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常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题40 数列的求和方法


第 40 讲:数列求和的方法
【考纲要求】 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式 【基础知识】 1、数列的求和要有通项意识,先要对通项特征进行分析(数列的通项决定了数列的求和方 法) ,再确定数列求和的方法。 2、数列常用的求和方法有五种:求和五法 一公二错三分四裂五倒,最后一定要牢记,公 比为 1 不为 1 (1)公式法: 如果一个数列是等差、等比数列

或者是可以转化为等差、等比数列的数列,我们可以运用 等差、等比数列的前 n 项和的公式来求和.对于一些特殊的数列(正整数数列、正整数的平 方和立方数列等)也可以直接使用公式求和。
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(2)错位相减法: 若数列错误!未找到引用源。,其中错误!未找到引用源。是等差数列,错误!未找到引用 源。是等比数列,则采用错位相减法. 若错误!未找到引用源。,其中错误!未找到引用源。是等差数列,错误!未找到引用源。 是公比为错误!未找到引用源。等比数列,令 错误!未找到引用源。 则错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。两式错位相减并整理即得。 (3)分组求和法: 有一类数 列错误!未找到引用源。,它既不是等差数列,也不是等比数列,但是数列错误! 未找到引用源。是等差数列或等比数列或常见特殊数列,则可以将这类数列适当拆开,可 分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列,然后分别求和,再将其合并即可. (4)裂项相消法: 把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求和时一些正 负项相互 抵消,于是前错误!未找到引用源。项的和变成首尾若干少数项之和,这一求和 方法称为裂项相消法。适用于类似错误!未找到引用源。(其中错误!未找到引用源。是 各项不为零的等差数列,错误!未找到引用源。为常数)的数列、部分无理数列等。用裂 项相消法求和,需要掌握一些常见的裂项方法: ①错误!未找到引用源。,特别地当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。

(5)倒序相加法: 类似于等差数列的前 n 项和的公式的推导方法 。如果一个数列错误!未找到引用源。,与 首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加, 就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相 加法.

例 1 已知等比数列{an}中,a1=64,公比 q≠1,错误!未找到引用源。又分别是某等差数列的 第 7 项,第 3 项,第 1 项. (1)求错误!未找到引用源。;( 2)设 bn=log2an,求数列{|bn|}的前 n 项和 Tn. 解: (1)依题意有 a2-a4=3(a3-a4), 3 2 即 2a4-3a3+a2=0,2a1q -3a1q +a1q=0, 2 n-1 即 2q -3q+1=0.∵q≠1,∴q=错误! 未找到引用源。 . 故 an=64×(错误! 未找到引用源。 ) , n-1 7-n (2)bn=log2[64×(错误!未找到引用源。) ]=log22 =7-n, ∴|bn|=错误!未找到引用源。 n≤7 时,Tn=错误!未找到引用源。;n>7 时, Tn=T7+错误!未找到引用源。 =21+错误!未找到引用源。,故 Tn=错误!未找到引用源。
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例 2 求 a+2a2+3a3+…+nan. 2 3 n 解:设 S=a+2a +3a +…+na . 若 a=0,则 S=0; 若 a=1,则 S=错误!未找到引用源。; 2 3 n 若 a≠0,且 a≠1,则 S=a+2a +3a +…+na , ① 2 3 n n+1 aS=a +2a +…+(n-1)a +na ② ①-②得 2 n n+1 (1-a)S=a+a +…+a -na n+1 =错误!未找到引用源。-na . ∴S=错误!未找到引用源。. 【点评】(1)利用错位相减法求数列的前错误!未找到引用源。项和,要注意错位相减时, 符号的改变和等比数列的项数和首项。 ( 2)该题中有两次分类,一是关于数列是否等比的 分类,一是等比数列的公比是否为 1 的分类。注意逻辑分类的思想的运用,培养思维的严 谨性。 【变式演练 2】 已知 ,试比较 用源。 成等差数列,n 为正偶数,又错误!未找到引 错误!未找到引用源。

与 3 的大小。 错误!未找到引用源。

例 3 求数列的前 n 项和:错误!未找到引用源。,… 解:设错误!未找到引用源。 将其每一项拆开再重新组合得 错误!未找到引用源。 当 a=1 时,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。
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当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。

裂项相消法 类似错误!未找到引用源。(其中错误!未找到引用源。是各项不为零的等差 使用情景 数列,错误!未找到引用源。为常数)的数列、部分无理数列等。 把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求 解题步骤 和时一些正负项相互抵消,于是前错误!未找到引用源。项的和变成首尾若干 少数项之和。 例 4 已知等差数列错误!未找到引用源。满足:错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引 用源。.错误!未找到引用源。的前 n 项和为错误!未找到引用源。. (Ⅰ)求错误!未找到引用源。 及错误!未找到引用源。 ; (Ⅱ)令错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。 ),求数列错误!未找到引用源。的前 n 项和错误!未找到引用源。.

方法四

【点评】利用裂项相消时,注意消了哪些项,保留了哪些项。如错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。为了确定保留了哪些项,最好前后多写一些项。

【变式演练 4 】求和 错误!未找到引用源。

例 5 求证:错误!未找到引用源。 证明: 设错误!未找到引用源。………………………… .. ① 把①式右边倒转过来得 错误!未找到引用源。 又由错误!未找到引用源。可得 错误!未找到引用源。…………..…….. ② ①+②得 错误!未找到引用源。 ∴ 错误!未找到引用源。
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(1)证明:错误!未找到引用源。; (2)求错误!未找到引用源。的值. 【高考精选传真】 1.【2012 高考真题 辽宁理 6】在等差数列{an}中,已知 a 4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11= (A)58 (B)88 (C)143 (D)176
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【解析】在等差数列中,错误!未找到引用源。 ,答案为 B (2012 高考真题全国大纲理 5) . 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 , 则数 列? A.

?

1 ? ? 的前 100 项和为 a a ? n n ?1 ?
100 101
B.

99 101

C.

99 100

D.

101 100

【解析】由 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 可得

?a1 ? 4d ? 5 ?a1 ? 1 ? ? ? ? an ? n ? ? 5? 4 d ? 15 ?d ? 1 ?5a1 ? ? ? 2

?

1 1 1 1 ? ? ? an an?1 n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 100 ?( ? ) ? 1? ? 100 101 101 101

1 1 1 S100 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3

3.【2012 高考真题上海理 6】有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、错误!未找到引用源。

为公 比的等比数 列,体积分 别记为 错误! 未 找 到引 用 源。 , 则 错误 ! 未 找到 引 用源 。 。 【解析】由题意可知,该列正 方体的体积构成以 1 为首项,错误!未找到引用源。为公 比的 等比数列, ∴错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+…+错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。=错误!未找到引用源。,∴错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。。 4.【2012 高考真题湖北理 18】 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . (Ⅰ )求等差数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )若 a 2 , a3 , a1 成等比数 列,求数列 {| an |} 的前 n 项和.

记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n . 当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时, Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ? ? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? (3n ? 7) (n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ?5? ? n ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2 2 n ? 1, ?4, ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 n ? n ? 10, n ? 1. ? ?2 2 5、 (2012 高考真题江西理 16).(本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ? (1)确定常数 k,求 an; (2)求数列 {

1 2 n ? kn(k ? N ? ) ,且 Sn 的最大值为 8. 2

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9 ? 2an } 的前 n 项和 Tn。 2n

1 2 1 1 n ? kn 取最大值,即 8 ? ? k 2 ? k 2 ? k 2 , 2 2 2 9 7 9 故 k ? 4 ,从而 an ? S n ? S n ?1 ? ? n(n ? 2) ,又 a1 ? S1 ? ,所以 an ? ? n 2 2 2 9 ? 2an n 2 3 n ?1 n ? n ?1 , Tn ? b1 ? b2 ? ? bn ? 1 ? ? 2 ? ? n ? 2 ? n ?1 (1) 因为 bn ? n 2 2 2 2 2 2 1 1 n 1 n n?2 所以 Tn ? 2Tn ? Tn ? 2 ? 1 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ? 4 ? n ? 2 ? n ?1 ? 4 ? n ?1 2 2 2 2 2 2
? 【解析】: (1)当 n ? k ? N 时, S n ? ?

6、 (2 0 12 高考真题广东理 20) (本小题满分 12 分) 在等差数列 {an} 中, a3 ? a4 ? a5 ? 84 , a9 ? 73 . (Ⅰ)求数列 {an} 的通项公式; (Ⅱ) 对任意 m ? N* , 将数列 {an} 中落入区间 (9m,92m ) 内的项的个数记为 {bn} , 求数列 {bn} 的前 m 项和 Sm . (20)解: (Ⅰ)因为 {an} 是一个等差数列,
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于是 Sm ? b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bm

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? (9 ? 93 ? 95 ? ... ? 92m?1) ? (1 ? 9 ? 92 ? ... ? 9m?1) 9 ? (1 ? 81m ) 1 ? 9m ? ? 1 ? 81 1? 9 2 m ?1 m 9 ? 10 ? 9 ? 1 ? 80
7.【2012 高考真题天津理 18】 (本小题满分 13 分) 已知 {an } 是等差数列,其前 n 项和为 Sn, {bn } 是等比数列,且 a1 ? b1 ? 2, a4 ? b4 ? 27 ,

S 4 ? b4 ? 10 .
(Ⅰ)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (Ⅱ) 记 Tn ? an b1 ? an?1b2 ? ? ? a1bn ,n ? N , 证明 Tn ? 12 ? ?2an ? 10bn( n ? N ) .
* *

(1) 设数列 {an } 的公差为 d ,数列 {bn } 的公比为 q ;

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? 2 ? 3d ? 2q 3 ? 27 ?a4 ? b4 ? 27 ?d ? 3 ?? ?? 则 ? 3 ?q ? 2 ? S 4 ? b4 ? 10 ?4a1 ? 6d ? 2q ? 10

得: an ? 3n ? 1b ,n ? (

n

2
2 )

【反馈训练】 1.已知数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。, 且错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 (1)证明:错误!未找到引用源。是等比数列; (2)求数列错误!未找到引用源。的通项公式,并求出使得错误!未找到引用源。成立的最小 正整数错误!未找到引用源。 . 2.设错误!未找到引用源。是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在错误!未找到引用源。轴 的正半轴上,且都与直线错误!未找到引用源。相切,对每一个 正整数错误!未找到引用源。, 圆错误!未找到引用源。都与圆错误!未找到引用源。相互外切,以错误!未找到引用源。表 示错误!未找到引用源。的半径,已知错误!未找到引用源。为递增数列. (Ⅰ)证明:错误!未找到引用源。为等比数列; (Ⅱ)设错误!未找到引用源。,求数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项 和.
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3.已知数列{an}满足 a1 =0,a2=2,且对任意 m、n∈N 都有 a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m -n)2 (Ⅰ)求 a3,a5; * (Ⅱ)设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N ),证明:{bn}是等差数列; - * (Ⅲ)设 cn=(an+1-an)qn 1(q≠0,n∈N ),求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 4.已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项 和 Tn . 5. 求错误!未找到引用源。的值 【变式演练详细解析】

*

【变式演练 1 详细解析】 (Ⅰ)由题设知公差 d≠0, 由 a1=1,错误!未找到引用源。成等比数列得错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。, 解得 d=1,d=0(舍去) , 故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n. n (Ⅱ)由(Ⅰ)知错误!未找到引用源。=2 ,由等比数列前 n 项和公式得 2 3 n n+1 Sm=2+2 +2 +…+2 =错误!未找到引用源。=2 -2.

可求得 ,∵n 为正偶数, 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 【变式演练 3 详 细解析】 奇数项组成以错误!未找到引用源。为首项,公差为 12 的等差数列,偶数项组成以错误! 未找到引用源。为首项,公比为 4 的等比数列; 当错误!未找到引用源。为奇数时,奇数项有 项, 未找到引用源。 ∴ , 错误!未找到引用源。 当错误!未找到引用源。为偶数时,奇数项和偶数项分别有 ∴ , 错误!未找到引用源。 所以,
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项,偶数项有 错误!未找到引用源。 错误!

项, 错误!未找到引用源。



错误!未找到引用源。

(1 )错误!未找到引用源。 (2)错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 两式相加得: 错误!未找到引用源。 所以错误!未找到引用源。. 【反馈训练详细解析】
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1.【解析】 :(1) 当 n?1 时,a1??14;当 n≥2 时,an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1,所以 错误!未找 , 到引用源。 又 a1?1??15≠0, 所以数列{an?1}是等比数列; (2) 由(1)知: (n?N*); 由 Sn?1>Sn,得 2. , ,最小正整数 n?15. 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ,得 ,从而 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

3 3 1 x的倾斜角记为,则有tan? = ,sin ? ? , 3 3 2 r 1 设Cn的圆心为(?n,0),则由题意得知 n ? ,得?n ? 2rn;同理 ?n 2 解:(1)将直线y=

?n+1 ? 2rn+1,从而?n+1 ? ?n ? rn ? rn+1 ? 2rn+1,将?n ? 2rn 代入,
解得rn+1 ? 3rn 故 rn 为公比q ? 3的等比数列。 (?)由于rn ? 1,q ? 3,故rn ? 3n ?1,从而 记Sn ? 1 2 n ? ? ..... ? , 则有 r1 r2 rn n ? n *31? n , rn

Sn ? 1 ? 2*3?1 ? 3*3?2 ? ......n *31? n Sn ? 1*3?1 ? 2*3?2 ? ...... ? ( n ? 1) *31? n ? n *3? n 3 ① ? ②,得 2Sn ? 1 ? 3?1 ? 3?2 ? ... ? 31? n ? n *3? n 3 1 ? 3? n 3 3 ? ? n *3? n ? ? (n ? ) *3? n , 2 2 2 3 9 1 3 9 ? (2n ? 3) *31? n ? S n ? ? (n ? ) *31? n ? 4 2 2 4

那么 an+1-an=

a2 n ?1 ? a2 n ?1 -2n+1 2 8n ? 2 = -2n+1 2

=2n - 于是 cn=2nqn 1.

当 q=1 时,Sn=2+4+6+……+2n=n(n+1) - 当 q≠1 时,Sn=2·q0+4·q1+6·q2+……+2n·qn 1. 两边同乘以 q, 可得 qSn=2·q1+4·q2+6·q3+……+2n·qn. 上述两式相减得

4.【解析】


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