机变量的均值,解决一些相关

的实际问题.

1

第一次自学指导

请同学们认真快速地阅读课本60-63页的内容,思考并理解离散型随机变量均值的概 念 ,并思考以下问题,5分钟后,指名同学口头回答。

问题 1 某商场要将单价分别为 18 元/kg、24 元/kg、36 元/kg 的 3 种糖果按 3∶2∶1 的比例混合销售,如何对混合糖果定 价才合理?
答 由于平均在每 1 kg 的混合糖果中,3 种糖果的质量分别是 1 1 1 1 kg、 kg 和 kg,所以混合糖果的合理价格应该是 18× + 2 3 6 2 1 1 24×3+36×6=23(元/kg).

1

第一次自学指导

问题 2 如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等、形状、大小 均相等,从中任取一颗,它的实际价格是多少(元/kg)?
在混合糖果中,任取一颗糖果的价格为 18 元/kg,24 元/kg 或 1 1 1 36 元/kg 的概率分别 、 、 ,用 X 表示这颗糖果的价格,则 2 3 6 它是一个离散型随机变量,其分布列为 X P 18 1 2 24 1 3 36 1 6

因此权数恰好是随机变量 X 取每种价格的概率,这样每千克混 1 1 1 合糖果的合理价格应该是 18× +24× +36× =23(元/kg). 2 3 6

1

第一次自学指导

问题 3 如果混合糖果中不同糖果共有 n 种,价格分别为 x1、x2、x3… xn,取每种价格的权数即概率依次为 p1、p2、p3…pn,则这种混合糖果的 价格可定为多少?
答 设 x 表示这种糖果的价格,则它是一个离散型随机变量, 其分布列为:

X P

x1

x2

· · · xi · · · pi

· · · xn · · · pn

p1

p2

X ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn

1

第一次自学指导

一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:

X P
则称

x1

x2

· · · xi · · · pi

· · · xn · · · pn

p1

p2

E( X ) ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xi pi ? ? ? xn pn
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。

1

第一次自学指导

思考:设Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量. (1) Y的分布列是什么? (2) EY=?

X x1 x2 · · · xi · · · xn Y ax1 ? b ax2 ? b · · · axi ? b · · ·axn ? b p1 p2 P · · · pi · · · pn E ) ((Y )?( ax1)? b ? 2ax ) ? b p ? ? ? axn ? b pn 1 p 2( ? a( x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xn pn ) ? b( p1 ? p2 ? ?? pn )

? aE ( X ) ? b
性质1:E(ax+b)=aE(x)+b

1

第一次自学检查

1、随机变量ξ的分布列是
ξ P 4 0.3 7 a 9 b 10 0.2

Eξ=7.5,则a=
ξ

0.1 b=
1

0.4 .
3 5

2、随机变量ξ的分布列是
P 0.5 0.3 0.2

(1)则Eξ=

2.4

. 5.8 .

(2)若η=2ξ+1,则Eη=

2

第二次自学指导

例1:如图,一个小球从M处投入,通过管道自上而下落A或B或 C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某 商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到A,B,C, 则分别设为l,2,3等奖.已知获得l,2,3等奖的折扣率分别为 50%,70%,90%.记随机变量ξ 为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣 率,求随机变量ξ 的分布列及期望Ε ξ ;

2

第二次自学检查

甲、 乙两人各进行 3 次射击,甲每次击中目标的概率为 1 2 ,乙每次击中目标的概率为 ,记甲击中目标的次数为 X,乙 2 3 击中目标的次数为 Y, (1)求 X 的概率分布列; (2)求 X 和 Y 的数学期望.

小结: 一般地,如果随机变量X服从二项分布,即 X~B(n,p),则

E ( X ) ? np

3 当堂训练 1.

2.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球,从中有放回地 取5次,每次只取1个,则取到红球次数的数学期望是 .


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