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山东省潍坊一中2014-2015学年高二4月综合练习数学(理)试卷


2015.4

高二(理)下学期综合练习
一、选择题: 1. ( x ? )5 ( x ? R )展开式中 x 3 的系数为 10,则实数 a 等于( (A)-1 (B)

a x



1 2

(C)1

(D)2

2、某台

小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位、节目乙 不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( (A)36 种 (B)42 种 (C)48 种 (D)54 种 )

3、下列说法:①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;②设 ^ 有一个回归方程为y=3-5x,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 5 个单位;③线性相关系 数 r 和相关指数 R2 都是描述线性相关强度的量, r 和 R2 越大, 相关强度越强. ④在一个 2×2 列联表中,计算得 χ2=13.079,则有 99%的把握确认这两个变量间有关系. 其中错误 的个数是( .. A.0 B.1 ) C.2 D.3

本题可以参考独立性检验临界值表: P(χ2≥k0) k0 P(χ2≥k0) k0
4

0.50 0.455 0.05 3.841

0.40 0.708 0.025 5.024

0.25 1.323 0.010 6.635

0.15 2.072 0.005 7.879

0.10 2.706 0.001 10.828 )

4、若曲线 f(x)=x -2x 在点 P 处的切线垂直于直线 x+2y+1=0,则点 P 的坐标为( A.(1,1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(-1,-1) 5、已知 f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示,那么 f(x)的图象最有可能是图中的( )

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1 6、若 f(x)=x2+2∫1 0f(x)dx,则∫0f(x)dx=(

)

1 1 A.-1 B.- C. 3 3 那么 k 的值为( A.0 ) B.1

D.1

7、将一枚硬币连掷 5 次,如果出现 k 次正面向上的概率等于出现 k+1 次正面向上的概率,

C .2

D.3

8、设集合 P={x,1},Q={y,1,2},其中 x,y∈{1,2,3…,9},且 P ? Q。把满足上述条件的一对 有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点个数是( ) A.9 个 B.14 个 C.15 个 D.21 个 1 9、(2013· 山西模拟)某人抛掷一枚硬币,出现正反面的概率都是 ,构造数列{an},使得 an 2
? ?第n次抛掷时出现正面? ?1 =? , 记 Sn=a1+a2+…+an(n∈N*), 则 S4=2 的概率为( ) ?-1 ?第n次抛掷时出现反面? ?

1 A. 16

1 B. 8

1 C. 4

1 D. 2

10、已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,0) 二、填空题: 1? ? B.?0,2? ? ? C.(0,1) D.(0,+∞)



11、 在 2012 年 8 月 15 日那天, 某市物价部门对本市的 5 家商场的某商品的一天销售量及其 价格进行调查,5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下表所示: 价格 x 销售量 y 9 11 9.5 n m 8 10.5 6 11 5

^ 由散点图可知, 销售量 y 与价格 x 之间有较强的线性相关关系, 其线性回归直线方程是: y= -3.2x+40,且 m+n=20,则其中的 n=________. 12、 设坐标平面内有一个质点从原点出发, 沿 x 轴跳动, 每次向正方向或负方向跳 1 个单位, 经过 5 次跳动质点落在点 (3, 0) (允许重复过此点) 处, 则质点不同的运动方法共有_________ 种(用数字作答) 。
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1 13、高二某班共有 60 名学生,其中女生有 20 名,三好学生占 ,而且三好学生中女生占一 6 半.现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会.则在已知没有选上女生的条件下,选上的 是三好学生的概率为________. 14、由抛物线 y=x2-1,直线 x=0,x=2 及 x 轴围成的图形面积为________.

15、 已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值, 若 m, n∈[-1, 1], 则 f(m) +f′(n)的最小值是________. 三、解答题:
16、已知(1+3x)n 的展开式中,末三项的二项式系数的和等于 121,求: (1)展开式中二项式系数最大的项;(2)展开式中系数最大的项.

17、某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 10 名工人,其中有 6 名女工 人.现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进 行技术考核.(1)求从甲、乙两组各抽取的人数;(2)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人 的概率;(3)求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率.

18、某游乐场有 A 、 B 两种闯关游戏,甲、乙、丙、丁四人参加,其中甲乙两人各自独立 进行游戏 A ,丙丁两人各自独立进行游戏 B .已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为 丙、丁两人各自闯关成功的概率均为

1 , 3

1 .(Ⅰ)求游戏 A 被闯关成功的人数多于游戏 B 被闯 2

关成功的人数的概率;(Ⅱ)记游戏 A 、 B 被闯关总人数为 X,求 X 的分布列和期望

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19、从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的北京奥运冠军中选出 10 名作“夺冠之路”的 励志报告.(1)若每个大项中至少选派两人,则名额分配有几种情况?(2)若将 10 名冠军分配 到 11 个院校中的 9 个院校作报告,每个院校至少一名冠军,则有多少种不同的分配方法?

20、在区间[0,1]上给定曲线 y=x .试在此区间内确定点 t 的值,使图中的阴影部

2

分的面积 S1 与 S2 之和最小,并求最小值.

21、已知函数 f(x)=(2-a)x-2(1+ln x)+a,g(x)=

ex ex ,

1? ? (1)若函数 f(x)在区间?0,2?上无零点,求实数 a 的最小值; ? ? (2)若对任意给定的 x0∈(0,e],在(0,e]上方程 f(x)=g(x0)总存在两个不等的 实根,求实数 a 的取值范围.

高二(理)下学期综合练习答案
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1、选 D
1 1

?a? Tr ?1 ? C5r x 5? r ? ? ? a r C5r x 5? 2 r , (r ? 0,1, 2,3, 4,5) ,令 5 ? 2r ? 3 ,所以 r ? 1 , ?x?

r

1 1 所以 ∴ aaC 10 ? C ? 10 ?aa??2. 2. 5 5?

2、选 B,分两类:第一类:甲排在第一位,共有 A 4 4 =24 种排法;第二类:甲排在第二位,
3 共有 A1 3 ? A 3 =18 种排法,所以共有编排方案 24 ? 18 ? 42 种,故选 B.

3、C 方差反映的是波动大小的量,故①正确;②中由于-5<0,故应是负相关,当 x 每增 加 1 个单位时,y 平均减少 5 个单位,∴②错误;相关系数 r 是描述线性相关强度的量,|r| 越接近于 1,相关性越强,在线性相关的两个变量的回归直线方程中,R2 是描述回归效果的 量,R2 越大,模型的拟合效果越好,故③错误;④显然正确.
3 4、选 B.∵f′(x)=4x3-2,设 P(x0,y0),由题意得 f′(x0)=4x0 -2=2,∴x0=1,y0=-1.

故 P 点坐标为(1,-1). 5 选 A.∵x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,∴f(x)为减函数;同理 f(x)在(-2,0)上为增函数, (0,+∞)上为减函数.
1 1 1 ?1 3 ?1 1 6、选 B.∵f(x)=x2+2∫1 0f(x)dx,∴∫0f(x)dx= 3x +2x∫0f(x)dx |0= +2∫0f(x) dx, ? ? 3

1 ∴∫1 0f(x)dx=- . 3 1 k 1 5-k k+1 1 k+1 1 5-k-1 k+1 7、C 由 Ck =C5 ( ) · ( ) ,即 Ck 5( ) ( ) 5=C5 ,故 k+(k+1)=5,即 k=2. 2 2 2 2 8 、

9、 C “S4=2”的含义是 a1,a2,a3,a4 中有 3 个等于 1,一个等于-1,即 4 次抛掷硬币 1 1 1 中有 3 次出现正面,∴所求概率 P=C3 ( )3· = . 4· 2 2 4 10、 由题知,x>0,f′(x)=ln x+1-2ax,由于函数 f(x)有两个极值点,则 f′(x)=0 有 两个不等的正根,即函数 y=ln x+1 与 y=2ax 的图象有两个不同的交点(x>0),则 a>0; 1 设函数 y=ln x+1 上任一点(x0,1+ln x0)处的切线为 l,则 kl=y′= ,当 l 过坐标原点

x0

1 1+ln x0 1 1 时, = ?x0=1,令 2a=1?a= ,结合图象知 0<a< ,故选 B. x0 x0 2 2

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11、

10

m - 11+n+8+6+5 n - 9+9.5+m+10.5+11 x= =8+ , y = =6+ ,线性回归直线 5 5 5 5

n m - - 一定经过样本中心( x , y ),即 6+ =-3.2(8+ )+40,即 3.2m+n=42,又∵m+n=20, 5 5

?3.2m+n=42, ?m=10, ? ? 即? 解得? 故 n=10. ? ? ?m+n=20, ?n=10,
12 、

1 13、 设事件 A 表示“任选一名同学是男生”;事件 B 为“任取一名同学为三好学生”,则 8 1 40 2 5 1 P?AB? 12 1 所求概率为 P(B|A).依题意得 P(A)= = ,P(AB)= = .故 P(B|A)= = = . 60 3 60 12 2 8 P?A? 3 14、2 由 y=x2-1=0,得抛物线与 x 轴的交点分别为(-1,0)和(1,0).所以 S=?2|x2- ?
0 3 1 x3 1 8 ?x -x?? x- ?? 1- ?+? -2-?3-1??=2. 1|dx=?1(1-x2)dx+?2(x2-1)dx=? + ? ? =? 3 3 3 ? ?? ? ? ? ? ? ? 3 ? ?0 ?1 ? ? 0 1 1 2

15、-13 对函数 f(x)求导得 f′(x)=-3x2+2ax,由函数 f(x)在 x=2 处取得极值知 f′(2)=0,即-3×4+2a×2=0,∴a=3.由此可得 f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2 +6x,易知 f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,∴当 m∈[-1,1] 时,f(m)min=f(0)=-4.又∵f′(x)=-3x2+6x 的图象开口向下,且对称轴为 x=1, ∴当 n∈[-1,1]时,f′(n)min=f′(-1)=-9.故 f(m)+f′(n)的最小值为-13.
16 、

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17



18、

(Ⅱ)







X





0,1, 2, 3, 4 ,

P (X ? 0) ?

2 2 1 1 4 ? ? ? = 3 3 2 2 36



12 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 P (X ? 1) ? C2 ? ? ? ? +C2 ? ? ? ? = 3 3 2 2 3 3 2 2 36 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 13 P (X ? 2) ? ? ? ? +C2 ? C2 ? ? ? ? + ? ? ? = 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 36 1 2 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 1 P (X ? 3) ? C2 ? ? ? ? +C2 ? ? ? ? = ,P (X ? 4) ? ? ? ? = 3 3 2 2 3 3 2 2 36 3 3 2 2 36
X 的分布列为: X P 0 1 2 3 4



4 36

12 36

13 36

6 36

1 36

∴ EX ?

4 12 13 6 1 5 ? 0+ ? 1+ ? 2+ ? 3+ ? 4= . 36 36 36 36 36 3

19、[解答] (1)名额分配只与人数有关,与不同的人无关. 每大项中选派两人, 则还剩余两个名额, 当剩余两人出自同一大项时, 名额分配情况有 C1 4= 2 1 2 4 种,当剩余两人出自不同大项时,名额分配情况有 C4=6 种.∴有 C4 +C4 =10 种.(2)从 2 9 11 个院校中选 9 个, 再从 10 个冠军中任取 2 个组合, 再进行排列, 有 C9 11C10A9=898 128 000.
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20、解

S1 面积等于边长分别为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 y=x2 与 x 轴、直线 x

2 =t 所围成的面积,即 S1=t· t2-?t x2dx=3t3.S2 的面积等于曲线 y=x2 与 x 轴,x=t,x ?0
2 3 1 2 2 2 2 =1 围成的面积去掉矩形边长分别为 t ,1-t 面积,即 S2=?1x dx-t (1-t)= t -t + . 3 3 ?
t

4 3 1 ? 1? 2 2 所以阴影部分的面积 S(t)=S1+S2= t -t + (0≤t≤1). 令 S′(t)=4t -2t=4t?t- ?= 3 3 ? 2? 1 1 1 1 2 1 0, 得 t=0 或 t= .t=0 时, S(t)= ; t= 时, S(t)= ; t=1 时, S(t)= .所以当 t= 时, 2 3 2 4 3 2

S(t)最小,且最小值为 .
21、解

1 4

f(x)=(2-a)(x-1)-2ln x,(1)令 m(x)=(2-a)(x-1),x>0;h(x)=2ln x,

1? 1? ? ? x>0, 则 f(x)=m(x)-h(x), ①当 a<2 时, m(x)在?0,2?上为增函数, h(x)在?0,2? ? ? ? ? 1? 1 ? ?1? ?1? ?1 ? 上为增函数,若 f(x)在?0,2?上无零点,则 m?2?≥h?2?,即(2-a)?2-1?≥2ln 2, ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ∴a≥2-4ln 2,∴2-4ln 2≤a<2,②当 a≥2 时,在?0,2?上 m(x)≥0,h(x)<0, ? ? 1? ? ∴f(x)>0,∴f(x)在?0,2?上无零点.由①②得 a≥2-4ln 2,∴amin=2-4ln 2. ? ? (2)g′(x)=e1 x-xe1 x=(1-x)e1 x, 当 x∈(0, 1)时, g′(x)>0, 函数 g(x)单调递增;
- - -

当 x∈(1,e]时,g′(x)<0,函数 g (x)单调递减又 g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e2-e >0,∴函数 g(x)在(0,e]上的值域为(0,1].方程 f(x)=g(x0)等价于(2-a)(x-1) -g(x0)=2ln x, 令 p(x)=(2-a)(x-1)-g(x0), 则 p(x)过定点(1, -g(x0)), 且-1≤ -g(x0)<0,令 t(x)=2ln x,由 p(x),t(x)的图象可知,要使方程 f(x)=g(x0)在(0, ?a<2, e]上总存在两个不相等的实根,需使? 在(0,e]上恒成立,即(2- ?p(e)≥t(e) a)(e - 1) - g(x0)≥2ln e = 2 , ∴ a ≤ 2 - 2+g(x0) , ∵ 0 < g(x0)≤1 , ∴ e-1

2+g(x0)? ? 3 3 ?2- ? =2- ,∴a≤2- . e-1 ?min e-1 e-1 ?

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