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2014数学高考综合能力题选讲2函数的基本性质


2014 数学高考综合能力题选讲 2 函数的基本性质 题型预测 函数的性质主要包括:函数的单调性、奇偶性和周期性。函数是中学数学的重要内容, 函数的性质也是高考考查的重中之重。 高考对本部分内容的要求较高, 不仅要求熟练掌握这 些性质,还要求能够运用定义去证明和判断,以及能够灵活运用这些性质解题。 范例选讲 例1 对于满足 0 ? p ? 4 的一切实数,不等式 x 2 ? p

x ? 4x ? p ? 3 恒成立,试 求 x 的取值范围。 讲解 不等式 x 2 ? px ? 4x ? p ? 3 很容易让我们联想到二次函数: f ?x? ? x 2 ? ? p ? 4?x ? 3 ? p 基于这种认识, 本题实质上就是: 对于二次曲线系 f ?x? ? x 2 ? ? p ? 4?x ? 3 ? p (0 ? p ? 4 ) ,考虑使得 f ?x ? ? 0 恒成立的 x 的取值范围。 对 于 每 一 个 给 定 的 p , 由 于 f ?x ? ? 0 的 二 根 分 别 为 1,3 ? p , 记 1,3 ? p) ,则 f ?x ? ? 0 的解集为: u( p) ? m a ?x 1,3 ? p ? , v( p) ? min( M ? p ? = ?? ?, v? p ?? ? ?u? p ?,??? 所以,当 p 在区间 ?0,4? 上变化时,使得 f ?x ? ? 0 恒成立的 x 的取值范围就是 所有 M ? p ? 的交集。 因为 0 ? p ? 4 ,所以, u ( p) 的最大值为 3, v? p ? 的最小值为 ? 1 。 所以,本题的答案应该为: ?? ?,?1? ? ?3,??? 。 上述解法实际上源于我们思维的一种定势,即习惯于把 x 当作变量,而把其 余的字母作为参数。而事实上,在上面的不等式中, x 与 p 的地位是平等的。如 果我们换一个角度看问题,即把 p 作为自变量,而把 x 作为参数,则可以得到下 面的另一种较为简洁的解法: 考虑关于 p 的函数: g ? p? ? ?x ? 1? p ? x 2 ? 4x ? 3 , 可以看到:g ? p ? 是关于 p 的一次函数或常数函数,要使得对于满足 0 ? p ? 4 ? ? ? g ?0? ? 0 的一切实数, g ? p ? ? 0 恒成立,由函数的单调性可知,需且只需: ? ? g ?4? ? 0 解之得: x ? 3 或 x ? ?1 。 点评 (1)不等式与函数有着千丝万缕的联系,通过适当的转化,可以使 得问题的表述更接近于我们熟悉的知识,从而得解。 (2)注意利用函数的性质解 题。 (3)注重问题的本质。在熟悉通性通法的同时,也要敢于打破思维定势,换 一个角度看问题。 g ?x ? 与 f ?x ? 的图象关于直线 x ? 1 ? 0 例2 设 f ?x ? 是定义在[-1, 1]上的偶函数, 对称。且当 x ? ?2,3? 时, g ?x? ? 2a ? ?x ? 2? ? 4?x ? 2?3 ?a为实数? (1)求函数 f ?x ? 的表达式; (2)在 a ? ?2,6? 或 ?6,??? 的情况下,分别讨论函数 f ?x ? 的最大值,并指出 a 为何值时, f ?x ? 的图像的最高点恰好落在直线 y ? 12 上。 (1)注意到 g ?x ? 是定义在区间 ?2,3? 上的函数,因此,根据对称性, 讲解 我们只能求出 f ?x ? 在区间 ?? 1,0? 上的解析式, f ?x ? 在区间 ?0,1? 上的解析式,

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